Deterministyczne Modele Badań Operacyjnych Semestr letni 2015 Praca domowa II 17/04/2015 1 Polecenie Zestaw składa się z trzech zadań, za każde z nich można zdobyć 10p. Rozwiązania do zadań należy wysłać na adres tp.dmbo.2015@gmail.com do 24/04/2015 do godziny 23 : 59 (liczy się czas otrzymania rozwiązania, nie wysłania). W przypadku przekroczenia tego terminu praca nie będzie sprawdzana. Prace należy wykonywać w grupach maksymalnie 2 osobowych. Skład grup nie powinien się zmieniać w trakcie semestru. Prace powinny być wykonane przez zespoły samodzielnie, w przypadku stwierdzenia niesamodzielności pracy dany zestaw nie będzie sprawdzany. Na rozwiązanie składa się plik.xls lub.xlsx z rozwiązanymi poszczególnymi podpunktów w Solverze (każdy podpunkt musi być rozwiązany w oddzielnym arkuszu), oraz plik.pdf z odpowiedziami do zadań (odpowiedzi do zadań proszę zapisać w dowolnym edytorze tekstu; skany pisma ręcznego nie będą akceptowane). Oba pliki powinny być spakowane do folderu skompresowanego w formacie.zip. Nazwa folderu powinna być następująca: DM BO2[ind1][ind2][nrg1][nrg2], gdzie ind1 i ind2 to numery indeksów autorów, a nrg1 i nrg2 to numery grup autorów (zgodne ze stanem w Wirtualnym Dziekanacie). Proszę tytułować maile zawierające rozwiązanie w następujący sposób: DM BO2015L P D2 [ind1] [ind2] (gdzie tak jak poprzednio ind1 oraz ind2 oznaczają numery indeksów autorów. W przypadku nie przestrzegania powyższych wymogów od uzyskanego wyniku może zostać odjęte do 20% uzyskanych punktów. 2 Przedsiębiorcy z Kipfiletstraat Spóła Lee-Carter zajmuje się handlem rowerami. Podstawą prowadzonej przez nią działalności jest kupno rowerów (m.in. modele Batavia Quantreg, Batavia IV oraz Batavia xtregrobust) w Holandii i sprzedaż ich w innych krajach Europy. Firma posiada swoje magazyny przy lotniskach w Amsterdamie, Eindhoven oraz Maastricht i przy pomocy samolotów transportuje rowery do Francji, Niemiec i Wielkiej Brytanii. Rowery na czas transportu można dowolnie dzielić na części. Jednostkowe koszty transportu pomiędzy 1
poszczególnymi magazynami a miastami zawiera Tabela 1. Średnie miesięczne zapotrzebowanie na rowery i ich dostępność w magazynach przedstawiają Tabele 2 i 3. Tabela 1: Jednsotkowe koszty transportu Francja Niemcy UK Amsterdam 14 12 10 Eindhoven 12 8 11 Maastricht 9 14 9 Tabela 2: Podaż rowerów podaż [w sztukach] Amsterdam 1200 Eindhoven 1500 Maastricht 1800 Tabela 3: Popyt na rowery popyt [w sztukach] Francja 1300 Niemcy 1100 UK 900 a) Zapisz zadanie minimalizacji łącznych kosztów transportu jako zadanie programowania liniowego. Podaj optymalną wartość funkcji celu i zmiennych decyzyjnych. [2p] b) Zapisz zadanie dualne do zadania z podpunktu a). Jaka jest interpretacja zmiennych decyzyjnych? Co można powiedzieć o liczbie rozwiązań zadania dualnego bez rozwiązywania go? Odpowiedź uzasadnij. [3p] c) Spółka Lee-Carter zastanawia się nad przejściem z transportu lotniczego na drogowy. Do tego celu może wykorzystać flotę ciężarówek, z których każda może zabrać do 300 rowerów. Koszty przejazdu ciężarówki na poszczególnych trasach przedstawia Tabela 4. Zapisz odpowiedni model programowania liniowego. Podaj optymalną wartość funkcji celu i zmiennych decyzyjnych. [2p] Tabela 4: Koszty przejazdów ciężarówek Francja Niemcy UK Amsterdam 3000 4000 2000 Eindhoven 3500 1900 4000 Maastricht 4200 2000 2800 d) Przy planowaniu kosztów transportu z wykorzystaniem ciężarówek dyrektor finansowy nie wziął pod uwagę kosztów zakupu ciężarówek. Ze względu na skomplikowaną politykę wewnętrzną firmy każde dla każdego z magazynów firmy ciężarówki muszą 2
być kupowane w najbliższym mieście. Ze względu na różne stawki podatków przy zakupie samochodów w róznych miastach funkcje kosztów zakupu ciężarówek są różne w róznych miastach. Funkcje wyrażające koszt zakupu ciężarówek w poszczególnych miastach zawiera Tabela 5. Zmodyfikuj zadanie z podpunktu c). Zapisz odpowiedni model programowania liniowego. Podaj optymalną wartość funkcji celu i zmiennych decyzyjnych. [3p] Tabela 5: Łączny koszt zakupu ciężarówek w zależności od ich liczby (x) Amsterdam f(x) = 20000x Eindhoven f(x) = 10000x 2 1000x Maastricht f(x) = 5000 2 x - 1000*(5-x) 3 Sama Słodycz Firma wielobranżowa Sama słodycz para się różnoraką działalnością. Jej właściciel pan Aureliusz posiada 3 sady, które nazwał imionami swoich ukochanych córek: Kunegunda, Mścisława, Hildegarda. Z każdego sadu Pan Aureliusz zbiera owoce, a wielkości tych zbiorów (w tonach) znajdują się w tabeli poniżej. Tabela 6: Zbiory poszczególnych owoców (w tonach) w danych sadach. Wiśnie Jabłka Śliwki Porzeczki Kunegunda 100000 20000 70000 60000 Mścisława 10000 70000 90000 50000 Hildegarda 120000 75000 40000 50000 Następnie owoce te przewożone są przez pana Aureliusza do jego fabryk, nazwanych tak, jak jego ukochane psy: Azor, Burek i Fajtłapa. W tabeli 7 podano koszty przewozu 1 tony owoców (są one takie same dla każdego rodzaju owoców). Tabela 7: Koszty transportu 1 tony owoców do danej fabryki Azor Burek Fajtłapa Kunegunda 13 20 18 Mścisława 14 10 15 Hildegarda 20 12 12 W fabrykach są chłodnie, w których mogą być przechowywane owoce. P. Aureliusz chce, aby w danej fabryce była ta sama ilość każdego owocu, a minimalna suma owoców w danej chłodni to: w fabryce Azor to 50 tys. t. zaś w pozostałych fabrykach po 100 tys. ton. a) Zapisz problem ZPL przy założeniu że p. Aureliusz min. koszty transportu.[3p] b) Podaj rozwiązanie optymalne i optymalną wartość funkcji celu. [2p] c) Z przewiezionych owoców wyrabiane są różne przetwory, soki i wina. P. Aureliusz posiada 5 sklepów (S1, S2, S3, S4, S5), w których rozprowadza uprzednio wytworzone w swoich fabrykach wieloowocowe wina o nazwie Wino X i Wino Y. Z powodów 3
technologicznych do wytworzenia danego wina w danej fabryce potrzebne są odpowiednie ilości poszczególnych owoców. Informacje z mieszanki ilu ton (oczywiście po odpowiedniej obróbce) powstanie 100 kartonów wina zawiera tabela 8. Tabela 8: Proporcje do wytworzenia 100 kartonów wina Azor Burek Fajtłapa Wino X Wino Y Wino X Wino Y Wino X Wino Y Wiśnie 1 1 1 1 1 2 Jabłka 2 2 2 1 2 2 Śliwki 2 1 1 2 1 1 Porzeczki 1 1 1 3 1 2 Pan Aureliusz chce, aby do każdego sklepu przybyło 10000 transportów (po 100 kartonów) każdego rodzaju wina. Koszty przewozu win z fabryk do sklepów zawiera tabela 9 (oba rodzaje wina można przewozić razem, koszty są takie same). Tabela 9: Koszty transportu 100 kartonów wina do danej fabryki S1 S2 S3 S4 S5 Azor 20 45 18 10 35 Burek 28 63 33 15 25 Fajtłapa 44 32 54 20 10 Zapisz zmodyfikowane ZPL przy założeniu że p. Aureliusz chce minimalizować koszt transportu. [3p] d) Podaj nowe rozwiązanie optymalne i wartość funkcji celu. [2p] 4 Dzicz Polska jest w europejskiej czołówce, jeśli chodzi o powierzchnię lasów. Zajmują one 29,2 proc. terytorium kraju, rosną na obszarze 9,1 mln ha. Zdecydowana większość to lasy państwowe, z czego prawie 7,6 mln ha zarządzane jest przez Państwowe Gospodarstwo Leśne Lasy Państwowe. Lasy Państwowe postanowiły poddać częsciowej wycince pewien las o wdzięcznej nazwie Dzicz. Mapa 1 przedstawia las Dzicz podzielony na 12 obszarów. Ze względu na górzystość terenu do lasu można dostać się tylko od strony obszaru 2 (istnieje tam już droga), czyli ewentualna wycinka drzew musi rozpocząc się od tego obszaru. Poza drogą dojazdową do obszaru 2 w lesie nie ma żadnych dróg, aby rozpocząc wycinkę drzew w danym obszarze należy najpierw wybudować drogę prowadzącą do tego obszaru. Potencjalne drogi oraz koszty (w tysiacach złotych) ich budowy są przedstawione na mapie 1. Nie wszystkie obszary muszą być poddane wycince. Tabela 10 przedstawia szacowany przychód z wycinki poszczególnych obszarów. Tabela 10: Zysk z wyciniki poszczególnych obszarów Obszar 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Przychód (w tys. zł.) 15 7 10 12 8 17 14 18 13 12 10 11 4
Rysunek 1: Mapa dziczy a) Zapisz zadanie maksymalizacji zysku z wycinki jako zadanie programowania liniowego. [3p] b) Które obszary powinny zostać poddane wycince oraz jakie drogi należy wybudować, aby zmaksymalizować zysk z wycinki tego lasu? Jaki jest zysk w rozwiązaniu optymalnym? [7p] 5