Wprowadzenie do dy- MUD 01 namiki Wprowadzenie Kiedy stosujemy podejście dynamiczne? Podejście dynamiczne stosujemy, kiedy wpływ sił bezwładności na zachowanie się konstrukcji jest istotny. A co uważamy za istotny wpływ? To zależy Podstawowe rodzaje zagadnień dynamicznych z punktu widzenia inżyniera 1. Dynamika punktów materialnych lub pojedynczych ciał sztywnych. Konstrukcja modelowana jest jako coś, co ma masę i moment(y) bezwładności wokół jednej lub kilku osi 2. Dynamika układów ciał sztywnych. J.w. lecz rozpatrujemy kilka ciał połączonych ze sobą. Więzi pomiędzy nimi mogą być tylko kinematyczne (łożysko, przegub) lub konstrukcyjne (sprężyna, tłumik) 3. Dynamika ciał odkształcalnych. Dodatkowo uwzględniamy odkształcenia ciał Uwagi Każdy z tych typów zagadnień może (ale nie musi) być udoskonaleniem poprzedniego Cała sztuka polega na tym, żeby dobrać model, który wyłapuje interesujące nas zjawisko i nic poza nim. Charakterystyczna częstotliwość typowego trzasku przy chwytaniu sprzęgła w samochodzie to 6 15 Hz. Do modelowania takiego zjawiska wystarczy prosty model: 3-4 masy i realistyczny model tarcia [1] Zagadnień dynamiki powiązanych z ruchem ciał często nie da się rozwiązać bezpośrednio zwykłą MES. Przykład: ruch pocisku artyleryjskiego w lufie armaty. ADINA posiada taką możliwość dopiero od wersji 8.9 Dwie metody wyprowadzania równań dynamicznych 1. Zasada d Alemberta: podobno jak w statyce, układ w czasie ruchu znajduje się w równowadze, lecz nie w statycznej a dynamicznej. W praktyce wystarczy do znanego ze statyki równania ruchu dodać człon (lub człony) bezwładnościowy. Porównanie wielkości tego członu(ów) do pozostałych pozwala ilościowo ocenić na ile istotne są efekty dynamiczne. W najprostszym przypadku ruchu 1 ciała o masiemwzdłuż osix: Statyka: F i = 0, czyli suma wszystkich x-składowych sił działających na ciało jest 0 Dynamika: F i (x,t) = mẍ, czyli II prawo Newtona 2. Równania Lagrange a (lub Eulera-Lagrange a). Ruch dowolnego układu dynamicznego o uogólnionych współrzędnych q i wyznacza układ i równań: d + U = Q i dt q i q i q i gdzie T energia kinetyczna, U energia potencjalna układu, Q i siły uogólnione. W większości realnych sytuacji = 0 ponieważ energia kinetyczna q i zwykle zależy tylko od prędkości q i
Równanie Lagrange a, łopatologia W równaniu Lagrange a występują tylko siły: po lewej stronie wewnętrzne, po prawej zewnętrzne d + U = Q i dt q i q i Jak z członu powiązanego z energią potencjalną U (siła przemieszczenie) za pomocą różniczkowania wydobyć siłę? Odp: przez różniczkowanie po przemieszczeniu Po jakiej zmiennej można realnie różniczkować wyraz dla energii kinetycznej T ( 1 /2 masa (prędkość) 2 )? Czyli jaki z 2 parametrów (masa i prędkość) zwykle zmienia się w czasie ruchu? Odp: po prędkości Wynik poprzedniej operacji (mv) nie jest siłą (ma). Po jakiej zmiennej trzeba różniczkować prędkość v, żeby otrzymać przyspieszenie a? Odp: po czasie t Przykłady Model z jednym stopniem swobody, zasada d Alemberta Na ciało (poza bezwładnością) działa 1 siła zewnętrzna kx od strony sprężyny Warunek równowagi dynamicznej ma postać mẍ = kx. Bez dynamiki mamy statykę:kx = 0, rozwiązaniex = 0 brak ruchu kx k m x Dzielimy przez m: (m 0, brak bezwładności oznacza brak dynamiki) ẍ+(k/m)x = 0 Po zamianie k/m ω 2 ostatecznie ẍ + ω 2 x = 0. Za chwilę zobaczymy, że ω częstotliwość drgań własnych układu Jeżeli na układ działa dodatkowo zewnętrzna siła f(t), to równanie ma postać mẍ+kx = f(t) Bez dynamiki, czyli przy bardzo powolnym ruchu, mamy kx = f(t), co daje tzw. rozwiązanie quasi-statyczne x = f(t)/k Model z jednym stopniem swobody, równanie Lagrange a 1. Współrzędną, która jednoznacznie określa nam stan układu jest x, siła uogólniona to po prostu f(t) 2. Energia kinetyczna układu T = 1 /2mẋ 2, energia potencjalnau = 1 /2kx 2 3. 4. ẋ = mẋ, d = mẍ. To jest siła bezwładności masy dt ẋ x = 0, U = kx. To jest siła sprężystości sprężyny x 5. Ostateczne równanie jest takie same mẍ+kx = f(t) Ciężkie koło na osi, zasada d Alemberta 3.0.0 2-3-2013 I.Rokach, 2010 2013 2
Wartość fizyczna Prostolinijny Obrotowy Przemieszczenie, x, ẋ, ẍ α, α, α prędkość, przyspieszenie Bezwładność Masa m [kg] Masowy moment bezwładnościj[kg m 2 ] Obciążenie Siła F [N] Moment M [N m] Równanie ruchu Fi = mẍ Mi = J α Energia kinetyczna 1/2mẋ 2 1/2J α 2 Energia potencjalna 1/2kx 2 1/2cα 2 (sprężyna) c m,j 1. Dane: masa kołam, promieńr, sztywność osi na skręcanie c [jednostki: moment/kąt, N m/rad], zaniedbujemy masę osi oraz jej masowy moment bezwładności. Jedyną współrzędną, która określa nam stan układu jest kąt α 2. Masowy moment bezwładności koła J = 1 /2mR 2.. Oznacza to, że nasze koło zamachowe zakręca oś tak samo jak masa skupiona m umieszczona na ramieniu o długości R/ 2 3. Siła bezwładności: J α, siła sprężystości osi: cα. Równanie drgań własnych: J α+cα = 0 Analogia: ruch obrotowy ruch prostolinijny Podstawowe wzory na momenty bezwładności można znaleźć w PL-Wikipedii. Hasło: Lista momentów bezwładności. Ale jej niemiecki odpowiednik jest lepszy Wahadło z dopalaczem : pręt ze sprężyną, równanie Lagrange a 1. Dane: masa prętam, jego moment bezwładnościj[kg m 2 ], sztywność sprężyny c [N m/rad], odległość środka ciężkości pręta od osi R. Jako współrzędną uogólnioną wybieramy kąt odchylenia wahadła α 2. Energia kinetyczna:t = 1 /2J α 2 c α m,i 3. Energia potencjalna U = 1 /2cα 2 + mgr(1 cos(α)). Pierwszy człon energia odkształcenia sprężyny, drugi zmiana położenia środku ciężkości pręta 4. α = J α, d dt α = J α, U = cα+mgr sin(α) α 5. Równanie drgań własnych : J α + cα + mgr sin(α) = 0. Dla małych wartości α równanie można zlinearyzować za pomocą zamiany sin(α) α, co daje J α+(c+mgr)α = 0 Widzimy jak masa powiększa sztywność sprężyny c 3.0.0 2-3-2013 I.Rokach, 2010 2013 3
W matematyce i fizyce często są wykorzystywane wzory x sin(x) albo x tg(x) dla małych x. Rzadziej można znaleźć odpowiedz na pytanie dla jakich x i z jaką dokładnością można stosować takie wzory. Poniższa tabela zawiera odpowiednie dane Dokładność: 1% 5% 10% sin(x) ±14 ±32,6 ±45 tg(x) ±10 ±21,6 ±30 Czyli (po lekkim zaokrągleniu w celu uproszczenia) odpowiednie wartości dla sin(x) to ±15, ±30 i ±45, a dla tg(x) to ±10, ±20 i ±30. Teraz te liczby jest łatwo zapamiętać Płyn w rurce, równanie Lagrange a x x l 1. Dane: gęstość płynuρ[kg/m 3 ], pole przekroju rurkia, ogólna długość słupa płynu w rurce l. Rozważamy płyn nieściśliwy, zaniedbujemy tarcie. Jako współrzędną uogólnioną wybieramy przemieszczenie lustra płynu x w prawym kolanie rurki 2. Energia potencjalna: U = Aρgx x = Aρgx 2 3. Energia kinetyczna: T = 1 /2mẋ 2 = 1 /2Aρlẋ 2 4. Równanie końcowe (proszę wyprowadzić samodzielnie): lẍ+ 2gx = 0 Zastosowanie poprzedniego modelu Model jest prymitywny, ale dobrze przewiduje zachowanie się rtęci (płynu z niska lepkością i wysokim ρ) w niezawodnych manometrach starej daty Uwagi praktyczne Dla wszystkich układów z 1 stopniem swobody równanie drgań własnych ma postaćẍ+ω 2 x = 0 Chociaż dla prostych układów dość łatwo można wyprowadzić równanie drgań własnych, w wielu praktycznych sytuacjach nawet to nie jest potrzebne. Powodów jest co najmniej dwa: 1. Bardzo często inżyniera interesują wybrane parametry układu: maksymalne przemieszczenie, maksymalna prędkość, najniższa częstotliwość drgań własnych. Wszystkie te parametry można wyznaczyć bez wyprowadzania równania ruchu, ze zwykłego bilansu energii (pokażemy to za chwilę) 2. Mamy do dyspozycji modelowanie fizyczne i odpowiednie narzędzia informatyczne, w tym oparte na języku Modelica Rozwiązanie równania drgań własnych ẍ+ω 2 x = 0 Z formalnego punktu widzenia równanie ẍ = ω 2 x jest stwierdzeniem, że interesuje nas funkcja czasu, która (z dokładnością do mnożnika) jest równa swojej drugiej pochodnej. Kandydatów na rozwiązanie jest bardzo mało. To przede wszystkim exp(x) jedyna funkcja niewrażliwa na różniczkowanie oraz spokrewnione z nią funkcję sin(x) i cos(x), które są niewrażliwe na różniczkowanie parzystą ilość razy Rozwiązanie jest trywialne i ma postać x(t) = A cos(ωt)+b sin(ωt) (1) StałeAiBmożna wyznaczyć z warunków początkowych: x(0) = x 0,ẋ = v 0 1. Dla t = 0,x(0) = A cos(0)+b sin(0) = A 1+B 0 = A = x 0 2. (1) ẋ = Aω sin(ωt)+bω cos(ωt), dla t = 0, ẋ(0) = Aω sin(0)+ Bω cos(0) = Bω = v 0 3.0.0 2-3-2013 I.Rokach, 2010 2013 4
3. Ostatecznie albo x(t) = a cos(ωt β), a = x(t) = x 0 cos(ωt)+ v 0 sin(ωt) (2) ω x 2 0 +(v 0 ω )2, β = arc tg v 0 ωx 0 (3) Powiązanie pomiędzy maksymalnymi wartościami przemieszczenia i prędkości Jeżelix(t) = a cos(ωt β), to x max = a Jeżeliẋ(t) = aω sin(ωt β), to v max = aω Czyli v max = ωx max albox max = v max /ω Oznacza to, że jeżeli znane jest maksymalne przemieszczenie układu, to możemy (bez rozwiązywania równania) wyznaczyć maksymalną prędkość ruchu. I odwrotnie jeżeli znana jest maksymalna prędkość ruchu układu, to możemy wyznaczyć maksymalne przemieszczenie. Warunek jest jeden musimy znać częstotliwość drgań własnych ω Energetyczna metoda wyznaczania częstotliwości drgań własnych Zasada zachowania energii wymaga:t +U = const Kiedy T = T max, to U = 0. I na odwrót, jeżeliu = U max, tot = 0 Z tego wynika, żet max = U max. Równanie to zwykle pozwala wyznaczyć ω Prosty przykład Dla układu masa-sprężynat = 1 /2mv 2,U = 1 /2kx 2 Czyli T max = 1 /2mv 2 max,u max = 1 /2kx 2 max Mamy mv 2 max = kx 2 max, alev max = ωx max, co daje mω 2 x 2 max = kx 2 max Ostatecznie mamy znany wynik ω = k/m Nie aż tak prosty przykład (cylinder w rurze, brak tarcia) O α α R r C h max C v max β A Cylinder o promieniu r i masie m porusza się wewnątrz rury o promieniu R. Z powodu wysokiego współczynnika tarcia ruch odbywa się bez poślizgu. Znaleźć częstotliwość oscylacji dla małych kątów α [2] Maks. energia potencjalna U max = mgh max = mg(r r)(1 cos(α max )) 1 2 mg(r r)α2 max. Skorzystaliśmy z tego, że: Odległość OC =OC=R r, rzut OC na OC ma długość(r r) cos(α max ),h max = (R r) (R r) cos(α max ) = (R r)(1 cos(α max )), cos(α) 1 1 2 α2 3.0.0 2-3-2013 I.Rokach, 2010 2013 5
W p. A cylinder ma stały kontakt z rurą,t max = 1 2 J A β 2 max, gdziej A jest moment bezwładności względem osi, która przechodzi przez punkt A. Ale rβ = (R r)α, więc β = R r α r Moment bezwładnościj = 1 2 mr2 +mr 2 = 3 2 mr2, T max = 3 4 m(r r)2 α 2 max Mamy U max = 1 2 mg(r r)α2 max,t max = 3 4 m(r r)2 α 2 max Przypominamy, że α max = ωα max. Równanie to jest sprawiedliwe zarówno dla ruchu prostolinijnego, jak i obrotowego. Z równania 1 2 mg(r r)α2 max = 3 4 m(r r)2 ω 2 α 2 max otrzymujemy ostatecznie 2g ω = 3(R r) Uwaga praktyczna. Obliczenia w dynamice są żmudne i bardzo łatwo się pomylić. Koniecznie trzeba sprawdzić 1. Poprawność wymiaru ostatecznego wyniku (w danym przypadku ma być 1/czas) 2. Poprawność sensu fizycznego wyniku. W danym przypadku co będzie zωdlar R,r 0 Jeszcze jeden sposób na wyprowadzenie wzoru na maksymalną energię kinetyczną. T max = 1 2 mv2 max + 1 2 J C γ m ax 2, gdzie pierwszy człon jest energią kinetyczną środka ciężkości cylindra, który znajduje w p. C. Drugi człon reprezentuje energię powiązaną z obracaniem się cylindra wokół środka ciężkości z niewiadomą prędkością obrotową γ Zauważamy, że v max = (R r) α max. Prędkość kątowa obracania się cylindra wokół środka ciężkości jest taka sama, jak wokół p.a, czyli γ max = β max = R r α max. Masowy mo- r ment obrotowy dla cylindra względem jego osi to J C = 1 2 mr2. Ostatecznie mamy T max = 1 2 m(r r)2 α 2 max + 1 4 m(r r)2 α 2 max = 3 4 m(r r)2 α 2 max Pierwsze wnioski Dokładne wyprowadzenie i rozwiązanie równań równowagi nie jest konieczne dla ustalenia podstawowych ekstremalnych parametrów liniowego układu dynamicznego Przyczyna tego zjawiska jest prosta drgania własne to zawsze proces przemiany (przekształcenia) energii kinetycznej układu liniowego w energię potencjalną i z powrotem. Dlatego już nawet zwykły bilans energii pozwala wiele wyznaczyć T U Tylko w układach liniowych proces przekształcenia przebiega bez strat energii. Chociaż realnie układy liniowe nie istnieją (w realnej konstrukcji zawsze występuje tłumienie, tarcie itp.), ten model wciąż jest przydatny w praktyce 3.0.0 2-3-2013 I.Rokach, 2010 2013 6
Bardzo praktyczny przykład L v m m Winda o masie m porusza się z prędkością v. W ten moment, kiedy długość liny wynosi L, winda gwałtownie się zatrzymuje. Wyznaczyć maksymalne wydłużenie liny po zatrzymaniu i porównać go z wydłużeniem statycznym Analiza statyczna. Sztywność swobodnego odcinka liny k = EA L, gdzie E modul Younga, A pole przekroju liny. Wydłużenie statyczne δ s = mg = k mgl EA, odkształcenie liny ε s = δ st L = mg. Warto odnotować, że odkształcenie EA nie zależy od długości liny k EA Analiza dynamiczna. Częstotliwość drgań własnych ω = m = ml. Maksymalne dodatkowe wydłużenie dynamiczne δ d = v ml ω = v EA, maksymalne dodatkowe odkształcenieε d = δ d m L = v. Czyli w odróżnieniu od statycznego, dynamiczne odkształcenie jest zmienne, bo zależy od EAL L Warto porównać wyrazy dla odkształceń statycznych i dodatkowych dynamicznych. Odkształcenie statyczne dla wybranej windy (czyli stałych parametrów E i A) zależy tylko od masy samej windy i pasażerów. Maksymalne odkształcenie dynamiczne wzrasta ze wzrostem prędkości i masy i maleje ze wzrostem długości liny Porównanie dynamicznych i statycznych odkształceń n dyn = ε d = v EA ε s g ml Wnioski: różnica pomiędzy dynamicznymi i statycznymi odkształceniami (i naprężeniami) wzrasta ze wzrostem prędkości ruchu windy i maleje w miarę wydłużenia się liny i (paradoksalnie) wzrostu masy pasażerów Konkretny przykład DlaE = 100 MPa,A = 2 cm 2,v = 1 m/s,m = 1 tona orazl 1 = 2 m (górne piętro), L 2 = 50 m (parter) mamy n dyn (L 1 ) 0,32, n dyn (L 2 ) 0,06. Czyli w przypadku zatrzymania windy na górze odkształcenia wrosną o ok. 32%, na dole tylko o ok. 6% Wniosek: Lepiej mieć awarię windy na parterze niż na górnym piętrze Zasady dobrego inżyniera 1. Rozwiąż dynamiczne zagadnienie jako statyczne dla maksymalnej wartości obciążenia. Zalety: Jeżeli konstrukcja nie wytrzymuje obciążenia w postaci quasi-statycznej, to na pewno będą problemy przy obciążeniu dynamicznym Otrzymane rozwiązanie zawsze się przyda do porównania z wynikami analizy dynamicznej. Może okazać się, że ta ostatnia nie była aż tak potrzebna (różnice są małe) 2. Przeanalizuj konstrukcję za pomocą najprostszego modelu (jeden lub najwyżej kilka stopni swobody) Zalety: W reakcji większości konstrukcji na dynamiczne obciążenie dominuje pierwsza postać drgań własnych. Czyli model nawet z jednym stopniem swobody może okazać się wystarczającym do otrzymania zadowalającego wyniku Nic tak nie pomaga zrozumieć zachowanie się konstrukcji, jak prosty model. Jest niezastąpiony we wstępnej optymalizacji konstrukcji 3.0.0 2-3-2013 I.Rokach, 2010 2013 7
Literatura [1] Pfeiffer, F. Clocker, C. Multibody dynamics with unilateral contacts, Wiley-VCH Verlag, 2004. [2] Timoshenko, S.P., Young, D.H., Weaver, W.Jr, Vibration problems in engineering, 4th ed., Wiley, 1974. 3.0.0 2-3-2013 I.Rokach, 2010 2013 8