Rozdził 4 Elementy proksymcji i interpolcji funkcji 4.. Uwgiwstępne W tym rozdzile przedstwimy w sposób zwięzły podstwowe pojęci i metody teorii proksymcji i jej szczególnego przypdku, proksymcji interpolcyjnej, którą będziemy krótko nzywć interpolcją[4]. Aproksymcję, jk wiemy, wykorzystujemy kiedy dn funkcj m złożoną postć lub dn jest w postcidyskretnej,lubgdywogólejestnieznn,jktommiejsceprzyrozwiązywniu równń różniczkowych. W kżdym z tych przypdków poszukujemy innej, n ogół prostej funkcji, któr dobrze przybliż funkcję pierwotną. W zsdzie ogrniczymy się tylko do proksymcji wielominowej i to w tkim zkresie, który będzie nm potrzebny w nstępnych rozdziłch podręcznik. Wzory i równni wyprowdzimy w zpisie wskźnikowym orz w zpisie mcierzowym, wykorzystując opercje rchunku mcierzowego, zestwione w dodtku D. 4.2. Aproksymcjoptymln Zdnie proksymcji optymlnej w bzie jednominów poleg n dobrniu wielominu proksymcyjnego P m ()= m m + m m + + + 0 = m k k =p() (4.)
4.2. Aproksymcj optymln 5 gdzie: p=[... m ] mcierzjednowierszowjednominów, =[ 0... m ] T wektornieznnychprmetrówproksymcji, wtkisposób,byprzybliżłondnąfunkcjęf()wpewnymsensienjlepiej. Tk sformułowne zdnie może być rozwiązne jeśli ustlimy stopień wielominu m orz przyjmiemy kryterium, według którego będziemy ocenić jkość proksymcji. Przyjęcie określonego stopni m wielominu proksymcyjnego jest trudne, zleżne od wielu czynników, i może decydowć o jkości proksymcji. Kryteriów oceny proksymcji jest wiele, w podręczniku ogrniczymy się do metody njmniejszych kwdrtów, formułującej kryterium njczęściej wykorzystywne. W dlszym ciągu przedstwimy metodę njmniejszych kwdrtów dl tzw. proksymcji ciągłej i proksymcji punktowej. Aproksymcją ciągłą nzwiemy proksymcję funkcji f() określonej w pewnym przedzile, ntomist w proksymcji punktowej będziemy proksymowć dyskretny zbiór wrtości funkcjif(),dnychwtzw.węzłchproksymcji i,i=0,,2,...,n. f() f+e f-e P f b Rys.4.. Interpretcj grficzn twierdzeni Weierstrss W podręczniku njczęściej będziemy wykorzystywli funkcje proksymcyjne w postci wielominów lgebricznych(4.). Skuteczność tkiej proksymcji ciągłej wynik z twierdzeni Weierstrss.
52 Elementy proksymcji i interpolcji funkcji Twierdzenie (Weierstrss). Jeślif()jestfunkcjąokreślonąiciągłąwprzedzile[,b]idnejestε>0, towówczsistniejewielominp(),określonyw[,b],tkiże f() P() <ε dlkżdego [,b] Z twierdzeni tego wynik wżny wniosek, że zwsze możemy wyznczyć tki wielomin P(), który będzie wystrczjąco bliski dnej funkcji, rys. 4.. 4.3. Aproksymcjciągł Funkcję f() C[, b] proksymujemy w metodzie njmniejszych kwdrtówwielominemp m,stopninjwyżejm,wykorzystującwrunekminimlizcjibłęduεwsensienormyl 2 (ptrzdodteka) ε= f() P m () 0 = Podstwijąc(4.) do(4.2) otrzymmy funkcję b ( f() P m ()) 2d (4.2) ε( 0,,..., m )= b ( f() m k k) 2 d (4.3) któr po wprowdzeniu zpisu mcierzowego m postć ε()= b ( f() p()) 2d (4.3b) Nieznneprmetryproksymcji i, i=0,,...,m,obliczymyzwrunku koniecznego minimum ε Poniewż ε= b ( f() ε i =0 dlkżdegoi=0,,...,m (4.4) ) 2d 2 m b k b k f()d+ ( m k k) 2 d
4.3. Aproksymcj ciągł 53 to otrzymujemy ε b = 2 i i f()d+2 m b k i+k d (4.5) Wykorzystując(4.5) w(4.4) otrzymujemy tk zwny ukłd m + równń normlnych m b k i+k d= b i f()d i=0,,...,m (4.6) dlobliczeniniewidomych i,i=0,,...,m.sątorównniliniowe,które zwszemjąrozwiązniejednozncznepodwrunkiem,żef C[,b]i b. Odpowiednikiem równń(4.6) w zpisie mcierzowym jest równnie [ b p T ()p()d ] = b p T ()f()d (4.6b) Przykłd 4.. Obliczymy metodą njmniejszych kwdrtów proksymcję funkcjif()=sinπwprzedzile[0,]. Wielomin proksymcyjny przyjmiemy w formie P 2 ()= 2 2 + + 0 Wykorzystując(4.6) dostniemy ukłd równń 0 0 0 0 0 0 d+ 0 d+ 0 2 d+ 0 d+ 2 0 2 d+ 2 0 3 d+ 2 0 2 d= 3 d= 4 d= 0 0 0 sinπd sinπd 2 sinπd (4.7)
54 Elementy proksymcji i interpolcji funkcji lub stosując zpis mcierzowy(4.6b) [ 0 2 ] [ 2] b d= 2 sinπd (4.7b) Wykonując nkzne cłkowni otrzymmy ukłd równń którego rozwiązniem jest 0 + 2 + 3 2= 2 π 2 0+ 3 + 4 2= π 3 0+ 4 + 5 2= π2 4 π 3 0 = 2π2 20 π 3 0,050465 = 2 = 720 60π2 π 3 4,225 Wielomin proksymcyjny m postć Błąd proksymcji(4.3) wynosi ε= 0 P 2 ()= 4,225 2 +4,225 0,050465 ( sinπ+4,225 2 4,225+0,050465 ) 2 d=0,0 Zuwżmy, że elementy mcierzy ukłdu równń(4.7) obliczyć możn z ogólnego wzoru b i+k d= bi+k+ i+k+ i+k+ Tk obliczone elementy tworzą tzw. mcierz Hilbert, któr jest źle uwrunkown i przy jej obliczniu występuje duży błąd obcięci, co m znczenie przy rozwiązywniu dużego ukłdu równń. W dlszym ciągu uogólnimy wyprowdzone równni n przypdek proksymcji w innej przestrzeni funkcji bzowych niż przestrzeń jednominów. Wymg to jednkże podni dwóch definicji i jednego twierdzeni.
4.3. Aproksymcj ciągł 55 Definicj. Zbiórfunkcji{u 0,u,...,u m }nzwiemyliniowoniezleżnymw przedzile[,b],gdzieb>,jeśliwrunek c 0 u 0 ()+c u ()+ +c m u m ()=0 dlkżdego [,b] mmiejscetylkodlc 0 =c =...=c m =0.Wprzeciwnymprzypdkuzbiór funkcji jest liniowo zleżny. Definicj 2. Funkcją wgową w w przedzile[, b] nzwiemy dowolną nieujemną funkcję cłkowlną w tym przedzile. Funkcję wgową będziemy też nzywć funkcją testową i jej celem jest rozłożenie wgi(lub: wżności) proksymcji w różnych miejscch przedziłu[, b], co powinno poprwić jkość proksymcji. Twierdzenie 2. Jeśliu i jestwielominemstopnii,dlkżdegoi=0,,...,m,towówczs zbiórfunkcji{u 0,...,u m }jestliniowoniezleżnywprzedzile[,b],gdzie <b. Przyjmijmyterz,że{u 0,u,...,u m }jestzbioremfunkcjibzowychliniowo niezleżnychwprzedzile[,b]iwjestfunkcjąwgowąw[,b]orzf C[,b]. Prmetry i,i=0,,...,m,funkcjiproksymcyjnej P()= m k u k ()=p() (4.8) obliczymy minimlizując błąd z wgą w() ε( 0,,..., m )= który w zpisie mcierzowym m formę ε()= b b [ w() f() m 2d k u k ()] (4.9) [ 2d w() (f() p()] (4.9b) gdzie: p()=[u 0,u,...,u m ] mcierzjednowierszowfunkcjibzowych.
56 Elementy proksymcji i interpolcji funkcji Ukłd równń normlnych, otrzymny z wrunku koniecznego minimum ε, m postć nlogiczną do(4.6) b w()f()u i ()d= lub w postci mcierzowej [ b m b k ] b w()p T ()p()d= w()u k ()u i ()d dli=0,,...,m p T ()w()f()d (4.0) (4.0b) Przykłdmi funkcji bzowych p() są wielominy trygonometryczne, wielominy Legendre lub wielominy Czebyszew. Czytelników zinteresownych dlszymi studimi problemtyki proksymcji ciągłej odsyłmy do podręcznik z metod numerycznych[4, 6]. 4.4. Aproksymcjpunktow W proksymcji punktowej funkcj f() dn jest w formie dyskretnej wpostcizbioruwrtościfunkcjif=[f 0,f,...,f n ] T (gdzieoznczonof i f( i ))wwęzłchproksymcji=( 0,,..., n ). Wogólnymprzypdku,wielominproksymcyjnyP m ()możnwybrćw postci wielominu uogólnionego P m ()= m u m ()+ m u m ()+ + 0 u 0 ()= m = k u k ()=p() (4.) gdziep()jestmcierząjednowierszowąfunkcjibzowychu i (),i=0,,...,m, znnych i liniowo niezleżnych p()= [ u 0 (),u (),...,u m () ] Odpowiednikiem błędu ε(4.2) w metodzie njmniejszych kwdrtów jest terz błąd n [ ε= f(i ) P m ( i ) ] 2 n [ = f(i ) p( i ) ] 2 (4.2) i=0 i=0
4.4. Aproksymcj punktow 57 Wrunekkoniecznyminimumfunkcjiε( 0,,..., m )npiszemyodrzuwformie równni mcierzowego ε [ n =0: ] n p T ( i )p( i ) = p T ( i )f( i ) (4.3) i=0 i=0 Jest to liniowy ukłd równń normlnych, który m rozwiąznie jednoznczne podwrunkiem,że i j dli j,i,j=0,,...,n.przyjmującoznczeni mcierzy n A= p T ( i )p( i ) B= i=0 [ ] p T ( 0 )p T ( i )...p T ( n ) (4.4) równnie(4.3) możemy npisć w zwrtej formie A=BF (4.5) Podstwijącdo(4.)rozwiąznie=A BFotrzymmywzórnwielomin uogólniony P m ()=p()a BF=N()F (4.6) gdzie zdefiniowno mcierz jednowierszową funkcji N()=p()A B (4.7) Wewzorze(4.6)współczynnikmikombincjiliniowejfunkcjiN i (),i = 0,,...,msąobecnieznnewrtościfunkcjif( i ),zwrtewwektorzef. Poniewżzwyklefunkcjf()mjkiśsensfizyczny(nprzykłdjestto funkcj tempertury, przemieszczeni, nprężeni,...) to elementy wektor F nzyw się fizycznymi stopnimi swobody. Elementy zwrte w wektorze będziemy ntomist nzywć mtemtycznymi stopnimi swobody. W przypdku, kiedy wielomin proksymcyjny stopni m < n m postć P m ()= m k k (4.8) tzn. funkcje bzowe są jednominmi, ukłd równń normlnych w formie
58 Elementy proksymcji i interpolcji funkcji rozwiniętej jest n n n n n 0 0 i + i + 2 2 i + + m m i = f( i ) 0 i i=0 i=0 i=0 i=0 i=0 n 0 n i+ 2 n i+ 2 3 n n i+ + m m+ i = f( i ) i i=0 i=0 i=0 i=0 i=0 n 0 m n i + m+ n i + 2 m+2 n n i + + m 2m i = f( i ) m i i=0 i=0 i=0 i=0 i=0 (4.9) Również i w proksymcji punktowej możemy dl poprwy jkości rozwiązni wprowdzić funkcję wgową. Zostnie to pokzne w rozdzile siódmym, przy omwiniu metody bezelementowej Glerkin. Przykłd4.2. ObliczymyliniowywielominproksymcyjnyP ()= 0 + dldnychztb.4.. i 0 2 3 i 2 4 6 8 f( i ) 2 28 40 Tbel 4.. Dne do przykłdu 4.2 Wtymprzypdkun=3im=.Wykorzystujączpismcierzowyprmetry proksymcjizwrtewwektorze=[ 0 ] T obliczymyzrównni(4.5) (możn też skorzystć z ukłdu równń(4.9)). Odpowiednie wektory i mcierze mją postć p=[] A= 3 3 i i=0 i=0 3 3 i 2 i i=0 i=0 = [ 4 20 20 20 ]
4.4. Aproksymcj punktow 59 B=[p T ( 0 )p T ( )p T ( 2 )p T ( 3 )]= BF=B RównnieA=BFjestwformie [ 4 20 20 20 2 28 40 ][ 0 = imrozwiąznie 0 = 2,50i =6,55. Wielomin proksymcyjny wynosi ] [ 8 536 = [ 2 4 6 8 ] [ 8 536 P ()= 2,50+6,55 Wynik obliczeń przedstwiono grficznie n rys. 4.2. ] ] P () 60 40 f( ) i P () f( ) i 20 2 4 6 8 Rys.4.2. Wyniki obliczeń w przykłdzie 4.2 Przykłd4.3. ZstosujemyproksymcjękwdrtowąP 2 ()= 0 + + 2 2 dodnychztb.4.2 Obecnien=4im=2.Podobniejkwprzykłdzie4.2niewidomeprmetry proksymcji=[ 0 2 ] T obliczymykorzystjączrównnimcierzowego (4.5). Potrzebne do obliczeń wektory i mcierze mją postć p=[ 2 ]
60 Elementy proksymcji i interpolcji funkcji A= i 0 2 3 4 i 0 0,25 0,50 0,75,00 f( i ),0000,2840,6487 2,70 2,783 Tbel 4.2. Dne do przykłdu 4.3 4 4 4 i 2 i i=0 i=0 i=0 4 4 i 2 4 i 3 i i=0 i=0 i=0 4 2 4 i 3 4 i 4 i i=0 i=0 i=0 B=[p T ( 0 )...p T ( 4 )]= BF=B RównnieA=BFmpostć = 5 2,5,875 2,5,875,5625,875,5625,3828 0 0,25 0,50 0,75,00 0 0,0625 0,25 0,5625,00, 0000, 2840, 6487 2, 70 2, 783 5 2,5,875 2,5,875,5625,875,5625,3828 = 0 2 8, 7680 5, 454 4, 405 = 8, 7680 5, 454 4, 405 jegorozwiązniewynosi 0 =,0052, =0,864, 2 =0,8437. Wielomin proksymcyjny jest P 2 ()=,0052+0,864+0,8437 2 Nrys.4.3porównnowynikobliczeńzdnymiztb.4.2. Błąd 4 [f( i ) P 2 ( i )] 2 =2,76 0 4 i=0 jest njmniejszym błędem, jki możn uzyskć dl kwdrtowego wielominu proksymcyjnego.
4.5. Interpolcj 6 P 2() 3,0 2,0 f( ) i P () 2 f( ) i,0 0,25 0,50 0,75,00 4.5. Interpolcj Rys.4.3. Wyniki obliczeń w przykłdzie 4.3 4.5.. Interpolcj Lgrnge funkcji jednej zmiennej Interpolcj funkcji f() jest szczególnym przypdkiem proksymcji, którymmiejscedlm=n.wówczswwęzłchinterpolcji=[ 0... n ] wrtość funkcji interpolcyjnej P() jest dokłdnie równ funkcji interpolownejf(),rys.4.4 P () n f() P () n f( ) 0 n Rys.4.4. Interpolcj funkcji f()
62 Elementy proksymcji i interpolcji funkcji P n ( i )=f( i ) i=0,,...,n (4.20) Wzory i równni wprowdzone w punkcie 4.4 są oczywiście wżne również i dl interpolcji, po uwzględnieniu, że m = n. Prostszym jednkże sposobem jest bezpośrednie wykorzystnie wrunków(4.20). Jeśli funkcję interpolcyjną wybierzemy w postci wielominu uogólnionego(4.), to równni(4.20) przybierją postć p( i )=f i i=0,,...,n (4.2) lub w zpisie mcierzowym B T =F (4.2b) gdzie wykorzystno definicję(4.4) mcierzy B B T =[p T ( 0 )p T ( )...p T ( n )] T = orzwektorówif u 0 ( 0 ) u ( 0 )... u n ( 0 ) u 0 ( ) u ( )... u n ( ).... u 0 ( n ) u ( n )... u n ( n ) =[ 0... n ] T F=[f 0 f...f n ] T Podstwijącrozwiąznierównni(4.2b)=(B T ) Fdowielominuinterpolcyjnego(4.) otrzymmy P n ()=p()=p()(b T ) F=N()F (4.22) gdzie obecnie N() zwier funkcje liniowo niezleżne i tworzy nową bzę interpolcyjną N()=p()(B T ) =[N 0 ()N ()...N n ()] (4.23) z fizycznymi stopnimi swobody zwrtymi w wektorze F. Jeśli bzę p() przyjmiemy w postci jednominowej p()=[ 2... n ]
4.5. Interpolcj 63 to ukłd równń(4.2) przyjmuje postć 0 2 0... n 0 2... n..... n 2 n... n n 0. n = f 0 f. f n Pondto, bz N() jest wówczs tzw. bzą Lgrnge N()=[N n,0 ()N n, ()...N n,n ()] utworzoną z wielominów bzowych Lgrnge stopni n o postci ogólnej N n,i ()= j=n j=0 j i j i j = = ( 0)( )...( i )( i+ )...( n ) ( i 0 )( i )...( i i )( i i+ )...( i n ) (4.24) Nrys.4.5pokznowykresfunkcjiLgrnge N n,i (). N () n,i 0 i- i i+ n- n Rys.4.5.WykresfunkcjiLgrnge N n,i () Zinterpretcjiwzoru(4.22)orzwłsnościinterpolcjiLgrnge (N n,k ( i )= δ ki,gdzieδ ki jestdeltąkroneckerowłsnościδ ki =dlk=iorzδ ki =0 dlk i)wynikwżnrówność n N n,k ()= (4.25)
64 Elementy proksymcji i interpolcji funkcji wyrżjąc tzw. wrunek kompletności rzędu zerowego dl funkcji bzowych. Ogólnie, wrunek kompletności rzędu p jest postci n N n,k () p k =p, p=0,,...,n (4.25b) Jeśli funkcje bzowe spełniją wrunki kompletności do rzędu p to ozncz to, że przez ich kombincję liniową możn dokłdnie przedstwić dowolny wielomin lgebriczny ż do stopni p włącznie. W prktyce wrunki kompletności (zwłszcz njprostszy rzędu zerowego) wykorzystujemy do sprwdzeni poprwności wyników obliczeń funkcji bzowych Lgrnge. Błąd interpolcji Lgrnge wyrż wzór f() P n ()= f(n+) (ξ()) ( 0 )( )...( n ) (4.26) (n+)! gdzief C n+ [,b]iξ (,b). Przykłd 4.4. Wyprowdzić wzór n liniowy wielomin interpolcyjny Lgrnge P ()(n=). Dne: węzłyinterpolcji=( 0 ), wrtościfunkcjiinterpolownejwwęzłch:f=[f 0 f ] T. Wielomin interpolcyjny(4.22) m postć P ()=N 0 ()f 0 +N ()f =N()F Funkcje bzowe obliczymy njpierw z wzoru(4.23), gdzie [ ] p()=[] B T 0 = orz (B T ) = 0 [ 0 ] otrzymując N()=p()(B T ) =[] 0 [ 0 ] = [ ] 0 0 0 Ten sm wynik oczywiście otrzymmy wykorzystując wprost wzór(4.24). Przyjmując 0 =0orz =Lmmy N,0 ()= L N, ()= L (4.27)
4.5. Interpolcj 65 Powyższe funkcje spełniją wrunki kompletności rzędu zerowego i rzędu pierwszego poniewż N,k ()= L + L = orz N,k () k =( L ) 0+ L =0+= N rys. 4.6 pokzno wykresy liniowych funkcji bzowych Lgrnge (4.27). f() f( ) f 0 0 P () f() f( ) f 0 L N,0 ()=- L N, ()= L Rys.4.6. Liniow interpolcj Lgrnge Przykłd 4.5. Wyprowdzić wzór n kwdrtowy wielomin interpolcyjny Lgrnge P 2 ()(n=2). Dne: węzłyinterpolcji=( 0 2 ), wrtościfunkcjiinterpolownejwwęzłch:f=[f 0 f f 2 ] T. Wielomin interpolcyjny(4.22) jest w formie P 2 ()=N 0 ()f 0 +N ()f +N 2 ()f 2 =N()F (4.28)
66 Elementy proksymcji i interpolcji funkcji FunkcjebzoweN i (),i=0,,2znowumożnobliczyćzwzoru(4.23),co już jednk jest brdziej kłopotliwe(możn potrktowć to jko ćwiczenie), dltego skorzystmy od rzu z wzoru(4.24) otrzymując N 2,0 ()= ( )( 2 ) ( 0 )( 0 2 ) N 2, ()= ( 0)( 2 ) ( 0 )( 2 ) N 2,2 ()= ( 0)( ) ( 2 0 )( 2 ) N rys. 4.7 zilustrowno grficznie wzór(4.28). f() N 2,2 ()f 2 P ()= 2 N ()f 2 2,k k N 2,0 ()f 0 0 2 N 2, ()f Rys.4.7. Interpretcj grficzn kwdrtowego wielominu interpolcyjnego Przyjmując 0 =0orz = L 2 i 2=Ldostniemy N 2,0 ()= 2 L 2( L)( L 2 ) N 2, ()= 4 L 2(L ) (4.29) N 2,2 ()= 2 L 2( L 2 )
4.5. Interpolcj 67 N rys. 4.8 nrysowno kwdrtowe funkcje bzowe Lgrnge (4.29). f() f() P 2 () f 2 f 0 f 0 L L 2 2 2 2 L N 2,0 ()= 2(-L)(- ) L 2 4 N 2, ()= 2(L-) L 2 L N 2,2 ()= 2(- ) L 2 Rys.4.8. Kwdrtow interpolcj Lgrnge Przykłd 4.6. Wyprowdzić wzór interpolcyjny Lgrnge stopni drugiegoprzybliżjącyfunkcjęf()=,przyjmującwęzłyinterpolcji 0=2, =2,5i 2 =4. Wykorzystując wzory z przykłdu 4.5 obliczymy N 2,0 ()= ( 2,5)( 4) (2 2,5)(2 4) =2 6,5+0 N 2, ()= ( 2)( 4) (2,5 2)(2,5 4) = 3 ( 42 +24 32) N 2,2 ()= ( 2)( 2,5) (4 2)(4 2,5) = 3 (2 4,5+5)
68 Elementy proksymcji i interpolcji funkcji Wrtości funkcji f() w węzłch interpolcji wynoszą f 0 f( 0 )=f(2)= 2 =0,5 f f( )=f(2,5)= 2,5 =0,4 f 2 f( 2 )=f(4)= 4 =0,25 Wielomin interpolcyjny Lgrnge stopni drugiego m postć P 2 ()= 2 N 2,k ()f( k )=( 2 6,5+0) 0,5+ 3 ( 42 +24 32) 0,4+ Dlprzykłdu,P 2 (3)=0,325,f(3)= 3 =0,333. + 3 (2 4,5+5) 0,25=0,05 2 0,425+,5 Z powyższego przykłdu wynik, że obliczony wielomin interpolcyjny dobrzeprzybliżfunkcjęf()=.niezwszejednktkjest,cowidzimy rozwżjąc interpolcję pokzną n rys. 4.9. N rysunku tym funkcją interpolowną jest prost łmn A B C D E, funkcjmi interpolcyjnymi sąwielominystopnidrugiegop 2 (),czwrtegop 4 ()iósmegop 8 ().Jk widć,wprzypdkuwielominuinterpolcyjnegop 8 ()jkośćinterpolcjiw skrjnych przedziłch trudno uznć z zdowljącą: różnice pomiędzy f() ip 8 ()sąduże.tenefektpogrsznisięjkościinterpolcjiwielominmi wysokiego stopni w skrjnych przedziłch znny jest jko tzw. efekt Rungego. Dltego zzwyczj interpolcję funkcjmi wielominowymi ogrniczmy do wielominów niskiego stopni. Pewnym wyjściem jest zstosownie interpolcji sklejnej, któr jest złożon przedziłmi z wielominów niskiego stopni. Pokzno to n rys.4.9b, gdzie wielomin interpolcyjny jest złożony z czterech wielominów stopni drugiego. Tk ide interpolcji sklejnej jest wykorzystywn we współczesnych metodch komputerowych, n przykłd w metodzie elementów skończonych, przedstwionej w rozdzile szóstym. Innym problemem w stosowniu interpolcji Lgrnge jest to, że jest on klsyc 0,przezcorozumiemy,żewwęzłchinterpolcjispełnionyjesttylko wrunek zgodności wrtości funkcji interpolownej z funkcją interpolującą, ntomist nie m ciągłości w węzłch przynjmniej pierwszych pochodnych (punkty B, C i D n 4.9b). Ten wrunek spełni interpolcj Hermit, opisn wp.4.6.
4.5. Interpolcj 69 ) P 2 () P 8 () P 4 () b) P 2 () C A P 2 () B D E Rys.4.9. ) efekt Rungego, b) interpolcj sklejn 4.5.2. Interpolcj Lgrnge funkcji dwóch zmiennych Wielomin interpolcyjny Lgrnge dl funkcji f(, y) obliczć będziemy podobnie jk to miło miejsce przy interpolcji funkcji jednej zmiennej, pmiętjąc jednkże, że obecnie funkcje i mcierze funkcyjne zleżą od dwóch zmiennych(, y). Przepisując wzór(4.22) mmy P n (,y)=n(,y)f (4.30) gdzie mcierz funkcji bzowych Lgrnge wyrżon jest wzorem N(,y)=p(,y)(B T ) (4.3) Zstosownie powyższych wzorów zilustrujemy dwom przykłdmi interpolcji funkcji nd obszrem trójkątnym i prostokątnym. Przykłd 4.7. Wyprowdzić wzór interpolcyjny Lgrnge nd obszrem trójkątnym z trzem węzłmi. Dne: węzłyinterpolcji=(( i,y i )( j,y j )( k,y k )), wrtości funkcji interpolownej w węzłch: F=[f( i,y i ) f i f( j,y j ) f j f( k,y k ) f k ] T.
70 Elementy proksymcji i interpolcji funkcji N rys. 4.0 pokzno rozwżny trójkąt z numercją węzłów i współrzędnymi węzłów. y k ( k,y k ) A - powierzchni trójk¹t ( i,y i ) i A j ( j,y j ) Rys.4.0. Obszr trójkątny z trzem węzłmi Interpolcję funkcji możemy też wyrzić poprzez mtemtyczne stopnie swobodywykorzystującwzór(4.)(dlm=n),cozostłopokznenrys. 4.. Nleży zuwżyć, że numercj węzłów i, j, k jest przeciwn do ruchu wskzówek zegr. f(,y) f k P n ()= + 2 + 3 y = Ni f i + Nj f j + Nk fk f j f i k j y i Rys.4.. Interpolcj liniow funkcji f(, y) nd obszrem trójkątnym Korzystjąc w dlszym ciągu ze wzorów(4.30) i(4.3) npiszemy potrzebne wektory i mcierze. Mcierz jednowierszow jednominów p(,y)=[y]
4.5. Interpolcj 7 McierzB T ijejodwrotność (B T ) = 2A B T = i y i j y j k y k j y k k y j k y i i y k i y j j y i y j y k y k y i y i y j k j i k j i gdzieajestpowierzchniątrójkątlub2ajestwyzncznikiemmcierzyb T. Znk wyzncznik się zmieni, jeśli węzły zostną ponumerowne zgodnie z ruchem wskzówek zegr. Funkcje bzowe Lgrnge otrzymmy ze wzoru(4.3)(pomijjąc w dlszym ciągu pierwszy dolny indeks) N i (,y)= 2A [ jy k k y j +(y j y k )+( k j )y] N j (,y)= 2A [ ky i i y k +(y k y i )+( i k )y] N k (,y)= 2A [ iy j j y i +(y i y j )+( j i )y] (4.32) N N i (,y) i y k N k (,y) k N j (,y) k i i j j j Rys.4.2. Liniowe funkcje bzowe Lgrnge nd obszrem trójkątnym Funkcje te możemy również zpisć w zwrtej postci N i (,y)= 2A (α i+β i +γ i y) α i = j y k k y j β i =y j y k γ i = k j i j k (4.33)
72 Elementy proksymcji i interpolcji funkcji zezminąindeksówwgpermutcjipodstwoweji j k.funkcjebzowe (4.32)spełnijąoczywiściewrunekkompletności 3 k N k (,y)=.nrys. 4.2 pokzno wykresy funkcji bzowych(4.32). Wzór interpolcyjny Lgrnge przyjmuje formę P 2 (,y)=n i (,y)f i +N j (,y)f j +N k (,y)f k Przykłd 4.8. Wyprowdzić funkcje bzowe Lgrnge nd obszrem prostokątnym z czterem węzłmi. Dne: węzłyinterpolcji=((,y )( 2,y 2 )( 3,y 3 )( 4,y 4 )), wrtości funkcji interpolownej w węzłch: F=[f(,y ) f f( 2,y 2 ) f 2 f( 3,y 3 ) f 3 f( 4,y 4 ) f 4 ] T. Rozwżny obszr prostokątny jest pokzny n rys. 4.3. y (,y ) 4 4 4 3 (,y ) 3 3 2b (,y ) 2 2 (,y ) 2 2 Rys.4.3. Obszr prostokątny z czterem węzłmi Mcierz jednowierszową jednominów przyjmiemy w postci p(,y)=[yy] Możnbyłobyzmistbzowegoelementukwdrtowegoywybrć 2 lub y 2.Wybóryjestjednkpreferownyponiewżimplikujeto,żezleżność funkcji interpolcyjnych od i y jest podobn, tzn. że proksymcj jest tego smegotypuwtychkierunkch.pomimotego,żewmcierzyp(,y)występujeelementkwdrtowyytozminfunkcjibzowychwkierunkchiy (dlodpowiednioy=const.i=const.)jestliniow.ztegopowodutk interpolcj jest nzywn interpolcją dwuliniową. Funkcje bzowe interpolcji możn obliczyć w sposób nlogiczny jk to miło miejsce w przykłdzie 4.7. Łtwiej jednk jest skorzystć ze wzoru
4.5. Interpolcj 73 (4.24). Rozwżmy n przykłd węzeł n rys. 4.3. Funkcj bzow Lgrnge w kierunku jest nstępując ntomist w kierunku y jest L ()= 2 2 L (y)= y y 4 y y 4 FunkcjębzowąN (,y)obliczymyzewzoru N (,y)=l ()L 2 (y)= 2 2 y y 4 y y 4 = 4b ( 2)(y y 4 ) gdzie2= 2 = 3 4 i2b=y 4 y =y 3 y 2.Łtwosprwdzić,że wrunkiinterpolcjisąspełnione:n (,y )=in ( 2,y 2 )=N ( 3,y 3 )= N ( 4,y 4 )=0.Wyprowdzjącwtensposóbpozostłefunkcjebzoweotrzymmy cztery funkcje bzowe Lgrnge N (,y)= 4b ( 2)(y y 4 ) N 2 (,y)= 4b ( )(y y 3 ) N 3 (,y)= 4b ( 4)(y y 2 ) N 4 (,y)= 4b ( 3)(y y ) (4.34) N 4 4 3 y 2 Rys.4.4.DwuliniowfunkcjbzowLgrnge N 4 (,y)ndobszremprostokątnym
74 Elementy proksymcji i interpolcji funkcji Nrys.4.4pokznoprzykłdowowykresfunkcjiN 4 (,y).funkcjzmieni się liniowo dl linii równoległych do osi ukłdu współrzędnych. Obecność członuywp(,y)ozncz,żewkżdyminnymkierunkuzminfunkcjijest już nieliniow. Budow funkcji bzowych Lgrnge w obszrze dwuwymirowym jest zdniem trudnym, wymgjącym dużego doświdczeni. Pomijjąc fkt, że obszr w którym dokonujemy interpolcji może mieć złożoną geometrię, istotnym jest wybór odpowiedniej mcierzy p(, y). Korzyst się w tym przypdku z trójkąt Pscl, w którym jednominy są ułożone w sposób systemtyczny, rys. 4.5. Dl interpolcji jednowymirowej trójkąt Pscl degeneruje się do 2 y y 2 3 2 y y 2 y 3 4 3 y 2 y 2 y 3 y 4.................. Rys.4.5. Trójkąt Pscl,, 2, 3,...Jeśliwmcierzyp(,y)zwrtesąwszystkieczłonyokreślonego rzędu(z jednej linii trójkąt Pscl) to otrzymujemy w efekcie kompletny wielomin interpolcji. Często, z przyczyn uzsdnionych, konstruuje się wielominy niekompletne. Nie wchodząc w szczegóły powiemy tylko, że uzsdnioną przyczyną jest brk poprwy zbieżności interpolcji przy zwiększniu stopni wielominu. Wówczs pomijmy te człony, które są tego przyczyną (tzw. człony psożytnicze). y 4.6. InterpolcjHermite W zstosownich prktycznych, w których operuje się zbiormi o dużej liczbie punktów węzłowych, interpolcj Lgrnge z konieczności musi być stosown w wersji sklejnej bowiem, jk już o tym mówiliśmy, tylko w ten sposób możn uniknąć stosowni wielominów interpolcyjnych zbyt wysokiego stopni. Tk sklejon interpolcj nie zwsze jednk może sprostć
4.6. Interpolcj Hermite 75 wymgniom zstosowń, głównie z powodu występowni nieciągłości funkcji interpolcyjnejp n (),będącychkonsekwencjądokonnych sklejeń.tymczsem, wymgni dotyczące ciągłości nie tylko smej funkcji f() lecz tkże jej pochodnych do dnego rzędu m włącznie pojwiją się brdzo często i bywją brdzo istotne. Powstje więc uzsdnion potrzeb odpowiedniego uogólnieni koncepcji interpolcji Lgrnge. Tkie uogólnione wielominy mją tą włsność,żedldnychn+punktówwęzłowych 0,,..., n inieujemnychliczbcłkowitychm 0,m,...,m n,wielominemproksymującymfunkcję f() C m [,b],gdziem=m(m 0,m,...,m n )i i [,b],i=0,,...,n, jest wielomin stopni co njwyżej m M= m i +n i=0 zwłsnością,żewkżdympunkciewęzłowym i,i=0,,...,n,funkcjtijej wszystkiepochodnerzędumniejszegolubrównegom i,i=0,,...,nsąrówne funkcji f() i jej odpowiednim pochodnym. Stopień M wielominu wynik n stąd, że liczb wrunków, które muszą być spełnione wynosi m i +(n+) iwłśniewielominstopnimmm+współczynników. Powyższe stwierdzeni podsumujemy w definicji. Definicj 3.Niech 0,,..., n jestzbioremn+punktówwęzłowych wprzedzile[,b]im i sąnieujemnymiliczbmicłkowitymizwiąznymiz punktmi i,i=0,,...,n,orz m=m 0 i n m i i f() C m [,b] Wielominem uogólnionym, proksymującym funkcję f() jest wielominem P() co njmniej tkiego stopni, że d k P( i ) d k = dk f( i ) d k dlwszystkichi=0,,...,ni,,...,m i. Zuwżmy, że jeśli n = 0 to wielomin uogólniony jest wielominem Tylorstopnim 0 dlf()wpunkcie 0.Jeślim i =0dli=0,,...,n, to wielomin uogólniony jest wielominem interpolcyjnym f() w punktch 0,,..., n,tzn.jestwielominemlgrnge. i=0
76 Elementy proksymcji i interpolcji funkcji WielominuogólnionynzywsięwielominemHermite jeślim i = dlwszystkichi=0,,...,n.tkiwielominmtęwłsność,żewpunktchwęzłowych 0,,..., n wrtościfunkcjif()ip()iichpierwszych pochodnych są sobie równe. Postć wielominu Hermite jest określon dokłdniej przez poniższe twierdzenie. Twierdzenie 3. Jeślif C [,b]i 0,,..., n [,b]sąizolownymipunktmiwęzłowymi, to wielominem Hermite, co njmniej stopni zpewnijącego jego zgodność zfunkcjąfijejpochodnąf,jestwielominstopniconjwyżej2n+określony wzorem n n H 2n+ ()= f( j )H n,j ()+ f ( j )Ĥn,j() (4.35) j=0 j=0 gdzie funkcje bzowe interpolcji są równe [ ] H n,j ()= 2( j )N n,j ( j) Nn,j 2 () Ĥ n,j ()=( j )N 2 n,j() WpowyższymtwierdzeniuN n,j oznczfunkcjębzowąlgrnge stopnindlpunktuwęzłowego j orz( ) d d ( ). Dodtkowo,jeślif C 2n+2 [,b]tobłądinterpolcjihermite wynosi f() H 2n+ ()= ( 0) 2...( n ) 2 (2n+2)! f (2n+2)( ξ() ) (4.36) gdzieξ (,b). W dowodzie twierdzeni, którego nie będziemy przytczć, wykzuje się, że funkcjeh n,j iĥn,jspełnijąwrunki H n,j ( k )= { 0 j k j=k Ĥ n,j ( k )=0 dlkżdegok d d H n,j( k )=0 dlkżdegok { d 0 j k dĥn,j( k )= j=k co jest zilustrowne n rys. 4.6.
4.6. Interpolcj Hermite 77 H () n,j 0 j- j j+ n H () n,j 0 j- Nchylenie stycznej pod k¹tem 45 o j j+ n Rys.4.6. Funkcje bzowe interpolcji Hermite Przykłd 4.9. Wyprowdzić wzór interpolcyjny Hermite dl dwóch punktów węzłowych. Dne: węzłyinterpolcji( 0, ) wrtościfunkcjifwwęzłch:(f( 0 ) f 0,f( ) f ) wrtościpochodnychfunkcjifwwęzłch:(f ( 0 ) f 0,f ( ) f ) Wielomininterpolcyjnyjeststopni2n+=2 +=3impostć H 3 ()= H,j ()f j + Ĥ,j ()f j j=0 j=0 Funkcje bzowe wyznczymy obliczjąc kolejno N,0 ()= N,0 0 ()= 0 [ ]( ) 2=(2ξ+)(ξ ) 2 H,0 ()= 2( 0 ) 0 0 gdzieoznczonoξ=( 0 )/L,L= 0
78 Elementy proksymcji i interpolcji funkcji ( ) 2=Lξ(ξ ) 2 Ĥ,0 ()=( 0 ) 0 N, ()= 0 N,()= 0 0 [ ]( 0 ) 2=ξ H, ()= 2( ) 2 (3 2ξ) 0 0 ( 0 ) 2=Lξ Ĥ, ()=( ) 2 (ξ ) 0 f 0,f 0 ' H () 3 f,f ' 0 L H,0 () =45 o H,0 () H, () =45 o H, () Rys.4.7. Funkcje bzowe interpolcji Hermite Przyjmując 0 =0mmyL= iwzorynfunkcjebzoweinterpolcji Hermite są w postci
4.6. Interpolcj Hermite 79 ( ) 2+2 ( ) 3 Ĥ,0()=( H,0 ()= 3 L L ( ) 2 2 ( ) 3 H, ()=3 L L Ĥ,()= N rys. 4.7 pokzno wykresy tych funkcji. ) 2 L (( 2 L) L ) (4.37) Przykłd 4.0. Obliczyć wzorem interpolcyjnym Hermite f(, 5) dl dnychztbeli4.3. Wtymprzykłdzien=2iwielomininterpolcyjnyjeststopni2n+= 2 2+=5wyrżonywzorem 2 2 H 5 ()= H 2,j ()f j + Ĥ 2,j ()f j j=0 j=0 k k f( 0 ) f ( k ) 0,3 0,620-0,522,6 0,455-0,570 2,9 0,282-0,58 Tbel 4.3. Dne do przykłdu 4.0 Obliczmy kolejno N 2,0 ()= ( )( 2 ) ( 0 )( 0 2 ) =50 9 2 75 9 +52 9 N 2,0 ()=00 9 75 9 N 2, ()= ( 0)( 2 ) ( 0 )( 2 ) = 00 9 2 + 320 9 247 9 N 2,()= 200 9 +320 9
80 Elementy proksymcji i interpolcji funkcji N 2,2 ()= ( 0)( ) ( 2 0 )( 2 ) =50 9 2 45 9 +04 9 N 2,2()= 00 9 45 9 [ ]( 50 H 2,0 ()= 2(,3) ( 5) 9 2 75 ) 2= 9 +52 9 ( 50 (0 2) 9 2 75 ) 2 9 +52 9 H 2, ()= ( 00 9 2 + 320 ) 2 9 247 9 ( 50 H 2,2 ()=0 (2 ) 9 2 45 ) 2 9 +04 9 ( 50 Ĥ 2,0 ()=(,3) 9 2 75 ) 2 9 +52 9 Ĥ 2, ()=(,6) ( 00 9 2 + 320 ) 2 9 247 9 ( 50 Ĥ 2,2 ()=(,9) 9 2 45 ) 2 9 +04 9 H 5 ()=0,620H 2,0 ()+0,455H 2, ()+0,282H 2,2 () 0,522Ĥ2,0() 0,570Ĥ2,() 0,58Ĥ2,2() ( 4 ) ( 64 ) ( 5 ) ( 4 ) H 5 (,5)=0,620 +0,455 +0,282 0,522 27 8 8 405 0,570 ( 32 ) 0,58 ( 2 ) =0,52 405 405 Interpolcję Hermite możn też stosowć w wersji sklejnej. Funkcje interpolcyjne mogą być w ogólności sklejne z wielominów różnych stopni w podprzedziłch n jkie podzielimy przedził[, b] będący dziedziną funkcji f(). Szczegóły tkiej interpolcji funkcjmi sklejnymi(ng. spline interpoltion functions) możn znleźć w podręcznikch z metod numerycznych.