MATEMATYKA DYSKRETNA (MAT 182) semestr letni 2002/2003. Typeset by AMS-TEX

Transkrypt

1 MATEMATYKA DYSKRETNA (MAT 182) semestr letni 2002/2003 Typeset by AMS-TEX

2 MATEMATYKA DYSKRETNA (MAT 182) 1 LITERATURA PODSTAWOWA I UZUPE LNIAJA CA V Bryant, Aspekty kombinatoryki, WNT - Warszawa, 1997 (t lumaczenie z je zyka angielskiego) I Prze- Z Palka, A Ruciński, Wyk lady z Kombinatoryki - Cz liczanie, WNT - Warszawa, 1998 K A Ross, Ch R B Wright, Matematyka dyskretna, PWN, Warszawa 1996 (t lumaczenie z je zyka angielskiego) J A Bondy, U S R Murty, Graph Theory with Applications, American Elsevier Publishing Co, Inc, 1976 (w je zyku angielskim) strona WWW: jaworski/ REGU LY GRY Jednym z warunków uzyskania zaliczenia z ćwiczeń jest ucze szczanie na zaje cia nieusprawiedliwione opuszczenie trzech zaje ć powoduje, skreślenie z listy uczestników kursu W przypadku usprawiedliwionej takiej nieobecności należy uzyskać zaliczenie materia lu z opuszczonych zaje ć O formie i terminie takiego zaliczenia decyduje prowadza cy ćwiczenia Uzyskanie oceny bardzo dobrej lub dobrej z odpowiedniej cze ści egzaminu pisemnego be dzie traktowane jako zaliczenie usprawiedliwionych nieobecności O końcowej ocenie na zaliczenie decydować be dzie la czna liczba uzyskanych w czasie trwania kursu punktów Każdy z uczestników może uzyskać maksymalnie 101 punktów: 40 punktów za pierwsza cze ść egzaminu pisemnego 40 punktów za druga cze ść egzaminu pisemnego 21 punktów za aktywny udzia l w ćwiczeniach (patrz niżej) W czasie trwania kursu studenci otrzymuja 9 zestawów zadań do samodzielnego rozwia zania w domu - zestawy be da doste pne na wyżej podanej stronie WWW Brak rozwia zań zadań (zadań bez

3 2 SEMESTR LETNI 2002/2003 gwiazdki) z tych zestawów traktowany be dzie jako nieprzygotowanie do zaje ć Na pocza tku zaje ć student wype lniaja c liste obecności deklaruje swoje (nie)przygotowanie Naste pnie losowo wybrani spośród przygotowanych studenci przedstawiaja swoje rozwia zania Stwierdzenie w tej fazie ewidentnego nieprzygotowania może spowodować utrate aż 10 punktów z puli za aktywny udzia l w ćwiczeniach ( la cznie nie mozna jednak stracić wie cej niż 21 punktów w czasie trwania semestru) Dla studentów pragna cych uzyskać na zaliczenie ocene bardzo dobra przeznaczone sa zadania z gwiazdka z zestawów Za przygotowany zestaw student otrzymuje 3 punkty, ale la cznie nie można uzyskać wie cej niż 21 punktów nie znaczy to, że przygotowanie wie cej niż siedmiu zestawów nie be dzie w inny sposób premiowane Oznacza to również, że dwa razy (wliczaja c w to nieobecności) można być nieprzygotowanym i nie pocia ga to za soba żadnych konsekwencji Punkty za przygotowanie zestawu można uzyskać tylko uczestnicza c w odpowiednich zaje ciach - nie przewiduje,,zaliczania zestawów z zajeć na których student by l nieobecny Warunkiem zaliczenia ćwiczeń jest uzyskanie co najmniej 51 punktów Osoby, które uzyskaja la cznie mniej niż 51 punktów, nie otrzymaja zaliczenia ćwiczeń, co jest równoważne ocenie niedostatecznej z egzaminu w pierwszym terminie W takim przypadku be dzie można przysta pić do egzaminu ustnego dopiero w sesji poprawkowej, oczywiście tylko jeżeli uzyska zaliczenie dla wszystkich takich osób przeprowadzone zostanie jedno kolokwium zaliczeniowe z ca lości materia lu O ocenie z egzaminu pisemnego decyduje liczba uzyskanych punktów z obu cze ści tego egzaminu Z każdego testu można maksymalnie uzyskać 40 punktów Nieobecność podczas egzaminu (egzaminów pisemnych) usprawiedliwić można jedynie na podstawie zwolnienia lekarskiego wpisanego w ksia żeczke zdrowia

4 MATEMATYKA DYSKRETNA (MAT 182) 3 Metody dowodu implikacji dowód wprost Jak sama nazwa wskazuje, metoda dowodu wprost polega na za lożeniu, że p jest prawda i pokazaniu, że wówczas również q jest prawda Przyk lad 11 Udowodnić wprost, że jeżeli a jest liczba ca lkowita taka, że a 2 jest podzielne przez 3, to a 2 1 jest również podzielne przez 3 Przyk lad 12 Udowodnić wprost, że jeżeli x jest liczba taka, że x 2 5x + 6 = 0, to x = 2 lub x = 3 Metody dowodu implikacji dowód nie wprost Metoda dowodu nie wprost opiera na tautologii rachunku zdań, zwanej prawem kontrapozycji: (p q) ( q p) Stosuja c te metode zak ladamy, że q jest fa lszem i pokazujemy, że p jest również fa lszem Przyk lad 13 Udowodnić nie wprost, że jeżeli iloczyn dwóch liczb ca lkowitych a i b jest liczba parzysta, to a jest liczba parzysta lub b jest liczba parzysta Przyk lad 14 Udowodnić nie wprost, że jeżeli n jest iloczynem dwóch dodatnich liczb ca lkowitych a i b, to a n lub b n Metody dowodu implikacji dowód przez zaprzeczenie Metoda dowodu przez zaprzeczenie (zwanego także dowodem przez sprowadzenie do sprzeczności) opiera na równoważności: (p q) (p q), Stosuja c to podejście zak ladamy, że p jest prawda a q fa lszem i pokazujemy, że prowadzi to do sprzeczności, to znaczy, pokazujemy że (p q) jest fa lszem

5 4 SEMESTR LETNI 2002/2003 Przyk lad 15 Udowodnić przez zaprzeczenie, że pośród trzynastu ludzi dwóch lub wie cej ma swoje urodziny w tym samym miesia cu Przyk lad 16 Udowodnić przez zaprzeczenie naste puja ce stwierdzenie: Niech m 1, m 2,, m n be da dodatnimi liczbami ca lkowitymi Jeżeli m 1 + m m n n + 1 kul w lożymy do n szufladek, to pierwsza szufladka be dzie zawierać co najmniej m 1 kul lub druga szufladka zawierać be dzie co najmniej m 2 kul, lub, lub n ta szufladka zawierać be dzie co najmniej m n kul Zasada indukcji matematycznej Niech p(n) be dzie zdaniem, które dla każdego naturalnego n może być zdaniem prawdziwym lub fa lszywym Aby udowodnić, że zdanie p(n) jest prawdziwe dla wszystkich liczb naturalnych n, gdzie n n 0, wystarczy pokazać, że (a) zdanie p(n 0 ) jest prawdziwe, (b) dla każdego k n 0, p(k) p(k + 1), tzn zdanie p(k + 1) jest prawdziwe jeżeli tylko zdanie p(k) jest prawdziwe Przyk lad 17 Znaleźć i udowodnić wzór na sume pierwszych n liczb naturalnych Przyk lad 18 Znaleźć i udowodnić wzór na sume pierwszych n sześcianów, tzn na sume n 3 Przyk lad 19 Pokazać, że dla każdego naturalnego n 1, wyrażenie 6 n n+1 jest podzielne przez 43

6 MATEMATYKA DYSKRETNA (MAT 182) 5 Przyk lad 110 Pokazać, że dla każdego naturalnego n 4, 3 n > n 3 Przyk lad 111 Pokazać, że suma n pierwszych wyrazów cia gu arytmetycznego o pierwszym wyrazie a i o różnicy d, równa jest n(2a + (n 1)d) 2 Przyk lad 112 Pokazać, że jeżeli sa spe lnione warunki pocza tkowe a 0 = 12, a 1 = 29 oraz dla n 2 zachodzi wzór rekurencyjny a n = 5a n 1 6a n 2, to dla każdego naturalnego n: a n = 5 3 n n Zasada szufladkowa Zasada szufladkowa polega na prostej obserwacji, że jeżeli rozmieścimy n przedmiotów w m szufladkach, gdzie n > m, to istnieje szufladka, która zawiera co najmniej dwa przedmioty Ogólniej: Jeżeli rozmieścimy n przedmiotów w m szufladkach, gdzie n > k m, to w którejś szufladce znajdzie co najmniej k + 1 przedmiotów Przyk lad 113 Uzasadnić, że w każdym mieście licza cym co najmniej 15 miliona mieszkańców znajdziemy co najmniej cztery osoby o tej samej liczbie w losów na g lowie, jeżeli przyjmiemy, że rośnie ich na ludzkiej g lowie co najwyżej Przyk lad 114 W turnieju pi lkarskim, w którym docelowo każda drużyna ma zagrać z każda bierze udzia l n zespo lów Uzasadnić, że w dowolnym momencie trwania turnieju znajda dwie drużyny, które rozegra ly do tego momentu te sama liczbe meczów

7 6 SEMESTR LETNI 2002/2003 Przyk lad 115 Pokazać, że jeżeli w trójka cie równobocznym o boku d lugości 4 umieścimy 17 punktów, to znajdziemy dwa, mie dzy którymi odleg lość nie przekracza 1 Przyk lad 116 Pokazać, że wśród n + 1 dowolnych liczb ca lkowitych znajda dwie, których różnica dzieli przez n Przyk lad 117 Pokazać, że dla dowolnego zbioru z lożonego z dzie ciu różnych liczb naturalnych mniejszych od 107 istnieja dwa roz la czne podzbiory, których elementy sumuja do tej samej liczby Przyk lad 118 Pokazać, że dla dowolnych n + 1 różnych dodatnich liczb ca lkowitych mniejszych ba dź równych 2n istnieja dwie, które sumuja do 2n + 1 Przyk lad 119 Każde dwa wierzcho lki sześcioka ta foremnego po la czono odcinkiem zielonym lub czerwonym Wykazać, że zosta l narysowany co najmniej jeden trójka t o bokach tego samego koloru Przyk lad 120 Pokazać, że dla dowolnych n + 1 różnych dodatnich liczb ca lkowitych mniejszych ba dź równych 2n istnieja dwie, które sa wzgle dnie pierwsze Przyk lad 122 Pokazać, że dla dowolnych n dodatnich liczb ca lkowitych istnieje podzbiór, którego suma liczb jest podzielna przez n

8 MATEMATYKA DYSKRETNA (MAT 182) 7 Zadanie 11 ZADANIA Udowodnić wprost, że jeżeli a i b sa nieparzystymi liczbami ca lkowitymi, to a + b jest parzysta liczba ca lkowita Zadanie 12 Udowodnić nie wprost, że jeżeli n 2 jest liczba nieparzysta, to n też jest liczba nieparzysta Zadanie 13 Jeżeli 41 kul wybrano z szufladki zawieraja cej kule czerwone, bia le, niebieskie, zielone i żó lte (zak ladamy, że w każdym kolorze jest wie cej kul niż wybieramy), to co najmniej 12 kul jest czerwonych lub co najmniej 15 kul jest bia lych, lub co najmniej 4 kule sa niebieskie, lub co najmniej 10 kul jest zielonych, lub co najmniej 4 kule sa żó lte Podać dowód tego faktu przez zaprzeczenie Zadanie 14 Udowodnić, że dla każdego naturalnego n 1 (a) n 2 = n(n + 1)(2n + 1) / 6 (b) (2n 1) 3 = n 2 (2n 2 1) (c) n (n + 1) (n + 2) = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) / 4 Zadanie 15 Udowodnić, że dla każdego naturalnego n 1 wyrażenie jest podzielne przez 133 Zadanie n n+1 Udowodnij, że dla każdego naturalnego n 17 Zadanie 17 2 n > n 4 Udowodnić, że dla każdego naturalnego n 9 n! > 4 n

9 8 SEMESTR LETNI 2002/2003 Zadanie 18 Udowodnić, że dla dowolnego rzeczywistego x > 1 i dla każdego naturalnego n 1 (1 + x) n 1 + nx Zadanie 19 Udowodnić, że suma n pierwszych wyrazów cia gu geometrycznego o pierwszym wyrazie a i o ilorazie q (q 1) równa jest a(1 q n ) 1 q Zadanie 110 Udowodnić, że jeżeli a 0 = 6, a 1 = 11 oraz dla n 2 a n = 3a n 1 2a n 2, to dla każdego naturalnego n: a n = 5 2 n + 1 Zadanie 111 Grupa 41 studentów zaliczy la sesje sk ladaja ca z trzech egzaminów, w których możliwymi ocenami by ly bdb, db i dst Wykazać, że co najmniej pie cioro studentów zaliczy lo sesje z jednakowym,,zbiorem ocen Zadanie 112 Grupa osób wita mie dzy soba (nie koniecznie każdy z każdym) przez podanie re ki Nikt nie wita z samym soba i żadna para osób nie wita wie cej niż jeden raz Pokazać, że po zakończonym powitaniu be da co najmniej dwie osoby, które podawa ly re ke te sama ilość razy Zadanie 113 Dany jest zbiór z lożony z dzie ciu liczb naturalnych, dwucyfrowych w rozwinie ciu dzie tnym Pokazać, że w tym zbiorze istnieja dwa niepuste podzbiory takie, że sumy liczb obu podzbiorów sa równe Zadanie 114 W każde pole szachownicy n n wpisujemy jedna z liczb: 1, 0, 1 Naste p- nie dodajemy do siebie liczby stoja ce w tym samym wierszu, w tej samej kolumnie i na tej samej, jednej z dwóch, przeka tnej Pokazać, że wśród otrzymanych sum co najmniej dwie sa równe