KLASYFIKACJA ZACHOWAŃ WYBRANYCH UKŁADÓW DYNAMICZNYCH Wojciech MITKOWSKI Kaedra Auomayki Wydział Elekroechniki, Auomayki, Inormayki i Elekroniki Akademia Górniczo-Hunicza w Krakowie Zielona Góra, lisopada
WPROWADZENIE Podsawowe kierunki badań Zachowania klasyczne i dziwne Diagnosyka dziwnych zachowań Źródła zachowań chaoycznych Sysem pojęciowy Przykłady Uwagi końcowe
DWA PODSTAWOWE KIERUNKI BADAŃ Poszukiwanie zachowań regularnych np. sabilnych w różny sposób. Poszukiwanie i zrozumienie zachowań nieregularnych chaos. 3
ZACHOWANIA REGULARNE Globalna asympoyczna sabilność Asympoyczna sabilność-zbiory przyciągania Sabilność prakyczna Trajekorie okresowe Paramery określające zachowania Układy liniowe 4
STABILNOŚĆ PRAKTYCZNA RÓWNANIE VAN DER POLA: &&+ µ a & + β δ sin, ẋ,a. β, µ δ δ. 9 5
DZIWNE ZACHOWANIA I STABILNOŚĆ PRAKTYCZNA &&+ a& + bsign δ sin ω 6
"ONION" ATRAKTOR 7
NORMA W CZASIE 8
AUTOKORELACJA 9
ANALIZA WIDMOWA
DIAGNOSTYKA DZIWNYCH ZACHOWAŃ Obserwacja normy w czasie Arakor Auokorelacja Analiza widmowa Inne
WYBRANE HIPOTEZY BADAWCZE Ocena " wrazeniowa" Isnienie arakora chaos Tuc ker 999 Sygnaly okresowe auokorelacja okresowa Szybkie zanikanie auokorelacji chaoycznosc sygnalu Wykladnicze zanikanie auokorelacj mieszanie Widmo szerokopasmowe z jednym osrzem chaos
DETERMINIZM A PRZYPADKOWOŚĆ Chaos deerminisyczny Szum losowy przypadkowy Meody badania chaosu worzą pomos pomiędzy zachowaniami deerminisycznymi i przypadkowymi 3
KIEDY MOŻEMY MÓWIĆ O CHAOSIE? -INTUICJA. Pook rajekorii ma deerminisyczny i prosy opis.. Zachowania rajekorii są skomplikowane i przypadkowe. Przypadkowość oznacza, że pook jes nieprzewidywalny i rajekorie są wrażliwe na małe perurbacje warunków począkowych pook wygląda jak szum losowy. 4
ŹRÓDŁA DYNAMIKI CHAOTYCZNEJ Różnego rodzaju nieliniowości. Czas ciągły - n>. Czas dyskreny - n>. Chaos w układach liniowych ale nieskończenie wymiarowych. Wiele seki różnych deinicji chaosu. 5
TRZY RÓŻNE PODEJŚCIA BADANIA CHAOSU. Makroskopowe: badanie całego pooku, w konsekwencji szukanie arakorów o skomplikowanej srukurze.. Mikroskopowe: badanie własności poszczególnych rajekorii, rajekorii niesabilnych, urbulennych lub gęsych w przesrzeni sanu. 3. Sochasyczne: wykorzysuje eorię ergodyczną bada się isnienie ergodycznej miary niezmienniczej. 6
WYBRANE POJĘCIA W CELU WPROWADZENIE PORZĄDKU 7
8 UKŁAD DYNAMICZNY X, ciagla jes X X s I X X X dynamiczny na semidynamiczny uklad s s + :[,,,,, : } { o n A A R X e e A,, & Przykłady: A A k k k A k k +,,,, K
UKŁAD MINIMALNY Zbiór niezmienniczy : D X : D D Gdy D jes domkniey, czyli para D, o mówimy : D jes podukladem X, D jes ukladem dynamicznym, Układ, kóry nie posiada żadnych niepusych właściwych podukładów nazywamy układem minimalnym. Jeżeli domknięy zbiór niezmienniczy wyznacza układ minimalny, o nazywamy go zbiorem minimalnym. Układ jes minimalny wedy i ylko wedy, gdy każda orbia jes gęsym podzbiorem przesrzeni azowej domknięcie dowolnej orbiy jes zawsze podukładem. 9
UKŁAD DYSKRETNY, },,, { k O wzgledem X punku orbia Trajekoria k k k K } : {. : : Fi punków saych Zbiór Per punków okresowych Zbior podsawowym m okresie o okresowego punku orbia cykl m m dlugosci o Cykl m liczba najmniejsza podsawowy Okres n dla okresowy Punk m n
ZASADA ODWZOROWAŃ ZWĘŻAJĄCYCH Sean Banach, Kraków 3.3.89-Lwów 3.8.945 K K,,,3,,,,,,,3,, :!,,,,,,, : + m F X n F F X F F X X F m m o o n n n o o o ρ α α ρ α αρ αρ αρ αρ ρ
PRZESTRZEŃ FRAKTALI METRYKA HAUSDORFFA d,b B B A },,, ma{,, ma,, ma, A B d B A d B A h A y d A B d B d B A d B y A
3 ODWZOROWANIA ITEROWANE,,,3,K,, + + i b i A i 3,,, 3 3 b b b A A A n n n3 n TRÓJKĄT SIERPIŃSKIEGO m n dla A A h n m n < <,
ODWZOROWANIE ODCINKA [, ] W SIEBIE i+ F i, λ, F, λ λ, i,,3,4,5,...9.8 generaor λ, n,.7.6.5.4.3. generaor3.884,5,.5. 4 6 8 4 6 generaor3.884,5,.55 4
ORBITA dla lambda4 5
Hisogram dla orbiy 6
ROZWIĄZANIE NUMERYCZNE i+ h i a & a + b + c i + b i + c, a, b 3/ 4, c,.5 i ih, i,,,....9.8.7.6.5.4.3...9.8.7.6.5.4.3.. 3 4 5 6 3 4 5 6 h.5 h 3. 99 7
8 ORBITY OKRESOWE PORZĄDEK SZARKOWSKIEGO 964 7 5 3 7 5 3 7 5 3 7 5 3 7 5 3 3 4 5 3 3 3 KK K K K K K K K n n n [,] [,] : Jeżeli posiada orbię okresową o okresie podsawowym m a k jes liczbą nauralną mniejszą od m w porządku Szarkowskiego, o posiada akże orbię okresową o okresie podsawowym k.
ZBIÓR CZASÓW PRZEJŚCIA Zbiór N U, V czasów przejscia z U do V : zbiory oware U, V X, N U, V { n Ν : n U V Θ}, Θ zbiór pusy, Ν liczby naura ln e 9
TRANZYTYWNOŚĆ : X X jes ranzyywne uklad jes przechodni na X wedy i ylko wedy, gdy U, V X niepusych i owarych n Ν : n U V Θ. Zbiórω, jako granice jakiegoś zbiór graniczny punku podciagu ciagu O X : zbiór wszyskich mozliwych punków kóre mozna uzyskać {,,, K}. jes ranzyywne X :ω, Każdy układ minimalny jes ranzyywny X Układ X, jes ranzyywny wedy i ylko wedy, gdy dla dowolnych niepusych i owarych zbiorów U i V zbiór NU,V jes nieskończony. 3
WRAŻLIWOŚĆ NA WARUNKI POCZĄTKOWE : X X jes wrazliwe na warunki poczakowe, jezeli δ > : X i jego ooczenia U y U n > : ρ n, n y δ. ρ meryka w X Jeżeli układ ranzyywny przechodni i posiada gęsy zbiór punków okresowych, o jes również wrażliwy na zmiany warunków począkowych Banks i inni 99. Wrażliwość na warunki począkowe implikuje niesabilność w sensie Lapunowa. 3
MIESZANIE I SPLĄTANIE jes mieszajace, gdy U, V X niepusych owarych N : n U V Θ n > N. Zbior S X nazywamy spla an ym przez, gdy, y S, y zachodzi warunek dla n lim sup n n y > oraz lim in n n y. 3
DEFINICJE CHAOSU Układ jes chaoyczny w sensie Auslandera i Yorke a 98, jeżeli jes ranzyywny i wrażliwy na warunki począkowe. Układ jes chaoyczny w sensie Li i Yorke a 983, gdy isnieje nieprzeliczalny zbiór zbiór spląany S w X. Wcześniej w innym języku była o pierwsza deinicja chaosu 975. Układ jes chaoyczny w sensie Devaneya 986, jeżeli jes ranzyywny i zbiór punków okresowych jes gęsy w X oraz jes wrażliwe na warunki począkowe. Jeżeli układ ranzyywny przechodni i posiada gęsy zbiór punków okresowych, o jes również wrażliwy na zmiany warunków począkowych Banks i inni 99. 33
CHAOS DYSTRYBUCYJNY W deinicji Li i York a wymaga się by ieracje dwóch punków nieskończenie wiele razy oddalały się od siebie i zbliżały dowolnie blisko. W chaosie dysrybucyjnym wymaga się dodakowo by zbliżanie i oddalanie odbywało się odpowiednio częso. 34
PRZYKŁADY Równanie Lorenza Obwód elekryczny Chuy Sieci komórkowe Układ LC 35
36 RÓWNANIE LORENZA, :,,,,,,,,, 3 3 3 > > > + ε ε K K gdy rownanie Typowe K u K u c b a R u R K K Bu B c b a a A Bu A &
LORENZ 8 3 6 4 - -4-6 3 4 5 - - -3-4 -5-3 - - 37
LORENZ 38
ATRAKTOR LORENZA 39
WYKRES NORMY W CZASIE 4
AUTOKORELACJA 4
KORELACJA WZAJEMNA, BLISKIE WARUNKI POCZĄTKOWE: ;; I.;; 4
ANALIZA WIDMOWA 43
OBWÓD ELEKTRYCZNY CHUY 3 L R R i g C C R. g v 3 av+ bv, a<, b > R..6.6.4.4.. -. -. -.4 -.4 -.6 -.6 -.8-3 - - 3 -.8-3.5-3 -.5 - -.5 - -.5.5 44
TRAJEKTORIA FAZOWA 45
WYKRES NORMY OD CZASU 46
AUTOKORELACJA 47
KORELACJA WZAJEMNA, BLISKIE WARUNKI POCZĄTKOWE:.;.5;.8 I.;.5;.8 48
ANALIZA WIDMOWA 49
SIEĆ KOMÓRKOWA p -s -s -s -s p y y -r -r z z p3.8.6.4. -. -.4 -.6 -.8 - - -.5 - -.5.5.5 5
5 MODEL SIECI KOMÓRKOWEJ,,,,, 3 3 z u y u u z y p r s r p s s s p B A Bu Aw w + & Galias 995, s. 6; model złożonej sieci komórkowej. p.5; p.; p3.; s3.; r4.4;
Trajekoria sieci komórkowej.5.5 -.5 - -.5 - -3 - - 5
TURBULENCJE W UKŁADZIE LC, z, z LC,, z [, ],,, z L L L L C C n ϕ i iπ ωi sin, ϕ i, i,, K, n n+ LC n+ 53
RZUT TRAJEKTORII dla n 54
NORMA W CZASIE 55
AUTOKORELACJA 56
ANALIZA WIDMOWA 57
Analiza widmowa c.d. w i, 7, 4,, 8,3 48,4 3,4 76,5 36,594,6 48 m a, 76, 4,,3 45,3 47,3 53,4 75,5 89,59 w i,6 98,7 45,7 87,8 5,8 58,8 87,9,9 9,9 4,9 5 m a,6 94,7 84,8 5,8 49,8 85,9,9 78, 5 58
UWAGI KOŃCOWE Ograniczone możliwości kompuera Serowanie kompuerowe 59
REDUKCJA WYMIARU Uraa inormacji Redukcja wymiaru: n n n + dim n <+ 6
OGRANICZONE MOŻLIWOŚCI KOMPUTERA F, F + / / i + i > i 3.33333333K.3.3333 6
STEROWANIE KOMPUTEROWE k + A k + y k C k, u k R k,,,... A : e Bu k, R r Ah n, y k R, B : h m, [ kh, k + h kh, h>, k A e Bd, C : C,,,... C/A C/A SYSTEM CIĄGŁY u k yk A/C 6
Wykorzysane prace Lasoa, Rudnicki 4 Oprocha 8, Kwieniak 8 Banasiak 5, Galias, Kudrewicz 993 Mikowski P.9,, Obrączka Dawidowicz, Zgliczyński, Srzednicki Inne...np. Bronszejn i inni 4 63
DZIĘKUJĘ I PROSZĘ O UWAGI wojciech.mikowski@agh.edu.pl 64