Właściwości sygnałów i splot. Krzysztof Patan

Właściwości sygnałów i splot Krzysztof Patan

Właściwości sygnałów Dla sygnału ciągłego x(t) można zdefiniować wielkości liczbowe charakteryzujące ten sygnał wartość średnia energia sygnału x sr = lim τ τ τ τ x(t)dt τ E x = lim x(t) dt τ τ moc sygnału P x = lim τ τ τ τ x(t) dt

znak wartości bezwzględnej jest istotny w przypadku sygnałów o wartościach zespolonych np, energia wydzielana na oporze τ E = lim u(t)i(t)dt = lim τ τ τ R τ τ τ u (t)dt = lim R i (t)dt τ jeśli R = Ω, to E = E x, zaś u(t) lub i(t) odgrywa rolę sygnału x(t) jest sygnałem o ograniczonej energii jeśli 0 < E x < x(t) jest sygnałem o ograniczonej mocy jeśli 0 < P x < prawdziwe są implikacje: τ E x (0, ) P x = 0, P x (0, ) E x = klasy sygnałów o ograniczonej energii i ograniczonej mocy są rozłączne; sygnał może należeć tylko do jednej z tych klas

Dla sygnału dyskretnego x[n] można zdefiniować wielkości liczbowe charakteryzujące ten sygnał wartość średnia energia sygnału moc sygnału x sr = lim N E x = lim P x = lim N N + N N n= N N + N n= N x[n] N n= N x[n] x[n]

Sygnał x(t) (x[n]) ma skończony czas trwania jeżeli przybiera wartości niezerowe w przedziale o skończonej długości Sygnały o skończonym czasie trwania sygnały impulsowe Sygnał x(t) (x[n]) na ograniczoną wartość (jest sygnałem ograniczonym) jeżeli istnieje taka stała M o skończonej wartości, że lub t (, + ) < n < + x(t) M x[n] M Uwaga! Każdy sygnał ograniczony o skończonym czasie trwania ma ograniczoną energię

Sygnały występujące w przyrodzie zawsze pochodzą ze źródeł o ograniczonej energii Sygnały o ograniczonej mocy nie mają fizycznych odpowiedników, ale są wygodnymi modelami teoretycznymi, zwłaszcza przy analizie sygnałów okresowych Nie można uzasadnić celowości stosowania sygnałów o nieskończonej mocy Sygnały o zerowej energii są mało interesujące i nie są stosowane nawet teoretycznie

Przykład Wyznaczyć wartość średnią, energię i moc sygnału x(t) = sin(t) + cos(t) + Wyznaczyć wartość średnią, energię i moc impulsu prostokątnego dla n 5 x[n] = 0 dla n > 5 Uwaga! Wykorzystać zależności: sin (x) = ( cos(x)) cos (x) = ( + cos(x)) sin(x) cos(x) = sin(x)

Proste przekształcenia sygnałów Przesunięcie w czasie przejście sygnału x(t) przez układ (oprócz innych zniekształceń) powoduje jego opóźnienie opóźnienie sygnału jest spowodowane występowaniem w układzie elementów magazynujących energię, np. indukcyjności i pojemności jeżeli przesunięcie czasowe T > 0 to opóźniona wersja sygnału x(t) jest równa x(t T ) rozpatruje się także wyprzedzanie sygnału x(t + T ) jest to operacja nierealizowalna w świecie fizycznym (możliwość przewidywania przyszłości) operację wyprzedzenia można zastosować w przypadku, gdy dysponuje się uprzednio zmierzonym sygnałem operacje opóźnienia dla sygnałów dyskretnych wyprowadza się w podobny sposób

Zmiana skali czasu załóżmy a > 0, sygnał x(at) jest przeskalowaną wersją x(t) gdy a > sygnał zostaje przyspieszony gdy a < sygnał zostaje spowolniony rozpatrzmy nagranie muzyczne ( ) t gdy x nagranie jest odtwarzane z prędkością dwukrotnie mniejszą gdy x(t) nagranie jest odtwarzane z prędkością dwukrotnie większą Inwersja czasu inwersja sygnału x(t) to sygnał x( t) inwersja czasu nie jest operacją realizowalną fizycznie dla nagrania muzycznego to proces odtwarzania nagrania do tyłu

Przykład Narysować sygnały x(t) = (t) + (t T ) + (t T ) 3 (t 3T ) x(t) = r(t) r(t a) gdzie r(t) = t dla t 0 3 x[n] = [n + ] + [n 4] 4 dany jest sygnał cos(t) dla π t π x(t) = 0 w innych przypadkach dokonać opóźnienia sygnału o 5 jednostek czasu, a następnie dokonać jego inwersji

Składowe sygnału sygnał x(t) (x[n]) ma symetrię parzystą jeśli x(t) = x( t) lub x[n] = x[ n] sygnał x(t) (x[n]) ma symetrię nieparzystą jeśli x(t) = x( t) lub x[n] = x[ n] każdy sygnał można zdekomponować na zmienną parzystą x p (t) i nieparzystą x n (t) x(t) + x( t) składowa parzysta x p (t) = x(t) x( t) składowa nieparzysta x n (t) = Przykład 3 Wyznaczyć składowe parzystą i nieparzystą sygnału sinusoidalnego

Sygnały okresowe Sygnały okresowe tworzą ważną klasę sygnałów Sygnał nazywa się okresowym o okresie T jeśli T > 0, t R x(t) = x(t + T ) W każdej chwili czasu t przesunięcie na osi czasu o okres lub jego wielokrotność nie zmienia wartości sygnału Liczbę T nazywa się okresem podstawowym sygnału

Własności sygnałów okresowych wartość średnia x sr = T T T x(t)dt lub x sr = T <T > x(t)dt Wartość średnia sygnału okresowego jest równa wartości średniej w jednym okresie T energia sygnału T E x = lim ne x(t ), E x (T ) = x(t) dt n T Jeżeli energia sygnału przypadająca na podedynczy okres E x (T ) jest różna od zera, to całkowita energia sygnału E x jest nieskończona

moc sygnału P x = T T t x(t) dt lub T <T > x(t) dt Moc średnia sygnału okresowego jest równa mocy średniej w jednym okresie T wartość skuteczna x sk = P x Wartość skuteczna jest często wykorzystywana w analizie obwodów elektrycznych

Dystrybucja Diraca (delta Diraca, impuls jednostkowy) Dystrybucja Diraca impuls o nieskończenie krótkim czasie trwania, nieskończonej amplitudzie i polu równym jedności Sygnał spełnia warunki δ(t) = 0 dla t 0 Stosując przesunięcie w czasie δ(t)dt = δ(t t 0 ) = 0 dla t t 0 δ(t t 0 )dt =

Właściwości dystrybucji Diraca kδ(t)dt = k 0δ(t) = 0 Całka dystrybucji Diraca x(t)δ(t t 0 ) = x(t 0 )δ(t t 0 ) t δ(τ)dτ = (t), czyli d (t) = δ(t) dt

Reprezentacja sygnału ciągłego Sygnał ciągły x(t) można zaproksymować za pomocą sumy przesuniętych przeskalowanych impulsów x(t) ˆx(t) 0 t ˆx(t) = x(k ), k < t < (k + )

impuls jednostkowy δ (t) δ (t) pole powierzchni = 0 t x(k )δ (t k ) x(k ) k (k+) t ˆx(t) = x(k )δ (t k ) w granicy, gdy 0 x(t) = x(τ)δ(t τ)dτ

δ(t) impuls jednostkowy impuls jednostkowy jest sygnałem, który podany na wejście dowolnego liniowego układu stacjonarnego powoduje wygenerowanie odpowiedzi równej odpowiedzi impulsowej tego układu: δ(t) h(t) = h(t) h(t) gdzie h(t) odpowiedź impulsowa

x(t) System ciągły δ (t) h (t) y(t) ˆx(t) = x(k )δ (t k ) ŷ(t) = x(k )h (t k ) k= k= Odpowiedź impulsowa δ(t) h(t) w granicy, gdy 0 x(t) = x(τ)δ(t τ)dτ y(t) = x(τ)h(t τ)dτ } {{ } splot

Operowanie splotem w czasie ciągłym h(τ) Przykład 4 odwróć y(t) = x(t) h(t) = h( τ) pomnóż x(τ)h(t τ) x(τ)h(t τ)dτ przesuń h(t τ) scałkuj x(τ)h(t τ)dτ x(t) * h(t) x(τ) 3 t - - h(t τ) t 3 τ t+ t+ τ

Przykład 4 cd Przedział x(τ) h(t τ) Wyjście t < 0 y(t) = 0 < t < 0 t+ y(t) = (t + ) 0 < t < t+ y(t) = < t < t+ t+ y(t) = (t ) t+ 3 t+ t > 0 y(t) = 0 Pytanie: Jak wygląda y(t) w całej dziedzinie?

Właściwości splotu w czasie ciągłym Przemienność: x(t) h(t) = h(t) x(t) Łączność: x(t) (v(t) w(t)) = (x(t) v(t)) w(t) 3 Rozdzielność względem dodawania: x(t) (v(t) + w(t)) = x(t) v(t) + x(t) w(t) 4 Przesunięcie w dziedzinie czasu: y(t t 0 ) = x(t t 0 ) h(t) = x(t) h(t t 0 ) 5 Splot z impulsem jednostkowym: x(t) = x(t) δ(t), x(t) δ(t t 0 ) = x(t t 0 )

6 Pochodna splotu: d dx(t) (x(t) v(t)) = v(t) dt dt założenia: (i) funkcja x(t) jest różniczkowalna, (ii) splot x(t) v(t) istnieje i jest różniczkowalny 7 Całka splotu: t x(τ) v(τ)dτ = t t x(τ)dτ v(τ) = x(τ) v(τ)dτ

Próbkowanie Sygnał dyskretny (spróbkowany) otrzymujemy z ciągłego (próbkowanego) poprzez próbkowanie Do próbkowania wykorzystuje się sygnał próbkujący Jako sygnału próbkującego wykorzystuje się sygnał impulsowy o okresie T s δts(t) = δ(t nt s ) () n= sygnał () nosi nazwę okresowego sygnału impulsowego lub sygnału grzebieniowego Sygnał spróbkowany ma postać x s (t) = x(t) δ(t nt s ) = x(t)δ(t nt s ) = x(nt s )δ(t nt s ) n= n= n= Sygnał spróbkowany jest równy zeru z wyjątkiem dyskretnych chwil czasowych, w których jest reprezentowany przez impulsy δ o polu równym x(nt s )

-.5 x(t).5.0 δ Ts (t).005 0.5 0 0.995-0.5 0.99 - -6-4 - 0 4 6 t 0.985-6 -4-0 4 6 t x s(t).5 0.5 x(t) x s (t) 0-0.5 δ Ts (t) - -.5-6 -4-0 4 6 t

Reprezentacja sygnału dyskretnego Sygnał dyskretny można reprezentować jako kombinację liniową przesuniętych sygnałów δ[n] - x[ ] x[0] x[] 0 x[] x[n] n x[] x[]δ[n ] x[0] x[0]δ[n] n 0 n - x[ ] x[] x[]δ[n ] n x[ ]δ[n+] n

Sposób formalny x[n] = +x[ ]δ[n+]+x[ ]δ[n+]+x[0]δ[n]+x[]δ[n ]+... czyli gdzie x[n] = x[k]δ[n k] k= x[k] współczynniki, δ[n k] sygnały bazowe

x[n] System dyskretny y[n] Załóżmy, że system jest liniowy Zdefiniujmy h k [n] jako odpowiedź na sygnał δ[n k] δ[n k] h k [n] Z zasady superpozycji otrzymujemy x[n] = x[k]δ[n k] y[n] = x[k]h k [n] k= k=

Odpowiedź impulsowa Załóżmy, że system jest liniowy i niezmienny w czasie δ[n] h[n] Z zasady niezmienności w czasie otrzymujemy Ostatecznie x[n] = k= δ[n k] h[n k] x[k]δ[n k] y[n] = x[k]h[n k] } k= {{ } splot

Operowanie splotem w czasie dyskretnym Interpretacja y[n] = x[n] h[n] = x[k]h[n k] k= δ[n] h[n] 0 n 0 n x[k]δ[n k] x[k]h[n k] k n k n sumujemy po wszystkich k

Przykład 5 x[n] h[n] 0 - n 0 - - n 0 h[n k] - - x[k] k - n k y[n] = 0, dla n < y[ ] = x[0]h[ ] = = y[0] = x[0]h[0] + x[]h[ ] = + 0 = y[] = x[0]h[] + x[]h[0] + x[]h[ ] = [ ] + 0 + [ ] = y[] = x[0]h[] + x[]h[] + x[]h[0] = [ ] + 0 [ ] + [ ] = 3 y[3] =x[]h[]+x[]h[] = 0 [ ]+[ ] [ ] = y[4] = x[]h[] = [ ] [ ] = y[n] = 0, dla n > 4

Schemat obliczeniowy splotu w czasie dyskretnym h[0] h[] h[] h[3] x[0] x[0]h[0] x[0]h[] x[0]h[] x[0]h[3] x[] x[]h[0] x[]h[] x[]h[] x[]h[3] x[] x[]h[0] x[]h[] x[]h[] x[]h[3] x[3] x[3]h[0] x[3]h[] x[3]h[] x[3]h[3]

Właściwości splotu w czasie dyskretnym Przemienność: x[n] h[n] = h[n] x[n] Łączność: x[n] (v[n] w[n]) = (x[n] v[n]) w[n] 3 Rozdzielność względem dodawania: x[n] (v[n] + w[n]) = x[n] v[n] + x[n] w[n] 4 Przesunięcie w dziedzinie czasu: y[n k] = x[n k] h[n] = x[n] h[n k] 5 Splot z impulsem jednostkowym: x[n] δ[n n 0 ]=x[n n 0 ] (x[n] δ[n]=x[n])

6 Sumator: y[n] = n k= x[k] jeśli x[n] = δ[n] to h[n] = n k= gdzie u[n] skok jednostkowy, czyli δ[k] = u[n] y[n] = x[n] h[n] = x[n] u[n] = 7 Odpowiedź na skok jednostkowy: s[n] = u[n] h[n] = h[n] u[n] = n k= n k= x[k] h[k]