STATYSTYKA ZESTAW ZADAŃ

ZADAIA ROK 004v05R STATYSTYKA ZESTAW ZADAŃ dr Adam Sojda. Analza truktury jednowymarowego rozkładu emprycznego..... Badane wpółzależnośc w dwuwymarowym rozkładze emprycznym.... 8 3. Analza zeregów czaowych.... 4. Analza dynamk zjawk maowych.... 5. Rachunek prawdopodobeńtwa.... 4 6. Zmenne loowe ch podtawowe rozkłady teoretyczne.... 7 7. Teora etymacj.... 8. Tetowane hpotez tatytycznych.... 4 9. Twerdzena granczne.... 6 0. Dodatek zadana różne.... 7. Zagadnena teoretyczne... 9 WZORY... 35 Tablce... 37 Odpowedz do zadań.... 40 Zadana na ocenę dotateczny, plu dotateczny... 4 Zadana domowe... 48 Lteratura:. Sobczyk M.: Statytyka. Podtawy teoretyczne przykłady zadana. Wydawnctwo UMCS Lubln 998.. Otaewcz St., Runak Z., Sedlecka U.: Statytyka elementy teor zadana. Wydawnctwo AE we Wrocławu, Wrocław 997 3. Podgórk J.: Statytyka dla tudów lcencjackch. PWE Warzawa 00 4. Kayk-Rokcka H.: Statytyka zbór zadań. PWE, Warzawa 995 5. Bąk I., Markowcz I., Mojewcz M., Wawrzynak K.: Statytyka w zadanach. Część I tatytyka opowa. Wydawnctwo aukowo Technczne Warzawa 00 6. Zelaś A., Pawełek B., Wanat St.: Metody tatytyczne. Zadana prawdzany. PWE Warzawa 00

004 R. Analza truktury jednowymarowego rozkładu emprycznego. Zadane.. W czterooobowej rodzne średna meęczna płaca wyno 300 zł. Jake wynagrodzene otrzymuje mama, jeżel ojcec meęczne zaraba 500 zł, yn 300 zł, córka 00 zł? Zadane.. Czterech pracownków otrzymało premę. Prema perwzego była wyżza od średnej prem o 45 zł 40 grozy, drugego była wyżza o 5 zł 45 gr., trzecego była nżza od średnej o 35 zł 55 gr. Czy prema czwartego była wyżza, czy nżza od średnej o le. Zadane.3. W perwzej grupe 30 tudentów średna z zalczena wynoła 3.8 w drugej 4. w trzecej 3.9, przy czym grupy druga trzeca lczyły odpowedno 5 35 oób. Jaka jet średna dla wzytkch trzech grup razem wzętych? Zadane.4. W małej prywatnej frme zarobk pęcu zatrudnonych pracownków produkcyjnych wynoły po 500 zł, kerownk kęgowa dołal po 000 zł, natomat właśccel wypłacł obe 0 000 zł. Wyznacz średną płace w tej frme, le oób zaraba ponżej średnej. Zadane.5. Przedębortwo zatrudna 00 pracownków. Żaden z nch ne pracuje krócej nż 5 lat dłużej nż 0 lat. 0 pracownków ma taż pracy do 0 lat, 70 pracownków na taż do 5 lat. Jak taż ma najlcznejza grupa pracownków? Czy prawdą jet, że 50% załog ma taż ponżej 7 lat. Zadane.6. Zbadano 60 tudentów pod względem lczby neobecnośc na zajęcach. Żaden ze tudentów ne był węcej nż 5 razy neobecny a 5 razy neobecny był tylko jeden tudent. 0 tudentów było zawze obecnych, 30 ne było co najwyżej raz, 40 ne było co najwyżej dwa razy, 50 tudentów ne było co najwyżej 3 razy. a perwzy termn dopuzcza ę 75% tudentów, którzy mają najmnej neobecnośc. Wyznacz lczbę neobecnośc, która pozwala zdawać egzamn w perwzym termne. Średną lczbę neobecnośc oraz obzar typowy zmennośc. Zadane.7. Zbadano taż pracy w pewnym zakładze, dane przedtawono w natępującej tabel. Grupa wekowa Staż w latach Lczba pracownków ajtar 0 0 30 Średn 5 0 40 ajmłod 5 30 Przyjmuje ę, że należy zwolnć 5% pracownków, jako kryterum przyjęto taż pracy zwalnan ą pracowncy o najnżzym tażu pracy. Wyznacz taż pracy, do którego należy zwolnć pracownka. Zadane.8. Zbadano wpłaty w banku otrzymując natępujący rozkład wypłat: Welkość wpłaty w zł Funduz wpłat w zł. 00 00 500 00 500 7000 500 500 4500 Zweryfkuj hpotezę, że 5% oób wpłacło mnej nż 50 zł. Zadane.9. W pewnym meśce wojewódzkm dokonano klayfkacj urzędów pocztowych według lczby zatrudnonych pracownków. Okazało ę, że 6 urzędów zatrudna od do 5 dr Adam Sojda. STROA z 49 R

004 R oób, 8 urzędów od 5 do 8 oób oraz 0 urzędów od 8 do oób. Utalć lczbę pracownków potykaną w badanej populacj najczęścej. Zadane.0. Wydajność pracy pewnej grupy robotnków podana w ztukach wyprodukowanych podcza zmany kztałtuje ę natępująco: 8 5 4 3 7 9 7 0 7 7 8 5 6 7 7 7 7 6 4 5 6 6 9 0 9 0 8 Z powyżzych danych utworzyć zereg rozdzelcze punktowy przedzałowy ( o nterwale równym ) na ch podtawe określć średną arytmetyczną, domnantę kwartyle. Przy oblczanu przecętnych pozycyjnych wykorzytać równeż metodę grafczną. Zadane.. Cza rozwązana pewnego zadana (w mnutach) przez grupę 00 ucznów charakteryzuje ponżzy rozkład: Cza rozwązana zadana: 0- -4 4-6 6-8 8-0 0- -4 Lczba ucznów: 0 48 8 46 Wyznaczyć lczbowe grance obzaru zmennośc dla typowych jednotek badanej zborowośc. Zadane.. Zbadano 400 małżeńtw pod względem lczby dzec ( cecha X ) czau trwana małżeńtwa (cecha Y). Wedząc, że średna arytmetyczna wartośc kwadratów cechy Y wyno 09 oraz, y 0, (). Ocenć pod względem, której cechy badane małżeńtwa ą bardzej zróżncowane. Zadane.3. Wśród 00 tudentów zdających egzamn ze tatytyk 45 otrzymało wynk od 45 do 60 punktów. 50% tudentów otrzymało wynk ponżej 55 punktów. a podtawe powyżzych wynków ozacować lu tudentów zdało egzamn, jeżel wadomo, że zalczene było od 45 punktów wzwyż. Zadane.4. W pewnym klepe dokonano oberwacj welkośc zakupów dokonywanych przez pozczególnych klentów. Okazało ę, że każdy zakup był wyżzy od 4 zł, 5% ogółu zakupów ne przekraczało umy 50 zł, a 75% było nżze od 50 zł, na klenta. Jednocześne wadomo, że żaden zakup ne przekraczał umy 0 zł. Wyznaczyć pozycyjny wpółczynnk zmennośc. Zadane.5. W dwóch przedębortwach przeprowadzono badane robotnków pod względem tażu pracy w zakładze. Otrzymano natępujące dane: Przedębortwo I 4 lat V 0% Przedębortwo II 0 lat V 5% Oblczyć, V dla całej zborowośc pracownków wedząc, że lczba robotnków w przedębortwe I wynoła 0 oób a w drugm 80 oób. Zadane.6. Stu pracownków pewnego przedębortwa (70 mężczyzn 30 kobet) zbadano pod względem weku, otrzymując natępujące nformacje: mężczyźn: 40 lat, D35 lat A S + 0.5 kobety: 30 lat, D33 lata A S - 0.5 Oblczyć, V dla całej zborowośc 00 pracownków. dr Adam Sojda. STROA 3 z 49 R

004 R Zadane.7. Powzechny Sp Ludnośc w Polce z 970 r. wykazał natępujący rozkład żonatych mężczyzn według weku: Lczba mężczyzn w mln 0.4.6.0.4. 0.9 Wek w latach 5-5 5-35 35 45 45-55 55-65 65 węcej Analogczny rozkład żonatych mężczyzn według weku otrzymany za Spu Powzechnego w 93 roku charakteryzują natępujące charakterytyk: 4.8 lat, D 33.8 lat, Me 4 lat, 74.. Dokonać porównawczej analzy truktury rozkładu obu grup mężczyzn według weku. Zadane.8. Dokonać analzy porównawczej rozkładu weku tudentów tudów dzennych zaocznych mając natępujące dane: tuda dzenne: D 9 lat, 0 lat, V 0% tuda weczorowe: M e D 5 lat, lata Zadane.9. W dwóch grupach pracownków lczących po 00 oób, każda, zbadano przecętne meęczne wydatk na paperoy. Otrzymano natępujące dane: grupa I: M e 800 zł. V Q 4% Q 500 zł grupa II: Q 3 300 zł V Q 5% M e 300 zł. Porównać względną bezwzględną dyperję wydatków w obu grupach. Porównać łę kerunek aymetr. Wkazówka: dyperja względna porównać wpółczynnk zmennośc; dyperja bezwzględna porównać odchylena ćwartkowe. Zadane.0. Badano w zakładze taż zatrudnonych pracownków. Całą połeczność podzelono na dwe grupy pracownków: umyłowych fzycznych. Pracownków umyłowych było 50 a fzycznych 4 razy tyle, co umyłowych. Średn taż pracy pracownków umyłowych wynół 0 lat, a fzycznych 0. Odchylene tandardowe dla taży pracownków fzycznych wyno 4 lata, a dla umyłowych 5 lat. Oblczyć średn taż pracy odchylene tandardowe dla ogółu pracownków. Zadane.. Badając wzrot mężczyzn, którzy zgłol ę na komję poborową w dwóch wybranych mejcowoścach, otrzymano natępujące wartośc nektórych parametrów: Wartośc parametrów dla mejcowośc Charakterytyk opowe A B Średna arytmetyczna 7.0 - Domnanta - 75.0 Medana 74.0 - Typowy obzar zmennośc 66-78 - Wpółczynnk zmennośc ( w % ) - 4 Warancja - 49.0 a podtawe tych nformacj przeprowadź możlwe wzechtronną analzą porównawczą badanych zborowośc dla mejcowośc A B, oblczając brakujące parametry. Oblcz wpółczynnk zmennośc dla obu mejcowośc łączne, jeżel tounek lczebnośc wyno :3. Zadane.. Oblczyć średną prędkość amochodu, jeśl wadomo, że: ( Samochód jechał 30 mn z prędkoścą 00 km/godz. 45 mnut z prędkoścą 60 km/godz., ( Samochód jechał 50 km z prędkoścą 00 km/godz. 45 km z prędkoścą 60 km/godz. Jake średne należy zatoować w tych przypadkach dlaczego? dr Adam Sojda. STROA 4 z 49 R

004 R Zadane.3. Gętość zaludnena w dwóch pęćdzeęcotyęcznych matach wynoła: w perwzym 500 oób/km, w drugm 500 oób/km. Ile wynoła średna gętość zaludnena obu tych mat? Zadane.4. 50 amochodów mark XXX podano badanom pod względem oąganej prędkośc makymalnej. Wynk przedtawa tabela. Prędkość makymalna w km/h 30-40 40-50 50-60 60 70 Lczba amochodów 8 0 0 ( Zmerzyć welkość rodzaj aymetr toując mary klayczne pozycyjne. ( Porównać zmenność oąganej prędkośc makymalnej ze zmennoścą zużyca palwa wedząc, że zmenność zużyca palwa merzona wpółczynnkem zmennośc V S wyno 48%. Zadane.5. W przedębortwe A ma mejce natępujący rozkład płac: Płace z zł Funduz płac w zł 590 650 480 650 70 6800 70 770 00 770 830 6000 830 890 560 W przedębortwe B płaca przecętna wyno 75 zł, bezwzględne zróżncowane płac wyno ±99,50 zł. ajlcznejza grupa pracownków ma płacę 78,50 zł. Wpółczynnk aymetr płac wyno 0.3. W którym przedębortwe chcałbyś pracować w A czy B? Zadane.6. W wynku pu rolnego w jednej ze w otrzymano natępujący rozkład powerzchn gopodartw: Powerzchna gopodartwa w ha Łączna powerzchna gopodartw w klae Ponżej 4,5 3 5 3 5 88 5 0 05 Powyżej 0 45 Wadomo, że były 3 gopodartwa o powerzchn ponżej ha, a średna powerzchna gopodartw powyżej 0 ha wynoła 5 ha. Zweryfkuj hpotezę, że przecętna powerzchna gopodartwa ne przekracza 7 ha. Ile gopodartw lczy weś? Czy przeważają gopodartwa o powerzchn powyżej, czy też ponżej średnej? Zadane.7. W tat-banku badano rozkład zacąganych kredytów przedśwątecznych. Kredytów od 00 do 300 zł zacągnęto na kwotę 0 000 zł. Kredytów od 300 do 900 zł zacągnęto na kwotę 60 000 zł. Kredytów od 900 do 000 zł zacągnęto na kwotę 58 000 zł. Jaka jet średna kwota zacąganego kredytu, czy przeważają kredyty ponżej czy powyżej średnej? Jak jet lczba udzelonych kredytów? Zadane.8. W Stat-Banku zbadano rozkład wpłat na lokaty termnowe. Lokat od 00 do 400 zł założono na kwotę 00 000 zł. Lokat od 400 do 000 zł założono na kwotę 700 000 zł. Lokat od 000 do 000 zł założono na kwotę 750 000 zł. Jaka jet średna kwota założonej lokaty, czy przeważają lokaty ponżej czy powyżej średnej? Jak jet lczba założonych lokat? dr Adam Sojda. STROA 5 z 49 R

004 R Zadane.9 Zbadano wpłaty dokonywane w DDE Bank w cągu otatnego meąca. ajnżza wpłata wynoła 50 zł wpłat do 550 zł było na kwotę 7 500 zł, natomat wzytkch wpłat do kwoty 950 zł dokonano na kwotę 30 000 zł. wpłat powyżej 350 zł było na kwotę 77 500 zł. Wartość wzytkch wpłat to 495 000 zł., przy czym najwyżza wpłata była na kwotę 750 zł. Określ jaka była średna wpłata, jaką kwotę wpłacano najczęścej, czy przeważają wpłaty powyżej, czy ponżej średnej. Czy prawdą jet, że 75% wpłat dokonano do kwoty 30 zł. Zadane.30 Przygotowana przed Olmpadą obejmowały trzy zgrupowana. a perwzym z nch zawodnk uzykał wynk przedtawone w tabel ponżej. a drugm zgrupowanu powtarzał 50 razy erę kontrolną uzykał średn wynk punktów przy odchylenu tandardowym równym 3 punkty. a trzecm zgrupowanu poprawł rezultat średn wynk o 50%, przy nezmenonym odchylenu tandardowym powtórzenu er 00 razy. punkty n lość er 3 7 0 7 30 5 5 5 9 5 a potawe otrzymanych wynków określć, na którym zgrupowanu zawodnk otrzymywał regularnejze noty, prawdzć jak jet wpółczynnk zmennośc dla wzytkch er na wzytkch zgrupowanach. Dla perwzej er przeprowadzć analzę tatytyczną otrzymanych wynków. Zadane.3 a wykree kołowym pokazano rozkład zakładanych lokat w otatnm okree w pewnym Banku. a podtawe tych danych dokonaj analzy tatytycznej rozkładu lokat. Jak procent lokat założono od 550 zł do 050 zł. Ile lokat założono na kwotę powyżej 750 zł Zadane.3 W kolejnych kokach na koczn o punkce kontrukcyjnym K-0 koczek uzykał natępujące długośc koków:.5, 0.0, 9,5, 8.0, 3.0, 7.5, 0.5, 8.0, 7.5..5,.5, 0.0, 9.5. a podtawe tych wartośc przeprowadź analzę tatytyczną rozkładu długośc koków. Porównaj różnce w danych dla zeregu punktowego przedzałowego. dr Adam Sojda. STROA 6 z 49 R

004 R Zadane.33 W pewnym przedębortwe połowa pracownków zarabała powyżej 900 zł. 0% pracownków zarabało od 800 do 000 zł. Jak procent pracownków zarabał węcej nż 000 zł? Zadane.34 Badana wpływu reklamy na klenta donozą, że reklama dłużza nż 40 ekund ne odno zamerzonego kutku odtraza klenta. Jak procent reklam w pewnej tacj odtraza klentów jeśl wadomo, że co czwarta reklama trwa dłużej nż 35 ekund, a 0% reklam trwa od 30 do 40 ekund? Zadane.35 W pewnym przedębortwe zbadano jak kztałtuje ę średna lczba przerw na paperoa. Otrzymano natępujące wynk: Me Do przerw. Jak odetek pracownków robł od 8 do 0 przerw, jeśl najwękzy odetek (40%) pracownków robł od 0 do przerw, przy 0% pracownków robących od do 4 przerw? Zadane.36 Wartość środkowa zarobków 00 oobowej grupy pracownków ezonowych zatrudnanych w pewnym dużym gopodartwe rolnym meścła ę w przedzale 500 550, przy czym w tym przedzale zarabało 00 zatrudnonych wartość ta wynoła 50. Ilu pracownków zarabało mnej nż 500? Zadane.37 W półdzeln mezkanowej domnują mezkana o powerzchn 48 54 m tanową one 30% wzytkch mezkań. ajwęcej mezkań mało powerzchnę 50 m. 0% ma powerzchnę od 4 do 48 m. Jak odetek zajmują mezkana o powerzchn o 54 60m? Zadane.38 W pewnym przedębortwe co drug pracownk zaraba powyżej 00 zł, natomat co czwarty ponżej 900 zł. Ponżej 500 zł zaraba trzech na czterech pracownków. W oparcu o odpowedne mernk zbadaj rozkład płac w tym zakładze. Zadane.39 Dla 30 anketowanych o tygodnowe wydatk w upermarketach otrzymano natępujące dane: cztery ooby wydają mnej nż 00 zł, dzeęć mnej nż 00 zł, dwanaśce mnej nż 300 zł pętnaśce mnej nż 400 powyżej 500 zł wydaje 0 oób, ale żadna ze zbadanych ne wydała węcej nż 600 zł. Zbadaj aymetrę rozkładu wydatków wykorzytując dotępne mary. Zadane.40 Co drug pracownk dotał premę nżzą nż 500. Średna prema w tym zakładze wynoła 50. Jaką premę pownna dotać najlcznejza grupa pracownków. Zadane.4 a ogłozene o naborze do zkolnej drużyny kozykówk zgłoło ę 5 chętnych. Różnca wzrotu pomędzy średną domnantą była równa 0 cm na korzyść średnej. Warancja wzrotu wynoła 5 cm była najwyżza od trzech lat. Czy wękzość chętnych ma wzrot ponżej, czy powyżej średnej. Określ wpółczynnk aymetr. Czy trener może być zadowolony ze wzrotu zgłazającej ę grupy chętnych? Zadane.4 Zawodnk chcąc zakwalfkować ę na Olmpadę mu zykać średną w zawodach powyżej 300 punktów Rozkład wynków charakteryzował ę umarkowana aymetrą. ajczęścej zawodnk uzykwał 98 punktów, przy co drugm rezultace ponżej 96 punktów. Czy zawodnk zakwalfkował ę na Olmpadę? dr Adam Sojda. STROA 7 z 49 R

004 R. Badane wpółzależnośc w dwuwymarowym rozkładze emprycznym. Zadane.. Dla pewnej grupy gopodartw domowych zbadano roczne pożyce na oobę artykułów pożywczych ( w kg): mąk A tłuzczów B otrzymano natępujące wynk: Spożyce A 0 0 5 30 40 45 60 Spożyce B 0 5 35 30 45 50 60 Wyznaczyć prote regrej pożyca wymenonych artykułów metodą najmnejzych kwadratów. Oblczyć wpółczynnk korelacj mędzy tym zmennym. Zadane.. Dana jet tablca korelacyjna tażu pracy (Y) pracownków w pewnym zakładze oraz lczby pobranych przez nch pożyczek (X) z kay zapomogowo-pożyczkowej. Lczba Staż pracy w latach pożyczek 0 4 4-8 8-34 3-3 4 4 8 5 6-8 Porównać zmenność cechy X ze zmennoścą cechy Y. Oblczyć wpółczynnk korelacj mędzy tażem pracy pracownków a lczbą pobranych pożyczek. Wyznaczyć parametry regrej lnowej tażu pracy względem lczby pożyczek ocenć dokładność dopaowana danych do ln regrej. Zadane.3. W fabryce zbadano, jak kztałtuje ę średna wydajność pracownków w zależnośc od czau neprzerwanej pracy Cza pracy w godz. 3 4 5 6 7 Wydajność w zt./godz. 9 9 7 5 3 4 Określć rodzaj zależnośc korelacyjnej na podtawe wykreu rozrzutu oblczyć wpółczynnk korelacj. Ozacować, le ztuk na godzną może przecętne wyprodukować robotnk pracujący neprzerwane oem godzn. Zadane.4. Do produkcj wyrobu A zużywa ę urowec S. Dane dotyczące zużyca urowca welość produkcj w pozczególnych meącach przedtawa tabela. Meąc I II III IV V VI VII VIII IX X Welkość produkcj X 0,5,5 3 3,5 3 4 4,5 tyś. zt. Zużyce urowca Y 3,5,5 4 4 3,5 4 5 tony Zbadać zależność korelacyjną pomędzy welkoścą produkcj a zużycem urowca. Określ kerunek łę korelacj. Zakład zamerza wyprodukować,5 tyś zt. wyrobu, jaką średną lość zapaów mu zgromadzć? Jak będze średna welkość produkcj, przy wykorzytanu urowca na pozome 6 ton? dr Adam Sojda. STROA 8 z 49 R

004 R Zadane.5. Przeprowadzono analzę jakośc pracy 00 loowo wybranych pracownków pod względem długośc tażu pracy lośc wyprodukowanych wadlwych elementów na zmanę. Ilość Staż pracy w latach wyprodukowanych braków na zmanę 5 0 5 0-5 -4 5 5 4-6 5 0 5 6-8 0 5 Zbadać zależność korelacyjną pomędzy tażem pracy a loścą wyprodukowanych elementów wadlwych. Jak mu być taż pracownka, aby średna welkość braków przez nego produkowanych ne była wękza nż 3? Jaką lczbę braków produkuje pracownk o letnm tażu pracy. Zadane.6. Badając zależność pomędzy powerzchną użytkową mezkana ( w m ) a lczbą oób w gopodartwe rodznnym dla loowo wybranej grupy 5 mezkań otrzymano natępujące rezultaty: Ø średna lczba oób 3.6, odchylene tandardowe lczby oób.4; Ø średna powerzchna 50.7 m, odchylene tandardowe powerzchn 0.6 m ; Ø kowarancja powerzchn lczy oób wyno.. Gopodartwo rodznne pana Kowalkego lczy 4 ooby zajmuje powerzchnę 5.3 m. Czy pan Kowalk może być zadowolony ze wojego mezkana w tounku do badanej grupy, jeżel tak to w jakm przypadku. Zadane.7. Badając zależność korelacyjną pomędzy lczbą godzn pędzonych na oglądanu krekówek cecha X a lczbą godzn pośwęconych na oglądane Wadomośc cecha Y Bolek Lolek twerdzl, że cov(, y), 4,, y 4, y. Tola, przyjacółka chłopców jet zdana, że popełnl błąd. Kto ma rację dlaczego? Zadane.8. Royjcy uczen twerdzl, że równane regrej opujące zależność pomędzy lczbą kuponych karp cecha X, a lczbą otrzymanych prezentów cecha Y (dla odpowednch dodatnch wartośc cechy Y) wygląda natępująco: y + 0, a pozotałe parametry: cov (, y),, y 6. Śwęty Mkołaj ne zgada ę w tym wylczenam, kto ma racje dlaczego? Zadane.9. Tablca korelacyjna przedtawa zależność pomędzy welkoścą produkcj w 0 tyś zł, a koztam jednotkowym w tyś zł. Zbadać lnową zależność korelacyjną pomędzy welkoścą produkcj a koztam jednotkowym. Wyznaczyć równane regrej II rodzaju zależnośc koztów (Y) od welkośc produkcj (X). Mając dane 0, 4,, 4. Y Kozty produkcj 0 Welkość produkcj X 4 5 5 0 5 3 0 y dr Adam Sojda. STROA 9 z 49 R

004 R Zadane.0. W wynku pewnego badana tatytycznego otrzymano natępujące wynk: r 0, 5, (, y) 5, ( ) 0 cov, ( ). Oblcz e y, co można powedzeć o otrzymanych j wynkach? Zadane.. W wynku pewnego dośwadczena badano cechy X Y. Uzykane wynk znajdują ę w tabel. Określć zależność korelacyjną pomędzy tym zmennym. X \ Y 0 0 0,5 0,40 0,5 0,0 Zadane. Informacja o tope bezroboca w wybranych matach przedtawa zereg. Stopa,0,3 0,6 4,7 5,4 9,5 0,9 8,4 bezroboca % Lczba 34 85 06 606 757 4 oób Oblcz znterpretuj wpółczynnk korelacj lnowej Pearona mędzy badanym cecham. Zadane.3 Rozkład czau remontu obrabarek w pewnym zakładze przedtawa ę natępująco: Cza remontu 0 0 0 30 30 40 40 50 50 60 w dnach Lczba 0 30 50 40 0 obrabarek Określć łę kerunek korelacj mędzy czaem remontu a wekem obrabarek jeśl wadomo, że średn wek remontowanych obrabarek wynół 6 lat, a jego względna dyperja 30%. Wadomo, że wydłużene ekploatacj o I rok powoduje przedłużene czau remontu przecętne o dn. Jak jet cza remontu obrabarek 0-letnch? Zadane.4 Wyznaczyć równane regrej obrazujące zależność mędzy cecham Y X, jeśl: 30 + 0, 5y, ( y) 4, y 0, V ( ) 0%. Utalć łę kerunek zwązku pomędzy tym cecham. Zadane.5 Badając śwadomość wyboru kerunku tudów poddano tudentów tetom zwązanym z uzdolnenam matematycznym oraz humantycznym. Matematyczne pkt. 4 6 8 9 4 5 Humantyczne pkt. 6 5 3 8 4 6 9 Czy można uznać, czy wytępuje lna zależność mędzy wynkam tetów. Wykorzytać wpółczynnk rang Spearmana. Zadane.6 Mając natępujące dane: 0, y 6, a, 6. Oblczyć wpółczynnk determnacj r. y Zadane.7 Zależność mędzy powerzchną klepów X (w m ) welkoścą rocznego utargu Y (w tyś zł): y 0,085 +, 058, 9,787y +, 98. Wyznaczyć wpółczynnk korelacj. y dr Adam Sojda. STROA 0 z 49 R

004 R 3. Analza zeregów czaowych. Zadane 3. Produkcja pwa w Polce w latach 990 998 kztałtowała ę natępująco: Lata 990 99 99 993 994 995 996 997 998 Produkcja,3 3,6 4,,6 4, 5, 6,7 9,3,0 Ozacuj parametry lnowej funkcj trendu produkcj pwa. Oblcz odchylene tandardowe rezt. Jak kładnk zeregu czaowego charakteryzuje ta welkość? Podaj przewdywaną produkcję pwa w roku 00 oraz błąd tandardowy tej prognozy. Zadane 3. Dane o lczbe nadanych telegramów na 00 mezkańców w latach 990 997 przedtawa ę natępująco: Lata 990 99 99 993 994 995 996 997 Lczba 3 5 8 6 0 8 telegramów Ozacuj na podtawe powyżzych danych parametry lnowej funkcj trendu. Oblcz wpółczynnk determnacj. Wyznacz prognozę w którym roku lczba nadanych telegramów będze blka zeru podaj błąd tej prognozy. Zadane 3.3 Stan ec śwatłowodowej w pewnym meśce w latach 995 000 (tan na 3.) przedtawa zereg Lata 995 996 997 998 999 000 Długość 3, 35,5 37,6 39,3 4,4 46,7 ln w km Wyznaczyć równane trendu lnowego ozacować topeń jego dopaowana do danych emprycznych. Zarząd mata twerdz, że w roku 00 w meśce będze 56 km ln śwatłowodowej, przy zachowanu dotychczaowego tempa robót. Czy ą podtawy do tego aby werzyć w zapewnene władz mata. Zadane 3.4 Lczba ofert pacy w pozczególnych kwartałach z lat 995 998 kztałtowała ę natępująco: Lata Kwartały I II III IV 996 75 66 784 405 997 500 856 735 390 998 980 340 59 450 Oblczyć parametry trendu lnowego przy założenach: t,,3,... t 0 Podać nterpretację wpółczynnków równana. Wyznaczyć prognozę na I III kwartał w roku 000 dr Adam Sojda. STROA z 49 R

004 R 4. Analza dynamk zjawk maowych. Zadane 4.. Spożyce chleba w otatnch 5 latach (994-998) w województwe A kztałtowało ę natępująco: 00, 0, 90, 5, 40 w ty. ton. w województwe B relacja zman z roku na rok kztałtowała ę:.,.5, 0.9,.. W województwe C relacja zman w porównanu z rokem 994 kztałtowała ę:.,.8, 0.9,.3. atomat w województwe D relacja zman w porównanu z rokem 996 kztałtowała ę 0.8,.5,.4, 0.9 Oblcz porównaj średne tempo zman w województwach oraz wyznacz na jego podtawe pożyce chleba w roku 003, jeśl założymy, że w każdym z województw pożyce w roku 000 wynoło 5 ty. ton a średne tempo wzrotu pozotało nezmenone. Zadane 4.. Średne roczne tempo produkcj lodówek w pewnym zakładze w latach 898 99 wynoło 4 %. Wyznaczyć welkość produkcj lodówek w 99r., jeśl wadomo, że w 990 r. zakład ten wyprodukował ch 0 tyś. Sztuk. Zadane 4.3. Tabela podaje lość tudentów Poltechnk w latach 970-977 w tyś. Oblczyć średne roczne tempo wzrotu lczby tudentów w podanych latach. Rok 970 97 97 973 974 975 976 977 lość tud. 5 5,6 5,98 5, 5,7 6 6,3 6,5 Zadane 4.4. Agregatowy ndek dynamk lośc formuły Lapeyera wynół 90%, ndek cen zaś według formuły Paachego 30%. Ocenć zmany wartośc przedaży artykułów w dwóch badanych okreach. Zadane 4.5. Tabela przedtawa ceny oraz welkośc produkcj towarów A B w latach 890 344. Utalć dynamkę wzrotu łącznej wartośc wyrobów A B. Wyrób Produkcja Ceny 890 344 890 344 A 0 0 5 B 4 5 0,5 Zadane 4.6. Pewna półka kłada 3 rodzaje komputerów A, B, C, tabela przedtawa welkość produkcj pozczególnych komputerów w tyś. zt. oraz kozty jednotkowe produkcj w PL. Jak zmenły ę kozty produkowanych komputerów w porównywanych okreach? Jak wpływ na zmanę mała dynamka koztów, a jak dynamka lośc produkowanych komputerów? Wyrób Produkcja Kozty 994 995 994 995 A 0.8. 4 30 B.0.4 8 0 C.5.3 30 35 Zadane 4.7. Dyponujemy nformacjam o welkoścach przedaży badanej frmy w 997 998 roku. Wartość obrotów w ty. zł Zmana lośc przedaży Artykuł w roku 998 w 997 r. 998 r. tounku do 997 A 0 50 Wzrot o 5% B 00 00 Bez zman C 80 50 Spadek o 0% dr Adam Sojda. STROA z 49 R

004 R Dokonać analzy agregatowej wartośc obrotów, cen badanych artykułów lośc przedaży. Zadane 4.8. P Badając dynamkę przedaży w pewnej hurtown w latach 995-997 utalono, że: I q., p 0q 0 tyś. zł, a pozotałe nformacje były natępujące: Artykuły q 0 p p A 5.5 B 55.0 C?.00 Jak był wzrot wartośc przedaży w 997 r. w porównanu z 995 r. oraz wpływ dynamk lośc cen na zmanę wartośc przedaży? Zadane 4.9 Produkcja pewnej gałęz przemyłu ma wzronąć w cągu 5 lat o 85%. Zbadać jake pownno być średne roczne tempo wzrotu produkcj, Zadane 4.0 Jake jet średne tempo zman w pożycu karpa w latach 99 000, jeśl pożyce karpa w porównanu z rokem 997 wynoło odpowedno: wzrot o 0%, padek o 5%, padek o 4%, wzrot o 5%, wzrot o 5%, padek o 0%, padek o 4%, wzrot o 0%? Określć pozom pożyca karpa w 00 przy zachowanu średnego tempa wzrotu oraz pożycu w roku 000 na pozome 8 tyś ton. Wyznaczyć jake było pożyce karpa w badanych latach w tounku do roku 995. Zadane 4. Wyznacz wartość cechy X w roku 000, jeżel w roku 996 wynoła 50, a średne tempo wzrotu w latach 994-000 wynoło %. Zadane 4. Przyroty względne jednopodtawowe (rok 980 00) charakteryzujące dynamkę lczby zakładanych nowych półek (tan na 3.) były natępujące: Lata 985 990 99 993 994 995 Przyroty -7,7-34,5-44,5-37,4-45,6-34,5 względne [%] Znterpretować przyrot względny roku 99. Wyznaczyć ndeky jednopodtawowe, w których za rok bazowy przyjąć 990. Znterpretować ndek dla roku 995. O le zmenła ę lczba zakładanych półek w roku 994 w porównanu z rokem poprzednm. Ile było zakładanych półek w pozczególnych latach jeśl założyć dodatkowo, że w rok 99 założono 345 nowych półek. Zadane 4.3 Iloścowe pożyce kawy w latach 99-99 wzroło o 0%, a herbaty pozotało bez zman. Utalć średną dynamkę pożyca obu artykułów łączne, przy założenu, że obrót wartoścowy kawą w roku 99 był trzykrotne wękzy nż herbatą. dr Adam Sojda. STROA 3 z 49 R

004 R 5. Rachunek prawdopodobeńtwa. Zadane 5.. W 0-pętrowym domu jedze w wndze 6 oób. Zakładamy, że wzytke możlwe rozkłady wyjść z wndy pozczególnych paażerów na pętrach ą tak amo prawdopodobne. Oblczyć prawdopodobeńtwo, że każdy paażer wyądze na nnym pętrze. Zadane 5.. Z tal 5 kart wyjmujemy loowo 3 kart. Oblcz prawdopodobeńtwo, że wycągnemy dokładne 7 kart tego amego koloru. Zadane 5.3. Co jet bardzej prawdopodobne trafene zótk w DUŻEGO LOTKA, czy dzeątk w MULTI LOTKA. Zadane 5.4. Profeor tatytyk przed perwzym wykładem dla 00 oobowej grupy tudentów twerdza, że jeżel na al ne ma dwóch oób mających urodzny tego amego dna, to wzycy dotają zalczene mogą ść do domu. Dlaczego profeor w całej wojej nauczycelkej karerze an razu ne odwołał wykładu? Zadane 5.5. W zborze 00 monet jedna ma po obu tronach ame orły, pozotałe ą prawdłowe. W wynku pęcu rzutów loowo wybraną monetą otrzymalśmy pęć orłów. Oblcz prawdopodobeńtwo, że była to moneta z orłam po obu tronach. Zadane 5.6. Perwza lotera zawera n loów (n ), z których jeden wygrywa. Druga lotera zawera n loów, z których dwa wygrywają. W której z tych loter kupujący dwa loy ma wękzą zanę wygrana? Zadane 5.7. W magazyne znajdują ę żarówk wyprodukowane przez fabryk F F. Wadomo, że 60% całego zapau pochodz z fabryk F. W produkcj żarówek z F brak tanową %, zaś z F 3%. Wybrano loowo jedną żarówkę. oblczyć prawdopodobeńtwo, że jet ona wadlwa. Wybrana żarówka okazała ę wadlwa oblczyć prawdopodobeńtwo, że jet ona z fabryk F. Zadane 5.8. Zapotrzebowane przemyłu na czółenka tkacke pokrywane jet w 45% przez zakład Z, w 35% przez Z w 0% przez Z 3. Wadomo, że w produkcj Z brak tanową 0.8%, w Z.%, w Z 3.5%. Zakupone jedno czółenko okazało ę brakem. Oblcz prawdopodobeńtwo, że zotało ono wyprodukowane przez Z. Zadane 5.9. Trzy pekarne dotarczają do upermarketu peczywo w tounku loścowym 3:5:7. 3% peczywa z perwzej pekarn,.5% z drugej 4% z trzecej ma zakalec. Klent kupł peczywo okazało ę, że ma ono zakalec. Jake jet prawdopodobeńtwo, że pochodz ono z drugej pekarn? Zadane 5.0. dr Adam Sojda. STROA 4 z 49 R

004 R W er trzech prób Bernoullego prawdopodobeńtwo pojawena ę, co najmnej jednego ukceu wyno 7. Oblczy prawdopodobeńtwo wytąpena dokładne dwóch 8 ukceów w czterech próbach. Zadane 5.. Oblczyć prawdopodobeńtwo, że wybrany w poób loowy punkt kwadratu ; y :, y ; y : + y. {( ) } jet punktem leżącym na zewnątrz okręgu ( ) { } Zadane 5.. Loowo wybrano dwe dodatne lczby y take, że każda z nch ne jet wękza od. Znaleźć prawdopodobeńtwo tego, że loczyn y będze ne wękzy nż, a ch loraz y ne wękzy nż. Zadane 5.3. Oblczyć prawdopodobeńtwo, że przy rzuce trzema kotkam do gry wypadne przynajmnej jedna jedynka pod warunkem, że na każdej kotce wypadne nna lczba oczek. Zadane 5.4. Podcza tetowana nowego dzałka laerowego uzykano 8 zetrzeleń na 0 z prawdopodobeńtwem równym 0.3. Oblczyć prawdopodobeńtwo trafena w cel przy pojedynczym trzale. Zadane 5.5. Iloma kotkam ześcennym trzeba rzucać, aby z prawdopodobeńtwem wękzym od 0.5 można było oczekwać co najmnej jednej zótk? Zadane 5.6. W celu prawdzena czy tudenc ścągają na kolokwach przeprowadzono anketę. Chcąc wykluczyć przekłamana wymyślono natępujący poób anketowana. Badany otrzymywał dwe ześcenne kotk: jedną dwukolorową (cztery ścany czarne dwe bałe) drugą zwykłą. a początk badany rzucał dwukolorową kotką, jeśl wyrzucł czarną ścankę wtedy odpowadał na pytane: czy ścągał na kolokwum. Jeśl zaś wyrzucł bałą ścankę, to rzucał drugą odpowadał na pytane, czy wyrzucł parzytą lczbę oczek. Zakłada ę, że na oba pytana badany odpowadał zgodne z prawdą, bowem prowadzący badane ne wedzał, na jake pytane odpowadał badany. Po przeprowadzenu ankety wśród 00 tudentów otrzymano 50 odpowedz twerdzących. Ozacować procent tudentów, którzy ścągają. Zadane 5.7. Podcza wakacj odwedzłeś(łaś) tajemnczą wypę. Okazało ę, że ooby przebywające na wype mogą ę zarazć tajemnczą chorobą, która powoduje śmerć po opuzczenu wypy. Utalono, że 90% populacj zakażą ę tą chorobą. a wype dotępny jet tet do wykrywana zarażena. Tet ten daje wynk pozytywny u 80% chorych oraz u 0% zdrowych. Chcąc wyjechać z wypy wykonałeś(łaś) ten tet. Wynk okazał ę pozytywny. Czy powneneś zotać, czy też możez wyjechać z tej wypy? (Jak zmen ę twoja decyzja, jeżel wynk tetu dla oób zdrowych daje wynk pozytywny w 5%, a po wykonanu tetu otrzymałaś wynk negatywny). Zadane 5.8. a trzech kolejnych zmanach dokonuje ę przeglądu techncznego pośród 6 mazyn. Bez ponownego badana ne wadomo która z mazyn zotała poddana przeglądow. Oblczyć prawdopodobeńtwo, że w cągu trzech zman wzytke mazyny zotałyby poddane dr Adam Sojda. STROA 5 z 49 R

004 R przeglądow techncznemu, jeśl żadna ze zman ne przekazuje obe nformacj, którą mazynę przeglądała. Zadane 5.9. Chcąc uchronć penądze przed kradzeżą podróżny chowa je w różne mejca. Analogczne czyn nwetor dokonując dyweryfkacj portfela. Mając 6000 zł cztery różne możlwośc ch ulokowana. Prawdopodobeńtwo traty wzytkch penędzy w każdej z nch wyno q. Rozważyć różne pooby lokowana kaptału (6000 zł) w równych częścach przy wyborze: Jednego mejca (0; 6 000) Dwóch mejc (0; 3 000, 6 000) Trzech mejc (0; 000; 4 000; 6 000) Czterech mejc (0; 500; 3 000; 4 500; 6 000) Wyznaczyć prawdopodobeńtwo traty wzytkch penędzy dla wzytkch poobów rozlokowana penędzy. Wyznaczyć prawdopodobeńtwa traty połowy lub węcej penędzy dla wzytkch poobów lokowana penędzy. Zadane 5.0. Przed śwętam dzeęcu ucznów louje kartk z nazwkem koleg, dla którego zrobą prezent. Jake jet prawdopodobeńtwo, że przynajmnej jeden uczeń wylouje kartkę z włanym nazwkem? Wkazówka: korzytać ze wzoru Poncarégo: n n n n n P( A A... + An ) p p + p3... + ( ) pn 3 n, gdze 0 pn pn... p p, prawdopodobeńtwa wzytkch zdarzeń ą jednakowe równe p, prawdopodobeńtwo loczynu dwóch dowolnych zdarzeń jet jednakowe równe p, prawdopodobeńtwo loczynu dowolnych zdarzeń jet jednakowe równe Zadane 5.. Każdy z kamen do gry w domno jet podzelony na dwe częśc oznaczone pewna lczbą oczek od 0 do 6 uma oczek ne przekraczała domno kłada ę z 8 kamen. Z lu kamen kładałoby ę domno, gdyby makymalna uma oczek wynoła 0. Zadane 5.. Wykazać, że z warunku P ( A/ B) P( B/ A ), gdze A oznacza zdarzene przecwne do zdarzena A wynka nezależność zdarzeń A B. Zadane 5.3. Dany jet zbór funkcj f :{,,3,4,5,6,7 } {,,3,4,5,6,7 } loowo wybrana funkcja będze: mała trzyelementowy zbór wartośc, będze różnowartoścowa. p.. Oblcz prawdopodobeńtwo, że Zadane 5.4. Wyznacz najbardzej prawdopodobną lczbę ukceów w chemace Bernoullego. Zadane 5.5. Student zna 6 pytań, jake będą na zalczenu ze tatytyk. Aby zalczyć mu poprawne rozwązać trzy zadana z czterech. Wyznacz, le zadań mu umeć rozwązać tudent, aby zalczyć kolokwum z prawdopodobeńtwem wękzym nż 0.8. dr Adam Sojda. STROA 6 z 49 R

004 R 6. Zmenne loowe ch podtawowe rozkłady teoretyczne. Zadane 6.. Dana jet funkcja prawdopodobeńtwa zmennej loowej X. -5-0 3 8 p 0, 0, 0, 0, c 0, Wyznaczyć:. tałą c. wykre funkcj prawdopodobeńtwa jej htogram 3. dytrybuantę jej wykre 4. prawdopodobeńtwa: P ( X ), P ( X ), P ( X < 3) dwoma poobam: z danej funkcj prawdopodobeńtwa z wyznaczonej dytrybuanty znalezone prawdopodobeńtwo zlutrować na wykree. Zadane 6.. Wyznaczyć:. Wartość oczekwaną warancję zmennej loowej U 3X-Y. Wartość oczekwaną zmennej loowej U X Y jeżel zmenne ą nezależne oraz EX-3, EY4, D X0,5, D Y. Zadane 6.3. a drodze ruchu pocągów znajdują ę w znacznej odległośc od ebe 4 emafory, z których każdy (wobec znaczącej odległoś nezależne od nnych zezwala na przejazd z prawdopodobeńtwem p0.8. ech X oznacza lczbę emaforów zezwalających na przejazd poprzedzających perwze zatrzymane lub tację docelową. Znaleźć:. Funkcje prawdopodobeńtwa zmennej loowej X. Dytrybuantę zmennej loowej X P X < 3. Prawdopodobeńtwo ( ) Zadane 6.4. Zakładając, że tounek ocen bardzo dobrych, dobrych, dotatecznych, nedotatecznych z egzamnu ze tatytyk ma ę tak, jak :4:3:. Wyznaczyć dla określonej tak zmennej loowej X: funkcję prawdopodobeńtwa, jej wykre htogram dytrybuantę jej wykre prawdopodobeńtwo P ( X < 3.5), korzytając: z funkcj prawdopodobeńtwa z dytrybuanty, z zaznaczenem na wykree prawdopodobeńtwo P ( 3 X < 4.5), korzytając: z funkcj prawdopodobeńtwa z dytrybuanty, z zaznaczenem na wykree Zadane 6.5. W welu ytuacjach przyjmuje ę, że cza bezawaryjnej pracy danego urządzena jet λ zmenną loową cągłą o gętośc: f ( ) e dla 0 λ. 0 dla < 0 ech λ0 oblcz: dr Adam Sojda. STROA 7 z 49 R

004 R P co ono oznacza Dytrybuantę zmennej loowej X Otrzymane wynk z zlutrować za pomocą wykreu gętośc dytrybuanty Prawdopodobeńtwo ( 5 X 0) Zadane 6.6. Rzucamy 3 razy monetą. ech zmenna loowa X oznacza lość wyrzuconych orłów, jaka brakuje do. Określ rozkład prawdopodobeńtwa zmennej loowanej X, U X, U X-. wartośc przecętne EX, EU, EU kwantyl 0.3, u 0.3 medanę 0.5, u 0.5 warancję D X, D U, D U Zadane 6.7. ech zmenna loowa X ma rozkład o gętośc: ( ) Wyznaczyć tałą c, modę medanę. dla 0 c f. 0 poza tym Zadane 6.8. Zmenna loowa ma rozkład o gętośc: ( ) Oblczyć wartość przecętną warancję: zmennej loowej X zmennej loowej YX- ( ) 6 dla 0 < < f. 0 poza tym Zadane 6..9. Zmenna loowa X ma rozkład o gętośc f ( ) dytrybuantę oraz polczyć P ( X ) e 0 dla dla 0 < 0. Wyznaczyć jej Zadane 6.0. c n dla 0 π Dobrać tak tałą c by funkcja f ( ) była gętoścą a 0 poza tym natępne: wyznaczyć jej dytrybuantę oraz oblczyć P X π znterpretować za 3 pomocą wykreu gętośc dytrybuanty Zadane 6.. Zmenna loowa X ma rozkład o gętośc f ( ). azkcować wykre gętośc. Wyznaczyć nazkcować dytrybuantę tego rozkładu 0 dla dla poza tym 0 < < dr Adam Sojda. STROA 8 z 49 R

004 R 3. Oblczyć prawdopodobeńtwo zdarzena A, że w dwóch nezależnych dośwadczenach, co najmnej raz zmenna loowa X przyjme wartość z przedzału,). Zadane 6.. Wyznaczyć tałą a, tak aby funkcja F( ) 0 < < a > a była dytrybuantą zmennej loowej X typu cągłego. Oblczyć ( X.5) znterpretować je za pomocą wykreu gętośc. Zadane 6.3. dr Adam Sojda. STROA 9 z 49 R dla dla dla Zmenna loowa X ma rozkład o gętośc ( ) 3 ( ) P dla f 4. azkcować 0 poza tym wykre gętośc. Wyznaczyć: wartość przecętną, modę, medanę trzec moment centralny zmennej loowej X. Zadane 6.4. Automat produkuje kulk metalowe o średncach X (w cm). Średnca X jet zmenną loową o 5 dla 0.4 0.6 gętośc f ( ). 0 poza tym Wyznaczyć wartość przecętną, oczekwaną objętośc tych kulek. Zadane 6.5. Pocąg kolejk elektrycznej odjeżdżają ze tacj co 5 mnut. Zakładając, że rozkład czau przybyca paażera na tacje jet jednotajny, oblczyć wartość przecętną warancję czau oczekwana na pocąg. Zadane 6.6. Z pewnego przytanku autobuy odjeżdżają, co 0 mnut. Zakładamy, że rozkład czau przybyca paażera na przytanek jet jednotajny, oblczyć prawdopodobeńtwo, że paażer będze czekał, co najmnej 4 mnuty. Zadane 6.7. Zmenna loowa ma rozkład Cauchy ego o parametrach λ, µ, jeśl jej gętość określona jet λ wzorem: f ( ), gdze λ > 0. Wyznaczyć wartość przecętną tego rozkładu. π λ + µ ( ) Zadane 6.8. Wkręcamy do żyrandola dwe żarówk, których czay pracy określone ą rozkładem wykładnczym. Oczekwany cza pracy jednej żarówk wyno τ, a drugej τ > τ. Jake jet prawdopodobeńtwo, że żarówka o dłużzym średnm czae życa przepal ę wcześnej? Zadane 6.9. Zmenna loowa K ma funkcję prawdopodobeńtwa p P( K k) funkcję prawdopodobeńtwa zmennej U3K. k k λ λ e. Znaleźć k! Zadane 6.0. Ilość mezańców bloku ma rozkład Poona ze średną 3 ooby. Jake jet prawdopodobeńtwo, że w loowo wybranym mezkanu znajduje ę powyżej 3 oób?

004 R Zadane 6.. Średna lczba karp zjadanych przez jedną oobę przy śwątecznym tole jet równa, oblcz prawdopodobeńtwo, że na loowo wybrana ooba zje węcej nż trzy pół karpa, jeśl lczba karp zjadanych przez jedną oobę ma rozkład Poona. Zadane 6.. Kajerka w cągu godzny obługuje średno 5 oób. Przyjmując, że lczba oób obłużonych przez kajerkę w cągu godzny na rozkład Poona. Wyznacz prawdopodobeńtwo, że w cągu natępnej godzny kajerka obłuży węcej nż 4 ooby. Zadane 6.3. Automat produkuje nty. Średnce główek ą wartoścam zmennej loowej o rozkładze ( ;0. ) (w mm). Jake rozmary średncy z przedzału ( ε, + ε) można zagwarantować z prawdopodobeńtwem 0.95? Zadane 6.4. Jak procent produkcj zakładów obuwnczych pownno tanowć obuwe o rozmarach od 7 do 33 jeżel wadomo, że długość topy u dorołego człoweka jet zmenną loową o rozkładze (9;3). Zadane rozwązać poługując ę tablcam rozkładu (0,). Zadane 6.5. Wytrzymałość ln pochodzących produkcj maowej jet zmenną loową o rozkładze ( 000kg / cm ;50kg / cm ). Oblczyć jak procent ln ma wytrzymałość mnejzą od 900kg/cm. Zadane 6.6. Ilość zapałek w dużym pudełku zapałek jet zmenną loową o rozkładze normalnym z odchylenem tandardowym 4. Jaka jet średna lość zapałek w pudełkach, jeżel prawdopodobeńtwo, że w loowo wybranym pudełku będze węcej nż 05 wyno 0,0565. Zadane 6.7. Cza bezawaryjnej pracy pewnego urządzena ma rozkład wykładnczy o wartośc oczekwanej 5 godzn. Oblczyć:. medanę. prawdopodobeńtwo, że bezawaryjny cza pracy urządzena wyno co najmnej 5 godzn. Zadane 6.8. Cza śwecena chńkch ozdób chonkowych podlega rozkładow wykładnczemu. Jake jet prawdopodobeńtwo, że ozdoba będze śwecła dłużej nż 00 godzn, jeśl średn cza śwecena określony przez producenta jet równy 00 godzn? Zadane 6.9. Cza obług pojedynczego klenta przez kajerkę ma rozkład wykładnczy. Utalono, że obługa jednego klenta trwa średno przez dwe mnuty. Wyznacz prawdopodobeńtwo, że ooba, która to przed nam w tej kolejce będze obługwana krócej nż 3 mnuty? Zadane 6.30. Pewne urządzene kłada ę z dwóch elementów pracujących nezależne od ebe połączonych równolegle. Cza bezawaryjnej pracy ( w godz.) każdego z nch jet zmenną loowa o tym amym rozkładze wykładnczym o gętośc 0. 0.e dla > 0 f ( ). 0 poza tym dr Adam Sojda. STROA 0 z 49 R

004 R Oblczyć prawdopodobeńtwo, że urządzene będze dzałało przez 0 godzn. Zadane 6.3. Cza T ( w mn) pomędzy przybycem dwóch takówek na potój jet zmenną loową o > dytrybuance: ( ) ep t dla t 0 F t 3. 0 poza tym Oblczyć prawdopodobeńtwo, że cza oczekwana na natępną takówkę jet pomędzy a mnutam. Wyznaczyć gętość tego rozkładu, oblczyć ET D T. Zadane 6.3. Zmenna loowa ( Y) f (, y) ( + y ) X, ma funkcje gętośc określoną wzorem c 0 0 y 4 0 poza tym Wyznaczyć tałą c Oblczyć P ( < < 7 0 y < 0. 5) P( Z) Wyznaczyć funkcje rozkładów brzegowych Wyznaczyć funkcję dytrybuant dla rozkładów brzegowych e) Zbadać nezależność tochatyczną zmennych X Y. f) Zbadać zależność korelacyjną zmennych X Y. Zadane 6.33. Waga kury roołowej ma rozkład normalny (,5 kg;0,kg). Do pojemnka wchodz 0 ztuk, czy potrzebne jet dodatkowe ważene, jeśl norma unjna mów, że waga netto pojemnka z kuram pownna być 40 ± kg z prawdopodobeńtwem 0.90. Zadane 6.34 Waga kury roołowej ma rozkład normalny (,5 kg;0,kg). Z part lczącej 000 ztuk wybrano loowo dwe ztuk zważono je. Oblczyć prawdopodobeńtwo, że różnca wag będze wękza nż 0,5 kg. dr Adam Sojda. STROA z 49 R

004 R 7. Teora etymacj. Zadane 7.. Zakładając, że cza dojazdu (dojśc tudentów na uczelnę jet zgodny z rozkładem ( 30,0) (welkośc w mnutach) utalć prawdopodobeńtwa, że: średn cza dojazdu w 5-elementowej próbe loowej będze krótzy nż 0 mnut w grupe 6 wyloowanych tudentów średn cza przekroczy 40 mnut średn cza będze dłużzy od 8, a krótzy od 0 mnut dla każdej z dwu wyloowanych grup oddzelne. Zadane 7.. Zmenna loowa X ma w populacj rozkład ( m,30) znaleźć m wedząc, że P ( X < 80 ) 0. 695. podać wartość parametrów rozkładu średnej ze 00-elementowej próby pobranej z tej populacj. Zadane 7.3. Roczne wydatk na zakup kążek przez tudentów pewnej uczeln mają rozkład normalny o odchylenu tandardowym równym 300 zł. Jake jet prawdopodobeńtwo, że w wyloowanej 5-oobowej grupe tudentów średne roczne wydatk różnć ę będą od średnch wydatków w całej zborowośc tudentów tej uczeln o węcej nż 0 zł? Zadane 7.4. Waga jabłek przeznaczonych na eport ma rozkład normalny z odchylenem tandardowym równym 30 g. Zbadano 50 jabłek otrzymując średną wagę równa 50 g. Przy wpółczynnku ufnośc α 0. 95 wyznacz długość przedzału ufnośc pokrywającego neznaną średną oraz wyznacz dokładność ozacowana. Zadane 7.5. Wadomo, że cza potrzebny na rozwązane zadane ma rozkład (m;σ). Chcąc utalć średn cza potrzebny na rozwązane zadana ekperyment, polegający na loowym wybranu grupy tudentów merzono cza rozwązana zadana. Okazało ę, że w badanej 0 oobowej grupe średn cza wynół 50 mnut, a odchylene tandardowe 5 mnut. Ile wyno średn cza rozwązana zadana przy wpółczynnku ufnośc - α 0,97, jaka jet dokładność ozacowana.? Zadane 7.6. Badano zróżncowane czau potrzebnego na wykonane oprawy kążk w zakładze ntrolgatorkm. Loowo wybrano 0 zamóweń otrzymano, że średno cza potrzebny na oprawę kążk wynół 5 godzn przy czterogodznnej warancj. Zakładamy, że rozkład czau potrzebnego na oprawę jet rozkładem normalnym. Jak wynk uzykano, jeżel przyjęto wpółczynnk ufnośc - α 0,85? Zadane 7.7. Przy wprowadzanu na rynek nowej patylk odchudzającej przeprowadzono tety klnczne. Grupa 500 ochotnków o zblżonych warunkach przez meąc zażywała preparat toowała tą amą detę. Okazało ę, że odchylene tandardowe lośc zrzuconych klogramów w badanej grupe wynoło,5 kg. Zakładając, że rozkład lośc zrzuconych klogramów jet rozkładem normalnym wyznaczyć przedzał ufnośc dla odchylena tandardowego lośc zrzuconych klogramów oraz wyznaczyć dokładność ozacowana. Przyjąć wpółczynnk ufnośc 0,98. dr Adam Sojda. STROA z 49 R

004 R Zadane 7.8. Cza oczekwana na telefonczne połączene mędzymatowe jet zmenną loową o rozkładze normalnym. Dokonano 0 pomarów otrzymując średn cza 50 mnut, odchylene tandardowe S ( ) 5 mnut: przy wpółczynnku ufnośc 0. 95ozacować przedzałowo średn cza oczekwana na połączene; przyjmując, że na podtawe tej próby ozacowano już średn cza otrzymując przedzał ufnośc o długośc mnut, określć prawdopodobeńtwo z jakm tak przedzał obejmuje neznaną wartość średnego czau oczekwana na połączene. Zadane 7.9. Ilu tudentów należy wząć do próby, aby przy wpółczynnku ufnośc 0. 90 ozacować średn wynk ogółu tudentów tej uczeln w koku wzwyż za pomocą przedzału ufnośc o rozpętośc cm? Przyjąć odchylene tandardowe równe 5 cm. Zadane 7.0. Z prawdopodobeńtwem 0.95 ozacować jaka część młodzeży zkół średnch pal paperoy, jeśl w próbe lczącej 000 ucznów wybranych w loowanu nezależnym, 360 palło paperoy. Zadane 7.. Wybrano w poób loowy grupę 65 portowców pod względem czau pośwęconego na trenng w cągu określonego meąca, otrzymując: 70 godzn S( ) 0godzn: ozacować przedzałowo średn meęczny cza trenngu dla wzytkch portowców, przyjmując kolejno wpółczynnk ufnośc: 0. 90, 0. 95, 0. 99 ; porównać wynk uzaadnć różnce wykonać analogczne oblczena, zakładając, że próba lczyła tylko 7 oób; porównać obecne wynk z poprzednm. Ocenć wpływ lczebnośc próby na rozpętość przedzału ufnośc. Zadane 7.. Zakłada ę, że kwartalne wydatk na reklamę można uznać za cechę o rozkładze ( m,σ ). a podtawe zebranych danych ze 50 wydatków otrzymano 45 ty. zł 8 ty. zł. a pozome ufnośc 0.95 wyznaczyć przedzał ufnośc dla przecętnych kwartalnych wydatków na reklamę. dr Adam Sojda. STROA 3 z 49 R

004 R 8. Tetowane hpotez tatytycznych. Zadane 8.. Badano lość pewnego czynnka w pewnej ubtancj. a pozome totnośc 0,05 utalć jakemu rozkładow podlega wytępowane czynnka. Rozważyć rozkład wykładnczy, normalny, jednotajny Poona. Czy na podtawe htogramu można wkazać optymalną kolejność rozpatrywana typu rozkładu. Dane z oberwacj przedtawa tabela. Ilość czynnka 7-9 9- -3 3-5 5-7 7-9 9- -3 3-5 5-7 7-9 9-3 Lczebnośc 4 8 7 4 9 36 37 7 3 Zadane 8.. Badając trony mazynopu pod względem lczby popełnonych błędów czau przepywana, twerdzono, że w próbe loowej: średna lczba błędów popełnanych na jednej trone wynoła ; średn cza przepywana jednej trony wynół 5 mnut, warancja określająca zróżncowane tron pod względem czau przepywana wynoła 4. a podtawe nformacj należy zbadać (zakładając rozkład Poona normalny) czy bardzej prawdopodobne jet bezbłędne przepane trony, czy też przepane trony w czae krótzym od 0 mn ( e. 7 ). Zadane 8.3. Dla próby lczącej 8 gopodartw chłopkch, zacągających kredyt w pewnym oddzale BGŻ, zbadano pozom kwartalnych płat otrzymując: 63 zł oraz ˆ 44 zł. Dyrekcja banku twerdz, że ozacowana średna jet zbyt nka, gdyż w rzeczywtośc wyno 783 zł. a pozome totnośc 0.05 zbadać, czy różnca pomędzy wynkem badana a opną dyrekcj banku jet tatytyczne totna. Zadane 8.4. W pewnym mejcu arter komunkacyjnej ugerowano wybudowane retauracj z motelem. Rachunek koztów wykazał, że projektowany obekt będze rentowny, jeżel średno w cągu dna będze przejeżdżać obok nego 800 amochodów. Podjęto badana w tym zakree w wybranych loowo 5 dnach otrzymano: 790 amochodów oraz 50 amochodów. a pozome totnośc 0.05 zweryfkować odpowedną hpotezę. Zadane 8.5. Zakłada ę, że długość życa opon amochodowych ma rozkład ( m,σ ). Producent twerdz, że wartość przecętna tej charakterytyk jet równa 50 ty. km. a podtawe 40 loowo wybranych opon otrzymano 45 ty. 8 ty. km. Czy na pozome totnośc α 0.05 można uznać, że producent ma rację? Zadane 8.6. Cza oczekwana na frytk pownen meć rozkład ( 0,). Zbadano cza oczekwana w przypadku 5 zamóweń otrzymano średn cza równy mnut. a pozome totnośc 0.05 zweryfkować hpotezę, że cza oczekwana różn ę od zakładanego. dr Adam Sojda. STROA 4 z 49 R

004 R Zadane 8.7. Marek Wacek hodują żaby. Marek twerdz, że długość koku można opać rozkładem ( 5 cm; cm). Wacek twerdz, że jet ona totne nżza. Zbadal on 0 koków otrzymując wynk 4cm, cm. a pozome totnośc α0.0 roztrzygnąć, kto ma rację. Zadane 8.8. Marek Wacek hodują żaby. Marek twerdz, że długość koku można opać rozkładem ( 5 cm; 3cm). Wacek twerdz, że jet ona totne wyżza. Zbadal on 0 koków otrzymując wynk 7cm, cm. a pozome totnośc α0.0 roztrzygnąć, kto ma rację. Zadane 8.9. Marek Wacek hodują gołębe. Marek twerdz, że prędkość lotu można opać rozkładem ( 5km h ;σ ). Wacek twerdz, że jet totne nżza. Zbadal on prędkość lotu w 7 przypadkach otrzymując wynk 4 km h, km h. a pozome totnośc α0.0 roztrzygnąć, kto ma rację. Zadane 8.0. Marek Wacek hodują gołębe. Marek twerdz, że prędkość lotu można opać rozkładem ( 5km h ;σ ). Wacek twerdz, że jet totne wyżza. Zbadal on prędkość lotu w 7 przypadkach otrzymując wynk 6. 5 km h, km h.. a pozome totnośc α0.0 roztrzygnąć, kto ma rację. Zadane 8.. Marek Wacek hodują żaby. Marek twerdz, że długość koku można opać rozkładem ( 5cm;σ ). Wacek twerdz, że jet ona totne nżza. Zbadal on 0 koków otrzymując wynk 4cm, cm. a pozome totnośc α0.0 roztrzygnąć, kto ma rację. Zadane 8.. Marek Wacek hodują żaby. Marek twerdz, że długość koku można opać rozkładem ( 5cm;σ ). Wacek twerdz, że jet ona totne wyżza. Zbadal on 0 koków otrzymując wynk 7cm, cm. a pozome totnośc α0.0 roztrzygnąć, kto ma rację. dr Adam Sojda. STROA 5 z 49 R

004 R 9. Twerdzena granczne. Zadane 9.. Przeprowadzono badana dotyczące czytelnctwa twerdzono, że w cągu otatnego meąca 0% oób przeczytało co najmnej jedną kążkę. Wybrano loowo grupę 00 oób. Wyznacz prawdopodobeńtwo, że lczba oób, które ne przeczytały an jednej kążk w przecągu otatnego meąca ne jet wękza od 60. Zadane 9.. Prawdopodobeńtwo, że w czae T zepuje ę jeden komputer jet równe 0.05. Oblczyć prawdopodobeńtwo, że w czae T pośród 00 nezależne pracujących komputerów popuje ę od do 8, przy założenu, że komputery pują ę nezależne. Zadane 9.3. W central telefoncznej jet n ln dzałających nezależne. Prawdopodobeńtwo, że lna jet zajęta jet równe 0,. Jake pownno być n, aby prawdopodobeńtwo tego, że co najmnej 9 ln jet zajętych było ne mnejze nż 0.95? Zadane 9.4. ech X,!, X 00 będą nezależnym zmennym loowym o tym amym rozkładze f ( ) ( ) 00 dla 0 < <. Oblczyć prawdopodobeńtwo, że P 38 X 44. Zadane 9.5. W fabryce zapałek na oddzale pakowana potanowono zbadać lość pakowanych zapałek do paczek. Pobrano loowo próbę 57 paczek przelczono zawartośc zapałek. Średno w paczce było 98 zapałek. Dane dotarczone przez producenta pakowark wkazują, że rozkład lość pakowanych zapałek jet rozkładem normalnym z odchylenem tandardowym 3. Przyjmując wpółczynnk ufnośc - α 0,8, zbudować przedzał ufnośc dla neznanej średnej lośc pakowanych zapałek. dr Adam Sojda. STROA 6 z 49 R

004 R 0. Dodatek zadana różne. Zadane 0.. ezależne tatytyczne zmenne oraz y mają wartośc oczekwane µ µ y, natomat ch dyperje σ σ y. Znajdź wpółczynnk korelacj mędzy welkoścam u +y v y. Zadane 0.. Produkcja wkaźnków odbywa ę na trzech mazynach M, M, M3 tounek welkośc produkcj na ę odpowedno 4::5. Maa wyprodukowanych wkaźnków przez mazynę 5 kg; 0g. Różnca w mae produkowanych wkaźnków przez M ma rozkład normalny ( ) mazynę M ma rozkład ( 0 g; 40g), natomat przez M3 ma rozkład ( g; 5g) 0. Wkaźnk uważany jet za wybrakowany, jeżel jego maa różn ę od 5 kg o węcej nż 5g. Wybrany loowo wkaźnk okazał ę wybrakowany, jake jet prawdopodobeńtwo, że pochodz on z mazyny M. Zadane 0.3. Otateczna obróbka wrnka polega na wykonanu bardzo dokładnego zlfu końcowego. Dla zwękzena wydajnośc potanowono zakupć trzy terowane automatyczne obrabark. Perwza na obróbkę jednego wrnka potrzebuje jednej mnuty, druga trzech mnut, trzeca pęcu mnut. Dokładność zlfu perwzej jet zgodna z rozkładem ( 0 µ m; 40µ m) drugej ( 0 µ m; 0µ m) natomat trzecej ( 0 µ m; 5µ m). Wrnk uznany jet za wadlwy, jeśl jego powłoka jet zezlfowana ponżej 0 µm od wymaganej średncy (w nnym przypadku wrnk może być jezcze raz zlfowany). Podcza próbnego rozruchu obrabark pracowały przez jedną godznę. Wybrany loowo wrnk okazał ę wadlwy. Jake jet prawdopodobeńtwo, że pochodzł on z drugej obrabark? Zadane 0.4. Dla prawdłowego wypeku cateczek potrzeba jet, aby lość drożdży dotarczanych na pewną maę wyrobu była w grancach 0 do gram. W celu prawdzena poprawnośc dzałana trzech metod przeprowadzono erę prób. Perwzą metodą pobrano drożdże dzeęć razy z drugą pętnaśce, z trzecą dwadześca pęć. Określono, że metoda perwza daje gram z dokładnoścą do gram, druga z dokładnoścą do 3 gram, a trzeca z dokładnoścą do.5 gram. Wypek z wygranej loowo may drożdży okazał ę zły. Jake jet prawdopodobeńtwo, że drożdże pobrano perwzą metodą, jeśl założy ę, że rozkład wag w każdej z metod jet rozkładem normalnym z wartoścą oczekwana równą gram odchylenem tandardowym równym dokładnośc? Zadane 0.5. Zmenna loowa X ma rozkład określony za pomocą natępującej funkcj gętośc: 0.08 0.4 3;8 f ( ). Wyznacz pozycyjny wpółczynnk aymetr. 0 poza tym Zadane 0.6. Zmenna loowa X ma rozkład określony za pomocą natępującej funkcj gętośc: 0.5 4;6 f ( ). Wyznacz pozycyjny wpółczynnk zmennośc. 0 poza tym dr Adam Sojda. STROA 7 z 49 R