I Podzielość liczb całkowitych Liczba a = 57 przy dzieleiu przez pewą liczbę dodatią całkowitą b daje iloraz k = 3 i resztę r Zaleźć dzieik b oraz resztę r a = 57 = 3 b + r, 0 r b Stąd 5 r b 8, 3 więc b = 8, r = 5 Pokazać, że 5, gdzie jest liczb aturalą, jest podziele przez 30 5 = ( ) ( + ) ( + ) = ( ) ( + ) [( ) + 5] = = ( ) ( ) ( + ) ( + ) + 5 ( ) ( + ) Każdy ze składików otrzymaej sumy jest podziely przez 30, gdyż iloczy k astępujących po sobie liczb aturalych jest podziely przez k! Istotie, C k ( )( )( 3 k k jest liczbą całkowitą i dlatego rozważaa wcześiej suma jest podziela przez 30, a to ozacza, że 30 dzieli 5 ) 3 Pokazać, że m (m ), gdzie m i są liczbami aturalymi, dzieli się przez 30 Zauważmy, że m (m ) = (m 5 - m) m( 5 ), a jak było pokazae w przykładzie, m 5 m dzieli się przez 30 Pewa liczba sześciocyfrowa a kończy się cyfrą 5 Jeśli tę cyfrę przestawimy a miejsce pierwsze ze stroy lewej, to otrzymamy owa liczbę, cztery razy większą od poprzediej Zaleźć liczbę a
Niech szukaą liczbą będzie 0 + 5 Przestawiając cyfrę 5 a miejsce pierwsze, otrzymujemy liczbę 5 0 5 + Z waruków zadaia wyika, że 5 0 5 + = (0 + 5) Stąd = 80 Zatem szukaą liczbą jest 805 5 Zaleźć sumę wyrazów ciągu S = + + + + (S jest sumą składików) S = + + + + = 0 0 0 9 9 9 0 9 0 0 9 0 0 9 8 0 0 9 0 8 9 0 6 Zaleźć wszystkie liczby całkowite 3 takie, że 3 dzieli 3 Połóżmy 3 = t Wtedy = t + 3, 3 3 = (t +3) 3 3 Jeśli -3 dzieli 3-3 wtedy i tylko wtedy gdy t dzieli (t + 3) 3 3 Ale (t + 3) 3 3 = t 3 9 t + 7 t Zatem t dzieli (t + 3) 3 3 wtedy i tylko wtedy gdy t dzieli, a więc t jest jedą z liczb,, 3,, 6, 8,, Stąd dla = t + 3 otrzymujemy: -, -9, -5, -3, -, 0,,,, 5, 6, 7, 9,, 5, 7 7 Pokazać, że dla liczby aturalej, liczby 5 oraz mają takie same cyfry jedości W przykładzie zostało pokazae, że liczba 5 jest podziela przez 30 Skoro jest podziela przez 30, to jest też podziela przez 0 Zatem liczby 5 oraz muszą mieć takie same cyfry jedości 8 Wykazać, że kwadrat każdej liczby całkowitej ieparzystej jest postaci 8 k +, gdzie k jest dowolą liczbą całkowitą
Dowolą liczbę całkowitą moża zapisać w postaci: q + 0, q +, q +, q + 3, gdzie q jest liczba całkowitą Liczby ieparzyste mają postać q + lub q + 3 Policzmy kwadraty liczb ieparzystych: (q + ) = 8 (q + q) + = 8 k + (q + 3) = 8 (q + 3q + ) + = 8 k +, gdzie k = q + q, a k = q + 3q + 9 Dowieść, że dla aturalych, dzieli ( + ) Dla = twierdzeie jest oczywiście prawdziwe Załóżmy, że potęgę liczby + i policzmy -tą Zauważmy, że wszystkie składiki w powyższej sumie, poczyając od trzeciego, zawierają w potędze większej lub rówej, a drugim składikiem jest Zatem jeśli od rozważaej sumy odejmiemy, to różica będzie podziela przez Algorytm Euklidesa Największy wspóly dzielik, ajmiejsza wspóla wielokrotość 0 Stosując algorytm Euklidesa zaleźć ajwiększy wspóly dzielik liczb 83 i 609 Zastosujmy algorytm Euklidesa 83 = 6 609 + 369 (83, 609) = 609 = 369 + 00 = (609, 369) = 369 = 00 + 89 = (369, 00)= 00 = 7 89 + 7 = (00, 89) = 89 = 7 7 = ( 89, 7) = 7 3
Zaleźć parę liczb całkowitych ( o, y o ) spełiających związek 83 o + 609 y o = 7 W przykładzie 0, przy pomocy algorytmu Euklidesa został policzoy ajwiększy wspóly dzielik liczb 83 oraz 609 Dzielik te jest rówy 7 i jest podzielikiem wyrazu wolego, który tu jest rówież rówy 7 Zatem poszukiwae liczby o i y o istieją Wykorzystajmy algorytm Euklidesa do zalezieia liczb o, y o Liczmy kolejo 7 = 00 7 89 = = 00 7 (369-00) = = -7 369 + 5 00 = = -7 369 + 5 (609 369) = = - 369 + 5 609 = = - (83 6 609) + 5 609 = Zatem o = -, y o =7 = - 83 + 7 609 Rozwiązać w liczbach całkowitych astępujące rówaie (* ) 83 + 609 y = 68 Jeśli rówaie a + b y = c, gdzie a, b, c są liczbami całkowitymi, jest rozwiązale w liczbach całkowitych, to posiada oo ieskończeie wiele rozwiązań Jeśli jedym z ich jest para liczb całkowitych ( o, y o ), to wszystkie rozwiązaia dae są wzorami = o + b t, y = y o - a t, gdzie a b a, b a, b a, b a t jest dowolą liczbą całkowitą Rozważae rówaie posiada rozwiązaie w liczbach całkowitych, gdyż ajwiększy wspóly dzielik (83, 609) jest rówy 7, a więc jest podzielikiem liczby 68 W przykładzie zostało pokazae, że 83 ( -) + 609 7 = 7
Pomóżmy obie stroy tej rówości przez Otrzymujemy wówczas 83 (- ) + 609 (7 ) = 68 Stąd o = -88, y o = 588 Zatem wszystkie rozwiązaia rówaia (*) dae są wzorami gdzie t jest dowolą liczbą całkowitą = - 88 + 377 t, y = 588 59 t, Rówaia ieozaczoe możemy rozwiązywać rówież iymi metodami Niekoieczie musimy się posługiwać przy ich rozwiązywaiu algorytmem Euklidesa 3 Rozwiązać w liczbach całkowitych astępujące rówaie ieozaczoe 7 8 y = Rówaie posiada rozwiązaie, gdyż liczby 7 i 8 są względie pierwsze Ich ajwiększy wspóly dzielik jest rówy, a więc jest podzielikiem liczby Wyzaczmy : 8y 7 Podstawmy za y kolejo y = 0,,,, 5 Dla y = 5 otrzymujemy =, a zatem = + 8 t, y = 5 + 7 t, gdzie t jest dowolą liczbą całkowitą Rozwiązać w liczbach całkowitych rówaie + 8 y = 39 Rówaie ie posiada rozwiązaia w liczbach całkowitych, gdyż ajwiększy wspóly dzielik (, 8) =, a liczba ie jest podzielikiem liczby 39 5 Rozwiązać w liczbach całkowitych rówaie 5
7 + 39 y = 83 Liczby 7 oraz 39 są względie pierwsze, zatem asze rówaie posiada rozwiązaie w liczbach całkowitych Wyliczmy : 83 39y 5 5y 5 3 y y y 7 7 7 Liczba jest liczbą całkowitą wtedy i tylko wtedy, gdy y = 3 7 t, gdzie t jest liczbą całkowitą Rozwiązaia rówaia maja zatem postać: gdzie t jest dowolą liczbą całkowitą = - + 39 t, y = 3 7 t, 6 Rozwiązać w liczbach aturalych astępujące rówaie 7 3 y = Liczby 7 i 3 są względie pierwsze, zatem poszukiwaie rozwiązań w liczbach aturalych ma ses Wyliczmy 3y y 6 y 7 7 Skoro ma być liczbą aturalą, to y 7 t, gdzie t jest liczbą całkowitą Stąd musi być = 0 3 t, y = 7 t, 0 i y 0 Rozwiązując układ ierówości otrzymujemy rozwiązaia: 0 3 t 0, 7 t 0, = 0 3 t, y = 7 t, gdzie t jest liczbą całkowitą iedodatią 7 Korzystając ze wzoru 6
a b a, b a, b Zaleźć ajmiejszą wspólą wielokrotość liczb 79 i 37 Zastosujmy algorytm Euklidesa w celu zalezieia ajwiększego wspólego dzielika liczb 37 i 79 Zatem 37 = 79 + 93 79 = 3 93 37, 79 37 79 37, 79 03788 93 6 8 Największy wspóly dzielik liczb a i b jest rówy, a ich ajmiejsza wspóla wielokrotość jest rówa 96 Zaleźć liczby a i b Istieją liczby całkowite m i Takie, że a = m, b =, (m, ) = Możemy przyjąć, że m a i b, to poieważ 96 jest ajmiejszą wspóla wielokrotością liczb Stąd 96 m m = 0 = 8 3 Poieważ (m, ) =, to m = 0 lub m = 8 3 a) Jeśli m =, = 0, to a = =, b = 0 = 96, b) Jeśli m = 8, = 3, to a = 3 = 9, b = 3 = 3 9 Pokazać, że (a, b) (a, c) (b, c) [a, b] [a, c] [b, c] = a b c, a, b, c są dowolymi liczbami całkowitymi 7
Wystarczy skorzystać ze wzoru podaego w przykładzie 7 oraz z faktu, że możeie liczb całkowitych jest działaiem przemieym i łączym Ułamki łańcuchowe 0 Rozwiąć ułamek 3 a ułamek łańcuchowy Zastosujmy algorytm Euklidesa do liczb i 3 = 3 3 + 5 3 = 5 + 3 5 = 3 + 3 = + = Stąd 3 3, Rozwiąć a ułamek łańcuchowy ułamek Liczby a i b są aturale 6a 3 a 3a 0a 3 6a a 7a 8
Zastosujmy algorytm Euklidesa 6a + a 3 + 3a + 0a + = a (6a 3 + a + 7a + ) + 6a + 9a + 6a 3 + a + 7a + = a (6a + 9a + ) + 3a + 3a + 6a + 9a + = (3a + 3a + ) + 3a + 3a + 3a + = a (3a + ) + a + 3a + = (a + ) + a a + = a + a = a poszukiway ułamek łańcuchowy ma postać: a a a a Przykład 9 Zamieić a ułamek zwyczajy ułamek łańcuchowy Liczba jest liczbą aturalą Policzmy, 3 9
3 3 3 Zatem poszukiwaym ułamkiem zwykłym jest wyrażeie: 3 3 II Liczby pierwsze, liczby względie pierwsze Podać przykład takich czterech liczb aturalych a, b, c, d dla których ie ma żadej liczby aturalej, przy której liczby a +, b +, c +, d + byłyby parami względie pierwsze Takimi liczbami są a przykład a =, b =, c = 3, d =, bo jeśli jest dowolą liczbą całkowitą, to a +, c + - dla ieparzystego są parzyste, a więc ie są względie pierwsze b +, d + - dla parzystych są parzyste, a więc ie są względie pierwsze 3 Pokazać, że dla liczb aturalych, liczba + jest liczba złożoą Poieważ + = ( + ) - = ( + + ) ( + ), więc +, jako iloczy dwóch liczb aturalych jest liczbą złożoą Zaleźć liczbę pierwszą p, jeśli wiadomo, że p + i 6p + są liczbami pierwszymi Wszystkie liczby aturale większe od moża przedstawić w postaci 0
5, 5, 5, gdzie jest dowola liczba aturalą Liczby postaci 5 są pierwsze tylko dla = Jeśli p = 5, to p + = 0, 6 p + = 5 Jak widać, zaleźliśmy liczbę pierwszą spełiającą waruki zadaia Wykażemy teraz, że ie istieją ie liczby pierwsze te waruki spełiające Rzeczywiście, jeśli p = 5, to p + = 5 (0 8 + ), a więc jest liczbą złożoą, jeśli p = 5, to 6 p + = 5 (30 +) i też jest liczba złożoą III Kogruecje 5 Czy 5 98 983 mod 5 Liczba 5 98 983 ie przystaje do liczby 983 modulo 5, gdyż liczba 5 ie dzieli liczby 6 Wykazać, że 5 5 6 0 (mod 3) Zauważmy, że 5 mod3, 5 mod3, 5 mod3, 5 mod3 Zatem 5 5 6 mod 3 Co jest rówoważe temu, że 5 5 6 0 mod 3
7 Jaka jest cyfra jedości liczby 000? Zauważmy, że 5 mod0, Z przechodiości kogruecji dostajemy 0 mod0, 50 0 mod0 50 mod0 Otrzymaą kogruecję podieśmy stroami do potęgi 5 Wówczas 50 0 mod0 Powtórie korzystając z przechodiości rozważaej relacji, otrzymujemy 50 mod 0 Podosząc powyższą kogruecję stroami do potęgi, dostajemy 000 56 mod 0 Z kolei 56 6 (mod 0) Zatem 000 6 mod 0 Z otrzymaej rówości wyika, że cyfra jedości liczby 000 jest rówa 6 8 Niech p będzie liczbą pierwszą Liczby a i b iech będą liczbami całkowitymi takimi, że a b (mod p) Wtedy p dzieli a + b lub p dzieli a b Jeśli a b (mod p), a b (mod p) ze wzorów uproszczoego możeia i defiicji relacji przystawaia modulo p wyika, że liczba pierwsza p dzieli iloczy (a b) (a + b) Zatem liczba pierwsza p dzieli a b lub a + b 9 Wykazać, że liczba aturala A dzieli się przez wtedy i tylko wtedy gdy różica pomiędzy sumą jej cyfr zajdujących się a miejscach parzystych i suma jej cyfr zajdujących się a miejscach ieparzystych dzieli się przez Niech kolejymi cyframi liczby A w układzie dziesiętym będą a, a,, a Wówczas
A = a 0 + a 0 + +a 0 + a Rozważmy wielomia f = a + a + +a + a Oczywiście, A = f(0) Stąd wobec kogruecji 0 f(0) - (mod ) Stąd - (mod ), otrzymujemy a + a a 3 + A (mod ) 30 Wyzaczyć wszystkie pierwiastki kogruecji 3 + (mod 5) Nasza kogruecja może mieć co ajwyżej 5 pierwiastków Aby je wszystkie zaleźć wystarczy sprawdzić które spośród liczb zbioru { 0,,, 3, } są pierwiastkami aszej kogruecji Liczby 0, 3, pierwiastkami aszej kogruecji ie są Natomiast liczby, spełiają kogruecję Wszystkie rozwiązaia aszej kogruecji w liczbach całkowitych mają postać gdzie t jest dowola liczbą całkowitą 3 Rozwiązać kogruecję = + 5t, = + 5t, - + 0 (mod ) Kogruecja ie jest spełioa, gdyż ( ) + jest liczba ieparzystą, a więc iepodzielą przez 3 Rozwiązać kogruecję ( + ) ( + ) ( + 3) (mod ) Kogruecja jest tożsamościowa, gdyż, +, +, + 3 są to koleje cztery liczby aturale 3
Fukcja Eulera φ() Fukcja π() 33 Policzyć: φ(55), φ(5), φ(375) Policzmy φ(55) 55 = 5 Poieważ i 5 i są różymi liczbami pierwszymi, zatem a mocy własości fukcji Eulera, otrzymujemy φ(55) = 0 = 0 Policzmy φ(5) 5 = 5 3 Zatem φ(5) = 5 = 00 Policzmy φ(375) 375 = 3 5 3 Zatem φ(375) = 3 5 3 ( - 3 ) ( - 5 ) = 00 3 Zaleźć liczbę aturalą a, jeśli φ(a )= 3600 oraz a = 3 α 5 β 7 γ a = 3 α 5 β 7 γ, zatem φ(a) = 3 α - 5 β - 7 γ - 6 = 3 α 5 β - 7 γ - Ale 3600 = 3 5 7 0, więc 3 α 5 β - 7 γ - = 3 5 7 0 Stąd α =, β = 3, γ = i w kosekwecji a = 3 5 3 7 = 7875 35 Zaleźć liczbę aturalą a jeśli, φ(a) = 0, a = p q, gdzie p, q są różymi liczbami pierwszymi, oraz p q = 6 Z waruków zadaia wyika, że φ(a) = φ(p q) = (p - ) (q ) = 0 Otrzymujemy zatem układ rówań (p - ) (q ) = 0, p q = 6 Rozwiązując te układ otrzymujemy p =, q = 5 Szukaą liczbą jest więc 55
5