Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Całki nieoznaczone 1. Definicja całki nieoznaczonej Definicja 1. Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I, jeżeli F (x) = f(x) dla każdego x I. Np. funkcjami pierwotnymi funkcji f(x) = sin x na R są cos x, cos x + 1, cos x 100. Twierdzenie 1. (podstawowe o funkcjach pierwotnych) Niech F będzie funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I. Wtedy 1. funkcja G(x) = F (x) + C jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I dla dowolnej stałej C R.. każdą funkcję pierwotną funkcji f na I można przedstawić w postaci F (x) + D, gdzie D R. Twierdzenie. (warunek wystarczający istnienia funkcji pierwotnej) Jeżeli funkcja f jest ciągła na przedziale, to ma funkcję pierwotną na tym przedziale. Definicja. Niech F będzie funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I. Całką nieoznaczoną funkcji f na przedziale I nazywamy zbiór funkcji {F (x) + C : C R}. Całkę nieoznaczoną funkcji f oznaczamy przez f(x). Jeżeli istnieje całka funkcji f(x), to funkcję nazywamy całkowalną. W praktyce nie piszemy nawiasów klamrowych zapisując całkę jako pojedynczą funkcję pierwotną. Również działania na całkach będą działaniami na funkcjach reprezentujących te całki. Na przykład zauważmy własności: [ f(x) ] = f(x), f (x) = f(x) + C. Ze wzorów na pochodne wynikają następujące wzory dla całek. 1.1. Wzory podstawowe x n = xn+1 n + 1 + C, 1 = ln x + C x sin x = cos x + C cos x = sin x + C n R, n 1 1
Ponadto mamy wzór cos x = tg x + C sin x = ctg x + C a x = ax ln a + C e x = e x + C = arc tg x + C 1 + x = arc sin x + C 1 x sinh x = cosh x + C cosh x = sinh x + C cosh x = tgh x + C sinh x = ctgh x + C f (x) = ln f(x) + C. f(x) Wszystkie powyższe wzory można sprawdzić obliczając pochodną prawej strony równości. Również następne twierdzenie jest konsekwencją własności pochodnych funkcji. Twierdzenie. Jeżeli funkcje f i g mają funkcje pierwotne, to 1. (f(x) + g(x)) = f(x) + g(x),. (f(x) g(x)) = f(x) g(x),. (cf(x)) = c f(x), Przykłady. 1... 4. 5. 6. 7. 8. x x (x x)(1+ x) x tg x sin x cos x x (x +1) x(x x+1) x 4 x tg x x +1 x x+6 Twierdzenie 4. (o całkowaniu przez podstawienie) Jeżeli funkcja f(t) jest całkowalna w przedziale (a, b) i funkcja t = ϕ(x) ma ciągłą pochodną w (α, β) oraz a < ϕ(x) < b dla x (α, β), to f (ϕ(x)) ϕ (x) = f(t) dt. D o w ó d. Niech F (t) będzie funkcją pierwotną funkcji f(t), tzn. F (t) = f(t). Z twierdzenia o pochodnej funkcji złożonej mamy ( F (ϕ(x)) ) = f(ϕ(x))ϕ (x). Zatem f (ϕ(x)) ϕ (x) = F (ϕ(x)) + C.
Podstawiając po prawej stronie ϕ(x) = t otrzymujemy f (ϕ(x)) ϕ (x) = F (t) + C, a zatem f (ϕ(x)) ϕ (x) = f(t) dt. Przykłady. 1. (x 5) 5 1. x 5 e. x 4. 1+e x e 1/x x Wniosek 1. Jeżeli funkcja F (x) jest funkcją pierwotną funkcji f(x), to f(ax + b) = 1 F (ax + b) + C a Przykłady. 1. cos(x + 1). e x Twierdzenie 5. (o całkowaniu przez części) Jeżeli funkcje u(x) i v(x) mają w pewnym przedziale ciągłe pochodne, to u(x)v (x) = u(x)v(x) v(x)u (x). D o w ó d. Ze wzoru na pochodną iloczynu (u(x)v(x)) = u (x)v(x) + v(x)u (x) wynika, że (u(x)v(x)) = u (x)v(x) + v(x)u (x), czyli u(x)v(x) = u (x)v(x) + v(x)u (x), a więc u (x)v(x) = u(x)v(x) v(x)u (x). Przypomnijmy, że v (x) = dv, u (x) = du (różniczki). Zatem wzór na całkowanie przez części można zapisać krócej u dv = uv v du. Przykłady. 1. ln x.. 4. 5. x sin x x arc tg x e x cos x x e x
1.. Wzory rekurencyjne Poniższe wzory wyprowadza się stosując całkowanie przez części. 1. sin n x = 1 n cos x sin x + n 1 sin n x, n, n. cos n x = 1 n sin x cos x + n 1 n cos n x, n,. x n a x = xn a x ln a n ln a x a x, n 1, 4. 5. (1 + x ) n = x n (n 1)(1 + x + ) n (a + x ) n = x n (n 1)a (a + x + ) (n )a (1 + x, n, ) (a + x, n, ) 1.. Wzory dodatkowe 1. x + a = 1 a arc tg x a + C.. x a = 1 a ln x a + C x + a a x = 1 a ln a + x a x + C 4. a x = arc sin x a + C 5. a x = a arc sin x a + x a x a + C 6. x + a = ln x + x + a + C 7. x + a = a ln x + x + a + x x + a + C Przykłady. 1. 4 x. x 7 1.4. Całkowanie funkcji wymiernych Definicja. Funkcją wymierną nazywamy iloraz dwóch wielomianów, tj. funkcję postaci P (x) Q(x), gdzie P (x), Q(x) są wielomianami. Jeżeli deg P < deg Q, to funkcję wymierną nazywamy właściwą (lub ułamkiem właściwym). 4
Jeżeli deg P deg Q, to można wykonać dzielenie. Otrzymamy iloraz S(x) i resztę R(x), tj.: P (x) R(x) = S(x) + Q(x) Q(x). Zatem funkcje wymierną niewłaściwą można przedstawić w postaci sumy wielomianu i ułamka właściwego. Przykład. Przedstawić w postaci sumy wielomianu i ułamka właściwego funkcję x +5x 7 x +1. Definicja 4. Funkcję wymierną postaci A, n N, a, A R (x + a) n nazywamy ułamkiem prostym pierwszego rodzaju, a funkcję Bx + C (x + px + q) n, n N, p, q, B, C R, = p 4q < 0 nazywamy ułamkiem prostym drugiego rodzaju. Twierdzenie 6. (o rozkładzie funkcji wymiernej na ułamki proste) Każda funkcja wymierna właściwa jest sumą ułamków prostych. Jeżeli mianownik funkcji jest postaci Q(x) = a(x x 1 ) k1 (x x ) k... (x x r ) kr (x +p 1 x+q 1 ) l1 (x +p x+q ) l... (x +p s x+q s ) ls, to czynnikowi (x x i ) ki odpowiada suma k i ułamków prostych postaci A 1 A + x x i (x x i ) + A ki (x x i ), ki a czynnikowi (x + p j x + q j ) lj odpowiada suma l j ułamków prostych postaci B 1 x + C 1 B x + C x + + p j x + q j (x + p j x + q j ) + + B lj x + C lj (x + p j x + q j ). lj Etapy rozkładu na ułamki proste 1. Napisz przewidywany rozkład na ułamki (kierując się rozkładem mianownika na czynniki). Sprowadź te ułamki do wspólnego mianownika. Przyrównaj liczniki po obu stronach 4. Eliminuj A, B, C,... wybierając wartości dla x, lub Uporządkuj liczniki według potęg x i przyrównaj współczynniki po obu stronach 5. Wylicz wartości A, B, C,.... Jak napisać przewidywany rozkład na ułamki? Czynniki jednokrotne: Czynniki wielokrotne: Trójmian nierozkladalny: Wielokrotny trójmian nierozkładalny: 1 x 9 = 1 (x )(x + ) = A x + B x + x + x 1 = A x(x ) x + B x + C (x ) + D (x ) x + 4 (x )(x + ) = A x + Bx + C x + x + x + 4 (x + 5)(x + 5) = A x + Bx + C x + 5 + Dx + E (x + 5) 5
Przykłady. Rozłożyć na ułamki proste 5x 4 x + x x = 1 1 6 x 1 1 1 x + 1 + 16 1 x +, x x x + 1 = 1 1 1 x + 1 + x + 1 x x + 1, (x ) (x + 1) = 1 1 7 x 8 1 9 (x ) + 4 1 (x ) 1 1 7 x 1. Z powyższych własności algebraicznych wynika, że całkowanie funkcji wymiernych można sprowadzić do całkowania ułamków prostych. Z ułamkami pierwszego rodzaju nie ma problemu: 1. dla n = 1: A = A ln x + a + C; x + a. dla n > 1: A (x + a) = A + C; n (1 n)(x + a) 1 n Ułamki drugiego rodzaju są trudniejsze. Dla n = 1 należy: 1. wydzielić w liczniku pochodną mianownika: Bx + C = B. rozłożyć na sumę ułamków: Bx + C x + px + q = B (x + p) x + px + q + (x + p) + (C Bp ); C Bp x + px + q ;. do pierwszego ułamka zastosować wzór f (x) = ln f(x) + C; f(x) 4. w drugim ułamku przedstawić licznik w postaci kanonicznej: (x+ p ) a następnie skorzystać 4 ze wzoru (x + p ) + a = 1 a arc tg x + p + C, gdzie a = a 4 Przykład. x 1. x x+5 Ułamek drugiego rodzaju, gdzie n > 1, całkujemy podobnie: 1. wydzielamy w liczniku pochodną mianownika: Bx + C = B Bp (x + p) + (C );. rozkładamy na sumę ułamków: B Bx + C (x + px + q) = (x + p) n (x + px + q) + C Bp n (x + px + q) ; n. pierwszy ułamek całkujemy przez podstawienie x + px + q = t; 4. w drugim ułamku mianownik sprowadzamy do postaci kanonicznej: (x + p ) 4 a następnie korzystamy ze wzoru rekurencyjnego (a + x ) = x n + n (n 1)a (a + x ) (n )a, gdzie a = (a + x ) 4 1.5. Całkowanie funkcji trygonometrycznych Będziemy rozpatrywali funkcje postaci R(sin x, cos x), gdzie R jest funkcją wymierną dwóch zmiennych. Całki takich funkcji oblicza się przez odpowiednie podstawienie, które sprowadza całkę do całki funkcji wymiernej. Najbardziej ogólne jest tzw. podstawienie uniwersalne: Wtedy x = arc tg t, więc tg x = t. = Ze wzorów trygonometrycznych otrzymujemy: sin x = dt 1 + t. t 1 t, cos x = 1 + t 1 + t. 6
Przykład. 1 cos x 1 1 t 1 + cos x = 1+t dt 1 + 1 t 1 + t = 1+t t 1 + t dt = = (t arc tg t) + C = tg x x + C. W przypadku całki postaci: sin m x cos n x, m, n N sposób postępowania zależy od tego, czy m, n są parzyste, czy nie. Jeżeli np. m = k + 1, to: sin m x cos n x = sin k x cos n x sin x, i po podstawieniu cos x = t otrzymujemy (1 t ) k t n dt. Analogicznie postępujemy, gdy n jest nieparzyste. Jeżeli zarówno m jak i n są nieparzyste, to korzystamy ze wzorów sin x = 1 (1 cos x), cos x = 1 (1 + cos x), sin x cos x = 1 sin x, lub ze wzoru jedynkowego (a potem ewentualnie wzorów rekurencyjnych). Natomiast całki: sin mx cos nx, przekształcamy korzystając ze wzorów: sin mx sin nx, cos mx cos nx sin mx cos nx = 1 [sin(m + n)x + sin(m n)x], sin mx sin nx = 1 [cos(m n)x cos(m + n)x], cos mx cos nx = 1 [cos(m n)x + cos(m + n)x]. 1.6. Całkowanie pewnych funkcji niewymiernych Funkcje zawierające pierwiastki (różnych stopni) mogą być bardzo skomplikowane. Dla rozmaitych typów istnieją podstawienia sprowadzające je do funkcji wymiernych. Jeśli funkcja zawiera pierwiastki wyrażenia ax + b cx + d to podstawiamy ax + b cx + d = zn gdzie n jest najmniejszą wspólną wielokrotnością stopni pierwiastków. Np. w całce x + x podstawiamy x = z 6, a w całce x 1 4 x 1 podstawiamy x 1 = z 4. Całki zawierające pierwiastek trójmianu kwadratowego można obliczać sprowadzając trójmian ax + bx + c do jednej z postaci 1. m z,. m + z,. z m, a następnie stosować, odpowiednio, podstawienia 1. z = m sin t lub z = m tgh t,. z = m tg t lub z = m sinh t, 7
. z = m 1 lub z = m cosh t. cos t Przykład. Obliczyć I = x x + x + 1. Ponieważ więc podstawimy co prowadzi do całki x + x + 1 = x + 1 = ( x + 1 ) + 4 sinh t, = cosh t dt I = ( 1 + ) sinh t cosh t dt. 8 Alternatywą jest podstawienie co prowadzi do całki x + 1 = I = 8 tg t, = cos t dt ( 1 + tg t ) 1 cos t dt. 8