Prominiowani trmizn iał. Prawo Kirhoffa. Prominiowani trmizn iał w myśl klasyznj lktrodynamiki powstaj w wyniku przyspiszń, jakih doznają ładunki lktryzn w ząstzkah w następstwi ruhu iplngo. Zgodni z prawami lktrodynamiki klasyznj każdy ładunk, który posiada różn od zra przyspiszni, wyprominiowuj falę lktromagntyzną. ożna zatm krótko stwirdzić, ż prominiowani ipln jst to prominiowani lktromagntyzn atomów i ząstzk powstają kosztm ih ruhu iplngo. Z przdstawiongo okrślnia wynika, ż prominiuj każd iało, o tmpraturz większj od zra bzwzględngo. Nalży zauważyć, ni wnikają na razi w uzasadnini tgo stwirdznia, ż długośi fal mitowango prominiowania iplngo zalżą od budowy atomów i ząstzk oraz struktury iała. W przypadku iał stałyh i izy widmo prominiowania jst iągł i objmuj szroki zakrs długośi fal. Przy wzrośi tmpratury iała wartośi mitowanyh długośi fal przsuwają w kirunku fal krótszyh i po przkrozniu ok. 5C (77K) widmo prominiowania iplngo zazyna być widzialn - osiąga zakrs światła widzialngo. Część prominiowania iplngo staj się wtdy widzialna. Ciało mituj prominiowani ipln kosztm doprowadzongo z zwnątrz ipła lub kosztm nrgii wwnętrznj iała. Jżli prominiowani to pada na inn iało, wówzas w wyniku oddziaływania pola lkromagntyzngo fali z lktryznymi ładunkami substanji zęść nrgii unoszonj przz falę ulgni absorpji, przhodzą w końowym fki powtórni w nrgię ruhu iplngo. Jst wię prominiowani ipln obok konwkji i przwodnitwa iplngo, jdną z form wymiany ipła. a forma wymiany ipła, odbywająa się za pośrdnitwm fal lktromagntyznyh wyróżnia się tym, ż moż zahodzić równiż w próżni. Własnośi misyjn iała haraktryzuj wilkość, zwana mitanją prominiowania. Okrśla ją związk dw, (.) ds gdzi W odpowiada moy wyprominiowanj nrgii ds jst lmntm powirzhni iała prominiujągo. ożna zatm okrślić mitanję jako wilkość lizbową równą struminiowi prominiowania (mo z jdnostki powirzhni). Jdnostką mitanji w układzi SI jst W/m. Za pomoą lmntu rozszzpiajągo światło w postai siatki dyfrakyjnj lub pryzmatu z matriału przpuszzajągo prominiowani ipln (np. z monokryształów NaCl lub LiF) można otrzymać widmo prominiowania iplngo. Umiszzają z koli w różnyh zęśiah widma dtktor prominiowania można zmirzyć mitanję prominiowania d w wąskih przdziałah długośi fal od do + d.wilkość wyrażoną stosunkim: d, d (.) Nazywamy spktralną (widmową) mitanją prominiowania lub spktralną gęstośią mitanji lub funkją rozkładu widmowgo prominiowania dango iała. Emitanja spktralna jst zatm lizbowo równa struminiowi prominiowania w jdnostkowym przdzial długośi fali w pobliżu długośi. Ozywiśi mitanję prominiowania zwaną zęsto ałkowitą mitanją, otrzymamy ałkują mitanję spktralną po wszystkih długośiah fal: d (.)
Własnośi absorpyjn iała haraktryzuj spktralny zyli widmowy współzynnik pohłaniania (absorpji) α. Jst to bzwymiarowa lizba okrślająa jaka zęść padajągo na iało prominiowania o długośi fali od do + d ulga absorpji. Ozywiśi α. Podobni jak mitanja spktralna tak i spktralny współzynnik absorpji zalży od rodzaju iała, stanu jgo powirzhni, tmpratury oraz długośi fali prominiowania. Charaktrystyzn dla różnyh iał różni wartośi w różnyh zęśiah widma sprawiają, ż iała ni mitują własngo światła, mają różn barwy. Ciało oświtlon światłm białym jst barwy np. zilonj, jżli ni pohłania, a odbija zilon światło. Barwa iała zalży tż od składu widmowgo, zyli od przbigu funkji f ( ) prominiowania oświtlajągo dan iało. Ciało nazywamy szarym, jżli jgo spktralny współzynnik absorpji praktyzni jst stały w dużym zakrsi długośi fal α α onst. Ciało, któr by nizalżni od swojj tmpratury i długośi fali prominiowania ałkowii pohłaniało padająy na ni strumiń nrgii prominiowania, nazywa się iałm doskonal zarnym. Zatm spktralny współzynnik absorpji iała doskonal zarngo, oznazmy go symbolm, jst równy jdnośi nizalżni od długośi fali i tmpratury: α α (.) Ciało doskonal zarn jst iałm wyidalizowanym. Ciała rzzywist zawsz odbijają s absorpji mnijszy od jdnośi. Do matriałów, któryh spktralny współzynnik absorpji w zakrsi długośi prominiowania widzialngo jst bardzo bliski jdnośi nalżą: sadza, zrń platynowa, zarny aksamit. Najlpszym jdnak przybliżnim iała doskonal zarngo jst mały otwór w wnę o powirzhni śiank znazni przkrazająj powirzhnię otworu. Jżli układ iał odizolujmy trmizni, otazają iała doskonal odbijająą i ni przpuszzalną dla promini powłoką, wówzas w takim układzi po pwnym zasi dojdzi do równowagi trmiznj i wszystki iała osiągną jdnakową i stałą tmpraturę. Oznaza to, ż każd iało układu w jdnost zasu mituj wtdy tyl samo nrgii o pohlania. Zatm iała, któr dla okrślonyh i silni absorbują prominiowani (mają duż wartośi współzynnika α ) muszą j równozśni intnsywni mitować, tzn. haraktryzować się dużymi wartośiami spktralnj mitanji. Dobr absorbnty są dobrymi mitrami. Opisaną powyżj sytuaję możmy ująć w sposób bardzij formalny. Rozważmy pwną lizbę iał ( i,kn ) znajdująyh się w środku opisanj powyżj powłoki, z względu na równowagę trmodynamizną możmy napisać ż nrgia absorbowana i mitowana przz każd iało w zasi t przz powirzhnię Si dla fal od do + d wynosi: S t α S ti S t α S ti n Sn t αn Sn ti gdzi I jst natężnim prominiowania. Nalży zauważyć, ż z względu na równowagę trmodynamizną I jst izotropow w każdym mijsu przstrzni taki samo. Ciała zanurzon są w kąpili z prominiowania. Dzilą lw strony równań przz praw i biorą pod uwagę stałość I otrzymujmy: Y n L (.6) α α α n (.5)
Wynik tn stanowi w prakty trść prawa Kirhoffa. Prawo to głosi, ż dla dowolngo iała stosunk jgo spktralnj mitanji do spktralngo współzynnika absorpji jst jdna i tą samą, uniwrsalną funkją długośi fali i tmpratury iała: f (, ) α (.7) Ozywiśi ostatni równani słuszn jst w szzgólnośi dla iała doskonal zarngo, dla którgo α. Oznazają przz spktralną mitanję iała doskonal zarngo możmy napisać: f (, ) (.8) oraz α (.9) α Uniwrsalną funkją f (, ) jst wię funkją rozkładu widmowgo prominiowania iała doskonal zarngo. Na tym właśni polga zasadniz znazni modlu wyidalizowango iała zarngo, ż funkja rozkładu prominiowania tgo modlu opisuj właśiwośi iał rzzywistyh. Z prawa Kirhoffa wyrażongo dwoma ostatnimi związkami wynika, ż jżli w danj tmpraturz iało ni pohłania prominiowania w przdzial od do + d to ni moż ono takż prominiować w tym przdzial długośi fal (jżli α, to ). Z drugij strony z tgo, ż spktralny współzynnik absorpji α jst bliski jdnośi ni wynika ż duża jst spktralna mitanja iała, gdyż w rozważanj tmpraturz iało doskonal zarn moż ni mitować fal w rozważanym przdzial długośi ( ). Poniważ α < wię zawsz < tzn. iało rzzywist słabij prominiuj niż iało doskonal zarn. Dla okrślonj tmpratury onst wykrsy funkji rozkładu widmowgo prominiowania iał rzzywistyh w ałym zakrsi długośi fal lżą poniżj krzywj rozkładu widmowgo iała doskonal zarngo. Korzystają z (.9) można napisać, ż: α d (.) Prominiowani iała doskonal zarngo Przd przystąpinim do znalzinia rozkładu widmowgo iała doskonal zarngo sformułujmy pwn postulaty. Rozpatrzmy doskonały absorbr, iało doskonal zarn, któr pohłania ałość padajągo prominiowania. Prominiowani trmizn takigo iała będzimy nazywać prominiowanim iała doskonal zarngo. ają taki doskonały pohłaniaz prominiowania wprowadzimy jgo modl fizyzny. odlm tym będzi duż wydrążni z małym otworm na zwnątrz, o powoduj ż prawdopodobiństwo wydobyia się na zwnątrz prominia, który wpadł do środka przz otwór, jst bardzo mał, o il wnęka jst dostatzni duża. Otwór jst wię doskonałym absorbrm, a ta zęść nrgii która wyika w przzń z wwnętrzngo pola prominiowania istnijągo w wnę stanowi prominiowani iała doskonal zarngo. ożna podać następują własnośi prominiowania w jami:. Równowagowy rozkład gęstośi nrgii u tgo pola zalży wyłązni od tmpratury śiank tzn. ( ) u, któr możmy uważać za doskonał zwiriadła.. Prominiowani jst izotropow tzn. ni jst w żadn sposób ukirunkowan.
. Prominiowani jst równoważn mitowanmu przz iało zarn.. Prominiowani ni zalży od rodzaju matriału z którgo są zbudowani śiany wydrążnia. 5. Prominiowani ni zalży od kształtu wnęki. ożna wykazać, ż jżli którkolwik z powyższyh stwirdzń ni byłoby prawdziw to można b dzięki odpowidnimu rozmiszzniu pohłaniazy nrgii wwnątrz wnęki, skonstruować maszynę iplną, która pogwałiłaby II zasadę trmodynamiki. Biorą pod uwagę punkt. możmy zapisać ałkowitą gęstość nrgii, to jst nrgię pohodząą od wszystkih długośi fal pola prominiowania wnęki na jdnostkę objętośi jako : u u d (.) Zakładam ż pol prominiowania wnęki jst izotropow (własność ). W takim razi iśnini wywiran na śiany wnęki (iała doskonal zarngo) przz izotropow prominiowani zalży od gęstośi lokalnj gęstośi pola jak: p u (.) Przypuśćm ż mamy wnękę o objętośi V wypłnioną izotropowym prominiowanim o gęstośi u. W tym przypadku I zasada trmodynamiki dla takigo układu wygląda następująo: dq du + pdv d( uv ) + udv udv + Vdu + udv Vdu + udv (.) dzilą dq przz absolutną tmpraturę śian wnęki otrzymujmy przyrost ntropii dq V u u ds Vdu + udv d + dv (.) V w ostatnim związku wzięliśmy pod uwagę postulat mówiąy o tym, ż u jst tylko funkją S V, jst funkją stanu możmy napisać: tmpratury. Wob tgo, ż ( ) S S ds d + dv (.5) V V a poprzz to: S V u S u (.6). V V V Korzystają z twirdznia Shwartza S S (.7) V V otrzymujmy: u u u + (.8) V V wob tgo: du u (.9) d rozwiązują to powyższ równani różnizkow otrzymujmy : u α (.) ( )
Jst to istotny rzultat mówią ż ałkowita gęstość nrgii prominiowania wnęki jst proporjonalna do -tj potęgi tmpratury wyrażonj w klwinah. Rzultat tn prowadzi bzpośrdnio do prawa Stfana-Boltzmanna, mówiągo ż jdnostka powirzhni iała doskonal zarngo wyprominiowuj ałkowitą mo równą: σ (.) 8 Gdzi σ jst stałą Stfana-Boltzmanna 5.67 W / m. W tn sposób otrzymaliśmy prawo opisują mo wyprominiowaną przz lmnt powirzhni iała doskonal zarngo używają praw trmodynamiki. Zadani wyznaznia postai u ( ) lub jdnak pozostaj nam do rozwiązania. Prominiowani iała doskonal zarngo podjśi Rayligha Jansa i Planka Zadani wyznaznia postai u ( ) lub jdnak pozostaj nam do rozwiązania. Rysunk przdstawia wyniki pomiarów dla krzywyh rozkładu widma iała doskonal zarngo tj. od (tu akurat na rysunku zamiast długośi fali jst zęstotliwość) dla kilku różnyh tmpratur. Jak wynika z przdstawionyh wykrsów prawi ała nrgia prominiowania iała doskonal zarngo przypada na zakrs fal podzrwonyh. Podjmowano próby tortyzngo wyjaśninia przbigu tyh krzywyh na podstawi znanyh torii fizyki klasyznj. Win w opariu o prawa trmodynamiki zaproponował wzór: 5 a (.) b / zwany prawm Wina. Wzór Wina jst wzorm półmpiryznym, gdyż stał a i b nalży okrślić doświadzalni porównują wzór z danymi doświadzalnymi. Jst to naturaln bo prawa trmodynamiki mogą dotyzyć tylko pwnyh ogólnyh zalżnośi między wilkośiami fizyznymi i ni okrślają już, jak np. w prawi Wina, wartośi stałyh występująyh w tyh zalżnośiah. Wartośi stałyh zalżą od mhanizmu konkrtngo zjawiska, w naszym przypadku prominiowani iała doskonal zarngo. Prawo Wina przy odpowidnim doborz stałyh a i b zgodn jst z danymi doświadzalnymi w obszarz fal krótkih, lz dla dużyh daj wartośi zbyt mał. Różnizkują wzór (.) i przyrównują pohodną do zra można znalźć długość fali dla którj funkja rozkładu prominiowania osiąga maksimum. Co więj ilozyn m i tmpratury iała doskonal zarngo jst wilkośią stałą: m B (.) m
Stała B ma wartość wynosząą B.8976 m K. Potwirdzona doświadzalni zalżność (.) nosi nazwę prawa przsunięć Wina. Wyraża ona fakt, ż w miarę podwyższania tmpratury iała maksimum prominiowania przsuwa się w kirunku fal krótkih. Ciało wraz z wzrostm tmpratury zazyna świić światłm imnozrwonym, przhodząym w światło biał w miarę wzrostu tmpratury i mitowania oraz krótszyh fal widma widzialngo. Wzór Wina jst wzorm półmpiryznym. Związkim zysto tortyznym okrślająym jst prawo Rayligh i Jansa, otrzymany równiż na gruni torii klasyznj- lktrodynamiki. Udało im się wyprowadzić wyrażni okrślają ( ) u woln od nizdtrminowanyh stałyh. Przprowadzon rozumowani okazało się błędn, al wart jst naszj uwagi jako wstęp do mtody dzięki którj Plank rozwiązał tn problm. Rozważmy wnękę w kształi szśianu o boku L (można wykazać, ż wynik rozważań prowadzonyh poniżj ni zalży od kształtu pojmnika). Równani pola lktryzngo związango z falami w takij osłoni wynika wprost z równań axwlla: ( t, x, z) f ( t, x, z) f ( t, x, z) f ( t, x, z) f + + (.) x y z t z tgo, ż rozważamy iało doskonal zarn wynika, z ni się z pojmnika ni wydostaj to znaz z poza pojmnikim f ( t, x, z). Biorą to pod uwagę, można założyć, ż f t, x, z moż być przdstawiona w postai funkji zalżnyh tylko od x, z, t. funkja ( ) i t Załóżm ż funkja zasu jst w postai ω iwt to jst ( t). ak wię przy f ( t, x, z) ( t) X ( x) Y ( y) Z( z) (.5) znajdujmy po podstawiniu do powyższgo równania i podzilniu przz f, ż Poniważ ( x) ( y) X Y Z ω + + + (.6) X ( x) x Y ( y) y Z( z) z x, z są zminnymi nizalżnymi, trzy pirwsz wyrazy muszą być równiż ( z) wzajmni nizalżn i możmy za ni podstawić odpowidnio stał α, α, gdzi α, ω α + α + α (.7) X x, Y y, Z z otrzymujmy równania: Stąd dla funkji ( ) ( ) ( ) d X d Y d Z + α X + αy + α Z (.8) dx dy dz Są to równania osylatorów harmoniznyh dla któryh odpowidnimi rozwiązaniami są: nπ x nπy nπz X Asin αx Asin Y Bsinα y Bsin Z C sinαz C sin L L L (.9) Wartośi współzynników α wynikają z koniznośi spłninia warunków brzgowyh, to jst znikania pola lktryzngo na śianah wnęki. Lizby n, n, n są ałkowit i spłniają zalżność: Lω Lν n ( ) + n + n R ν (.9) π Równani to ma taką samą postać jak równani kuli. Analogia ta moż być użytzna. Z tgo, ż n, n, n muszą być lizbami dodatnimi wynika, ż możmy się do tgo oktanu sfryzngo
w którym warunk tn jst spłniony. Zapytajmy traz il jst kombinaji lizb ałkowityh takih, ż + lży pomiędzy R ( ν ) a R ( ν + d) R + dr n + n n. Jst to równoważn pytaniu il moż istnić rodzajów fal o zęstotliwośiah od do + d? Biorą pod uwagę, ż każda z danyh fal ma dwa stopni swobody (mianowii x i y jżli się rozhodzi w kirunku z ), lizba ta wynosi: Lν Ldν 8πL dν dn Nd πr dr π (.) 8 wob tgo: N 8π n (.) L i gęstość nrgii pola w jdnost objętośi wynosi: 8π u ε (.) gdzi ε jst śrdnią nrgią modu o zęstośi. Problm rdukuj się wię do koniznośi znalzinia dowiść, ż ε ε. W fizy klasyznj używają rozkładu Boltzmanna można k dla każdgo modu. Podstawiają w (.) otrzymujmy: 8π u k (.) Prawo Rayligha Jansa jst zgodn z wynikami doświadzalnymi w obszarz fal długih natomiast w obszarz fal krótkih zupłni przzy doświadzniu, sugrują,ż nrgia prominiowania iplngo konntruj w obszarz fal ultrafioltowyh, a nawt krótszyh rntgnowskih. Wyrażni (.) jst monotonizną funkją zatm pol powirzhni pod jj wykrsm a tym samym gęstość ałkowitj nrgii prominiowania iała będzi dążyć do niskońzonośi: 8π u ud kd (.) Przzy to ni tylko prawom prominiowania, al równiż zasadzi zahowania nrgii. Z problmm tym poradził sobi Plank. Cl Planka polgał na znalziniu takij wartośi śrdnij nrgii dla modu, by po podstawiniu do wzoru (.) wynik zgadzał się z obsrwowanymi krzywymi. Aby taką zgodność uzyskać Plank zmuszony był przyjąć, ż jdnowymiarowy osylator moż mić tylko nrgi: ε nh (.5) n Korzystają z rozkładu Boltzmanna śrdnią nrgię osylatora oblizamy następująo: n ε n k n nh k βnh ε n nh nh n n n ε (.6) ε n nh k k βnh gdzi β k n. ożmy przpisać tn wzór jako: d βnh ε ln (.7) dβ n
Rozpiszmy sumę z liznika wyrażnia (.6) i skorzystajmy z własnośi szrgu gomtryzngo: βnh βh βh nh + + + + K + z + z + z + K βh n z (.8) Wob tgo: ε i otrzymujmy: d βnh ln ln βh dβ n dβ u 8πh h k d h βh (.9) (.) Związk tn jst znany jako prawo Planka i doskonal zgadza się z wynikami ksprymntalnymi. Zobazmy jak ta zalżność zahowuj się na krańah widma. W tym lu zapiszmy (.) jako funkj długośi fali. Poniważ: u d u d (.) wię d d u u u u d, (.) d d znak minus będzimy dalj pomijać bowim wyraża on tylko fakt, ż przyrostowi długośi fali odpowiada spadk zęstotliwośi. Stosują związk (.) i pamiętają, ż, otrzymujmy: 8πh u 5 h k (.) W klasyznj albo długofalowj graniy h << możmy skorzystać tylko z pirwszgo wyrazu rozwinięia: h k h + +L (.) k skąd otrzymujmy: 8πk 8π k u, u (.5) Co jst równoważn prawu Rayligha Jansa. h Dla krótkih fal >> równani (.) przhodzi w: k h k 8πh u 5 o jst z koli tożsam z prawm Wina. k (.6)
Chą polizyć ałkowitą gęstość prominiowania w tym przypadku musimy ozywiśi sałkować wyrażni (.) w graniah od do.przprowadzimy to stosują h podstawini x. Wob tgo k korzystają z faktu, ż 8π u h ( k ) xdx x otrzymujmy xdx π x 5 ( k ) 5 8π u 5 h Stała Planka wynosi h ( 6.656 ±.5) J s. Hipotza Planka przwidywała pozątkowo, ż tylko drgania lktryzn w wnę są skwantowan to znazy przybirają wartośi dyskrtn, a ni iągł. Jdnak szybko sobi zdano sprawę, ż wynika z tgo równiż skwantowani fal lktromagntyznyh w ogólnym przypadku. Postulat tn został ostatzni rozszrzony do stwirdznia, ż każdy układ drgająy jdnowymiarowy moż zajmować tylko taki poziomy nrgtyzn, któr spłniają równani (.5). Na pirwszy rzut oka propozyja ta moż się wydawać niuzasadniona. Wahadło na przykład wydaj się zdoln do przyjmowania tylko iągłyh wartośi nrgii. asa jdngo grama osylująa na sznurku o długośi jdngo mtra z amplitudą kątową 5 stopni ma zęstość.5/ s i 5 nrgię drgań ε.7 J. Najmnijszy przyrost, o który nrgia drgań moż zminić się 9 zgodni z postulatm Planka wynosi h 6.6.5. J. Jst to wartość razy mnijsza od obsrwowanj ałkowitj nrgii! Ozywiśi tak mał zmiany są ni do wykryia. Wyprowadzni prawa Planka przz Einstina Aby wyjaśnić to podjśi rozważmy poglądy na budowę atomu znan w zasah Einstina. Zgodni z nimi, lktrony krążyły wokół jądr atomowyh, poruszają się po dobrz okrślonyh orbitah odpowiadająyh dyskrtnym poziomom nrgtyznym (dokładn omówini konpji atomu Bohra nastąpi w dalszj zęśi wykładu). Zajmijmy się dwima orbitami o nrgiah E i E gdzi E > E. Wdług hipotzy Bohra zęstość światła wysyłango podzas przjśia z stanu E do E jst dana zalżnośią E E h. Rozważmy zspół atomów, z któryh Njst w stani podstawowym o nrgii E natomiast N - w stanah wzbudzonyh o nrgii E. Wdług Boltzmana jżli układ znajduj się w stani równowagi stosunk lizby ząstk w tyh dwóh stanah nrgtyznyh okrśla zalżność: E / k N (.7) E / k N Poniważ układ znajduj się w równowadz trmodynamiznj tyl samo kwantów w jdnost zasu musi być mitowanyh w jdnost zasu z poziomu E o absorbowanyh na poziomi E. Biorą to pod uwagę musimy zażądać aby:
C N CN (.8) Biorą pod uwagę rozkład Boltzmana N < N wob tgo C < C. Stał C,C intrprtuj się zazwyzaj jako prawdopodobiństwo przjśia w jdnost zasu. Z równania (.8) wynika, ż w układzi w stani równowagi ałkowit prawdopodobiństwo przjśia w dół powinno być większ niż odpowidni prawdopodobiństwo przjśia w górę. Wniosk tn można zapisać na wil różnyh sposobów, lz najprośij jst zapisać to w sposób zaproponowany przz Einstina. W tym podjśiu lizba przjść z stanu niższgo do wyższgo pod wpływm absorpji światła, zahodząyh w jdnost zasu jst proporjonalna do lizby atomów znajdująyh się w stani podstawowym oraz do gęstośi nrgii prominiowania u (ostatni założni wynika z danyh doświadzalnyh i wyraża prosty fakt ż prawdopodobiństwo przjśia z jdngo stanu do drugigo wzrasta liniowo z gęstośią nrgii prominiowania) o możmy zapisać następująo: dn NB u (.9) dt abs W lu odtworznia wzoru Planka Einstin musiał wprowadzić dwa różn prosy misji: a) misja wymuszona Zakładam ż lizba przjść atomów z stanu wzbudzongo jst proporjonalna do lizby atomów N i gęstośi nrgii u. Oznazają współzynnik proporjonalnośi symbolm B otrzymujmy: dn dt m, wym N B u (.5) b) misja spontanizna. W tym prosi atomy mogą wysłać światło spontanizni, zyli w niobność jakigokolwik pola świtlngo. Odpowidnia szybkość przjśia jst z założnia proporjonalna do N i po wprowadzniu współzynnika proporjonalnośi przybira postać dn AN dt m, sp W stani równowagi trmiznj, gdy lizba obsadzń atomów pozostaj stała lizba przjść do stanów wyższyh musi być równa lizbi przjść do stanów niższyh. W tn sposób dostajmy warunk równowagi N Bu NBu + AN. (.5) Nalży zwróić uwagę na to, ż jst to warunk konizn al ni wystarzają dla stanu równowagi trmiznj. Warunk na osiągnięi stanu równowagi trmiznj wprowadzimy niżj, robią wyraźn założni dotyzą wilkośi N. Rozpatrują równani (.5) można sądzić, ż wszystki wilkośi są wilkośiami niznanymi. Zobazymy jdnak, ż wszystki t wilkośi można wyznazyć. Rozwiązują (.5) względm u dostajmy: A u (.5) NB B NB Zgodni z mhaniką statystyzną obsadznia poziomów opisuj związk (.7) zatm: N N E / k ( ( E E ) / k ) E / k h k (.5)
gdzi jak wiadomo oznaza zęstość światła odpowiadająą przjśiu. Do wyznaznia względnyh wartośi. Do wyznaznia względnyh wilkośi B, B wykorzystujmy ozywisty postulat mówią ż w przypadku, gdy tmpratura staj się niskońzona gęstość nrgii u musi być niskońzona, będzi tak tylko wtdy jżli: n zyli B B (.5) Zatm ni musimy rozróżniać B, B i w dalszj zęśi pominimy wskaźniki przy tym symbolu. Wob tgo związk (.5) przyjmuj postać A u (.55) h k B Stosunk A/ B wyznazymy wykorzystują postać gęstośi nrgii trmiznj dla niskih tmpratur h << k. Przypadk tn był wzśnij dyskutowany w ramah torii klasyznj i opisuj j wyprowadzon wzśnij prawo Rayligha-Jansa 8π Ak u k (.56) Bh Korzystają z powyższgo związku możmy napisać: A 8πh (.57) B Wstawiają powyższą równość do równania (.55) otrzymujmy wzór Planka: 8πh u (.58) h k