Deterministyczne Modele Badań Operacyjnych Semestr letni 2015 Praca domowa IV

Transkrypt

1 Deterministyczne Modele Badań Operacyjnych Semestr letni 2015 Praca domowa IV 29/05/2015 Polecenie a) Ten zestaw zadań jest zestawem dodatkowym, nie jest on obowiązkowy dla wszystkich studentów. Tą pracę można wykonać w dwóch trybach: zaliczenia albo poprawy. Tryb zaliczenia jest dla osób które na podstawie dotychczas zgormadzonych punktów niezaliczyły ćwiczeń. Aby zaliczyć ćwiczenia (na 3 punkty do egzaminu) należy napisać pracę domową na 60%. Osoby, które nie zaliczą zajęć nie mogą podejść do I terminu egzaminu i muszą zaliczyć ćwiczenia przed podejściem do II terminu egzaminu. Tryb poprawy jest skierowany do osób, które chcą poprawiać najsłabiej napisaną pracę domową lub nie oddały którejś z poprzednich prac. W tym przypadku punkty uzyskane z IV pracy domowej zastępują punkty z najsłabiej napisanej pracy [uwaga: punkty zastępowane są nawet jeżeli praca została napisana gorzej niż najsłabiej napisana praca z 3 poprzednich. Także dotyczy to sytuacji, w której zamiana punktów spowodowałby niezaliczenie ćwiczeń. Proszę o przemyślane decyzje]. Tryb w którym oddają państwo pracę proszę zaznaczyć zgodnie z opisem w punkcie e). b) Zestaw składa się z trzech zadań, za każde z nich można zdobyć 10p. c) Rozwiązania do zadań należy wysłać na adres tp.dmbo.2015@gmail.com do 07/06/2015 do godziny 23 : 59 (liczy się czas otrzymania rozwiązania, nie wysłania). W przypadku przekroczenia tego terminu praca nie będzie sprawdzana. d) Prace należy wykonywać w grupach maksymalnie 2 osobowych. Skład grup nie powinien się zmieniać w trakcie semestru. Prace powinny 1

2 być wykonane przez zespoły samodzielnie, w przypadku stwierdzenia niesamodzielności pracy dany zestaw nie będzie sprawdzany. e) Na rozwiązanie składa się plik.xls lub.xlsx z rozwiązanymi poszczególnymi podpunktów w solverze (każdy podpunkt musi być rozwiązany w oddzielnym arkuszu), oraz plik.pdf z odpowiedziami do zadań (odpowiedzi do zadań proszę zapisać w dowolnym edytorze tekstu; skany pisma ręcznego nie będą akceptowane). Oba pliki powinny być spakowane do folderu skompresowanego w formacie.zip. Nazwa folderu powinna być następująca: DM BO4[T RY B][ind1][ind2][nrg1][nrg2], gdzie T RY B jest trybem oddania pracy (poprawa/zaliczenie, więcej szczegółów w punkcie a)), ind1 i ind2 to numery indeksów autorów, a nrg1 i nrg2 to numery grup autorów (zgodne ze stanem w Wirtualnym Dziekanacie). Proszę tytułować maile zawierające rozwiązanie w następujący sposób: DMBO2015L P D4 [T RY B] [ind1] [ind2] (gdzie tak jak poprzednio ind1 oraz ind2 oznaczają numery indeksów autorów, a T RY B jest trybem oddania pracy). W przypadku nie przestrzegania powyższych wymogów od uzyskanego wyniku może zostać odjęte do 20% uzyskanych punktów. 1 Krok po kroku Dane jest zadanie optymalizacji liniowej: 3x 1 + 5x 2 + 7x 3 max p.w. x 1 + x 2 5 x 2 + x 3 2 x 3 = (x 1 + x 2 )/2 x 1, x 2, x 3 0 a) Rozwiąż zadanie przy użyciu metody simplex (tzn. obliczając iterację po iteracji). Opisz kolejne etapy stosowania algorytmu i pokaż kolejne iteracje prowadzące do uzyskania wyniku (iteracje zapisz do pliku.xlsx). [5p] b) Ile rozwiązań optymalnych ma to zadanie? Odpowiedź uzasadnij.[1p] c) Zapisz zadanie dualne do danego. Na podstawie wyników zadania pierwotnego wskaż, które zmienne w rozwiązaniu zadania dualnego na 2

3 pewno przyjmą wartość równą zero. Odpowiedź uzasadnij na podstawie twierdzenia o równowadze. [4p] 2 Rok później Charlie jest muzykiem jazzowym, który stoi przed życiową szansą zagrania na festiwalu jazzowym. Żeby przygotować się do występu musi dużo ćwiczyć. Charlie postanowił że dziennie będzie ćwiczył 12h. Każdą godzinę może poświęcić na ćwiczenie na jednym z 4 instrumentów: saksofonie, trąbce, pianinie oraz perkusji. Godzina poświęcona na każdy z instrumentów przynosi odpowiedni przyrost umiejętności: 10,8,8,6 punktów. Charlie postanowił, że będzie przeznaczał parzystą liczbę godzin na saksofon, oraz że zależy mu na równomiernym rozwoju swoich umiejętności tzn. na instrument na który przeznacza najwięcej czasu nie będzie przeznaczał więcej czasu niż na wszystkie pozostałe razem. a) Charlie chce ułożyć tak plan nauki aby zmaksymalizować uzyskane umiejętności. Zapisz odpowiednie ZPL. Jakie jest rozwiązanie optymalne? Podaj wartość funkcji celu oraz wartości zmiennych decyzyjnych. [2p] b) Charlie zrozumiał że napotyka opadająca krzywą uczenia, tzn. każda kolejna godzina przeznaczona na ćwiczenia danego instrumentu przynosi niższe o jedną jednostkę efekty (np. pierwsza godzina ćwiczenia na saksofonie przynosi wzrost umiejętności o 10p, druga o 9p itd.). Zmodyfikuj ZPL z punktu a). Jakie jest rozwiązanie optymalne? Podaj wartość funkcji celu oraz wartości zmiennych decyzyjnych. [3p] c) Po głębokim namyśle Charlie stwierdził, że nie warto angażować się w żaden z instrumentów w umiarkowanym stopniu. Dlatego też zdecydował że na każdym z instrumentów będzie ćwiczył albo jedną lub dwie godziny albo powyżej 4h. Zapisz dodatkowe warunki ograniczające. Zmodyfikuj model z punktu a). Jakie jest rozwiązanie optymalne? Podaj wartość funkcji celu oraz wartości zmiennych decyzyjnych. [3p] d) Charlie zauważył że w jego nauce zachodzi efekt synergii i jego umiejętności wrastają w sposób wykładniczy, tzn. przeznaczenie jednej godziny na naukę gry na saksofonie i jednej na naukę gry na trąbce daje przyrost umiejętności o 10*8=80 punktów. Zmodyfikuj w odpowiedni sposób ZPL z punktu a). Jakie jest rozwiązanie optymalne? Podaj wartość funkcji celu oraz wartości zmiennych decyzyjnych. [2p] 3

4 3 EPYL Firma EPYL zajmuje się produkcją telefonów komórkowych. Wszelkie czynności w fabryce są zautomatyzowane, w firmie jest 6 maszyn (K1-K6). Maszyny mają za zadanie wykonanie projektu w ramach którego należy wytworzyć pewne ilości 4 modeli telefonów (Epyl Z1, Epyl Z2, Epyl Z3, Epyl Z4). Czas (w h.) potrzebny na zrealizowanie zamówionej liczby poszczególnych telefonów wynosi odpowiednio: 3, 6, 7, 3. Koszty które wiążą się z potencjalnym wykonaniem telefonów danego modelu przez daną maszynę przedstawiono w tabeli 1. Budżet na wykonanie zamówienia wynosi 500 jednostek. Tabela 1: Koszty 1 h pracy danej pracownika przy realizacji zadania wykonania telefonów danego typu. K1 K2 K3 K4 K5 K6 Z Z Z Z Jedna maszyna może przepracować różną liczbę godzin przy realizacji zamówienia na któryś rodzaj telefonu, jednak nie więcej niż 4 h. Maszyny 3 i 4 ze względu na to iż zasilane są z tego samego źródła w sumie nie mogą wykonać więcej niż 5 h. W przedsiębiorstwie zachodzą teraz procesy restrukturyzacyjne mające na celu poprawę jakości pracy maszyn. W tabeli 2 przedstawiono stworzony przez analityków miernik produktywności maszyn w skali od 1 do 35 (na h) - czym większa wartość, tym maszyna wydajniejsza. Średnia godzinowa produktywność każdej z maszyn przy tworzeniu telefonów (jest ona taka sama dla wszystkich modeli) nie powinna być mniejsza niż 25. Tabela 2: Zmierzone produktywności maszyn (na 1h) K1 K2 K3 K4 K5 K a) Manager chce minimalizować koszt całkowity wykonania projektu. Zapisz ZPL oraz przedstaw minimalny koszt całkowity. Załóż, iż maszyna pracuje tylko w trybie pełno godzinowym. [2p] b) Manager postanowił zmaksymalizować stosunek produktywności do kosztów. Zapisz ZPL i wynik funkcji celu (zmodyfikuj model z punktu 4

5 a)). Maszyny nie muszą w tym przypadku przepracowywać pełnych godzin. [2p] c) Maszyna 1 zepsuła się. W związku z tym manager zdecydował że każda z pozostałych maszyn może pracować w trybie wysokiej eksplotacji, który pozwala każdej z nich pracować maksymalnie o godzinę dłużej. Manager chce teraz zmaksymalizować minimalną sumę produktywności maszyn przy wykonywaniu danego modelu telefonu. Załóż, iż maszyna pracuje tylko w trybie pełno godzinowym. Zmodyfikuj model z punktu a). Zapisz ZPL i wynik funkcji celu. [3p] d) Manager dowiedział się, iż na wykonanie telefonów typu 4 potrzebuje jednak aż 5 godzin, dzięki czemu zyskuje dodatkowe 100 jednostek w budżecie. Manager uznał, że aby nie równomiernie wykorzystać wszystkie maszyny chciałby zminimalizować sumę odchyleń godzin pracy poszczególnych maszyn od średniej. Załóż, iż maszyna może wykonywać pracę tylko w trybie pełno godzinowym. Zmodyfikuj model z punktu a). Zapisz ZPL i wynik funkcji celu. [3p] 5