Transformata Fouriera. Krzysztof Patan

Transkrypt

1 Transformata Fouriera Krzysztof Patan

2 Aproksymacja sygnałów Aproksymacja sygnału x(t) za pomocą rozwinięcia o skończonej długości polega na znalezieniu funkcji ˆx n (t) = c 1 x 1 (t) + + c k x k (t) + + c n x n (t) gdzie c i współczynniki rzeczywiste lub zespolone, x k (t) funkcje, np. ortogonalne < x i (t), x j (t) >= 0 Miara błędu ε = x(t) ˆx n (t) 2 = x(t) n c k x k (t) 2 k=1 Zadanie aproksymacji to poszukiwanie minimum miary błedu ε ze względu na dobór współczynników c k W przestrzeni L 2 (całkowalnej z kwadratem) współczynniki przybierają postać: c k = < x(t), x k(t) > x k (t) 2, k = 1, 2,..., n Szereg aproksymujący (*) nosi nazwę szeregu Fouriera ( )

3 Reprezentacja sygnału ciągłego szereg Fouriera Załóżmy, że x(t) to sygnał okresowy x(t) = x(t + T ) t Szukamy rozwinięcia w wykładniczy szereg Fouriera postaci x(t) = k= c k e jkω 0t = k= gdzie ω 0 = 2π T częstotliwość podstawowa c k współczynniki rozwinięcia T okres sygnału k = 0, k = 1, k = 2,... harmoniczne sygnału c k e jk2πt/t

4 Problem: Jak znaleźć współczynniki rozwinięcia? Odpowiedź czyli x(t) x(t)e jnω 0t T zauważmy, że x(t)e jnω0t dt = T pomnóż przez e jnω 0t x(t)e jnω 0t scałkuj po całym okresie T T x(t)e jnω 0t dt = k= T k= ( c k T e j(k n)ω 0t dt = c k e jkω 0t e jnω0t dt = ) e j(k n)ω0t dt { T, k = n 0, k n = T δ[k n]

5 ostatecznie x(t)e jnω0t dt = c k T δ[k n] T k= jeśli przedstawimy to dla konkretnego współczynnika k = n to x(t)e jkω0t dt = c k T c k = 1 x(t)e jkω0t dt T T T Szereg Fouriera dla sygnału ciągłego x(t) = c k e jkω 0t c k = 1 T k= T x(t)e jkω 0t dt synteza sygnału analiza sygnału

6 Postać trygonometryczna szeregu Fouriera Wzory Eulera cos(kω 0 t) = 1 ( e jkω 0t + e jkω0t) 2 sin(kω 0 t) = 1 ( e jkω 0t e jkω0t) 2j Po przekształceniach: c k e jkω 0t = c 0 + c k e jkω0t + c k e jkω 0t k= k=1 k=1 = c 0 + c k (cos(kω 0t)+j sin(kω 0t))+c k (cos(kω 0t) j sin(kω 0t)) k=1 = c 0 + a k cos(kω 0t) + jb k sin(kω 0t) k=1 gdzie a k = (c k + c k ), b k = j(c k c k )

7 Przykład 1 po zastosowaniu wzorów Eulera x(t) = 1 2 x(t) = cos(4πt) + 2 sin(8πt) (e j4πt + e j4πt) + 2 (e j8πt e j8πt) j2 czyli współczynniki ω 0 = 4π, T = 2π ω 0 = 1 2 c 0 = 0, c 1 = 1 2, c 2 = 1 j, c 1 = 1 2, c 2 = 1 j, c 3 = 0, c 3 = 0

8 Przykład 1 po zastosowaniu wzorów Eulera x(t) = 1 2 x(t) = cos(4πt) + 2 sin(8πt) (e j4πt + e j4πt) + 2 (e j8πt e j8πt) j2 czyli współczynniki ω 0 = 4π, T = 2π ω 0 = 1 2 c 0 = 0, c 1 = 1 2, c 2 = 1 j, c 1 = 1 2, c 2 = 1 j, c 3 = 0, c 3 = 0

9 Charakterystyki szeregu Fouriera Szereg Fouriera jest przekształceniem, które przyporządkowuje ciągłemu sygnałowi okresowemu x(t) sygnał dyskretny {c k, k = 0, ±1, ±2,... } Zespolony współczynik c k można przedstawić w postaci: c k = c k e jϕ k Widmo aplitudowe: zbiór { c k, k = 0, ±1, ±2,... } Widmo fazowe: zbiór {ϕ k, k = 0, ±1, ±2,... } Widmo dystrybucji mocy: zbiór { c k 2, k = 0, ±1, ±2,... }

10 Przykład 2 Okresowa fala prostokątna 1 x(t) dla k = 0 dla k 0 T -T/2 -T 1 0 T 1 T/2 c 0 = 1 T T/2 T/2 T x(t)dt = 2T 1 T t c k T/2 T1 = 1 x(t)e jkω0t dt = 1 e jkω0t dt T T/2 T T 1 = 1 T 1 jkω 0 T e jkω0t = sin(kω 0T 1 ) T 1 kπ

13 Przykład 2 cd Widmo okresowej fali prostokątnej

14 Efekt Gibbsa okresowa fala prostokątna wraz ze zwiększaniem liczby wyrazów maleje błąd aproksymacji, ale oscylacje wokół punktów nieciągłości pozostają stałe, zmienia się ich czas trwania (a) k = 1 (b) k = line 1 line line 1 line (c) k = 7 (d) k = line 1 line line 1 line DEMO: gibbs.m

15 Zbieżność szeregu Fouriera Funkcja x(t) aproksymowana jest przez funkcję ˆx(t) postaci ˆx(t) = c k e jkω0t k= ( ) błąd aproksymacji e(t) zadanie aproksymacji e(t) = x(t) ˆx(t) = x(t) 1 min e(t) 2 dt c k T T k= c k e jkω0t szereg aproksymacyjny ( ) zapewnia minimum błędu w sensie energii lub mocy sygnału błędu 1 lim e(t) 2 dt = 0 k 0T T

16 Warunki Dirichleta zbieżności szeregu Fouriera 1 funkcja x(t) jest bezwzględnie całkowalna na dowolnym przedziale o długości okresu T, tzn. T x(t) dt < 2 w każdym ograniczonym przedziale, x(t) ma skończoną liczbę maksimów i minimów o skończonej wartości 3 w każdym ograniczonym przedziale, x(t) ma skończoną liczbę nieciągłości Jeżeli warunki Dirichleta są spełnione to sygnał okresowy x(t) może być reprezentowany jako suma szeregu funkcji harmonicznych Warunki Dirichleta są spełnione dla większości sygnałów spotykanych w rzeczywistości

17 Przykłady sygnałów dla których warunki Dirichleta nie są spełnione 1 Sygnał x(t) o okresie T 0 = 1 zdefiniowany { 0 dla t = 0 x(t) = sin(2π/t) dla 0 < t 1 funkcja nie spełnia drugiego warunku Dirichleta 2 Sygnał x(t) o okresie T 0 = 1 zdefiniowany { 0 dla t = 0 x(t) = ( dla t 1 k 1 k+1, 1 k funkcja nie spełnia trzeciego warunku Dirichleta ], k = 1, 2,...

21 Właściwości szeregu Fouriera Liniowość: x(t) a k, y(t) b k αx(t) + βy(t) αa k + βb k Symetria (i) jeśli x(t) funkcja rzeczywista i parzysta to c k rzeczywista i parzysta funkcja zmiennej k (ii) jeśli x(t) funkcja rzeczywista i nieparzysta to c k urojona i nieparzysta funkcja zmiennej k Przesunięcie w dziedzinie czasu x(t) c k x(t t 0 ) c k e jkω 0t 0 = c k e jk2πt 0/T przesunięcie nie zmienia modułów współczynników, ale zmienia ich fazy o kω 0t 0

22 Równość Parsevala 1 x(t) 2 dt = T T }{{} średnia moc sygnału k= c k 2 }{{} moc k-tej harmonicznej Moc sygnału obliczamy jako sumę kwadratów modułów współczynników rozwinięcia w szereg Fouriera Równość Parsevala dostarcza informacji o rozkładzie mocy sygnału w funkcji częstotliwości Ćwiczenie. Obliczyć moc sygnału z przykładu 1

23 Reprezentacja sygnału dyskretnego szereg Fouriera x[n] sygnał okresowy z okresem N x[n] = x[n + N] ω 0 = 2π N za względu na okresowość: e jkω0n = e j(k+n)ω0n wystarczy wziąć N sygnałów:e j0ω0n, e j1ω0n,..., e jn 1ω0n czyli x[n] = k=<n> c k e jk(2π/n)n gdzie c k współczynniki rozwinięcia k = 0, k = 1, k = 2,... harmoniczne sygnału UWAGA: Szereg Fouriera dla sygnału dyskretnego jest skończony!

24 Problem: Jak znaleźć współczynniki rozwinięcia? Odpowiedź x[n] x[n]e jmω 0n czyli pomnóż przez e jmω 0n x[n]e jmω 0n sumuj po N kolejnych wyrazach n=<n> x[n]e jmω 0n n=<n> x[n]e jmω 0n = = n=<n> k=<n> = Nc m c k ( k=<n> c k e jkω 0n e jmω 0n e j(k m)ω 0n ) n=<n> }{{} =Nδ[k m]

25 Szereg geometryczny N 1 N dla a = 1 a n = 1 a n=0 N dla a 1 1 a Ćwiczenie Pokazać, że n=<n> x[n]e jmω 0n = Nc m

26 Szereg Fouriera dla sygnału dyskretnego x[n] = c k e jkω 0n synteza sygnału c k = 1 N k=<n> x[n]e jkω 0n k=<n> analiza sygnału Wygodnie jest rozważać współczynniki c k tak jakby były zdefiniowane dla wszystkich liczb k: 1 c k+n = c k specjalna właściwość współczynników szeregu Fouriera (tylko dla sygnałów dyskretnych!) 2 używamy tylko N kolejnych wartości c k ; x[n] jest reprezetowane tylko przez N współczynników

27 Przykład 3 ( ) ( π π x[n] = cos 8 n + cos 4 n + π ) 4 x[n] = 1 2 ( e jπ/8n + e jπ/8n) + 1 (e jπ/4n e jπ/4 + e jπ/4n e jπ/4) 2 czyli współczynniki ω 0 = π/8, N = 16 c 0 =0, c 1 = 1 2, c 1 = 1 2, c 2 = 1 2 ejπ/4, c 2 = 1 2 e jπ/4, c 3 =0, c 3 =0 c 15 = c 1+16 = c 1 = 1 2, a 66 = c = c 2 = 1 2 ejπ/4

28 Przykład 4 Okresowa fala prostokątna 1 x[n] dla n = 0 dla k wielokrotność N N -N 1 0 N 1 c 0 = 1 N N 1 N x[n] = 2N1 + 1 N n= N 1 n c k N 1 = 1 e jkω0n = 1 N N n= N 1 = 1 2N 1 N ejkω 0N 1 = 1 N m=0 sin(k(n 1 + 1/2)ω 0) sin(kω 0/2) 2N 1 e jkω 0(m N 1 ) m=0 ( e jkω 0 ) m 1 = N ejkω 0N 1 1 e jkω0(2n1+1) 1 e jkω 0 = 1 N Uwaga: korzystamy z sumy szeregu geometrycznego sin(2πk(n 1 + 1/2)/N) sin(πk/n)

29 Przykład 4 cd Widmo fali prostokątnej N 1 = N = N = N = DEMO: widmo.m

30 Transformata Fouriera sygnałów ciągłych Szeregi Fouriera stosuje się dla sygnałów okresowych Problem: Co w przypadku, gdy x(t) jest nieokresowy? Sygnał nieokresowy można rozważać jako sygnał okresowy z okresem T Dla sygnału okresowego, harmoniczne są rozmieszczone co ω 0 = 2π/T Gdy T, ω 0 0 i harmoniczne są rozmieszczane coraz gęściej w dziedzinie częstotliwości szereg Fouriera zastępujemy całką Fouriera

31 ˆx(t) = c k e jkω 0t k= ω 0 = 2π T c k = 1 T T 2 T 2 ˆx(t)e jkω 0t dt w rozważanym przedziale ˆx(t) = x(t) więc c k = 1 T T 2 T 2 x(t)e jkω 0t dt = 1 T x(t)e jkω 0t dt zdefiniujmy wtedy X(jω) = x(t)e jkωt dt c k = X(jkω 0) T

32 dla T 2 < t < T 2 x(t) = ˆx(t) = k= kiedy T, ω 0 dω 1 T X(jkω 0) e jkω 0 t = 1 }{{} 2π c k Transformata Fouriera dla sygnału ciągłego k= odwrotna transformata Fouriera synteza sygnału ω 0 X(jkω 0 )e jkω 0t x(t) = F 1 (X(jω)) = 1 X(jω)e jωt dω 2π k= transformata Fouriera analiza sygnału X(jω) = F (x(t)) = x(t)e jωt dt

33 Transformatę Fouriera można stosować dla sygnałów: 1 ze skończoną energią x(t) 2 dt < jeżeli błąd e(t) = x(t) 1 2π infty X(jω)ejωt dω wtedy e(t) 2 dt = 0 2 spełniających warunki Dirichleta x(t) jest bezwzględnie całkowalna na t (, ) x(t) ma skończoną liczbą maksimów i minimów w każdym skończonym przedziale x(t) ma skończoną liczbę nieciągłości o skończonej wartości w każdym skończonym przedziale ˆx(t) = x(t) w punktach ciągłości sygnału x(t) ˆx(t) = x(t+ ) + x(t ) w punktach nieciągłości sygnału x(t) 2 3 okresowych

34 Właściwości transformaty Fouriera dla sygnałów ciągłych Liniowość: ax(t) + by(t) ax(jω) + by (jω) Przesunięcie w dziedzinie czasu: x(t t 0 ) e jω 0t 0 X(jω) przesunięcie nie zmienia modułów X(jω), ale zmienia ich fazy o kωt 0 Symetria: jeśli x(t) funkcja rzeczywista to X( jω) = X (jω) X( jω) = X(jω) parzyste X( jω) = X(jω) nieparzyste Re X( jω) = Re X(jω) parzyste Im X( jω) = Im X(jω) nieparzyste

35 Zmiana skali czasu: x(at) 1 (j a X ω ) a a > 0 sygnał przyspiesza w dziedzinie czasu jego widmo zostaje rozciągnięte, zwiększa się zawartość widma w zakresie większych częstotliwości a < 0 sygnał zwalnia w dziedzinie czasu widmo zostaję sciśnięte, zwiększa się zawartość widma w zakresie małych częstotliwości

36 Przykład 5 Impuls jednostkowy (a) x(t) = δ(t) (b) x(t) = δ(t t 0 ) X(jω) = X(jω) = δ(t) = 1 2π δ(t)e jωt dt = 1 e jωt dω δ(t t 0 )e jωt dt = e jωt 0

37 Przykład 6 Funkcja wykładnicza x(t) = e at u(t), a > 0 X(jω) = X(jω) = DEMO: f wykl.m x(t)e jωt dt = ( ) 1 = e (a+jω)t = a + jω 0 1 a 2 + ω 2 ) X(jω) = tg 1 ( ω a 0 e at e jωt dt }{{} e (a+jω)t 1 a + jω funkcja parzysta funkcja nieparzysta

38 Przykład 7 Impuls prostokątny x(t) = 1 dla t < T 1, T 1 > X(0) = X(jω) = T1 e jωt dt = 2 sin(ωt 1) T 1 ω x(t)dt X(0) = T1 T 1 x(t)dt = 2T 1 x(0) = 1 X(jω)dω x(0) = 1 X(jω)dω = 1 2π 2π 2π P = 1

39 Przykład 7 cd 4 X(jw) DEMO: f square.m

40 Przykład 8 Funkcja Gaussa x(t) = e at2 X(jω) = = = ( e at2 e jωt dt ( e a t 2 +j ω jω a t+( 2a ) 2) +a( jω 2a ) 2 dt jω a(t+ e ) 2a ) 2 dt e ω2 4a π X(jω) = 2 4a a e ω

41 Przykład 8 cd 1 x(t) 1.4 X(jw) t w DEMO: f gauss.m

42 Transformata Fouriera sygnałów dyskretnych x[n] sygnał nieokresowy o skończonej długości N jest dostatecznie duże takie, że x[n] = 0 jeśli n N 2 ˆx[n] = x[n] dla n N 2 okresowy z okresem N czyli ˆx[n] = x[n] n kiedy N

43 ˆx[n] = c k e jkω0n, k=<n> ω 0 = 2π N c k = 1 N = 1 N n=<n> N 2 ˆx[n]e jkω 0n n=n 1 ˆx[n]e jkω 0n = 1 N x[n]e jkω 0n n= zdefiniujmy X(e jω ) = x[n]e jωn n= syg. okresowy z okresem 2π c k = 1 N X(ejkω 0 )

44 ˆx[n] = k=<n> 1 N X(ejkω 0 ) e jkω 0 n = 1 }{{} 2π c k gdy N to ˆx[n] = x[n] n k=<n> gdy ω 0 0 to ω 0 dω w równaniu ( ) Transformata Fouriera dla sygnału dyskretnego odwrotna transformata Fouriera synteza sygnału ω 0 X(e jkω 0 )e jkω 0n ( ) x[n] = Fd 1 (X(ejω )) = 1 X(e jω )e jωn dω 2π 2π transformata Fouriera analiza sygnału X(e jω ) = F d (x[n]) = n= x[n]e jωn

45 Przykład 9 Impuls prostokątny x[n] 1 N 1 N 1 n N 1 X(e jω ) = e jωn = n= N 1 DEMO: square pulse.m N 1 n= N 1 (e jω) n = sin(ω(n 1 + 1/2)) sin(ω/2) Uwaga! Transformata jest okresowa: X(e jω ) = X(e j(ω 2π) )

46 Właściwości transformaty Fouriera dla sygnałów dyskretnych 1 Okresowość 2 Liniowość X(e j(ω+2π) ) = X(e jω ) ax 1 [n] + bx 2 [n] ax 1 (e jω ) + bx 2 (e jω ) 3 Przesunięcie w dziedzinie czasu x[n n 0 ] e jωn 0 X(e jω ) 4 Przesunięcie w dziedzinie częstotliwości e jω0n x[n] X(e j(ω ω0) )

47 5 Inwersja czasu 6 Symetria x[ n] X(e jω ) x[n] rzeczywisty X(e jω ) = X (e jω ) X(e jω ) i Re(X(e jω )) są parzyste X(e jω ) i Im(X(e jω )) są nieparzyste 7 Zmiana skali czasu x[n/2] nie ma sensu (chwile czasu to liczby całkowite!) x[2n] tracimy wartości dla nieparzystych chwil czasu x[n] Można spowolnić sygnał wprowadzając zera w odpowiednich czwilach czasu

48 x[n] n x[n] n

49 Dyskretna Transformata Fouriera Przekształcenie Fouriera dla sygnałów dyskretnych definiuje częstotliwościowy model nieskończonych ciągów dyskretnych W rzeczywistości czas obserwacji sygnału jest skończony skończone ciągi Przekształcenie Fouriera dla sygnałów dyskretnych prowadzi do ciągłego widma częstotliwościowego sygnału Dyskretna Transformata Fouriera prowadzi do dyskretnego widma częstotliwościowego sygnału Dyskretna Transformata Fouriera pozwala na estymację widma sygnału ciągłego

50 x[n] ciąg o skończonej długości N przekształcenie Fouriera X(e jω ) = F d (x[n]) = n= wprowadźmy dyskretyzację zmiennej ω x[n]e jωn = N 1 ω k = 2π k, k = 0, 1,..., N 1 N próbka w dziedzinie pulsacji X N [k] = D F (x[n]) = n=0 N 1 x[n]e jkn(2π/n) n=0 x[n]e jωn wyrażenie ( ) nazywamy dyskretnym przekształceniem Fouriera (ang. Discrete Fourier Transform, DFT) ( )

51 Problem: Jak znaleźć przekształcenie odwrotne? Dla transformaty Fouriera sygnałów dyskretnych otrzymaliśmy: x[n] = 1 N 1 ω 0 X(e jkω0 )e jkω0n, 2π k=0 ω 0 = 2π N x[n] = 1 N 1 2π 2π N X(ejk2π/N )e jkn2π/n = 1 N k=0 Dyskretna Transformata Fouriera, DFT N 1 k=0 X N [k]e jkn2π/n odwrotna transformata Fouriera synteza sygnału x[n] = D 1 F (X N[k]) = 1 N 1 X N [k]e jkn2π/n N k=0 transformata Fouriera analiza sygnału N 1 X(e jω ) = D F (x[n]) = n=0 x[n]e jkn2π/n

52 Szybkie przekształcenie Fouriera Szybkie przekształcenie Fouriera FFT (ang. Fast Fourier Transform) jest efektywną procedurą numeryczną do wyznacznia DFT Cooley-Tukey FFT najbardziej popularna procedura wyznaczania DFT (1965r.) Algorytm wyznacza transformatę Fouriera osobno dla parzystych próbek x[2m], nieparzystych x[2m + 1], a następnie łączy te wyniki w celu otrzymania transformaty Fouriera dla całej sekwencji Cały proces można przeprowadzić rekurencyjnie co skraca czas obliczeń Procedura zakłada N jako potęgę 2 w praktyce ograniczenie z reguły nie sprawia problemów

53 X N [k] = = = N/2 1 m=0 M 1 m=0 N/2 1 x[2m]e j2mk2π/n + m=0 M 1 x[2m]e jmk2π/m + e jk2π/m E k + e j 2π N k O k E k M e j 2π(k M) x[2m + 1]e j(2m+1)k2π/n m=0 k < M N O k M k M x[2m + 1]e jmk2π/m gdzie M = N 2 E j parzyste próbki x[2m] O j nieparzyste próbki x[2m + 1] m = 0,..., M 1, j = 0,..., M 1

54 Przykład 10, DFT różnych sygnałów (a) impulsu prostokątnego DEMO: dft square.m (b) fali prostokątnej DEMO: dft square2.m (c) sinusoidy DEMO: dft sinus.m

55 Analiza systemów o wymuszeniach okresowych Załóżmy, że liniowy system stacjonarny jest pobudzany sygnałem okresowym x(t) Rozpatrzmy skończoną aproksymację ˆx n sygnału x(t) postaci ˆx n = A 0 + n A k cos(kω 0 t + ϕ k ) (1) k=1 Ponieważ system jest liniowy, to można zastosować zasadę superpozycji: przeprowadzić analizę systemu oddzielnie dla każdej harmonicznej, a następnie zsumować wyniki Jeżeli odpowiedź na k-tą harmoniczną określimy jako B k cos(kω 0 t + γ k ) to odpowiedzią systemu na wymuszenie ˆx n jest n ŷ n = B 0 + B k cos(kω 0 t + γ k ) (2) k=1

56 Przykład 11 Rozważmy elektryczny układ RC ze źródłem prądowym i(t) = 0.1 1(cos(2πt)). Znaleźć napięcie u(t). R I 0 I 1e jt I ne jnt Szukamy napięcia postaci C u(t) i(t) = k= I k e jkt I 0 = π, I k = sin(kπ/2) kπ u(t) = k= U k e jkt Impedancja obwodu R z(k) = 1 + jkrc Składowa stała analiza stałoprądowa U 0 = I 0R Odpowiedź na k-tą harmoniczną sygnału wejściowego U k = I k z(k) = I k R 1 + jkrc

57 Transmitancja częstotliwościowa Własności dynamiczne układu można opisać w postaci równania różniczkowego a n d n y(t) dt n = b m d m u(t) dt m + a n 1 d n 1 y(t) dt n 1 + b m 1 dy(t) + + a 1 + a 0 y(t) dt du(t) + + b 1 dt d m 1 u(t) dt m 1 + b 0 u(t) W celu rozwiązania (3) dokonujemy transformacji Fouriera obu stron tego równania ( an (jω) n + a n 1 (jω) n a 0 ) Y (jω) (3) = ( b m (jω) m + a m 1 (jω) m b 0 ) X(jω) Czyli Y (jω) = b m(jω) m + a m 1 (jω) m b 0 a n (jω) n + a n 1 (jω) n a 0 X(jω) = H(jω)X(jω)

58 Wielkość H(jω) nazywamy transmitancją częstotliwościową systemu czasu ciągłego Odpoiwedź układu w dziedzinie częstotliwości Y (jω) = H(ω)X(jω) Odpowiedź systemu w dfziedzienie czasu y(t) = F 1 (Y (jω)) Znając parametry a i i b j można wyznaczyć transmitancję częstotliwościową i na jej podstawioe odpowiedź systemu na dowolne wymuszenie

59 Przykład 12 Wyznaczyć odpowiedź systemu z przykładu 11, po pobudzeniu sygnałami: (i) x 1 (t) = cos(ω 1 t), ω 1 = 1rad/s, (ii) x 2 (t) = 2 sin(ω 2 t), ω 2 = 2rad/s. Założyć C = 1 i R = 1. Opis za pomocą równania różniczkowego x(t) = C dy(t) dt + 1 R y(t) Transmitancja częstotliwościowa H(jω) = 1 Cjω + 1 R = R 1 + jωrc

60 Przykład 12 c.d. dla sygnału pierwszego ω 1 = 1 H(jω) = 1 czyli 2 Y 1 (jω) = H(jω)X 1 (jω) = 2 e j π 4 X1 (jω) z przesunięia w dziedzinie czasu mamy x(t ± t 0 ) = e ±jωo X(jω) 1+j = 2 2 e j π 4 więc y 1 (t) = ( 2 2 x 1 t π ) 2 = (t 4 2 cos π ) 4

61 Przykład 12 c.d. dla sygnału drugiego ω 2 = 2 H(jω) = 1 1+j2 = 5 5 e j czyli więc Y 2 (jω) = H(jω)X 2 (jω) = 5 5 e j X 2 (jω) y 2 (t) = x 2 (t ) = sin (t ) 5