Analiza maemayczna Lisa zadań Opracowanie: dr Marian Gewer, doc. Zbigniew Skoczylas Lisa. Korzysając z definicji zbadać zbieżność całek niewłaściwych pierwszego rodzaju: d) + ; b) arccg; e) +) ; c) 4+3 ; f) π sin; e.. Korzysając z kryerium porównawczego zbadać zbieżność całek niewłaściwych pierwszego rodzaju: d) 4 +) ; b) +) 3 ; e) + 9 π ; +3 c) +sin) 3 ; f) +) 4 ++ ; +cos ). 3. Korzysając z kryerium ilorazowego zbadać zbieżność całek niewłaściwych pierwszego rodzaju: +) ; b) +) 5 ) e 5 3 ; c) ; d) sin ; e) 3 sin. 4.Obliczyćpoleobszaruograniczonegokrzywąy= +4 orazosiąo. b)obliczyćobjęośćbryłypowsałejzobrouwokółosioobszaru=,y) R :, y e }. c)zasadnić,żepolepowierzchnipowsałejzobrouwykresufunkcjiy= )wokółosioma skończoną warość. 5. Korzysając z definicji zbadać zbieżność całek niewłaściwych drugiego rodzaju: +) ; b) e ln ; c) +) ; d) π π sin ; e) 5 3 8. 6. Korzysając z kryerium porównawczego zbadać zbieżność całek niewłaściwych drugiego rodzaju: 4 arcg ; b) e 4 3 ; c) + ; d*) 6 4. 7. Korzysając z kryerium ilorazowego zbadać zbieżność całek niewłaściwych drugiego rodzaju: 3 + ) π +) ; b) sin 3 e ) π 4 ; c) ; d*) ; e*) 3 sin. 8. Wyznaczyć warości główne całek niewłaściwych: 3 cos ; b) +4 e e + ; c) e +5 ; d 9 4 π ; e) sin.
Lisa 9. Znaleźć sumy częściowe podanych szeregów i nasępnie zbadać ich zbieżność: ) n 5 ; b) 6 n +3n+ ; c) n ; d). n! n++ n n= n=. Korzysając z kryerium całkowego zbadać zbieżność szeregów: n +4 ; b) n= n+ n n ; c) n= lnn n ; d) n n+ ; e). Korzysając z kryerium porównawczego zbadać zbieżność szeregów: 3n+ n 3 + ; b) n + n + ; c) sin π n; d) n= n= n +e n e n +4 n; e) e n e n +. 3 n +n n3 n + n.. Korzysając z kryerium ilorazowego zbadać zbieżność szeregów: n+ n6 ; b) n + n 3 + ; c) e n 3 n ; d) 4 n sin5 n. 3. Korzysając z kryerium d Alembera zbadać zbieżność szeregów: 5 n ; b) n! e n + n 5 + ; c) n sin π n; d) n= n! n n; e) 4. Korzysając z kryerium Cauchy ego zbadać zbieżność szeregów: n+) n n +3 n n +) n ; b) 3 n +4 n; c) 3 n n n ; d) n+) n n n π n n!. arccos n n. 5. Wykazać zbieżność odpowiedniego szeregu i nasępnie na podsawie warunku koniecznego zbieżności szeregów uzasadnić podane równości: n 5 n n n n lim n 3 n =; b) lim n n!) =; c) lim n n! 3n)!4n)! =; d*) lim n 5n)!n)! =. 6. Korzysając z wierdzenia Leibniza uzasadnić zbieżność szeregów: ) n ) n + n ; b) ) n n 3 n +4 n; c) ) n g π n ; d) n= 7. Obliczyć sumy przybliżone szeregów ze wskazaną dokładnością: ) n+ n, ) n n 6 ; b) n+)!, 3. Lisa 3 n= n= n= n=4 8. Zbadać zbieżność oraz zbieżność bezwzględną szeregów: ) n 3 n + ; b) ) n n n+ ; c) ) n n ; d) 3n+5 n= 9. Wyznaczyć przedziały zbieżności szeregów poęgowych: n ne n; b) 5 ) n +3) n ; c) ; d) n! ) n ne ) ; e) n= +6) n 3 n n ; e). Znaleźć szeregi Maclaurina podanych funkcji i określić przedziały ich zbieżności: 5 + ; b)sin ; c) e 3 ; d) 6 ; e)sinh; f)cos.. Korzysając z rozwinięć Maclaurina funkcji elemenarnych obliczyć pochodne: f 5) ), f)= cos; b)f 5) ), f)=e ; c)f ) ), f)= 3 + ; d)f) ), f)=sin. ) n+3n n= n!. n+) n. n+ ) n 3 n +.
.Wyznaczyćszeregipoęgowef )oraz f)= + 3; b)f)=sin ) ; c*)f)=e. n= f) d, jeżeli funkcja f określona jes wzorem: 3. Sosując wierdzenia o różniczkowaniu i/lub całkowaniu szeregów poęgowych obliczyć sumy szeregów: n+)3 n; b) n nn+) n ; c) 5 n. n= 4. Obliczyć całki oznaczone ze wskazaną dokładnością: Lisa 4 e,.; sin,.. 5. Wyznaczyć i narysować dziedziny nauralne funkcji: f,y)= y y ; b)f,y)= y + ; c)f,y)= y 4 y ; d)f,y)=ln +y 9 6 y ; e)g,y,z)= + z; f)g,y,z)=arccos +y +z ). 6. Naszkicować wykresy funkcji: f,y)= +y ; b)f,y)= 3+ y ; c)f,y)= +y +y+3; d)f,y)=siny; e)f,y)= ; f)f,y)=. * 7. Obliczyć granice: sin 4 y 4) cos +y ) y lim,y),) +y ;b) lim,y),) +y ) ;c) lim,y),) +y;d) lim +y ) cos,y),) y. 8.Korzysajączdefinicjiobliczyćpochodnecząskowepierwszegorzęduf,f y funkcjifipochodnecząskowe g,g y,g z funkcjigwewskazanychpunkach: f,y)= y,,); b)f,y)= 6 +y 6,,); c)g,y,z)= +z,,,). y 9.Obliczyćpochodnecząskowef,f y funkcjifipochodnecząskoweg,g y,g z funkcjig: f,y)= +y ; b)f,y)=arcg y y +y ; d)f,y)=y +y ; g)g,y,z)= Lisa 5 e)f,y)=ln c)f,y)=ecos y ; + +y ) ; f)g,y,z)= + z +y +z; h)g,y,z)=cossinycosz)); i)g,y,z)= * 3. Sprawdzić, że funkcja f spełnia wskazane równanie: f,y)=ln +y+y ), f +yf y =; b)f,y)= sin y, f +yf y = f. y +yz3 ; + y + z +. 3.Obliczyćpochodnecząskowedrugiegorzęduf,f y,f y,f yy funkcjifipochodnecząskoweg,g y, g z,g y,g yy,g yz,g z,g zy,g zz funkcjigisprawdzić,żepochodnecząskowemieszanesąrówne: f,y)=cos +y ) ; b)f,y)=ye y ; d)f,y)=yln y ; c)f,y)= + y3 ; e)g,y,z)= y + +z ; f)g,y,z)=ln +y +z 3 + ). 3
3. Obliczyć pochodne cząskowe: h yy, h,y)=siny; b)h yyy, h,y)= +y y ; c)h yz, h,y,z)= y 3 z. 33. Sprawdzić, że funkcje: z=arcg y ; b)z=+ y ; c)z=+ln + y ) ; d)z=+ y spełniają równanie z +yz y +y z yy =,,y>). 34. Napisać równania płaszczyzn sycznych do wykresów podanych funkcji we wskazanych punkach wykresu: z= y+,,y,z )=,3,z ); b)z=e +y,,y,z )=,,z ); c)z= arcsin arccosy,,y,z )= ) 3,,z ; d)z= y,,y,z )=,4,z ). 35.Nawykresiefunkcjiz=arcg y wskazaćpunky,wkórychpłaszczyznasycznajesrównoległado płaszczyzny+y z=5. b)wyznaczyćrównaniepłaszczyznysycznejdowykresufunkcjiz= +y,kórajesprosopadładoprosej =,y=,z=, R. Lisa 6 36.Wysokośćipromieńpodsawywalcazmierzonozdokładnością±mm.Orzymanoh=35mmoraz r=45mm.zjakąwprzybliżeniudokładnościąmożnaobliczyćobjęośćvegowalca? b)krawędzieprosopadłościanumajądługościa=3m,b=4m,c=m.obliczyćwprzybliżeniu,jak zmieni się długość przekąnej prosopadłościanu d, jeżeli długości wszyskich krawędzi zwiększymy o cm. c)oszacowaćbłądwzględnyδ V objęościprosopadłościamuv,jeżelipomiarujegoboków,y,zdokonanoz dokładnościąodpowiednio, y, z. * 37. Sprawdzić, że podane funkcje spełniają wskazane równania: z=f +y ), yz z y =; b)z=fsin y)), z +z y = z ; y c)z= n f, z +yz y =nzn N); d*)z= ) y ) y g)+h, yz y +y z yy +z +yz y =. 38. Korzysając z definicji obliczyć pochodne kierunkowe podanych funkcji we wskazanych punkach i kierunkach: f,y)= ) 3 +y,,y )=,), v=, ; ) b)f,y)= 3 y,,y )=,), v=, ; ) 3 c)g,y,z)= +yz,,y,z )=,,), v= 3,4 3,. 3 39. Obliczyć pochodne kierunkowe podanych funkcji we wskazanych punkach i kierunkach: ) f,y)= +y,,y )= 3,4), v= 3,5 ; 3 b)f,y)= y ) 3 +y,,y )=,), v= 5, 4 ; 5 ) c)g,y,z)=e yz 3,,y,z )=,, ), v=, 3 4,. 4 4.Obliczyćpochodnąkierunkowąfunkcjif,y)=y +lny).wpunkcie ), wkierunku wersoravworzącegokąαzdodanimzwroemosio.lajakiegokąaαpochodnaamawarość,adla 4
jakiego przyjmuje warość największą? b)wyznaczyćwersoryv,wkierunkukórychfunkcjaf,y)= e +y ) wpunkcie,)mapochodną kierunkową równą. Lisa 7 4. Znaleźć eksrema lokalne funkcji: f,y)= 3 +3y 5 4y; b)f,y)=e y + +ey ; c)f,y)=y y),y>); d)f,y)=y y +6y; e)f,y)= 3 +y 3 3y; f)f,y)= 8 + y +y,y>); g)f,y)=y+lny+ ; h)f,y)=4y+ + y ; i)f,y)= y ) + y ). 4. Wyznaczyć eksrema podanych funkcji, kórych argumeny spełniają wskazane warunki: f,y)= +y,3+y=6; b)f,y)= +y 8+, y +=; c)f,y)= y ln,8+3y=; d)f,y)=+3y, +y =. 43. Znaleźć najmniejsze i największe warości podanych funkcji na wskazanych zbiorach: f,y)= 3 +4 +y y, =,y) R : y 4 } ; b)f,y)= +y 6+4y, =,y) R :+y 4,+y 6,,y } ; c)f,y)= +y, =,y R : + y } ; d)f,y)=y +4y 4, =,y) R : 3 3, 3 y } ; e)f,y)= 4 +y 4, =,y) R : +y 9 }. 44.WrójkącieowierzchołkachA=,5),B=,4),C=, 3)znaleźćpunkM=,y ),dla kórego suma kwadraów jego odległości od wierzchołków jes najmniejsza. b) Jakie powinny być długość a, szerokość b i wysokość h prosopadłościennej owarej wanny o pojemności V, aby ilość blachy zużyej do jej zrobienia była najmniejsza? c) Znaleźć odległość między prosymi skośnymi: k: +y =, z+ =, l: y+3 =, z =. d)prosopadłościennymagazynmamiećobjęośćv=6m 3.obudowyścianmagazynuużywanesąpłyy wcenie3zł/m,dobudowypodłogiwcenie4zł/m,asufiuwceniezł/m.znaleźćdługośća,szerokość b i wysokość c magazynu, kórego kosz budowy będzie najmniejszy. f) Firma produkuje drzwi wewnęrzne i zewnęrzne w cenach zbyu odpowiednio 5 zł i zł za szukę. Kosz wyprodukowania szuk drzwi wewnęrznych i y zewnerznych wynosi K,y)= y+y [zł]. Ile szuk drzwi każdego rodzaju powinna wyprodukować firma, aby osiągnąć największy zysk? Lisa 8 45. Obliczyć całki podwójne po wskazanych prosokąach: +y y ) dy,r=[,] [,]; b) R c) siny)dy,r=[,] [π,π]; R dy +y+) 3,R=[,] [,]; R d) e y dy,r=[,] [,]. 46. Całkę podwójną f, y) dy zamienić na całki ierowane, jeżeli obszar ograniczony jes krzywymi o równaniach: y=, y=+; R b) +y =4, y=, =,y ); c) 4+y +6y 5=; d) y =, +y =3<). 5
47. Obliczyć całki ierowane: y dy; b) 4 Narysować obszary całkowania. y dy; c) 4 3 +y 3) dy; d) 48. Narysować obszar całkowania, a nasępnie zmienić kolejność całkowania w całkach: d) f,y)dy; b) dy y y f,y); e) π π f,y)dy; c) sin cos f,y)dy; f) 4 e 4 ln 3 y dy f,y)dy; f,y)dy. y +6. 49. Obliczyć całki po obszarach normalnych ograniczonych wskazanymi krzywymi: y dy, :y=,y= ; b) ydy, :y=,y=,y= ; c) e y dy, :y=,=,y=; d) y+4 ) dy, :y=+3,y= +3+3; e) e y dy, :y=,y=,=; f) y+)dy, :=,y=,y=3 ); g) e dy, :y=,y=,= ln3; h) 3y+)dy, :y=,y=π,=,=siny. * 5. Obliczyć podane całki podwójne po wskazanych obszarach: min,y)dy,=[,] [,]; b) +y dy,=[,] [,]; c) y dy,=,y) R :, y 3 } ; d) sgn y + ) dy,=,y) R : +y 4 }. waga. Symbol mina, b) oznacza mniejszą spośród liczb a, b, z kolei u oznacza część całkowią liczby u. 5. Obliczyć warości średnie podanych funkcji na wskazanych obszarach: [ f,y)=sincosy,=[,π], π ] ; b)f,y)=+y,: y π, siny. * 5. Sosując odpowiednią zamianę zmiennych obliczyć podane całki podwójne po wskazanych obszarach: +y) y) 3dy,:+y=,+y=, y=, y=3; b) dy y,:y=,y=,y= +,y= +4; c) ydy,:y=,y=,y=,y=3 3 ; d*) Lisa 9 4 y 4) dy,: +y =3, +y =5, y =, y =,y ). 53. Wprowadzając współrzędne biegunowe obliczyć podane całki podwójne po wskazanych obszarach: 6
ydy,: +y, 3 y 3; b) y dy,:, +y ; c) y e +y dy,:,y, +y ; d) dy,: +y y; e) +y ) dy,: y,y +y ; f) yy,: +y y ). Obszar naszkicować we współrzędnych karezjańskich i biegunowych. 54. Obliczyć pola obszarów ograniczonych krzywymi: y =4, +y=3, y=y ); b) +y y=, +y 4y=; c)+y=4, +y=8, 3y=, 3y=5; d) +y =y, y= 3. 55. Obliczyć objęości brył ograniczonych powierzchniami: y=z,y=,y=,z=,z=y; b) +y +z =4,z=z ); c) +y y=,z= +y,z=; d)z=5 +y,=,y=,+y=,z=; e*) ) +y ) =,z=y,z=; f*)z= +y,y+z=4. 56. Obliczyć pola płaów: z= +y, +y ;b) +y +z =R, +y R,z ;c)z= +y, z. 57. Obliczyć masy podanych obszarów o wskazanych gęsościach powierzchniowych: =,y) R : π, y sin },σ,y)=; b)=,y) R : +y 4,y },σ,y)=. 58. Znaleźć położenia środków masy obszarów jednorodnych: =,y) R : y 4 } ; b)=,y) R : π, y sin } ; c)=,y) R :, y e } ; d) rójkąrównoramiennyopodsawieaiwysokościh; e) rójkąrównobocznyobokua,dokóregodołączonopółkoleopromieniua; f) kwadraoboku,zkóregowycięopółkoleośrednicya. 59. Obliczyć momeny bezwładności podanych obszarów względem wskazanych osi: =,y) R : +y R,y },ośo,przyjąćσ,y)= +y ; b)=,y) R : y },ośsymeriiobszaru,przyjąćσ,y)= ; c)=,y) R : π, y sin },ośo,przyjąćσ,y)=; d) jednorodnykwadraomasiemibokua,przekąnakwadrau; e) jednorodnyrójkarównobocznyomasiemibokua,ośsymerii. Lisa 6. Obliczyć podane całki porójne po wskazanych prosopadłościanach: dydz,=[,] [,e] [,e]; yz b) +y+z)dydz,=[,] [,3] [3,4]; c) sinsin+y)sin+y+z)dydz,=[,π] [,π] [,π]; d) +y)e +z dydz,=[,] [,] [,]. 7
6.Całkęporójnązfunkcjig,y,z)poobszarzezamienićnacałkiierowane,jeżelijesograniczony powierzchniami o podanych równaniach: z= +y, z=6; b) +y +z =5,z=4,z 4); c)z= +y, z= y. * 6. Narysować obszar całkowania i nasępnie zmienić kolejność całkowania: 3 3 3 y 4 y dy f,y,z)dz; b) dy f,y,z)dz; 4 4 y c) 3 dz z z z z f,y,z)dy; d) dy +y f,y,z)dz. 63. Obliczyć całki porójne z podanych funkcji po wskazanych obszarach: g,y,z)=e +y+z, :, y, z ; b)g,y,z)= 3+y+z+) 4, :,y, z y; c)g,y,z)= +y, : +y 4, z ; d)g,y,z)= y, : y z. * 64. Sosując odpowiednią zamianę zmiennych obliczyć całki porójne: +y) +y+z) 3 dydz,jesobszaremograniczonymprzezpłaszczyzny:=,=,+y=, +y=,+y+z=,+y+z=3; y ) dydz,jesobszaremograniczonymprzezpowierzchnie:y=,y=,y=,y=4, b) z=y+,z=y+3,>; c*) +y ) dydz,jesorusem,j.bryłąpowsałązobrouwokółosiozkoła R) +z r, y=,<r R. Lisa 65. Wprowadzając współrzędne walcowe obliczyć całki po wskazanych obszarach: +y +z ) dydz, : +y 4, z ; b) yzdydz, : +y z y ; c) +y ) dydz, : +y +z R, +y +z Rz; d) +y+z)dydz, : +y, z y. 66. Wprowadzając współrzędne sferyczne obliczyć całki po wskazanych obszarach: dydz +y +z, :4 +y +z 9; b) +y ) dydz, : +y z y ; c) z dydz, : +y +z R) R R>); 8
d) dydz, : +y +z 4. 67. Obliczyć objęości obszarów ograniczonych podanymi powierzchniami: +y =9, +y+z=, +y+z=5; b)=, =, z=4 y, z=+y ; c)z= + +y, z=, +y =; d) +y +z =, y=y ). 68. Obliczyć masy obszarów o zadanych gęsościach objęościowych: =[,a] [,b] [,c],γ,y,z)=+y+zoraza,b,c>; b): +y +z 9,γ,y,z)= +y +z. 69. Wyznaczyć położenia środków masy podanych obszarów jednorodnych: :, y, z ; b)sożekopromieniupodsawyriwysokościh; c): +y z y. 7. Obliczyć momeny bezwładności względem wskazanych osi podanych obszarów jednorodnych o masie M: walec o promieniu podsawy R i wysokości H, względem osi walca; b) sożek o promieniu podsawy R i wysokości H, względem osi sożka; c) walec o promieniu podsawy R i wysokości H, względem średnicy podsawy. Lisa 7. Korzysając z definicji obliczyć ransformay Laplace a funkcji: ; b)sin; c) ; d)e ; e)e cos; f)sinh; g) y h) y i) y y=f) y=g) y=h) 7. Wyznaczyć funkcje ciągłe, kórych ransformay Laplace a mają posać: s+ ; b) s s +4s+5 ; c) s 4s+3 ; s+ d) s+)s )s +4) ; e) s + s s ) ; f) s+9 s +6s+3 ; g) s+3 s 3 +4s +5s ; h) 3s e s s 3 ; i) ) s+. 73. Meodą operaorową rozwiązać zagadnienia począkowe dla równań różniczkowych liniowych o sałych współczynnikach: y y=, y)=; c)y +y =, y)=,y )=; b)y y=sin, y)=; d)y +3y =e 3, y)=,y )= ; e)y y +y=sin, y)=,y )=; f)y y +y=+, y)=,y )=; g)y +4y +4y=, y)=,y )=; h)y +4y +3y=e, y)=,y )=. * 74. Korzysając z własności przekszałcenia Laplace a obliczyć ransformay funkcji: sin 4 ; b)cos4cos; c) cos; d)sinh3; e)e cos; f)e 3 sin ; g) )sin ); h) )e. 9
* 75. Obliczyć sploy par funkcji: f)=e, g)=e ; c)f)=), g)=sin; b)f)=cos3, g)=cos; d)f)=e, g)=. * 76. Korzysając ze wzoru Borela wyznaczyć funkcje, kórych ransformay dane są wzorami: s+)s+) ; b) s ) s+) ; c) s s +) ; d) s s +). Lisa 3 77. Korzysając z definicji wyznaczyć ransformay Fouriera funkcji: sin dla π, cos dla π, dla, f)= b)f)= dla >π; dla > π c)f)= ; dla >; dla, d)f)= e)f)=e ; f*)f)=e a,a. dla >; π Wskazówka.f*) Wykorzysać równość e a d= a. 78.Niechc,h Rorazδ>.WyznaczyćransformaęFourierafunkcji h y c c δ c+ δ 79.Pokazać,żejeżeliFf)}=ˆfω),o: Ff)cosα}= [ˆfω α)+ˆfω+α) ] ; b)ff)sinα}= i [ˆfω α) ˆfω+α) ]. 8. Korzysając z własnści ransformay Fouriera oraz z wyników poprzednich zadań obliczyć ransformay funkcji: f)=e 3 ; b)f)=e ; c)f)=e 4 4 ; cos dla π, cos dla π, d)f)= e)f)= f)f)=[) 4)] ; dla >π; dla >π; g)f)=) e cos; h)f)=e cos ; i)f)=e sin. dla <, waga. ) = funkcja Heaviside a. dla * 8. Korzysając z zadania 8 oraz ransformay Fouriera pochodnej wyznaczyć ransformay funkcji: b) y y * 8. W obwodzie RLC, napięcie ) jes sygnałem wejściowym, a napięcie y) sygnałem wyjściowymrys.). + ) R L C y) + Wyznaczyć rnsformaę Fouriera sygnału wyjściowego y).
83.ObliczyćransformaęFourierafunkcji f )+f ),jeżeliˆfω)= +ω. 84. Wyznaczyć funkcje, kórych ransformay Fouriera mają posać: +iω ; b) 4+ω ; c) e iω +iω ; e)sinωcosω ; f) ω +ω )4+ω ) ; 85. Obliczyć sploy podanych par funkcji i ich ransformay Fouriera: f)=g)=) ), b)f)=) ),g)=+) ), c)f)=) e,g)=) e, d)f)=g)=e.