Analiza maemayczna Lisazadań Opracowanie: dr Marian Gewer, doc. Zbigniew Skoczylas Lisa. Korzysając z definicji zbadać zbieżność całek niewłaściwych pierwszego rodzaju: 3 +) ; b) 4 ; e) 3 3+5 ; c) π ) +arcg ; f) π sin; 4+3.. Korzysając z kryerium porównawczego zbadać zbieżność całek niewłaściwych pierwszego rodzaju: 4 +) ; b) + ) 4 + + ; e) π ; 3 c) +sin) 3 ; f) +) 4 ++ ; +cos ). * 3. Korzysając z kryerium ilorazowego zbadać zbieżność całek niewłaściwych pierwszego rodzaju: +) ; b) +) 5 3 ; c) +) ; 3 sin ; 5 e) 3 sin ; f*) e + ) e. 4.Obliczyćpoleobszaruograniczonegokrzywąy= +4 orazosiąo. b)obliczyćobjęośćbryłypowsałejzobrouwokółosioobszaru= {,y) R :, y e }. c)zasadnić,żepolepowierzchnipowsałejzobrouwykresufunkcjiy= dla wokółosioma skończoną warość. 5. Korzysając z definicji zbadać zbieżność całek niewłaściwych drugiego rodzaju: π 5 ; b) 3 sin ; c) 3) ; e π ln 5 ; e) 3 e 8 ; f*) sinln. 6. Korzysając z kryerium porównawczego zbadać zbieżność całek niewłaściwych drugiego rodzaju: 4 arcg ; b) + ; e*) e 3 ; c) π 3 ; f*) 6 4 cos 3 π ; 6 ). Zadaniaoznaczonegwiazdkąsąnieobowiązkowe.Nienależyichprzerabiaćnaćwiczeniach.Przeznaczonesądla sudenów, kórzy chcą poszerzyć swoją wiedzę z analizy.
* 7. Korzysając z kryerium ilorazowego zbadać zbieżność całek niewłaściwych drugiego rodzaju: π sin 3 e ) π 4 ; b) 3 ; c) 4 3 ; cos g*) arcsin) ; ; e*) h*) e e ; e cos ; π π f*) i*) sin ;. * 8. Zbadać zbieżność podanych całek niewłaściwych, kóre są jednocześnie całkami niewłaściwymi pierwszego i drugiego rodzaju: ; b) 3 ; e) +sin ; c) ln ; f) 9. Wyznaczyć warości główne całek niewłaściwych: d Lisa 3 cos +4 ; b) 3 ) ; e 9 4 e e + ; c) ; f) 3 + ;. e +5 ; sin.. Znaleźć sumy częściowe podanych szeregów i nasępnie zbadać ich zbieżność: n= ) n 5 ; b) 6 n= n ; c) n! n waga.wprzykładzieb)przyjąć,żes n= k= n )n+) ;. n++ n a k,n.. Korzysając z kryerium całkowego zbadać zbieżność szeregów: n +n ; b) n n +4 ; c) n= lnn n ;. Korzysając z kryerium ilorazowego zbadać zbieżność szeregów: n +n+ n 3 ; b) n+ n3 + ; c) n n+. n 3 n ; 3. Korzysając z kryerium porównawczego zbadać zbieżność szeregów: 3 n + ; b) n+ n + ; c) sin π n; n= n +sinn! 3 n ; e) 3 cosn n ; f) 3 n + n3 n + n. 4. Korzysając z kryerium d Alembera zbadać zbieżność szeregów: sin π 3 n sin π n.
n ; b) n! n sin π n; c) n! n n; n!) n)! ; e) n n 3 n n! ; f) n + n 5 +. 5. Korzysając z kryerium Cauchy ego zbadać zbieżność szeregów: n+) n n +) n ; b) n +3 n 3 n +4 n; c) 3 n n n ; n+) n arccos n n. * 6. Wykazać zbieżność odpowiedniego szeregu i nasępnie na podsawie warunku koniecznego zbieżności szeregów uzasadnić podane równości: lim n n 5 7n=; b) lim n n n n n n!) =; c) lim n n! 3n)!4n)! =; d*) lim n 5n)!n)! =. 7. Korzysając z wierdzenia Leibniza uzasadnić zbieżność szeregów: ) n+ n+ n ) ; b) ) n 4 n 4 n +5 n; c) g π n cosnπ; ) n+3n n= n! ; e) ) nln n n ; n= n=4 f*) ) ln + )n. n * 8. Obliczyć sumy przybliżone podanych szeregów ze wskazaną dokładnością: ) n+ n n, ) n δ= 6 ; b) n+)!, δ= 3. Lisa 3 9. Zbadać zbieżność oraz zbieżność bezwzględną szeregów: ) n+ n + ; b) ) n n n + ; c) ) n n ; 3n+5 ) n ) n 3 ; e) n= n= n= n= ) n 3 n + ; f*). Wyznaczyć przedziały zbieżności szeregów poęgowych: n= n n n; b) n ) n ; c) n n +3 n; e) n n + +)n ; f*) n= ) n n+. +3) n n 3 ; n! n n n.. Znaleźć szeregi Maclaurina podanych funkcji i określić przedziały ich zbieżności: 3 ; b)cos ; c)e ; 9+ ; e)sinh; f*)sin4.. Korzysając z rozwinięć Maclaurina funkcji elemenarnych obliczyć pochodne: f 5) ), f)=sin; b)f 4) ), f)= e ; c)f ) ), f)= 3 + ; f) ), f)=sin 3. 3.Wyznaczyćszeregipoęgowefunkcjif )oraz f)= ; b)f)= + ; c*)f)=e. n= f) d, jeżeli funkcja f określona jes wzorem: 3
4. Sosując wierdzenia o różniczkowaniu i/lub całkowaniu szeregów poęgowych obliczyć sumy szeregów: n+) n; b) n nn+) 3 n ; c) 4 n. n= n= * 5. Obliczyć podane całki oznaczone ze wskazaną dokładnością: Lisa 4 e, δ=.; sin, δ=.. 6. Wyznaczyć i narysować dziedziny nauralne funkcji: f,y)= y; b)f,y)= y ; c)f,y)= y +y 5 ; f,y)=ln +y 4 9 y ; e)g,y,z)= + y + z ; f)g,y,z)=arcsin +y +z ). 7. Naszkicować wykresy funkcji: f,y)= +y ; b)f,y)= 3+ y ; c)f,y)= +y +y+3; f,y)=siny; e)f,y)= ; f)f,y)=. * 8. zasadnić, że nie isnieją granice: lim,y),) * 9. Obliczyć granice: y 4 +y4; b) lim,y),) y sin 4 +y; c) lim,y) π,) y ; lim,y),) cos +y ) y lim,y),) +y ) ; b) lim,y),) +y ; g 3 y 3) lim,y),) y 4 y +4 ; e) lim y y+,y),) y +y +y. 4 y 4 c) lim,y),) y ; ; f) lim +y ) sin,y),) y. 3.Korzysajączdefinicjiobliczyćpochodnecząskowepierwszegorzęduf,f y funkcjifipochodnecząskowe g,g y,g z funkcjigwewskazanychpunkach: f,y)= y,,); b)f,y)= 4 +y 4,,); c)g,y,z)= +y,,,). z 3.Obliczyćpochodnecząskowef,f y funkcjifipochodnecząskoweg,g y,g z funkcjig: f,y)= +y ; b)f,y)=arcg y y +y ; f,y)= +y ; g)g,y,z)= Lisa 5 e)f,y)=ln c)f,y)=esin y ; + +y ) ; f)g,y,z)= + z +y +z; h)g,y,z)=sincosysinz)); i)g,y,z)= * 3. Sprawdzić, że podana funkcja spełnia wskazane równanie: f,y)=ln +y+y ), f +yf y =; b)f,y)= sin y, f +yf y = f. + y +yz3 ; y+ z. 33.Obliczyćpochodnecząskowedrugiegorzęduf,f y,f y,f yy funkcjifipochodnecząskoweg,g y, g z,g y,g yy,g yz,g z,g zy,g zz funkcjigisprawdzić,żepochodnecząskowemieszanesąrówne: f,y)=sin +y ) ; b)f,y)=e y ; c)f,y)=+ y ; f,y)=ylny; e)g,y,z)= +y +z ; f)g,y,z)=ln +y 4 +z 6 + ). 4
34. Obliczyć pochodne cząskowe: h yy, h,y)=siny; b)h yyy, h,y)= +y y ; c)h yz, h,y,z)= y 3 z. * 35. Sprawdzić, że funkcje: z=arcg y ; b)z=+ y ; c)z=+ln + y ) ; z=+ y spełniają równanie z +yzy+y z yy =,,y>). 36. Napisać równania płaszczyzn sycznych do wykresów podanych funkcji we wskazanych punkach wykresu: z= y+,,y,z )=,3,z ); b)z=e +y,,y,z )=,,z ); c)z= arcsin arccosy,,y,z )= ) 3,,z ; z= y,,y,z )=,4,z ). 37.Nawykresiefunkcjiz=arcg y wskazaćpunky,wkórychpłaszczyznasycznajesrównoległado płaszczyzny+y z=5. Wyznaczyćrównaniepłaszczyznysycznejdowykresufunkcjiz=arccg y +y,kórajesprosopadłado prosej=,y=,z=, R. Lisa 6 38.Wysokośćipromieńpodsawysożkazmierzonozdokładnością±mm.Orzymanoh=35mmoraz r = 45 mm. Z jaką w przybliżeniu dokładnością można obliczyć objęość V ego sożka? b)krawędzieprosopadłościanumajądługościa=3m,b=4m,c=m.obliczyćwprzybliżeniu,jak zmieni się długość przekąnej prosopadłościanu d, jeżeli długości wszyskich krawędzi zwiększymy o cm. c)oszacowaćbłądwzględnyδ V objęościprosopadłościamuv,jeżelipomiarujegoboków,y,zdokonanoz dokładnościąodpowiednio, y, z. * 39. Sprawdzić, że podane funkcje spełniają wskazane równania: z=f +y ), yz z y =; b)z=fsin y)), z +z y = z ; y c)z= n f, z +yz y =nzn N); d*)z= ) y ) y g)+h, yz y +y z yy +z +yz y =. * 4. Korzysając z definicji obliczyć pochodne kierunkowe podanych funkcji we wskazanych punkach i kierunkach: f,y)= ) 3 +y,,y )=,), v=, ; ) b)f,y)= 3 y,,y )=,), v=, ; ) 3 c)g,y,z)= +yz,,y,z )=,,), v= 3,4 3,. 3 4. Obliczyć pochodne kierunkowe podanych funkcji we wskazanych punkach i kierunkach: ) f,y)= +y,,y )= 3,4), v= 3,5 ; 3 b)f,y)= y ) 3 +y,,y )=,), v= 5, 4 ; 5 ) c)g,y,z)=e yz 3,,y,z )=,, ), v=, 3 4,. 4 5
4.Obliczyćpochodnąkierunkowąfunkcjif,y)=y +lny).wpunkcie ), wkierunku wersoravworzącegokąαzdodanimzwroemosio.lajakiegokąaαpochodnaamawarość,adla jakiego przyjmuje warość największą? b)wyznaczyćwersoryv,wkierunkukórychfunkcjaf,y)= e +y ) wpunkcie,)mapochodną kierunkową równą. Lisa 7 43. Znaleźć eksrema lokalne funkcji: f,y)=3 ) +4y+) ; c)f,y)= 3 +3y 5 4y; b)f,y)= 3 +y 3 3y; f,y)=y y +6y; e)f,y)=y y),,y>); f)f,y)= 8 + y +y,,y>); g)f,y)=y+lny+ ; h)f,y)=4y+ + y. 44. Wyznaczyć eksrema podanych funkcji, kórych argumeny spełniają wskazane warunki: f,y)= +y,3+y=6; b)f,y)= +y 8+, y +=; c)f,y)= y ln,8+3y=; f,y)=+3y, +y =. 45. Znaleźć najmniejsze i największe warości podanych funkcji na wskazanych zbiorach: f,y)= 3 +4 +y y, = {,y) R : y 4 } ; b)f,y)= +y 6+4y, = {,y) R :+y 4,+y 6,,y } ; c)f,y)= +y, = {,y R : + y } ; f,y)=y +4y 4, = {,y) R : 3 3, 3 y } ; e)f,y)= 4 +y 4, = {,y) R : +y 9 }. 46.WrójkącieowierzchołkachA=,5),B=,4),C=, 3)znaleźćpunkM=,y ),dla kórego suma kwadraów jego odległości od wierzchołków jes najmniejsza. b) Jakie powinny być długość a, szerokość b i wysokość h prosopadłościennej owarej wanny o pojemności V, aby ilość blachy zużyej do jej zrobienia była najmniejsza? c) Znaleźć odległość między prosymi skośnymi: k: { +y =, z+ =, l: { y+3 =, z =. ProsopadłościennymagazynmamiećobjęośćV=6m 3.obudowyścianmagazynuużywanesąpłyy wcenie3zł/m,dobudowypodłogiwcenie4zł/m,asufiuwceniezł/m.znaleźćdługośća,szerokość b i wysokość c magazynu, kórego kosz budowy będzie najmniejszy. f) Firma produkuje drzwi wewnęrzne i zewnęrzne w cenach zbyu odpowiednio 5 zł i zł za szukę. Kosz wyprodukowania szuk drzwi wewnęrznych i y zewnerznych wynosi K,y)= y+y [zł]. Ile szuk drzwi każdego rodzaju powinna wyprodukować firma, aby osiągnąć największy zysk? Lisa 8 47. Obliczyć całki podwójne po wskazanych prosokąach: +y y ) dy,r=[,] [,]; b) R c) siny)dy,r=[,] [π,π]; R dy +y+) 3,R=[,] [,]; R e y dy,r=[,] [,]. R 6
48. Całkę podwójną równaniach: y=, y=+; f, y) dy zamienić na całki ierowane, jeżeli obszar ograniczony jes krzywymi o b) +y =4, y=, =,y ); c) 4+y +6y 5=; y =, +y =3<). 49. Obliczyć całki ierowane: y dy; b) 4 Narysować obszary całkowania. y dy; c) 4 3 +y 3) dy; 5. Narysować obszar całkowania, a nasępnie zmienić kolejność całkowania w całkach: f,y)dy; b) dy y y f,y); e) π π f,y)dy; c) sin cos f,y)dy; f) 4 e 4 ln 3 y dy f,y)dy; f,y)dy. y +6. 5. Obliczyć całki po obszarach normalnych ograniczonych wskazanymi krzywymi: y dy, :y=,y= ; b) ydy, :y=,y=,y= ; c) e y dy, :y=,=,y=; y+4 ) dy, :y=+3,y= +3+3; e) e y dy, :y=,y=,=; f) y+)dy, :=,y=,y=3 ); g) e dy, :y=,y=,= ln3; h) 3y+)dy, :y=,y=π,=,=siny. * 5. Obliczyć podane całki podwójne po wskazanych obszarach: min,y)dy,=[,] [,]; b) +y dy,=[,] [,]; c) y dy,= {,y) R :, y 3 } ; sgn y + ) dy,= {,y) R : +y 4 }. waga. Symbol mina, b) oznacza mniejszą spośród liczb a, b, z kolei u oznacza część całkowią liczby u. 53. Obliczyć warości średnie podanych funkcji na wskazanych obszarach: [ f,y)=sincosy,=[,π], π ] ; b)f,y)=+y,: y π, siny. * 54. Sosując odpowiednią zamianę zmiennych obliczyć podane całki podwójne po wskazanych obszarach: +y) y) 3dy,:+y=,+y=, y=, y=3; b) dy y,:y=,y=,y= +,y= +4; c) ydy,:y=,y=,y=,y=3 3 ; 7
d*) 4 y 4) dy,: +y =3, +y =5, y =, y =,y ). Lisa 9 55. Wprowadzając współrzędne biegunowe obliczyć podane całki podwójne po wskazanych obszarach: ydy,: +y, 3 y 3; b) y dy,:, +y ; c) y e +y dy,:,y, +y ; dy,: +y y; e) +y ) dy,: y,y +y ; f) yy,: +y. Obszar naszkicować we współrzędnych karezjańskich i biegunowych. 56. Obliczyć pola obszarów ograniczonych krzywymi: y =4, +y=3, y=y ); b) +y y=, +y 4y=; c)+y=4, +y=8, 3y=, 3y=5; +y =y, y= 3. 57. Obliczyć objęości brył ograniczonych powierzchniami: y=z,y=,y=,z=,z=y; b) +y +z =4.z=z ); c) +y y=,z= +y,z=; z=5 +y,=,y=,+y=,z=; e*) ) +y ) =,z=y,z=; f*)z= +y,y+z=4. 58. Obliczyć pola płaów: z= +y, +y ;b) +y +z =R, +y R,z ;c)z= +y, z. 59. Obliczyć masy podanych obszarów o wskazanych gęsościach powierzchniowych: = {,y) R : π, y sin },σ,y)=; b)= {,y) R : +y 4,y },σ,y)=. 6. Znaleźć położenia środków masy obszarów jednorodnych: rójkąrównoramiennyopodsawieaiwysokościh; b)= {,y) R : π, y sin } ; c)= {,y) R : y } ; = {,y) R :, y e }. 6. Obliczyć momeny bezwładności podanych obszarów względem wskazanych osi: kwadrajednorodnyobokua,przekąnakwadrau,przyjąćσ,y)=; b)= {,y) R : +y R,y },ośo,przyjąćσ,y)= +y ; c)= {,y) R : y },ośsymeriiobszaru,przyjąćσ,y)= ; = {,y) R : π, y sin },ośo,przyjąćσ,y)=. Lisa 6. Obliczyć podane całki porójne po wskazanych prosopadłościanach: dydz,=[,] [,e] [,e]; yz b) +y+z)dydz,=[,] [,3] [3,4]; c) sinsin+y)sin+y+z)dydz,=[,π] [,π] [,π]; 8
+y)e +z dydz,=[,] [,] [,]. 63.Całkęporójnązfunkcjig,y,z)poobszarzezamienićnacałkiierowane,jeżelijesograniczony powierzchniami o podanych równaniach: z= +y, z=6; b) +y +z =5,z=4,z 4); c)z= +y, z= y. * 64. Narysować obszar całkowania i nasępnie zmienić kolejność całkowania: 3 3 3 y 4 y dy f,y,z)dz; b) dy f,y,z)dz; 4 4 y c) 3 dz z z z z f,y,z)dy; dy +y f,y,z)dz. 65. Obliczyć całki porójne z podanych funkcji po wskazanych obszarach: g,y,z)=e +y+z, :, y, z ; b)g,y,z)= 3+y+z+) 4, :,y, z y; c)g,y,z)= +y, : +y 4, z ; g,y,z)= y, : y z. * 66. Sosując odpowiednią zamianę zmiennych obliczyć całki porójne: +y) +y+z) 3 dydz,jesobszaremograniczonymprzezpłaszczyzny:=,=,+y=, +y=,+y+z=,+y+z=3; y ) dydz,jesobszaremograniczonymprzezpowierzchnie:y=,y=,y=,y=4, b) z=y+,z=y+3,>; c*) +y ) dydz,jesorusem,j.bryłąpowsałązobrouwokółosiozkoła R) +z r, y=,<r R. Lisa 67. Wprowadzając współrzędne walcowe obliczyć całki po wskazanych obszarach: +y +z ) dydz, : +y 4, z ; b) yzdydz, : +y z y ; c) +y ) dydz, : +y +z R, +y +z Rz; +y+z)dydz, : +y, z y. 68. Wprowadzając współrzędne sferyczne obliczyć całki po wskazanych obszarach: dydz +y +z, :4 +y +z 9; b) +y ) dydz, : +y z y ; 9
c) z dydz, : +y +z R) R R>); dydz, : +y +z 4. 69. Obliczyć objęości obszarów ograniczonych podanymi powierzchniami: +y =9, +y+z=, +y+z=5; b)=, =, z=4 y, z=+y ; c)z= + +y, z=, +y =; +y +z =, y=y ). 7. Obliczyć masy obszarów o zadanych gęsościach objęościowych: =[,a] [,b] [,c],γ,y,z)=+y+zoraza,b,c>; b): +y +z 9,γ,y,z)= +y +z. 7. Wyznaczyć położenia środków masy podanych obszarów jednorodnych: :, y, z ; b)sożekopromieniupodsawyriwysokościh; c): +y z y. 7. Obliczyć momeny bezwładności względem wskazanych osi podanych obszarów jednorodnych o masie M: walec o promieniu podsawy R i wysokości H, względem osi walca; b) sożek o promieniu podsawy R i wysokości H, względem osi sożka; c) walec o promieniu podsawy R i wysokości H, względem średnicy podsawy. Lisa 73. Korzysając z definicji obliczyć ransformay Laplace a funkcji: ; b)sin; c) ; e ; e)e cos; f)sinh; g) y h) y i) y y=f) y=g) y=h) 74. Wyznaczyć funkcje ciągłe, kórych ransformay Laplace a mają posać: s+ ; b) s s +4s+5 ; c) s 4s+3 ; s+ s+)s )s +4) ; e) s + s s ) ; f) s+9 s +6s+3 ; g) s+3 s 3 +4s +5s ; h) 3s e s s 3 ) ; i) s+. 75. Meodą operaorową rozwiązać zagadnienia począkowe dla równań różniczkowych liniowych o sałych współczynnikach: y y=, y)=; b)y y=sin, y)=; c)y +y =, y)=,y )=; y +3y =e 3, y)=,y )= ; e)y y +y=sin, y)=,y )=; f)y y +y=+, y)=,y )=; g)y +4y +4y=, y)=,y )=; h)y +4y +3y=e, y)=,y )=. * 76. Korzysając z własności przekszałcenia Laplace a obliczyć ransformay funkcji: sin 4 ; b)cos4cos; c) cos; sinh3; e)e cos; f)e 3 sin ; g) )sin ); h) )e.
* 77. Obliczyć sploy par funkcji: f)=e, g)=e ; c)f)=), g)=sin; b)f)=cos3, g)=cos; f)=e, g)=. * 78. Korzysając ze wzoru Borela wyznaczyć funkcje, kórych ransformay dane są wzorami: s+)s+) ; b) s ) s+) ; c) s s +) ; s s +). Lisa 3 79. Korzysając z definicji wyznaczyć ransformay Fouriera funkcji: { sin dla π, cos dla π, { dla, f)= b)f)= dla >π; dla > π c)f)= ; dla >; { dla, f)= e)f)=e ; f*)f)=e a,a. dla >; π Wskazówka.f*) Wykorzysać równość e a d= a. 8.Niechc,h Rorazδ>.WyznaczyćransformaęFourierafunkcji h y c c δ c+ δ 8.Pokazać,żejeżeliF{f)}=ˆfω),o: F{f)cosα}= [ˆfω α)+ˆfω+α) ] ; b)f{f)sinα}= i [ˆfω α) ˆfω+α) ]. 8. Korzysając z własnści ransformay Fouriera oraz z wyników poprzednich zadań obliczyć ransformay funkcji: f)=e 3 ; b)f)=e ; c)f)=e 4 4 ; { cos { dla π, cos dla π, f)= e)f)= f)f)=[) 4)] ; dla >π; dla >π; g)f)=) e cos; h)f)=e cos ; i)f)=e sin. { dla <, waga. ) = funkcja Heaviside a. dla * 83. Korzysając z zadania 8 oraz ransformay Fouriera pochodnej wyznaczyć ransformay funkcji: b) y y * 84. W obwodzie RLC, napięcie ) jes sygnałem wejściowym, a napięcie y) sygnałem wyjściowymrys.). + ) R L C y) + Wyznaczyć rnsformaę Fouriera sygnału wyjściowego y).
85.ObliczyćransformaęFourierafunkcji f )+f ),jeżeliˆfω)= +ω. 86. Wyznaczyć funkcje, kórych ransformay Fouriera mają posać: +iω ; b) 4+ω ; c) e iω +iω ; e)sinωcosω ; f) ω +ω )4+ω ) ; 87. Obliczyć sploy podanych par funkcji i ich ransformay Fouriera: f)=g)=) ), b)f)=) ),g)=+) ), c)f)=) e,g)=) e, f)=g)=e.