1 Elementy logiki i teorii mnogości

1 Elementy logiki i teorii mnogości 11 Elementy logiki Notatki do wykładu Definicja Zdaniem logicznym nazywamy zdanie oznajmujące, któremu przysługuje jedna z dwu logicznych ocen prawda (1) albo fałsz (0) Definicja Funkcją zdaniową nazywamy każde wyrażenie mające postać zdania oznajmującego, które zawiera zmienne o tej własności, że po wstawieniu w miejsce zmiennych nazw odpowiednich przedmiotów otrzymujemy zdanie logiczne Wartości logiczne dla negacji i funktorów dwuargumentowych: p p 1 0 0 1 p q p q p q p q p q 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 Kwantyfikatorem ogólnym (dużym) nazywamy zwrot dla każdego x należącego do X zachodzi, wiążącym zmienną x o zakresie X, co zapisujemy w postaci lub Kwantyfikatorem szczegółowym (małym) nazywamy zwrot istnieje takie x należące do X, że (dla pewnego x należącego do X), wiążącym zmienną x o zakresie X, co zapiszemy w postaci lub Uwaga 11 Zdanie α(x) jest prawdziwe, gdy każdy element x X spełnia funkcję zdaniową α(x), czyli gdy dla każdego x X zdanie α(x) jest prawdziwe Zdanie α(x) jest prawdziwe, gdy istnieje (co najmniej jeden) element x 0 X spełniający funkcję zdaniową α(x 0 ), czyli taki element x 0 X, że zdanie α(x 0 ) jest prawdziwe 12 Zbiory i działania na zbiorach Pojęcie zbioru jest to pojęcie pierwotne (nie definiuje się tego pojęcia) Pojęciami pierwotnymi są: element zbioru i przynależność elementu do zbioru W rachunku zbiorów używamy następujących symboli: przynależność: x A ( x A x / A), zbiór pusty oraz przestrzeń X, zbiory skończone: {x}, {a, b, c}, {1,, n}, {a 1,, a n } 121 Zawieranie i równość zbiorów Definicja Niech A, B X Wtedy A B (x A x B), Wniosek 11 Dla dowolnych zbiorów A, B X mamy Definicja Zbiory A, B X są rozłączne, jeśli A B = A = B (A B B A) (x A x B) A B [ (A B) (B A)] 1

122 Działania na zbiorach Definicja Niech A, B X Działania mnogościowe sumy, iloczynu, różnicy i dopełnienia definiujemy następująco: A B = {x X : x A x B}, A \ B = {x X : x A x / B}, A B = {x X : x A x B}, A = X \ A = {x X : x / A} Wniosek 12 Dla zbiorów A, B X mamy A \ B = A B 123 Zbiory liczbowe Zbiory liczbowe: zbiór liczb naturalnych N = {1, 2, 3, }, zbiór liczb całkowitych Z = {, 2, 1, 0, 1, 2, }, { zbiór liczb wymiernych Q = p q }, : p Z, q N zbiór liczb rzeczywistych R (uzupełnienie Q, aksjomat ciągłości) 124 Przedziały w zbiorze R Niech a, b R, a < b 1) (a, b) = {x R : a < x < b} przedział otwarty, 2) [a, b) = {x R : a x < b} przedział prawostronnie otwarty, 3) (a, b] = {x R : a < x b} przedział lewostronnie otwarty, 4) [a, b] = {x R : a x b} przedział domknięty 125 Iloczyn kartezjański zbiorów Definicja Iloczynem kartezjańskim zbiorów X oraz Y nazywamy zbiór X Y wszystkich uporządkowanych par (x, y), gdzie x X oraz y Y, tzn X Y = {(x, y) : x X y Y } 2 Elementy algebry 21 Działania, struktury algebraiczne Definicja Niech A Działaniem wewnętrznym w A nazywamy każdą funkcję odwzorowującą iloczyn A A w A Uwaga 21 Działania wewnętrzne będziemy z reguły oznaczali symbolami +,, które z kolei nie muszą mieć wiele wspólnego ze znanymi działaniami dodawania i mnożenia liczb Ponadto, zamiast pisać +(a, b) na oznaczenie działania + wykonywanego na parze (a, b) będziemy używali konwencjonalnego zapisu a + b Definicja Działanie wewnętrzne : A A A nazywamy: - łącznym, jeśli a (b c) = (a b) c dla dowolnych a, b, c A, - przemiennym, a b = b a dla dowolnych a, b A Mówimy, że element e A jest elementem neutralnym działania wewnętrznego : A A A, jeśli dla każdego a A zachodzi a e = e a = a Jeśli działanie wewnętrzne : A A A posiada element neutralny e, to będziemy mówili, że element a A jest inwersem dla element a A, jeśli a a = a a = e Definicja Parę (G, ) nazywamy grupą, jeśli G oraz : G G G jest takim działaniem wewnętrznym w G, które jest łączne, ma element neutralny oraz każdy element zbioru G ma inwers w G Grupę (G, ) nazywamy przemienną, jeśli działanie jest przemienne Definicja Strukturę (P, +, ) nazywamy pierścieniem, jeśli P jest niepustym zbiorem, odwzorowania + : P P P i : P P P są działaniami wewnętrznymi w P oraz 2

1 para (P, +) jest grupą abelową (element neutralny oznaczymy przez 0); 2 działanie jest łączne w P ; 3 (a + b) c = a c + b c oraz a (b + c) = a b + a c dla wszystkich a, b, c P (działanie jest rozdzielne względem działania +) Pierścień P nazywamy przemiennym, jeśli działanie jest przemienne Pierścień P nazywamy pierścieniem z jedynką, jeśli działanie posiada element neutralny w P (oznaczamy przez 1) Definicja Ciałem nazywamy taki pierścień (P, +, ) przemienny z jedynką (0 1), w którym każdy różny od zera element posiada inwers względem działania 22 Ciało liczb zespolonych Twierdzenie 21 Niech i będzie takim elementem, że i 2 = 1 Zbiór liczb z = x + yi, gdzie x, y R, z działaniami dodawania i mnożenia jest ciałem Definicja Ciało opisane w Tw 21 nazywamy ciałem liczb zespolonych Uwaga 22 Liczbę zespoloną z = x + yi można utożsamić z parą (x, y) R 2 Liczbę zespoloną z = x + 0i = x utożsamiamy z liczbą rzeczywistą Definicja Dla liczby zespolonej z = x + yi liczbę rzeczywistą x nazywamy częścią rzeczywistą liczby z i oznaczamy przez Re z, zaś liczbę rzeczywistą y nazywamy częścią urojoną liczby z i oznaczamy przez Im z Sprzężeniem liczby zespolonej z = x+yi nazywamy liczbę z = x yi Liczbę rzeczywistą z = x 2 + y 2 nazywamy modułem liczby zespolonej z = x+yi Twierdzenie 22 Niech z 1, z 2 C, n N Wówczas (i) z 1 + z 2 z 1 + z 2 oraz z 1 z 2 = z 1 z 2, (ii) z1 n = z 1 n ; (iii) jeśli z 2 0, to z 1 z 2 = z 1 z 2 221 Postać trygonometryczna liczby zespolonej* Twierdzenie 23 Każdą liczbę zespoloną z = x + yi można przedstawić w postaci z pewnym takim kątem ϕ R, że cos ϕ = x z z = z (cos ϕ + i sin ϕ), (21) oraz sin ϕ = y z Definicja Każdą taką liczbę rzeczywistą ϕ taką, że zachodzi (21) nazywamy argumentem liczby zespolonej z i oznaczamy arg z Twierdzenie 24 Niech z 1 = r 1 (cos φ 1 + i sin φ 1 ), z 2 = r 2 (cos φ 2 + i sin φ 2 ), gdzie r 1, r 2, φ 1, φ 2 R są takie, że r 1, r 2 0 Wówczas (i) z 1 z 2 = r 1 r 2 (cos(φ 1 + φ 2 ) + i sin(φ 1 + φ 2 )); (ii) z n 1 = r n 1 (cos(nφ 1 ) + i sin(nφ 1 )) (iii) jeśli z 2 0 (tzn r 2 > 0), to z 1 z 2 = r 1 r 2 (cos(φ 1 φ 2 ) + i sin(φ 1 φ 2 )) 23 Pierścień wielomianów Definicja Niech P będzie pierścieniem Wielomianem nad P nazywamy sumę n a jx j, gdzie n N {0} oraz c j P dla j {0,, n} Jeśli a n 0, to liczbę n nazywamy stopniem wielomianu ( n a n ) jx j (co zapiszemy deg a jx j = n) Przyjmuje się, że stopień wielomianu zerowego jest równy Zbiór wszystkich wielomianów zmiennej x nad pierścieniem P oznaczymy symbolem P [x], zaś zbiór wszystkich wielomianów stopnia co najwyżej n przez P [x] n 3

Twierdzenie 25 Jeśli P jest pierścieniem przemiennym z jedynką, to zbiór P [x] wielomianów nad pierścieniem P z działaniami a j x j + b j x j = (a j + b j )x j, a j x j b j x j = k=0 ( j ) a k b j k x j, jest pierścieniem przemiennym z jedynką Twierdzenie 26 Niech P będzie pierścieniem całkowitym (bez dzielników zera), to deg(f(x) g(x)) deg f(x) + deg g(x) dla f(x), g(x) P [x] 231 Podzielność wielomianów, pierwiastki wielomianów Twierdzenie 27 Jeśli g(x) R[x], deg g(x) 1, to dla każdego wielomianu f(x) R[x] istnieją jedyne takie wielomiany q(x), r(x) R[x], że f(x) = g(x)q(x) + r(x) (dzielenie z resztą) oraz deg r(x) < deg g(x) Definicja Niech P będzie pierścieniem Element c P nazywamy pierwiastkiem wielomianu f(x) P [x], jeśli f(c) = 0 Twierdzenie 28 (Bezout) Niech P będzie pierścieniem Element c P jest pierwiastkiem wielomianu f(x) P [x] wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taki wielomian h(x) P [x], że lub inaczej, jeśli wielomian (x c) dzieli wielomian f(x) f(x) = (x c)h(x), Twierdzenie 29 Jeśli liczba k Z jest pierwiastkiem wielomianu f(x) = n a jx j Z[x], to k a 0 Twierdzenie 210 Jeśli liczba p q Q, gdzie p Z oraz q N są takie, że nwd(p, q) = 1, jest pierwiastkiem wielomianu f(x) = n a jx j Z[x], to p a 0 oraz q a n 232 Pierwiastki wielokrotne* Definicja Niech P będzie pierścieniem Element c P nazywamy k-krotnym pierwiastkiem wielomianu f(x) P [x], jeśli 1) f(x) = (x c) k h 1 (x) dla pewnego h 1 (x) P [x], 2) nie istnieje taki wielomian h 2 (x) P [x], że f(x) = (x c) k+1 h 2 (x) Twierdzenie 211 Niech P będzie pierścieniem Element c P jest k-krotnym pierwiastkiem wielomianu f(x) P [x] wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taki wielomian h(x) P [x], że 233 Istnienie pierwiastków wielomianów** f(x) = (x c) k h(x) oraz h(c) 0 Twierdzenie 212 (zasadnicze twierdzenie algebry) Każdy wielomian f(x) C[x] dodatniego stopnia ma pierwiastek zespolony Wniosek 21 Wielomian f(x) C[x] stopnia k ma dokładnie k pierwiastków z uwzględnieniem ich krotności Twierdzenie 213 Każdy rzeczywisty wielomian stopnia dodatniego można rozłożyć na iloczyn wielomianów stopnia co najwyżej drugiego 4

24 Pojęcie przestrzeni liniowej Definicja Przestrzenią liniową nad ciałem (R, +, ) nazywamy niepusty zbiór V z działaniami + : V V V oraz : R V V spełniającymi następujące warunki: 1) (x + y) + z = x + (y + z) dla x, y, z V, 2) x + y = y + x dla x, y V, 3) x + 0 = x dla x V, 4) x + ( x) = 0 dla x V, 5) α (x + y) = α x + α y dla x, y V oraz α R, 6) (α + β) x = α x + β x dla x V oraz α, β R, 7) (αβ) x = α (β x) dla x V oraz α, β R, 8) 1 x = x dla x V Przykład 21 1 Zbiór R n z działaniami [x 1,, x n ] + [y 1,, y n ] = [x 1 + y 1,, x n + y n ], α [x 1,, x n ] = [αx 1,, αx n ], dla [x 1,, x n ], [y 1,, y n ] R n oraz α R, jest przestrzenią liniową 2 Zbiór R[x] wielomianów o współczynnikach rzeczywistych z działaniami ( n ) ( n ) a k x k + b k x k = (a k + b k )x k, k=0 ( k=0 k=0 n ) ( n ) α a k x k = (α a k )x k, k=0 k=0 dla n k=0 a kx k, n k=0 b kx k R[x], α R, jest przestrzenią liniową 25 Funkcje, odwzorowanie liniowe* Definicja Niech X, Y, Z i niech f : X Y oraz g : Y Z będą funkcjami Odwzorowanie g f : X Y zadane wzorem (g f)(x) = g(f(x)) dla x X nazywamy złożeniem (kompozycją, superpozycją) funkcji f oraz g Definicja Niech V 1 oraz V 2 będą przestrzeniami liniowymi nad tym samym ciałem R Funkcję L : V 1 V 2 nazywamy odwzorowaniem liniowym, jeśli : 1) L(u 1 + u 2 ) = L(u 1 ) + L(u 2 ) dla u 1, u 2 V 1, 2) L(α u) = α L(u) dla α R, u V 1 Zbiór wszystkich odwzorowań liniowych z przestrzeni liniowej V 1 do V 2 oznaczymy przez L(V 1, V 2 ) Definicja Niech V 1, V 2 oraz V 3 będą przestrzeniami liniowymi nad tym samym ciałem R, α R, L 1, L 2 L(V 1, V 2 ) oraz L 3 L(V 2, V 3 ) Wówczas odwzorowania (αl 1 ), (L 1 + L 2 ) L(V 1, V 2 ) oraz odwzorowanie (L 3 L 1 ) L(V 1, V 3 ) zdefiniowane są wzorami: (αl 1 )(x) = α L(x) dla x V 1, (L 1 + L 2 )(x) = L 1 (x) + L 2 (x) dla x V 1, (L 3 L 1 )(x) = L 3 (L 1 (x)) dla x V 1 26 Liniowa zależność i liniowa niezależność* Definicja Niech v = (v 1,, v n ) będzie układem wektorów przestrzeni liniowej (V, +, R, ) Wektor w = α 1 v 1 + α 2 v 2 + α n v n nazywamy liniową kombinacją układu wektorów (v 1,, v n ) o współczynnikach α 1,, α n R Definicja Niech v = (v 1,, v n ) będzie układem wektorów przestrzeni liniowej (V, +, R, ) Mówimy, że układ v jest liniowo zależny, jeśli istnieją takie skalary α 1,, α n R nie wszystkie równe 0, że Układ v jest liniowo niezależny, jeśli nie jest liniowo zależny α 1 v 1 + α 2 v 2 + + α n v n = 0 5

Twierdzenie 214 Układ v = (v 1,, v n ) wektorów przestrzeni liniowej V nad ciałem R jest liniowo niezależny wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego układu skalarów α 1,, α n R prawdziwa jest implikacja 27 Baza i wymiar przestrzeni* α 1 v 1 + α 2 v 2 + + α n v n = 0 = α 1 = = α n = 0 Definicja Układ v = (v 1,, v n ) wektorów przestrzeni V nad ciałem R jest bazą przestrzeni V, jeśli każdy wektor w V można jednoznacznie przedstawić w postaci kombinacji wektorów układu v, tzn dla każdego w V istnieje jedyny taki układ skalarów (α 1,, α n ), że w = α 1 v 1 + α 2 v 2 + + α n v n = α j v j Twierdzenie 215 Układ v = (v 1,, v n ) jest bazą przestrzeni V wtedy i tylko wtedy gdy jest liniowo niezależny i każdy wektor w V można przedstawić w postaci kombinacji wektorów układu v Przykład 22 Układ (e 1, e 2,, e n ), e 1 = [1, 0,, 0], e 2 = [0, 1,, 0],, e n = [0, 0,, 1], jest bazą (bazą kanoniczną) przestrzeni R n Twierdzenie 216 Każda nietrywialna przestrzeń liniowa posiada bazę Jeśli b = (b) b B oraz c = (c) c C są bazami pewnej przestrzeni, to card B = card C Definicja Wymiarem przestrzeni V nad R nazywamy liczbę wektorów dowolnej bazy tej przestrzeni (ozn dim V ) Przykład 23 Mamy dim R n = n dla n N 28 Macierze Definicja Macierzą o wymiarach m n nazywamy prostokątną tablicę liczb a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = a m1 a m2 a mn Zbiór wszystkich macierzy wymiaru m n o wyrazach z ciała R oznaczymy przez M m n (R) Macierz A M m n (R) nazywamy kwadratową, jeśli m = n Twierdzenie 217 Zbiór M m n (R) jest przestrzenią liniową z działaniami a 11 a 1n b 11 b 1n + a m1 a mn b m1 b mn oraz = a 11 α a 1n a m1 a mn 281 Mnożenie macierzy, macierz odwracalna j=1 a 11 + b 11 a 1n + b 1n a m1 + b m1 a mn + b mn = α a 11 α a 1n α a m1 α a mn Definicja Macierz C = [c ik ] M m l nazywamy iloczynem macierzy A = [a ij ] M m n oraz B = [b jk ] M n l, jeśli c ik = a ij b jk j=1 dla (i, k) {1,, m} {1,, l} 6

Definicja Macierz nazywamy macierzą jednostkową 1 0 0 0 1 0 I := M n n 0 0 1 Twierdzenie 218 Dla dowolnego A M n n zachodzi A I = I A = A Definicja Macierz A M n n nazywamy odwracalną, jeśli istnieje taka macierz A M n n, że A A = I = A A Macierz A, jeśli taka istnieje, nazywamy macierzą odwrotną dla macierzy A i oznaczamy przez A 1 282 Macierz transponowana Definicja Transponowaniem nazywamy taką operację T : M m n M n m, że A T = [a ij ] T = [a ji ] dla A = [a ij ] M m n Twierdzenie 219 Operacja transponowania ma następujące własności: (i) ( A T ) T = A, (ii) (A + B) T = A T + B T, (α A) T = α A T oraz (A B) T = B T A T, (iv) jeśli istnieje A 1, to (A 1 ) T = ( A T ) 1 283 Rząd macierzy Definicja Rzędem macierzy A M m n nazywamy maksymalną liczbę jej liniowo niezależnych wierszy (kolumn) (ozn rza) Twierdzenie 220 Rząd macierzy A nie zmieni się, jeśli - przestawimy dwa wybrane wiersze (kolumny), - wybrany wiersz (kolumnę) pomnożymy przez liczbę różną od zera, - do wiersza (kolumny) dodamy inny wiersz (kolumnę) pomnożony przez liczbę 284 Wyznacznik macierzy kwadratowej Definicja Wyznacznikiem z macierzy kwadratowej A M n n nazywamy funkcję det : M n n R określoną indukcyjnie w następujący sposób: 1) jeśli A = [a] M 1 1, to det A = a, 2) dla n 2 oraz A M n n definiujemy det A = ( 1) j+1 a 1j det A 1j, (22) j=1 gdzie macierz A kl M (n 1) (n 1) powstaje z macierzy A przez wykreślenie k-tego wiersza oraz l-tej kolumny Uwaga 23 Wzór (22) nosi nazwę wzoru Laplace a dla pierwszego wiersza Twierdzenie 221 (wzór Laplace a) Jeśli A M n n, to (i) det A = ( 1) k+j a kj det A kj (wzór Laplace a dla k-tego wiersza), (ii) det A = j=1 ( 1) i+k a ik det A ik (wzór Laplace a dla k-tej kolumny) i=1 Twierdzenie 222 Wyznacznik macierzy kwadratowej A M n n nie zmieni się, jeśli do dowolnego wiersza (kolumny) dodamy inny wiersz (kolumnę) pomnożony przez dowolną liczbę Twierdzenie 223 (tw Cauchy ego) Jeśli A, B M n n, to det(a B) = (det A) (det B) Twierdzenie 224 Macierz A M n n jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy det A 0 Wówczas A 1 = [a ij ], gdzie a ij = (det A) 1 ( 1) i+j det A ji dla (i, j) {1,, n} 2 7

285 Macierz odwzorowania liniowego* Twierdzenie 225 Niech V 1, V 2 będą przestrzeniami liniowymi nad R z ustalonymi bazami v = (v 1,, v n ) oraz w = (w 1,, w m ) Jeśli L L(V 1, V 2 ), to istnieje dokładnie jedna taka macierz A = [a ij ] M m n (R), że L(v j ) = m a ij w i dla j {1,, n} (23) i=1 Na odwrót, dla każdej macierzy A = [a ij ] M m n (R) istnieje dokładnie jedno takie odwzorowanie liniowe L A L(V 1, V 2 ), że spełniony jest warunek (23) Definicja Macierz A z powyższego twierdzenia nazywamy macierzą odwzorowania L w bazach v oraz w i oznaczać będziemy przez M w v (L) (M L ) Twierdzenie 226 Niech (V i, +, R, ) dla i {1, 2, 3} będą przestrzeniami liniowymi z ustalonymi bazami b i (i) Jeśli M L1 oraz M L2 są macierzami odwzorowań L 1, L 2 L(V 1, V 2 ) w bazach b 1 oraz b 2, to M αl1 = α M L1 oraz M L1+L 2 = M L1 + M L2 (ii) jeśli M L1 jest macierzą odwzorowania L 1 L(V 1, V 2 ) w bazach b 1 oraz b 2 oraz M L2 jest macierzą odwzorowania L 2 L(V 2, V 3 ) w bazach b 2 oraz b 3, to M L3 L 1 = M L3 M L1 286 Postać macierzowa odwzorowań liniowych w przestrzeniach R n * Twierdzenie 227 Funkcja L : R n R m jest odwzorowaniem liniowym wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taka macierz A = [a ij ] M m n (R), że L x 1 x n = a 11 a 1n a m1 a mn x 1 x n dla x 1 x n R n 29 Układy równań liniowych Rozważymy układy równań liniowych A x T = b T zapisany równoważnie w postaci a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2 a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n = b m, (U) gdzie A = [a ij ] M m n jest macierzą tego układu, x = [x 1,, x n ] R n jest niewiadomą oraz b = [b 1,, b m ] R m jest stałą Definicja Układ (U) nazywamy jednorodnym, jeśli b = 0 R m W przeciwnym przypadku mówimy, że układ (U) jest układem niejednorodnym Twierdzenie 228 (Kroneckera-Capelliego) Jeśli A = [a ij ] M m n, b R m, to układ (U) jest niesprzeczny wtedy i tylko wtedy, gdy rza = rz [ A, b T ] Twierdzenie 229 (Cramera) Niech w układzie (U) zachodzi m = n oraz det A 0 Wówczas jedyne rozwiązanie układu (U) dane jest wzorem x j = det A j dla j {1,, n}, det A gdzie A j jest macierzą powstałą z macierzy A przez zastąpienie j-tej kolumny macierzy A kolumną wyrazów wolnych b 8