Twierdzenie sinusów i osinusów Aldon Dutkiewiz Anet Sikorsk-Nowk Teori Twierdzenie 1 Twierdzenie sinusów (twierdzenie Snellius) W dowolnym trójkąie stosunek długośi dowolnego boku do sinus kąt leżąego nprzeiw tego boku jest stły i równy długośi średniy okręgu opisnego n tym trójkąie = b sin β = sin γ = R Dowód tego twierdzeni przeprowdzimy, uzsdniją, że Rozptrzymy trzy przypdki Przypdek I: α jest kątem prostym Przypdek II: α jest kątem ostrym Przypdek III: α jest kątem rozwrtym Przypdek I: = R 1 α jest kątem prostym, z złożeni, BC jest średnią okręgu opisnego n trójkąie ABC, stąd BC = R, = R, = sin 90 = 1, ztem = R, nd 1
Przypdek II: Poprowdźmy średnię A 1 B i zuwżmy, że: 1 BAC = BA 1 C = α, jko kąty wpisne w koło oprte n tym smym łuku; = R, z określeni sinus kąt α, ztem = R nd Przypdek III: Poprowdźmy średnię A 1 B i zuwżmy, że: 1 A 1 CB jest prosty, jko kąt wpisny w koło oprty n półokręgu, CA 1 B = 180 α, jko kąt wpisny w koło oprty n łuku CAB dopełnijąym łuk CA 1 B do okręgu, A 1 BC jest prostokątny o przeiwprostokątnej A 1 B i A 1 B = R, = sin(180 α) = R, ztem = R nd Udowodniliśmy ztem, że niezleżnie od tego, zy α jest kątem ostrym, prostym, zy rozwrtym, to = R b Tk smo przeprowdz się dowody równośi sin β = R orz sin γ = R Przykłd 1 Oblizmy długość promieni okręgu opisnego n trójkąie ABC, zkłdją, że = 7 i os α = Możemy skorzystć z twierdzeni sinusów, le wześniej nleży oblizyć Ze wzoru jedynkowego otrzymujemy: sin α = 1 os α = 1 ( ) = 7 9, skąd
= 7 7 = Poniewż α jest kątem trójkąt, to α (0, π), ztem > 0, wię musi być = Korzystją terz z twierdzeni sinusów, oblizmy, że = R, skąd R = = 7 = 6 7 Promień okręgu opisnego n trójkąie ABC m długość 6 Przykłd Z wierzhołk A trójkąt ABC, którego boki mją długość, b i, poprowdzono półprostą przeinjąą bok BC w punkie D Podzielił on dny trójkąt n dw trójkąty Wykżemy, że stosunek promieni okręgów opisnyh n obu tyh trójkąth nie zleży od kąt, jki tworzy t półprost z bokiem BC 7 Oznzmy ADB = δ R 1 -promień okręgu opisnego n trójkąie ABD, R - promień okręgu opisnego n trójkąie ADC Z twierdzeni sinusów dl trójkąt ABD mmy: R 1 = sin δ Zuwżmy dlej, że ADC = 180 δ (jest to kąt przyległy do kąt ADB) Stosują twierdzenie sinusów dl trójkąt ADC, dohodzimy do wniosku, że R = b sin(180 δ) = b sin δ Ztem R 1 = R wię stosunek ten zleży tylko od długośi boków b i sin δ b sin δ Przykłd Wykżmy, że jeżeli α, β są mirmi kątów trójkąt, to sin(α + β) < + sin β Z twierdzeni sinusów mmy: = b, = R, b = R orz sin β sin[180 (α + β)] = = R, skąd sin(α + β) Mmy ztem: = R, sin β = b R sin(α + β) < + sin β orz sin(α + β) = R R < R + b R < + b Osttni nierówność jest prwdziw w kżdym trójkąie, gdyż zwsze sum długośi dwóh boków jest większ od długośi boku trzeiego Ztem również prwdziw jest równowżn jej nierówność, występują w tezie, o końzy dowód Korzystją z twierdzeni sinusów łtwo udowodnić twierdzenie o dwusieznej kąt w trójkąie:
Twierdzenie Twierdzenie o dwusieznej kąt w trójkąie Dwusiezn kąt wewnętrznego w trójkąie dzieli przeiwległy bok proporjonlnie do długośi pozostłyh boków AD DB = AC BC Twierdzenie Twierdzenie osinusów (twierdzenie Crnot) W dowolnym trójkąie kwdrt długośi dowolnego boku jest równy sumie kwdrtów długośi pozostłyh boków, pomniejszonej o podwojony ilozyn długośi tyh boków i osinus kąt zwrtego między nimi: = b + b os α b = + os β = + b b os γ Uwg 1 W szzególnym przypdku, gdy trójkąt jest prostokątny i γ jest kątem prostym, twierdzenie to sprowdz się do twierdzeni Pitgors, poniewż osinus kąt prostego jest równy zero, zyli = + b Dowód Przypdek I: γ jest kątem prostym
Twierdzenie osinusów to uogólnienie twierdzeni Pitgors dl dowolnego trójkąt Jeżeli kąt γ jest prosty, to os γ = 0 i = + b Przypdek II - γ jest kątem ostrym Przyjmujemy oznzeni jk n powyższym rysunku Mmy kolejno: 1 Punkt D jest spodkiem wysokośi BD trójkąt ABC i BD = h, Korzystją z zleżnośi w trójkąie prostokątnym CDB, oblizmy: sin γ = h, stąd h = sin γ, os γ = m, ztem m = os γ i n = b m = b os γ Boki trójkąt prostokątnego ABD mją długośi:, sin γ, b os γ Z twierdzeni Pitgors zstosownego do trójkąt prostokątnego ADB otrzymujemy: = ( sin γ) + (b os γ), stąd = sin γ + b b os γ + os γ = (sin γ + os γ) + b b os γ i ostteznie = + b b os γ, nd Przypdek III -γ jest kątem rozwrtym Oznzeni jk n poniższym rysunku Mmy kolejno: 1 Punkt D (spodek wysokośi BD) nleży do przedłużeni boku AC, BD = h W trójkąie prostokątnym CBD kąt δ jest równy 180 γ, wobe tego sin(180 γ) = h ; poniewż sin(180 γ) = sin γ, to h = sin γ, os(180 γ) = m ; poniewż os(180 γ) = os γ, to m = osγ, stąd otrzymujemy n = m + b = b os γ 5
Boki trójkąt prostokątnego ABD mją długośi:, sin γ, b os γ Z twierdzeni Pitgors zstosownego do trójkąt prostokątnego ABD, otrzymujemy: = ( sin γ) + (b os γ), stąd = sin γ + b b os γ + os γ = (sin γ + os γ) + b b os γ i ostteznie = + b b os γ, nd Ztem, niezleżnie od tego, zy γ jest kątem ostrym, prostym, zy rozwrtym, to = + b b os γ Z twierdzeni osinusów wynik, że jeżeli znmy długośi wszystkih boków trójkąt, to możemy oblizyć osinusy wszystkih jego kątów I tk os α = b +, b os β = + b, os γ = + b b Zuwżmy też, że jeżeli lizby, b, są długośimi boków trójkąt i b, to miry kątów trójkąt spełniją wrunek α β γ i jeżeli os γ > 0, to trójkąt jest ostrokątny, jeżeli os γ = 0, to trójkąt jest prostokątny, jeżeli os γ < 0, to trójkąt jest rozwrtokątny Przykłd W trójkąie dne są długośi boków: = 5, b = orz γ = 150 Oblizmy długość trzeiego boku tego trójkąt i długość promieni opisnego n nim okręgu Z twierdzeni osinusów wynik, że = + b b os 150 Poniewż os 150 =, otrzymujemy: = 1 + 1, = Skorzystmy terz z twierdzeni sinusów: 1 + 0 skąd sin 150 = R, poniewż sin 150 = 1, wię R = Przykłd 5 Dny jest trójkąt o bokh długośi =, b = 5, = 7 Czy jest to trójkąt ostrokątny, prostokątny, zy rozwrtokątny? Gdyby trójkąt ten był prostokątny (ewentulnie rozwrtokątny), to kąt prosty (rozwrty) musiłby leżeć nprzeiwko njdłuższego boku Wystrzy ztem rozwżyć kąt leżąy nprzeiwko boku długośi Możemy to zrobić, korzystją z wniosku z twierdzeni osinusów: os γ = + b b = 1 5, skoro os γ < 0 i γ (0, 180 ), to kąt γ jest rozwrty Ztem jest to trójkąt rozwrtokątny Przykłd 6 W równoległoboku kąt ostry m mirę 60, stosunek kwdrtu długośi krótszej przekątnej do kwdrtu długośi dłuższej przekątnej wynosi 19 : 9 Oblizymy stosunek długośi boków równoległoboku 6
Oznzmy przez i b długośi krótszego i dłuższego boku równoległoboku, zś przez d 1 i d - odpowiednio długośi jego krótszej i dłuższej przekątnej Po zstosowniu twierdzeni osinusów do trójkąt ABD otrzymujemy: d 1 = + b b os 60 = + b b Podobnie, z trójkąt ABC ( ABC = 10 ) n moy twierdzeni osinusów: d = + b b os 10 = + b + b Ztem z wrunków zdni: d 1 d = + b b + b + b = 19 9 Poszukujemy stosunku b (lub b, o n jedno wyhodzi) Aby go polizyć, podzielmy liznik i minownik lewej strony nszego równni przez b Otrzymujemy: ( b ) +1 b ( b ) +1+ b terz t = b Osttnie równnie przyjmuje postć t t+1 t +t+1 = 19 = 1; t = = 1, odrzumy Szukny stosunek boków wynosi 5 = 19 9 Oznzmy 9, skąd 10t 9t + 10 = 0, ztem 5 t = 5 Poniewż < b, wię t < 1, ztem drugie rozwiąznie Przykłd 7 Trzy ięiwy okręgu o promieniu długośi R tworzą trójkąt wpisny w ten okrąg Długośi dwóh tyh ięiw wynoszą R i R Wyznzymy długość trzeiej ięiwy 7
Oznzmy długość szuknej ięiwy BC przez x Zuwżmy, że (z twierdzeni sinusów) AB sin γ = R, skąd wobe fktu, że AB = R, otrzymujemy R sin γ = R, wię sin γ = Poniewż γ jest kątem trójkąt, wię osttni równość może zhodzić dl γ = 60 lub γ = 10 Rozwżmy ztem dw przypdki: N moy twierdzeni osinusów dl trójkąt ABC: 1) γ = 60 (R ( ) R ) = + x x R os 60 skąd otrzymujemy równnie: x xr 11R = 0 = 180R, = 6 5R; x 1 = (1 5)R i x = (1+ 5)R Pierwsz z tyh lizb, jko ujemn, nie spełni wrunków zdni Ztem w tym przypdku długość trzeiej ięiwy wynosi: (1+ 5)R ) γ = 10 Postępują nlogiznie, otrzymujemy tym rzem równnie: (R ( R ) = ) + x x R os 10, skąd x + xr 11R = 0 Osttnie równnie spełniją lizby x = (1+ 5)R i x = ( 5 1)R Pierwsz z nih jest ujemn, ztem w tym przypdku długość trzeiej ięiwy wynosi: ( 5 1)R Trzei ięiw może mieć długość (1+ 5)R lub ( 5 1)R Zdni obowiązkowe Zdnie 1 Mją dne długośi, b boków trójkąt ostrokątnego ABC orz długość R promieni okręgu opisnego n tym trójkąie, obliz sinusy kątów orz długość trzeiego boku trójkąt Wykonj oblizeni, gdy = 6, b = 10, R = 8 Wskzówk: Skorzystć z twierdzeni sinusów Szki rozwiązni Sporządzmy rysunek Korzystją z twierdzeni sinusów mmy: = R 6 = 16 = 8 Anlogiznie dostjemy sin β = 5 8 Znjdziemy terz mirę kąt γ sin γ = sin(180 (α + β)) = os β + sin β os α = 9 + 5 55 6 Bok = R sin γ = 9+5 55 Odpowiedź: = 8, sin β = 5 8, sin γ = 9+5 55 6, = 9+5 55 Zdnie W trójkąie ABC bok AB = = 1, bok BC = = 10, bok CA = b = 6 Dwusiezn kąt ACB przein bok AB w punkie D Obliz długośi odinków AD i BD 8
Wskzówk: Skorzystć z twierdzeni sinusów orz fktu, że dwusiezn kąt dzieli go n dw kąty przystjąe, sum kątów przyległyh wynosi 180 Szki rozwiązni Sporządzmy rysunek Kąty zznzone n rysunku jko γ są równe, bo CD jest dwusiezną (dwusiezn dzieli kąt n dw kąty przystjąe) Pondto sum kątów α i β równ się 180 Jest tk dltego, że α i β to kąty przyległe, sum kątów przyległyh to kąt półpełny (zyli 180 ) Oznzmy dodtkowo AD = y, BD = x Z rysunku wynik, że: x+y = 1 Rozwżmy trójkąt BCD Czyli Rozwżmy terz trójkąt ADC x sin γ = x = sin β sin β sin γ x = sin γ sin β x 10 = sin γ sin β y sin γ = b y = b sin γ y b = sin γ Czyli y 6 = sin γ Wiemy, że kąty α i β są przyległe, zyli α + β = 180 Ztem α = 180 β i = sin (180 β) = sin β Wobe powyższego x 10 = y 6 Dostjemy dw równni x 10 = y 6 orz x + y = 1 Rozwiązniem tego ukłdu równń jest x = 75 i y = 5 Odpowiedź: x = 75 i y = 5 Zdnie Dny jest trójkąt o bokh, b, Promień okręgu opisnego n tym trójkąie równy jest R Obliz pole tego trójkąt Wskzówk: Skorzystć ze wzoru n pole trójkąt P = 1 b sin γ, gdzie i b to długośi boków trójkąt, γ oznz kąt zwrty między nimi Szki rozwiązni Mmy P = 1 Odpowiedź: P = b R b sin γ Z twierdzeni sinusów sin γ = R Stąd P = b R Zdnie W trójkąie ABC mmy dne: długośi boków AB i AC, długość r promieni okręgu wpisnego orz mirę kąt α = BAC Obliz: długość boku BC, miry kątów β = ABC i γ = ACB, pole trójkąt ABC i długość promieni okręgu opisnego n trójkąie ABC Wykonj 9
oblizeni dl AB = 1, AC = 8, α = π, r = 19+8 Wskzówk: P = P ABS + P BCS + P CAS, gdzie S jest środkiem okręgu wpisnego w trójkąt ABC Szki rozwiązni Pole : P = 1 b = Z drugiej strony, nieh S będzie środkiem okręgu wpisnego w trójkąt ABC Wtedy P = P ABS + P BCS + P CAS = 1 AB r + 1 BC r + 1 CA r = 1 r( + b + ) = 19 + 8 ( + 0) Porównują obydw wzory znjdujemy = 08 + 96 Zdnie 5 Boki AB i AC trójkt ABC mją odpowiednio długośi i 6 i tworzą kąt BAC o mierze 10 Obliz długość boku BC tego trójkąt Wskzówk: Korzystmy z twierdzeni osinusów Odpowiedź: BC = 76 Zdnie 6 Znjdź osinusy kątów w trójkąie ABC, w którym AB = 7, BC = 11, CA = 1 Rozstrzygnij, zy trójkąt jest ostrokątny, prostokątny, zy rozwrtokątny Wskzówk: Poniewż os β < 0, ztem kąt β jest rozwrty Szki rozwiązni Korzystmy trzy rzy z twierdzeni osinusów Odpowiedź: os α = 67 1 1 77,os β = 77, os γ = 9 Trójkąt jest rozwrtokątny Zdnie 7 W trójkąie ABC : AB = 15, BC = 10, kąt ABC = 0 Znjdź długość środkowej poprowdzonej z wierzhołk A Wskzówk: Korzystmy z twierdzeni osinusów dl trójkąt ADB, gdzie D jest punktem przeięi środkowej poprowdzonej z wierzhołk A z bokiem BC Odpowiedź: 5 10 Zdni dodtkowe Zdnie 8 Udowodnij twierdzenie o dwusieznej kąt w trójkąie Wskzówk: Korzystmy z twierdzeni sinusów Zdnie 9 Z punktu A sttek widć pod kątem α = 0, z punktu B pod kątem β = 5 Odinek brzegu pomiędzy punktmi A, B m długość 800 m W jkiej odległośi od brzegu znjduje sie sttek? Wskzówk: Prktyzne zstosownie wzoru sinusów 10
Szki rozwiązni Njpierw wyznzmy odległość = BS Poniewż γ = 180 0 5 = 115, wię ze wzorów sinusów sin 0 = 800 sin 115, stąd Ztem szukn odległość Odpowiedź: d=0 m = 800 sin 0 sin 115 d = sin 5 = 800 sin 0 sin 5 sin 115 0m Zdnie 10 W trójkąie ABC, w którym AB = BC = i ABC = α, poprowdzono odinek AD, gdzie D BC i pole trójkąt ABD jest dw rzy większe od pol trójkąt ADC Oblizyć długość AD Wskzówk: Wykorzystujemy fkt, iż ob trójkąty mją tę smą wysokość Stosujemy wzór z twierdzeni osinusów do trójkąt ABD Szki rozwiązni Z wrunków zdni mmy P ADB = P ADC, poniewż ob te trójkąty mją tę smą wysokość h, wię 1 BD h = 1 DC h, stąd BD = DC Pondto BD + DC =, wię BD = orz DC = 1 Stosują wzór z twierdzeni osinusów do trójkąt ABD mmy Odpowiedź: AD = 1 1 os α AD = + ( ) os α Zdnie 11 W trójkąie stosunek długośi dwóh boków równ się k, kąt między tymi bokmi jest równy 60 Znleźć wrtośi tngens pozostłyh kątów Wskzówk: Stosujemy twierdzenie sinusów orz wykorzystujemy podstwowe zleżnośi trygonometryzne w zdnym trójkąie Szki rozwiązni Z treśi zdni = kb N podstwie twierdzeni sinusów sin β = b = k 11 = b sin β, skąd
Poniewż α = 10 β, wię = sin(10 β) = k 1 os β + 1 k Anlogiznie oblizmy tg α = sin β, uwzględniją równość = k sin β, otrzymujemy tg β = k Jeżeli k = 1, to os β = 0 zyli β = 90 ( wię α = 0 ), ntomist dl k = otrzymujemy tg β =, zyli β = 0 ( α = 90 ) Odpowiedź: Jeżeli k 1 i k, to tg α = k k, tg β = k 1 ; jeżeli k = 1 lub k = - trójkąt prostokątny o kąth ostryh 0 i 60 Zdnie 1 W równormiennym trójkąie prostokątnym przyprostokątn m długość Oblizyć długośi odinków, n które dzieli tą przyprostoktną dwusiezn kąt przeiwległego Wskzówk: Możliwe są dw sposoby rozwiązni zdni Możemy wykorzystć fkt, że trójkąty ADC i AED są przystjąe Pozostłe oblizeni dokonujemy poprzez zstosownie trygonometrii do plnimetrii Szki rozwiązni Poniewż trójkąt ABC jest równormienny, wię kąty przy wierzhołkh A i B są równe i ih mir jest równ π P i e r w s z y sposób Z trójkąt ADC mmy tg π 8 = x, zyli x = tg π 8 Ze wzoru tg x = tg x otrzymujemy tg π 1 tg x = tg π 8, skąd tg π 1 tg π 8 = 1 8 Ostteznie: x = ( 1), y = ( ) D r u g i sposób Z punktu D poprowdzimy prostopdłą do AB Poniewż trójkąty ADC i AED są przystjąe, wię DE = x Z trójkąt DBE mmy x x = sin π, stąd x = ( 1) Odpowiedź: x = ( 1), y = ( ) Zdnie 1 Punkt A leży wewnątrz obszru kąt o mierze π Odległośi tego punktu od rmion kąt są równe i 1 Znleźć odległość A od wierzhołk kąt Wskzówk: Zstosownie podstwowyh wzorów trygonometryznyh w plnimetrii 1
Szki rozwiązni Oznzmy odległość punktu A od wierzhołk kąt O przez x Nieh AC = orz AB = 1 Z trójkąt OAB mmy x = 1 sin( π α) (0 < α < π ), z trójkąt OCA mmy x = Skąd 1 = sin( π α), zyli ( 1) = sin( π α) Stosują wzór n sinus różniy otrzymujemy ( 1) = ( os α 1 ), zyli = os α, skąd tg α = 1 Ze względu n wrunek 0 < α < π mmy α = π, ztem = Podstwiją oblizoną wrtość do równni x = otrzymujemy x = Odpowiedź: Zdnie 1 Cięiw dzieli obwód koł w stosunku 1 : W jkim stosunku dzieli on pole tego koł? Wskzówk: Określmy stosunek pol S 1 wyink kołowego AOB o promieniu R i kąie środkowym α pomniejszonego o pole trójkąt równormiennego AOB do pol S Szki rozwiązni Poniewż l 1 l = 1, wię kąt α w trójkąie AOB stnowi 1 kąt pełnego, zyli α = π Pole S 1 jest równe polu wyink kołowego AOB o promieniu R i kąie środkowym α = π, zmniejszonemu o pole trójkąt równormiennego AOB, zyli S 1 = 1 πr 1 R sin π 1
Pole drugiej zęśi n jkie ięiw AB podzielił koło S = πr S 1 Ze wzorów n S 1 i S mmy Odpowiedź: π 8π+ ) S 1 = R ( π 1 S R (π π + ) Zdni domowe Zdnie 15 Korzystją z rysunku, obliz szerokość knłu Wskzówk: Prktyzne zstosownie wzoru sinusów Odpowiedź: 56, 5m Zdnie 16 N kole opisno trpez, którego jedno rmię m długość 10 i tworzy z podstwą kąt 60, drugie tworzy z podstwą kąt 0 Oblizyć długość krótszej podstwy trpezu Wskzówk: Aby rozwiązć zdnie rozptrujemy dw przypdki Wykorzystujemy wrunek koniezny i wystrzjąy n to, by w zworokąt możn było wpisć okrąg Odpowiedź: 5 5 lub 5 Zdnie 17 W trójkąie równoboznym ABC poprowdzono odinek AD, gdzie D BC Wyznzyć tngens kąt DAB, jeżeli widomo, że stosunek pol trójkąt ABD do pol trójkąt ADC wynosi 1
Wskzówk: Stosujemy wzór sinusów do trójkąt DAB Odpowiedź: tg x = Zdnie 18 Udowodnić, że jeżeli kąty α, β i γ pewnego trójkąt spełniją wrunek sin α + sin β = sin γ, to trójkąt ten jest prostokątny Wskzówk: Oznzmy przez, b, długośi boków leżąyh n przeiw odpowiednih kątów, przez R promień okręgu opisnego n dnym trójkąie Stosujemy twierdzenie sinusów Zdnie 19 Udowodnić, że jeżeli długośi, b, boków pewnego trójkąt spełniją wrunek = b(b + ), to w trójkąie tym kąt α (leżąy nprzeiw boku o długośi ) jest dw rzy większy od kąt β (leżąego nprzeiw boku o długośi b) Wskzówk: Stosujemy twierdzenie sinusów orz wzory n sumę i różnię funkji trygonometryznyh Zdnie 0 W trójkąie równormiennym ACB środkowe poprowdzone z wierzhołków A i B są prostopdłe Znleźć tngens kąt przy wierzhołku C Wskzówk: Znjdujemy środek iężkośi trójkąt AOB Korzystmy z twierdzeni o środkowyh w trójkąie Stosujemy twierdzenie sinusów Odpowiedź: tg x =, gdzie ACB = x Litertur () A Zlewsk, E Sthowski, M Szzurek, I ty zostniesz Euklidesem; (b) K Kłzkow, M Kurzb, E Świd, Mtemtyk do klsy II; () W Leksiński, B Mukow, W Żkowski, Mtemtyk w zdnih dl kndydtów n wyższe uzelnie; (d) D M Zkrzewsy, Mtemtyk, mtur n 100% 15