Rchunek rwdoodobieństw i sttystyk mtemtyczn. Zd 8. {(, : i } Zleżność tą możn rzedstwić w ostci nstęującej interretcji grficznej: Arkdiusz Kwosk Rfł Kukliński Informtyk sem.4 gr. Srwdźmy, czy odne zmienne losowe są niezleżne sttystycznie. W tym celu możn skorzystć z nstęującej definicji niezleżności sttystycznej zmiennych losowych. DEF. Mówimy, że dwie zmienne losowe i są sttystycznie niezleżne, gdy sełnione jest równnie:, Poniewż orz, ζ ( Ω ζ ( Ω dx dxdy Ztem niezleżność sttystyczną zmiennych losowych i możemy srwdzić obliczjąc odowiednie rozkłdy rwdoodobieństw. Rozkłd łączny:, + + Rozkłdy brzegowe: dxdy dx + + dxdy + + dxdy 4 dy Korzystjąc z definicji niezleżności sttystycznej zmiennych losowych srwdzmy, czy: 4 * 4 4
Ztem możemy stwierdzić, że zmienne losowe I są sttystycznie niezleżne. Obliczmy terz wsółczynnik korelcji zmiennych losowych i. Wsółczynnik korelcji dwóch zmiennych losowych i ρ możemy zdefiniowć nstęująco: ρ Ε( Ε ( Ε Poniewż : Ε xdf ( x ζ ( Ω Ztem w rzydku nszego zdni Ε Ε + xdf + ( x xdx 0 Ztem wsółczynnik korelcji ρ wynosi ρ Ε Poniewż zmienne losowe są sttystycznie niezleżne możemy nisć: ρ Ε ΕΕ 0 *0 0 ODPOWIEDŹ: Ztem jk widć zmienne losowe i są nieskorelowne. Jk możn zuwżyć z owyższych obliczeń niezleżne zmienne losowe są niekorelowlne. b {(, : + } Zleżność tą możn rzedstwić w ostci nstęującej interretcji grficznej: Tym rzem skorzystjmy z innej definicji niezleżności sttystycznej dwóch zmiennych losowych i : DEF. Mówimy, że dwie zmienne losowe i są sttystycznie niezleżne, gdy sełnione jest równnie: (x, (x ( Policzmy otrzebne rozkłdy gęstości rwdoodobieństw: Rozkłd łączny, + + dxdy + + Korzystjąc z wrunku normlizcyjnego: Rozkłdy brzegowe dxdy
x ( dy x dy + x Poniewż możn obliczyć w ten sm sosób; y ( Korzystjąc z definicji niezleżności sttystycznej zmiennych losowych srwdzmy, czy: (x, (x ( - x - y Ztem zmienne losowe i nie są sttystycznie niezleżne. Obliczmy wsółczynnik korelcji korzystjąc ze wzorów odnych w orzednim odunkcie. E - x x x ( x dx ( x 0 ( dy 0 E y - + x E xy y dx dy 0 Ztem wsółczynnik korelcji ρ 0-0*00. ODPOWIEDŹ: Zmienne losowe i są niekorelowlne. Jk możn zuwżyć z owyższych rozwżń fkt, że dwie zmienne losowe są niekorelowlne nie imlikuje niezleżności sttystycznej tychże zmiennych. Zd 8. Mmy dwie zmienne losowe dyskretne. O nstęującym łącznym rozkłdzie rwdoodobieństw: 0 0 0, 0 0, 0,5 0,3 C 0,05 c 0,05 Czy możn dobrć stłe c i c tk, by i były niezleżne. W celu srwdzenie, czy zmienne możn dobrć tk rmetry c i c, by zmienne losowe i były niezleżne sttystycznie osłużę się nstęującą definicją niezleżności sttystycznej dwóch zmiennych dyskretnych: DEF Mówimy, że dwie zmienne losowe i są sttystycznie niezleżne, gdy sełnione jest równnie: x i,y i x i y i Przy czym brzegowe rozkłdy rwdoodobieństw możn obliczyć korzystjąc z zleżności: P ( xi xi, y j j Ztem srwdzjąc wrunek niezleżności, srwdźmy go w unkcie (0,0, w którym wrtości rwdoodobieństw nie zleżą od rmetrów. 0,00, 0 j 0 0, y j 0, + 0,5 + 0,05 0,3
0 i 0 x i, 0 0, + 0 + 0, 0, Jk widć 0,0 00 Niezleżnie od rmetrów c i c. ODPOWIEDŹ: Nie możn dobrć tk rmetrów c i c, by zmienne losowe i były sttystycznie niezleżne. b Czy możn dobrć stłe c i c tk, by i były niekorelowlne. Korzystjąc z definicji wsółczynnik korelcji ρ Ε ΕΕ, Definicji wrtości średniej dl zmiennych losowych dyskretnych: Ε x i x i x i ζ ( Ω orz rozkłdów brzegowych zmiennych losowych i możemy obliczyć: E*(0,3+c +*(0,+c +0,050,3+c +0,3+c 0,6+c +c E*(0,5+0,3+c +*(0,05+c +0,050,45+c +0,+c 0,65+c +c E**0,3+**c +**c +**0,050,5+c +c Korzystjąc z fktu, że E, otrzymujemy c 0,5-c Co o odstwieniu do owyższych równń dje: E,-c E0,9+c Poniewż szukmy tkich wrtości rmetrów c i c dl których zmienne losowe i są niekorelowlne musimy znleźć rozwiąznie ukłdu równń: c 0,5 c Ε ΕΕ 0 Po odstwieniu wrtości E, E orz E otrzymujemy: -(,-c (0,9+c 0 c -0,c +0,00 Korzystjąc ze wzoru n kwdrt sumy dwuch czynników: (c -0, 0 Ztem nszym rozwiązniem są : c 0, c 0,5 ODPOWIEDŹ: Zmienne losowe i będą nieskorelowlne, gdy rmetry c i c będą wynosiły odowiednio: c 0, c 0,5. Zd 9. Znjdź jeżeli +b, dowoln. Poniewż funkcj g(+b jest różniczkowln i monotoniczn znlezienie rozkłdu gęstośći rwdoodobieństw ( srowdz się do nstęujących trzech kroków: Rozwiąznie równni g(xy yx+b y b x k Obliczenie ochodnej g (x k.
y b g'( xk g'( 3 Obliczenie wrtości wyrżeni: ( xi ( g'( x xi: g ( xi y i Ztem: ( xk y b ( Wływ stłych i b n grficzną ostć jest nstęujący: odowid z zminę skli (koniec rzedziłu <,...,k> b odowid z rzesunięcie wykresu względem oczątku ukłdu wsółrzędnych (oczątek rzedziłu <,...,k>. y b ODPOWIEDŹ: Otrzymny rozkłd to : (. b ex(-, gdzie N(0, N(0, e π x Podobnie jk w orzednim rzykłdzie ( znjdziemy orzez wykonnie trzech kroków. Rozwiąznie równni g(xy yex(-x x k -ln( Obliczenie ochodnej g (x k. g'( x g'( ln( e k ln( 3 Obliczenie wrtości wyrżeni: ( xi ( g'( x Ztem: ( xi: g ( xi y i π ln( y e y y e y π ln( y ODPOWIEDŹ: Otrzymny rozkłd to: e ( e. π y y π Zd 0. Zd 0.3 Zrojektowć genertor liczb seudolosowych o zdnym rozkłdzie, mjąc do dysozycji genertor o rozkłdzie równomiernym w rzedzile <0,...,>. Rozkłd równomierny w rzedzile <,...,b> Do zrojektowni tkiego genertor możemy wykorzystć wnioski jkie zuwżyliśmy w ćwiczeniu 9.9. w tym srwozdniu. Nleży zmienną losową uzyskną n wyjściu osidnego genertor ( rzeksztłcić rzeksztłceniem liniowym g( w tki sosób, by otrzymn zmienn losow nleżł do rzedziłu <,...,b>. Ztem c+d Otrzymny rozkłd będzie wyrżł się wzorem: ln( ln(
y d ( c c Ztem oczątek rzedziłu będzie zleżł od wsółczynnik d (dokłdniej będzie mu równ, wsółczynnik c możemy obliczyć korzystjąc z fktu, że mmy rzeksztłcić koniec rzedziłu b w : b c b c Ztem rzeksztłcenie liniowe rzeksztłcjące jest nstęujące: ( b + b Przykłdowy rogrm relizujący tą funkcję mógłby wyglądć nstęująco: flot rndb(flot, flot b { return (b-rndom(+b; } gdzie: oczątek rzedziłu b koniec rzedziłu rndom( generuje liczby o rozkłdzie równomiernym z rzedziłu <0,,> b Rozkłd wykłdniczy z rmetrem - (ex(-. Poniewż dystrybunt rozkłdu wykłdniczego F jest funkcją ciągłą i monotoniczną możemy więc zstosowć metodę odwrcni dystrybunty, któr srowdz się do nstęujących kroków: losujemy x rzy omocy genertor rndom( wyznczmy y korzystjąc ze wzoru: y F - (x Dystrybunt rozkłdu wykłdniczego m nstęującą ostć: y F ( e W celu zrojektowni genertor musimy oliczyć funkcję odwrotną tejże dystrybunty, więc: y - F ( e y x e ln( x y stąd: ln( x F ( x y Przykłdowy rogrm relizujący tą funkcję mógłby wyglądć nstęująco: flot rnd(flot { return ln(-rndom(/; } gdzie: rmetr rozkłdu rndom( generuje liczby o rozkłdzie równomiernym z rzedziłu <0,,>