Progozowaie i smulacje Ramow pla wkładu. Wprowadzeie w przedmio. rafość dopuszczalość i błąd progoz 3. Progozowaie a podsawie szeregów czasowch 4. Progozowaie a podsawie modelu ekoomerczego 5. Heurscze modele progoscze 6. Smulacje
Wbraa lieraura. Progozowaie gospodarcze. Meod i zasosowaie red. M. Cieślak PWN Warszawa. Zeliaś A. Pawełek B. Waa S. Progozowaie ekoomicze. eoria przkład zadaia PWN Warszawa 3 3. Gajda J. Progozowaie i smulacja a deczje gospodarcze Wd. C.H. Beck Warszawa 4. Progozowaie gospodarcze red. E. Nowak AW Place Warszawa 998 5. Progozowaie i smulacja red. W. Milo Wd. UŁ Łódź Przewidwaie przszłości Przewidwaie przszłości Racjoale Nieracjoale Zdroworozsądkowe Naukowe PROGNOZOWANIE o przewidwaie przszłości w sposób racjoal z wkorzsaiem meod aukowch PREDYKCJA o progozowaie a podsawie modelu ekoomerczego
Progoza jako wik progozowaia PROGNOZA o sąd sformułowa z wkorzsaiem dorobku auki odosząc się do określoej przszłości werfikowal empirczie iepew (ale akcepowal) Eap progozowaia: I. Sformułowaie zadaia progosczego II. Podaie przesłaek progosczch III. Wbór meod progozowaia IV. Ocea dokładości lub dopuszczalości progoz V. Werfikacja progoz Fukcje progoz Wróżia się rz podsawowe fukcje progoz: I. PREPARACYJNA (do podejmowaia deczji swarza dodakowe przesłaki do podejmowaia racjoalch deczji) II. AKYWIZUJĄCA (pobudzeie do działań sprzjającch realizacji korzsej progoz przeciwdziałającch progozie iekorzsej) III. INFORMACYJNA (dosarcza iformacji o badam zjawisku) 3
Meoda progozowaia MEODA PROGNOZOWANIA o sposób przeworzeia dach z przeszłości wraz ze sposobem przejścia od przeworzoch dach do progoz. Isieją więc dwie faz: faza diagozowaia przeszłości - odbwa się przez budowę modelu formalego (model ekoomercz) lub mślowego (w umśle ekspera) faza określaia przszłości polega a zasosowaiu odpowiediej reguł progoz Reguł progoz reguła podsawowa progoza posawioa a podsawie modelu prz założeiu że będzie o akual w progozowam okresie reguła podsawowe z poprawką progoza posawioa a podsawie modelu z poprawką uwzględiającą że osaio zaobserwowae odchleia od modelu urzmają się w przszłości reguła ajwiększego prawdopodobieńswa (dla zmiech losowch kórch rozkład prawdopodobieńswa jes za) progozą jes warość zmieej kórej odpowiada ajwiększe prawdopodobieńswo dla zmiech skokowch lub maksmala warość fukcji gęsości prawdopodobieńswa dla zmiech ciągłch reguła miimalej sra przjmuje się że wielkość sra jes fukcją błędu progoz i poszukuje się miimum ej fukcji. Progozą jes warość dla kórej a fukcja przjmuje miimum. 4
Meod progozowaia Meod progozowaia Meod maemaczo-sascze Meod iemaemacze Meod opare a modelach ekoomerczch Modele jedorówaiowe Klascze modele redu Adapacje modele redu Modele przczowo-opisowe Modele auoregresje Meod opare a modelach deermiisczch Modele wielorówaiowe: pros rekurecj o rówaiach współzależch Meod akieowe Meod iuicje Meod kolejch przbliżeń Meoda eksperz Meoda delficka Meoda refleksji Meod aalogowe Ie Meod progozowaia Progozowaie a podsawie modelu maemaczo-sasczego o progozowaie ilościowe Progozowaie a podsawie modeli iemaemaczch o zwkle progozowaie jakościowe Progoz ilościowe dzielim a: pukowe gdzie dla zmieej progozowaej wzacza się jedą warość dla > przedziałowe w kórch wzacza się przedział w kórm zajdzie się rzeczwisa warość zmieej progozowaej w progozowam okresie >. 5
Progozowaie Bazą dach do modelu zmieej progozowaej () F(ε ) lub () F(x x...x k ε ) jes szereg czasow w posaci: x x... x k...... x x... x k x x... x k.................. x x... x k Progoz zmieej progozowaej wzaczam a okres > Progozę a okres będziem ozaczać Y Horzo czasow progoz Progoza krókookresowa o progoza a aki przedział czasow w kórm zakłada się isieie lko zmia ilościowch. Progoz akie wzacza się przez eksrapolację dochczasowch związków (a podsawie modeli ekoomerczch lub redów) Progoza średiookresowa docz okresów czasu w kórch oczekuje się zmia ilościowch oraz eweualie iewielkich zmia jakościowch. Progoza musi uwzględiać oba p zmia musi przajmiej umiarkowaie odchodzić od eksrapolacji Progoza długookresowa docz przedziału czasu w kórm mogą wsępować zmia ilościowe oraz zaczące zmia jakościowe 6
Modele ilościowe Progozę a okres > moża posawić wkorzsując model F () lub() jeśli spełioe są asępujące założeia:. fukcja F wraża pewą prawidłowość ekoomiczą kóra jes sabila w czasie (ie spodziewam się żadch zmia jakościowch). składik losow ε jes sabil 3. w przpadku modelu ekoomerczego zae są warości zmiech objaśiającch w okresie > czli zae są warości progoz... k 4. dopuszczala jes eksrapolacja modelu poza próbę czli poza obszar zmieości zmiech objaśiającch jak i zmieej (zmiech) objaśiaej. Aaliza dach w szeregu czasowm Aaliza dach polega a:. Wodrębieiu obserwacji odsającch. Swierdzeiu braku lub isieia redu 35 Y 3 A 5 5 5 4 6 8 7
Obserwacje odsające Po wodrębieiu obserwacji odsającch ależ usalić:. Cz daa obserwacja pojawiła się w skuek k błędu rejesracji ji dach. Cz obserwacja pojawiła się w skuek jedokroego zjawiska zewęrzego wpłwu (p. realizacja pewego dużego jedokroego zamówieia o kórm wiem że ie asąpi już w przszłości) 3. Cz obserwacja pojawiła się jako ormale wahaie losowe (przpadkowe) w próbie. W przpadku. oraz. obserwację A moża pomiąć a brakującą warość uzupełić średią armeczą z obserwacji poprzediej i asępej. W przpadku 3. obserwacja powia pozosać w bazie dach sasczch. Błąd progoz Po wborze modelu progosczego F moża wzaczć progoz dla >: () Y F() lub () Y F(x x...x k ) wraz z progozą Y ależ wzaczć mierik dokładości progoz Prz wborze modelu progosczego ależ dążć do osiągięcia zadowalającego poziomu mierika dokładości Wróżiam dwa p mierików:. błąd ex pos. błąd ex ae Błąd progoz moża zapisać jako B Y gdzie Y o warość progoz zmieej Y a okres wzaczoa a podsawie modelu F a o rzeczwisa warość zmieej progozowaej w okresie. 8
Dopuszczalość progoz: błąd ex ae Błąd ex ae wzacza się dla modeli liiowch kórch paramer oszacowao Meodą Najmiejszch Kwadraów (MNK). Niech model ma posać: dla. o po oszacowaiu MNK jego paramerów model eorecz przjmuje posać: dla. w zapisie macierzowm: α α α... α ε Ŷ a a a... a Ŷ a k k k k Dopuszczalość progoz () Gdzie w zapisie macierzowm: oraz a a a (... ak Ŷ a ) Y Y..................... k k... k 9
Dopuszczalość progoz (3) Progozę a okres > moża wzaczć ze wzoru: Y α α α... αk k gdzie: k o progoz zmiech objaśiającch ś j k w okresie > co w zapisie macierzowm: Y ( ) a gdzie:... k Błąd ex ae Błąd ex ae o odchleie sadardowe błędu B progoz Y a okres. Błąd ex ae ozacza się przez V : V Se ( ) ( ) gdzie S e o odchleie sadardowe resz modelu liiowego. Względ błąd ex ae progoz Y : W V Y ( %) kór iformuje jaką część progoz saowi błąd ex ae
rafość progoz błąd ex pos () Błąd ex pos może bć wzaczo dla wszskich modeli ilościowch. Jeśli będzie okresem a kór posawioo progozę Y i okres e już miął o zaa jes warość rzeczwisa Y zmieej progozowaej. aką progozę Y azwać będziem progozą wgasłą. Dla progoz wgasłch moża wzaczć błąd ex pos. Rozróżiam:. względ błąd progoz (proceow): PE ( %). absolu błąd progoz: AE 3. względ ę absolu błąd ą progoz (proceow): APE 4. kwadraow błąd progoz: SE ) ( 5. względ kwadraow błąd progoz: ( ) PSE ( %) rafość progoz błąd ex pos () Do oce rafości progoz wgasłch (a a więc dopasowaia modelu progosczego F do dach o zmieej progozowaej Y moża wkorzsać asępujące błęd: ę. średi absolu błąd ex pos progoz wgasłch. średi względ absolu błąd ex pos progoz wgasłch 3. średi błąd ex pos progoz wgasłch 4. średi względ błąd ex pos progoz wgasłch 5. średi kwadraow błąd ex pos progoz wgasłch 6. pierwiasek i średiego d i kwadraowego błędu ex pos progoz wgasłchł 7. współczik heila Do badaia akualości modelu progosczego możem użć współczika Jausowego
Ozaczm przez M {... } zbiór umerów okresów/momeów w kórch werfikujem rafość progoz wgasłch wzaczoch za pomocą modelu card M liczebość zbioru M. Średi absolu błąd ex pos progoz wgasłch MAE MAE M card Y M
Średi względ absolu błąd ex pos progoz wgasłch MAPE(proceow) MAPE M card Y M ( %) Średi błąd ex pos progoz wgasłch ME ME M ( card Y ) M 3
Średi względ błąd ex pos progoz wgasłch MPE MPE M card M Średi kwadraow błąd ex pos progoz wgasłch MSE MSE M ( Y card ) M 4
Pierwiasek średiego kwadraowego błędu ex pos progoz wgasłch RMSE RMSE MSE Współczik heila () I M ( M YY ) ) I I I I 3 5
Współczik heila () I ( Y M Y ) card Wraża wielkość błędu z powodu ieodgadięcia średiej warości zmieej progozowaej (ieobciążoości progoz). YY M Warości średie wzaczae są dla warości akich że Iˆ I I % M Współczik heila (3) ( Y ) M S Y card M M Y Y card M ( ) M SY card M ( SY SY ) I Wraża wielkość błędu z powodu ieodgadięcia wahań zmieej progozowaej (iedosaeczej elasczości) Iˆ I I % 6
Współczik heila (4) I 3 S Y S Y M card ( M r Y Y ) Wraża wielkość błędu z powodu ieodgadięcia kieruku edecji rozwojowej zmieej progozowaej (iedosaeczej zgodości progoz z rzeczwism kierukiem zmia zmieej progozowaej) r YY o współczik korelacji pomiędz warościami i Y dla Iˆ 3 I I % M Współczik Jausow J P K ( card ( card P zbiór umerów okresów/momeów dla kórch posawioo progoz za pomocą modelu i sał się oe progozami wgasłmi card dp liczebość zbioru P K {... } o zbiór umerów okresów/momeów dla kórch zbudowao model i wzaczoo progoz wgasłe Card K liczebość zbioru K Jeżeli J o model jes adal akual i może bć uż do progozowaia a asępe okres. Y P Y K ) ) 7
Progozowaie a podsawie szeregów czasowch Składowe szeregu czasowego: I. Składowa ssemacza II. Składowa przpadkowa Składowa ssemacza:. red (edecja rozwojowa) długookresowa skłoość do jedokierukowch zmia warości badaej zmieej. Sał przecię poziom progozowaej zmieej warości osclują wokół sałego poziomu 3. Wahaia cklicze długookresowe powarzające się rmiczie w przedziałach czasu dłuższch iż rok wahaia warości zmieej wokół redu lub sałego poziomu 4. Wahaia sezoowe wahaia warości zmieej wokół redu lub sałego poziomu w przedziałach czasu ie przekraczającch roku. Dekompozcja szeregu czasowego Proces wodrębiaia poszczególch składowch szeregu czasowego Ocea wzrokowa sporządzoego wkresu Idefikacja poszczególch składowch szeregu czasowego a podsawie wkresów szeregu czasowego Aaliza auokorelacji Oblicza się warości współczików korelacji międz oraz -i (dla i...k) czli współcziki auokorelacji różch rzędów. Bada się sasczą isoość ch współczików. Jeśli współcziki dla kilku pierwszch rzędów są duże i sasczie isoe o wskazuje o a wsępowaie redu. Jeśli wsępuje sasczie iso współczik auokorelacji rzędu rówego liczbie faz cklu sezoowego o wskazuje o a wsępowaie wahań sezoowch. 8
Ocea wzrokowa () 4 8 6 4 3 4 5 6 7 8 9 345678 934 Ocea wzrokowa () 4 35 3 5 5 5 3 4 5 6 7 8 9 345678 934 9
Ocea wzrokowa (3) 8 6 4 8 6 4 3 4 5 6 7 8 9 345678 934 Ocea wzrokowa (4) 45 4 35 3 5 5 5 3 4 5 6 7 8 9 3 4 5 6 7 8 9 3 4
Modele szeregów czasowch ze sałm poziomem zmieej progozowaej bez wahań okresowch () Meoda aiwa Y meodę moża sosować w przpadku iskiej zmieości zmieej progozowaej zazwczaj w suacjach gd współczik zmieości ie przekracza % Meoda średiej ruchomej ważoej k-elemeowej k Y i wi k wi wi > dlai... k i k i Sałą wgładzaia k usala się a podsawie ajmiejszego błędu progoz wgasłch wagi w i usala progosa a podsawie wiedz o zmieej progozowaej Y. Jeśli przjmie się o w i meodę azwam meodą średiej ruchomej k-elemeowej. k. Modele szeregów czasowch ze sałm poziomem zmieej progozowaej () Pros model wgładzaia wkładiczego Y α ( α) Y α (]. dla 3. model moża sosować jeśli szereg ie cechuje zb sila zmieość (wahaia przpadkowe ie są zb duże). Sałą wgładzaia α wzacza się ekspermealie a podsawie wbraego krerium jakie powi spełiać progoz wgasłe. Do wboru modelu progosczego (progoz) moża wkorzsać aalizę błędów ex pos progoz wgasłch
Modele szeregów czasowch z edecją rozwojową zmieej progozowaej bez wahań okresowch() Modele aalicze Y f () sosuje się do progozowaa zjawisk kóre charakerzował się w przeszłości regularmi zmiaami kóre moża opisać za pomocą fukcji czasu i wobec kórch zakłada się iezmieość kieruku redu. Wbór posaci aaliczej modelu dokouje się a podsawie: przesłaek ł keoreczch hdoczącch mechaizmu rozwojowego progozowaego zjawiska oce wzrokowej wkresu przeszłch warości zmieej dopasowaia modelu do warości rzeczwisch zmieej progozowaej. Modele szeregów czasowch z edecją rozwojową zmieej progozowaej () Do oce dopasowaia modelu liiowego kórego paramer oszacowao MNK do warości empirczch moża się posłużć: a) współczikiem deermiacji: R ϕ ( ˆ ) ( ˆ ) R SY ( ) [ ] b) sadardowm błędem szacuku modelu (odchleiem sadardowm resz): S e k ( ˆ ) gdzie: k ozacza liczbę zmiech objaśiającch w modelu
Modele szeregów czasowch z edecją rozwojową zmieej progozowaej (3) Model redu liiowego (lub zliearzowaego) przedsawia się w asępując sposób: Y a a Paramer srukurale modelu moża oszacować meodą ajmiejszch kwadraów : a cov( Y ) S ( ) ( ( ) Progozę a okres > wzacza się z wzoru: ) Y a a a a Modele szeregów czasowch z edecją rozwojową zmieej progozowaej (4) Do oce dopuszczalości zbudowach progoz użwa się błędów ex ae: a) dla modelu liiowego: V S e ( ) ( ) b) dla modeli ieliiowch sprowadzalch do liiowch poprzez rasformację g: ~ V V d ~ d ~ ~ zmiea określoa rasformacją liiową ~ g() V o błąd ex ae progoz zmieej ~ a okres a pochoda jes liczoa w pukcie 3
4 Modele szeregów czasowch z edecją rozwojową zmieej progozowaej (5) Model redu wielomiaowego: k k... Model redu wielomiaowego: Przekszałceie do posaci liiowej: podsawieie: Progoza: k k a... a a a k k a a a a Y... ) ( ) ( 4 S e V k k k M L M O M M M L L Modele szeregów czasowch z edecją rozwojową zmieej progozowaej (6) Model redu wkładiczego: ξ Przekszałceie do posaci liiowej: e a a ξ ~ ~ Y e Y b b Y a l b la b l ~ l ) ( ) ( ~ l l ~ 3 S Y V e M M M
Modele szeregów czasowch z edecją rozwojową zmieej progozowaej (7) Model redu poęgowego: a ξ a e Przekszałceie do posaci liiowej: ~ b b l l l l l3 ~ l 3 V M M M l l ~ l l b l a b a ~ ~ Y Y Y e ~ ~ S ~ [( ~ ( ~ ) ~ Y e ) ~ ] Modele szeregów czasowch z edecją rozwojową zmieej progozowaej (8) Przekszałceie do posaci liiowej: l l l 3 3 V M M M l Model redu logarmiczego: Y a a l ~ l ~ Y a a ~ [( ~ ( ~ ) ~ Se ) ~ ] 5
Modele szeregów czasowch z edecją rozwojową zmieej progozowaej (9) Model redu hiperboliczego: a a ~ Przekszałceie do posaci liiowej: a a ~ ~ ~ ~ ~ ~ 3 V Se [( ) ( ) 3 M M M ] Przkład obliczeiow () Wielkość sprzedaż rowerów sacjoarch firm Weler u przedsawiciela a Gór Śląsk w osaich kwarałach przedsawiała się asępująco [w sz.]: 5 9 5 8 3 4 5 6 8 8 Przjmując że cziki kszałujące sprzedaż ie ulegą zmiaie: a) posawić progozę sprzedaż a kolej kwarał (3) 3 5 5 5 3 4 5 6 7 8 9 6
Przkład obliczeiow (red liiow) () 35 3 93x 767 R 8969 5 5 5 3 4 5 6 7 8 9 Przkład obliczeiow (red logarmicz) (3) 3 5 5 9646L(x) 4 R 997 5 3 4 5 6 7 8 9 7
Przkład obliczeiow (4) l Y 964648 l 475 5 4 9 693 3 5 986 5 4 8 3863 7 5 694 6 798 7 3 9459 3 8 4 794 4 9 5 97 5 6 36 6 8 3979 7 8 4849 8 3 5649 9 W kolejm kwarale progozowaa sprzedaż wosi 9 szuk rowerów. Przkład obliczeiow (błąd ex ae) (5) b) przjmując że błąd progoz ie może saowić więcej iż % jej warości zbadaj dopuszczalość progoz l Y 964648 l 475 ( -Y ) 5 4 7965 9 693 363 3 5 986 5 9 4 8 3863 7 77 5 694 45 6 798 467 7 3 9459 3 7 8 4 794 4 46 9 5 97 5 855 6 36 6 95 8 3979 7 597 8 4849 8 44 3 5649 9 5488 8
Przkład obliczeiow (błąd ex ae) (6) S e ( k Y ) 5488 548 693 986 3863 ~ 5649 ~ 694 798 9459 794 97 36 3979 4849 Przkład obliczeiow (błąd ex ae) (7) V S e ~ [( ) ~ ( ~ ) ~ ] 548 ( ) 85 V η % 633% Progozę a kolej kwarał (3) moża uzać za dopuszczalą. 9
Przkład obliczeiow (8) c) posaw progoz a asępe dwa kwarał (4 i 5) oraz oceń ich dopuszczalość l Y 964648 l 475 5 4 9 693 3 5 986 5 4 8 3863 7 5 694 6 798 7 3 9459 3 8 4 794 4 9 5 97 5 6 36 6 8 3979 7 8 4849 8 3 5649 9 4 639 3 5 78 3 Przkład obliczeiow (9) ~ 4 ~ 639 5 78 ~ ~ ~ ~ V4 Se [( ) ( ) ] 548 (34 ) 84 ~ ~ ~ ~ V5 Se [( ) ( ) ] 548 (563 ) 898 η 635% η 5 637% 4 Obie progoz (a kwarał 4 oraz 5) moża uzać za dopuszczale. 3
Modele szeregów czasowch z edecją rozwojową zmieej progozowaej () Jeżeli zaobserwuje się odchodzeie warości zmieej progozowaej od dochczasowej edecji rozwojowej j (spowodowae zmiaą ą jakościową) o moża wkorzsać progozę w formie reguł podsawowej z poprawką: ( w) Y Y p 5 45 4 35 3 5 5 5 3 4 5 6 7 8 9 345678934 Modele szeregów czasowch z edecją rozwojową zmieej progozowaej () Progozę przedziałową dla z gór zadaej wiargodości p (dla z gór zadaego prawdopodobieńswa że warość rzeczwisa zmieej progozowaej w okresie > zajdzie się w dam przedziale) kosruuje się w asępując sposób: { } p P Y u V Y u V u współczik związa z wiargodością progoz p rozkładem resz modelu oraz długością szeregu czasowego. Jeśli rozkład resz modelu ie jes zgod z rozkładem ormalm lub hipoeza o ormalości ie bła werfikowaa o u zależ włączie od wiargodości progoz a obliczając u korzsa się z ierówości Czebszewa: u p Jeśli rozkład resz modelu jes zgod z rozkładem ormalm o u odczuje się z ablic rozkładu ormalego dla dużej prób dla prawdopodobieńswa p lub z ablic rozkładu -Sudea dla małej prób (<3) dla prawdopodobieńswa (-p) oraz -k- sopi swobod. 3
Przkład obliczeiow () Wielkość sprzedaż rowerów sacjoarch firm Weler u przedsawiciela a Gór Śląsk w osaich kwarałach przedsawiała się asępująco [w sz.]: 5 9 5 8 3 4 5 6 8 8 Przjmując że cziki kszałujące sprzedaż ie ulegą zmiaie posawić progozę przedziałową a kolej kwarał a poziomie wiargodości 95. a) rozkład resz modelu ie jes bada lub ie jes zgod z rozkładem ormalm u 4 47 95 b) jeśli rozkład resz jes zgod z rozkładem ormalm o u 3 Przkład obliczeiow () a) rozkład resz modelu ie jes bada lub ie jes zgod z rozkładem ormalm wed 3 [9 44785;9 447 85] [5;33] 3 b) jeśli rozkład resz jes zgod z rozkładem ormalm o 3 [9 385;9 385] z prawdopodobieńswem p.95. 3 [7;3] 3
Modele szeregów czasowch z edecją rozwojową zmieej progozowaej () gdzie F Model liiow Hola F ( ) S α ( α ) ( F S S β (F F ) ( β ) S dla 3. Paramer wgładzaia α i β dobiera się ekspermealie a podsawie wbraego krerium kóre powi spełiać progoz wgasłe. Poado α i β ależą do przedziału [;]. Model wmaga warości począkowch F oraz S. Moża przjąć: ) lub F lub a F F S a S S z modelu liiowego Przkład obliczeiow () Wielkość sprzedaż pralek auomaczch firm Kolar u jedego z przedsawicieli w osaich miesiącach przedsawiała się asępująco [w sz.]: 37 4 4 45 48 53 58 67 79 85 88 9 Przjmując że cziki kszałujące sprzedaż ie ulegą zmiaie: a) posaw progozę a asęp miesiąc 9 8 7 6 5 4 3 3 4 5 6 7 8 9 33
Przkład obliczeiow () Począkowe rozwiązaie dla α5 oraz β5 F S F - S - ( - ) 37 37 - - 4 39 37 6 3 4 4 4 4 45 43 4 6 5 48 465 75 45 9 6 53 55 36875 49 465 7 58 56465 4484375 55 66 8 67 639453 679 6 373446 9 79 744785 8746 7 87758 85 8387549 883477 83 5586 88 9355 765766 93 863 9 9463 565499 98 649644 3 56936 Przkład obliczeiow (3) α9859876355985 oraz β764655568 F S F - S - ( - ) 37 37 - - 4 4964 758843 37 6 3 4 4678 795 44 35898 4 45 44934 346944 4 39 5 48 4874 354 48 465 6 53 5967 443836 5 39534 7 58 579896 4848399 57 353534 8 67 66934 779349 63 73676 9 79 78998 7459 75 89856 85 858546 759 9 5754 88 888477 4343963 93 7 9 94469 66884 9 5898745 3 93 7738 34
Przkład obliczeiow (4) α oraz β783393637758 F S F - S - ( - ) 37 37 4 - - 4 4 4 4 3 4 4 49933 45 5 4 45 45 3655457 4 3368 5 48 48 395448 49 4963 6 53 53 44697 5 35647 7 58 58 4839548 57 89544 8 67 67 775949 63 73936 9 79 79 7355 75 7986 85 85 7466 9 458 88 88 43569 9 946633 9 9 69487 9 5369 3 93 9866 Przkład obliczeiow (5) α835598983 oraz β F a oraz S a a podsawie wszskich obserwacji F S F - S - ( - ) 37 56 5437 - - 4 39958 5437 3 9897699 3 4 483497 5437 45 5635 4 45 45766 5437 46 6336 5 48 484783 5437 5 763547 6 53 536347 5437 54 8534 7 58 5868 5437 59 3595 8 67 6637676 5437 64 9935 9 79 777548 5437 7 57468 85 8466446 5437 83 347666 88 8837694 5437 9 438776 9 96853 5437 94 449335 3 96 9676 35
Przkład obliczeiow (6) α oraz β5964783853797 F a oraz S a a podsawie 3 pierwszch obserwacji F S F - S - ( - ) 37 3633333 5 - - 4 4 33878 38 778 3 4 4 773 44 958 4 45 45 395 4 787579 5 48 48 3836 48 85569 6 53 53 445 5 35443 7 58 58 469374 57 57759 8 67 67 76639 63 85496 9 79 79 86 74 4655 85 85 76539 89 669538 88 88 4877969 93 638 9 9 3674 93 8876 3 93 634 Przkład obliczeiow (7) α oraz β9554695999 F oraz S a podsawie ajmiejszego błędu progoz wgasłch F S F - S - ( - ) 37 435685 - - 4 4-339554 4 7339 3 4 4-967996 4 43689 4 45 45 478 39 356697 5 48 48 3893 5 96839 6 53 53 497 5 36756 7 58 58 4995498 58 863863 8 67 67 885948 63 6363 9 79 79 845 76 97 85 85 6835 9 34666 88 88 359 9 77973 9 9 5668 9 34355 3 9 48355 36
Model redu pełzającego z wagami harmoiczmi Procedura meod jes asępująca: I. Usaleie sałej wgładzaia k < ; II. Oszacowaie a podsawie kolejch fragmeów szeregu o długości k liiowch fukcji redu III. Obliczeie i warości ś ieoreczch wikającch z poszczególch fukcji redu; IV. Obliczeie warości redu pełzającego dla każdego okresu (średia armecza z warości eoreczch adekwach fukcji redu dla daego okresu); w V. Obliczeie przrosów fukcji redu: w w VI. Nadaie wag poszczególm przrosom: C i i VII. Określeie średiego przrosu redu jako średiej ważoej wszskich obliczoch przrosów w C w VIII. Wzaczeie progoz pukowej a okres : Y w ( ) w Przkład obliczeiow () Na podsawie dach z poprzediego przkładu (sprzedaż pralek firm Wolar ) posaw progozę a asęp miesiąc prz zasosowaiu modelu redu pełzającego z wagami harmoiczmi. I. Niech k3 im wższa warość sałej k m większe wgładzeie szeregu i m słabsze reagowaie a zmia zachodzące w szeregu czasowm a a "-3" 5 3633333 "-4" 36 3 "3-5" 4 833333 4 "4-6" 4 866667 5 "5-7" 5 3 6 "6-8" 7 33333 7 "7-9" 5-6 8 "8-" 9-4 9 "9-" 45 39 "-" 5 66667 37
Przkład obliczeiow () Warości eorecze 3 4 5 6 7 8 9 3783 3933 4 3 483 4 433 4 44 4433 4467 5 4833 4867 48 6 567 53 533 7 58 5933 575 8 6633 68 68 9 785 77 795 86 84 857 885 8767 97 Przkład obliczeiow (3) Warości wgładzoe- red pełzając średie waroście eorecze 3783 3967 3 46 4 4433 5 4833 6 567 7 588 8 6744 9 7833 856 888 97 38
Przkład obliczeiow (4) Przros fukcji redu pełzającego przros 83 83 3 39 4 38 5 4 6 433 7 56 8 97 97 9 89 67 33 8 Przkład obliczeiow (5) Nadaie wag przrosom Wagi realizują posula posarzaia iformacji ajowsze przros mają ajwiększe zaczeia. Suma wag wosi. wagi 864463 3 735537 4 745638 5 3888 6 5873 7 66958547 8 854365 9 7867637 387668 83653 7453434 39
Przkład obliczeiow (6) wagi przros ilocz 864463 83 55 3 735537735537 39 4545 4 745638 38 89996 5 3888 4 558 6 5873 433 4497 7 66958547 56 3757 8 854365 97 78453 9 7867637 89 74559 387668 67 9884 83653 33 555976 7453434 8 57946 489649 Y3 97 (3 ) 4 89649 95 Modele szeregów czasowch z wahaiami okresowmi zmieej progozowaej () Meoda wskaźików gd wsępują wahaia sezoowe wraz z edecją rozwojową lub sałm przecięm poziomem progozę wzacza się a podsawie warości fukcji redu skorgowaej o wskaźik sezoowości prz wahaiach bezwzględie sałch (gd ampliud wahań w aalogiczch okresach są sałe) może bć model addw: c i ( w) prz wahaiach względie sałch (wielkości ampliud zmieiają się miej więcej w m samm sosuku) może bć model muliplikaw: i ( w) (w) gdzie o wielkość progoz wzaczoa z fukcji redu lub sałego przecięego poziomu c i i 4
Modele szeregów czasowch z wahaiami okresowmi zmieej progozowaej ().Oblicza się asępujące warości (elimiacja redu): i z i i ŷ lub zi ŷ.oblicza się surowe wskaźiki sezoowości (elimiacja oddziałwaia składika losowego): k zi z i j r i k k liczba jedoimiech faz w szeregu; r liczba faz w cklu 3.Wzacza się czse wskaźiki sezoowości (iformują o aężeiu wahań sezoowch): z r i ci zi q lb lub ci gdzie di q zi q r 4.Wzacza się warość progoz: i ( w) c i lub i j ( w) i c i Przkład obliczeiow () Firma Czar diame prowadzi sprzedaż paliwa opałowego klieom idwidualm. Dochod firm zależą prakczie od wielkości sprzedaż miału opałowego. Dae doczące kwaralej wielkości sprzedaż miału [] z osaich la przedsawioo w poiższej abeli. Należ wzaczć progozę a koleje kwarał. 45 55 4 3 56 66 48 36 59 7 5 4 66 77 59 48 4
Przkład obliczeiow () 9 8 7 6 5 4 3 3 4 5 6 7 8 9 3 4 5 6 Aaliza ampliud wahań dopuszcza sosowaie modelu addwego jak i muliplikawego. Przkład obliczeiow (3) Model addw ^ -^ 45 45 55 46 89 3 4 47-7 4 3 48-7 5 56 493 67 6 66 54 56 7 48 54-34 8 36 55-65 9 59 536 54 7 547 53 5 558-38 4 568-58 3 66 579 8 4 77 59 8 5 59 6-6 48 6-3 i z i c i 554 554 4476 4476 3-385 -385 4-5679 -5679 7 6 5 5 54 67 79 6333 44 76 777 79 8 9 3 4 643 8 ( 38 5) 65 3 654 59 ( 56 79 ) 497 8 4
Przkład obliczeiow (4) Model muliplikaw ^ /^ 45 45 49 55 46 94 3 4 47 848647 4 3 48 64997 5 56 493 364 6 66 54 3365 7 48 54 9335 8 36 55 68547 9 59 536 76 7 547 889 5 558 936 4 568 7383 3 66 579 39636 4 77 59 358 5 59 6 98 6 48 6 784993 i z i c i 9 9 7 7 3 9 9 4 7 7 9999 7 6 59 68 97 6333 7 85 6 8 9 3 4 643 8 9 595 654 59 7 463 95 Modele szeregów czasowch z wahaiami okresowmi zmieej progozowaej (3) Meoda redów jedoimiech okresów gd wsępują wahaia sezoowe wraz z edecją rozwojową lub sałm przecięm poziomem polega a szacowaiu paramerów aaliczej fukcji redu oddzielie dla poszczególch faz cklu progozę sawia się przez eksrapolację odpowiediej fukcji redu 43
Przkład obliczeiow Należ wzaczć progozę sprzedaż miału przez firmę Czar diame a koleje kwarał meodą redów jedoimiech okresów. I II III IV 45 55 4 3 56 66 48 36 59 7 5 4 66 77 59 48 7 8 9 3 4 449 5 6 5 7 73 53 7 58 845 36 5 5 59 65 5 4 53 449 5 6 5 3 4 53 7 5 36 5 5 5 5 4 Modele szeregów czasowch z wahaiami okresowmi zmieej progozowaej (4) Model Wiersa gd wsępują wahaia sezoowe wraz z edecją rozwojową lub sałm przecięm poziomem jes modelem z rzema rówaiami może bć muliplikaw wed progoza wosi: [ F S ( )] C może bć addw wed progoza wosi: F S ( ) C r r 44
45 Modele szeregów czasowch z wahaiami okresowmi zmieej progozowaej (5) Model Wiersa muliplikaw )S ( ) F F ( S ) S F )( ( C F r β β α α ] ; [ )C ( F C r γ β α γ γ Modele szeregów czasowch z wahaiami okresowmi zmieej progozowaej (6) Model Wiersa addw )C ( ) F ( C )S ( ) F F ( S ) S F )( ( ) C ( F r γ γ β β α α ] ; [ )C ( ) F ( C r γ β α γ γ
Modele szeregów czasowch z wahaiami okresowmi zmieej progozowaej (7) Propozcje warości począkowch F S C (w pierwszm cklu) I II Warość zmieej z pierwszej faz drugiego cklu Średia warość zmieej progozowaej z pierwszego cklu Różica średich warości z drugiego i pierwszego cklu Iloraz warości rzeczwisch do warości średiej (w pierwszm cklu) Dowole kombiacje Przkład obliczeiow () Firma Save Lock prowadzi sprzedaż wkładek bębekowch wsokiej klas bezpieczeńswa. Dae doczące miesięczej wielkości sprzedaż [j.p.] z osaich la przedsawioo w poiższej abeli. Należ wzaczć progozę a koleje kwarał. 48 6 49 43 7 84 69 6 86 94 73 59 8 89 68 54 46
Przkład obliczeiow () 9 8 7 6 5 4 3 3 4 5 6 7 8 9 3 4 5 6 Przkład obliczeiow (3) szereg cechuje sezoowość osaie obserwacje wskazują a zmiaę edecji ajlepiej wkorzsać model adapacj moża wkorzsać model Wiersa Zosaie wkorzsa muliplikaw model Wiersa 47
Przkład obliczeiow (4) Rozwiązaie począkowe dla αβγ5 F S C ( -^ ) 48 955 6 4 3 49 975 4 43 856 5 7 7 3 97769 6 84 859836 68 684 4 965794 7 69 8457887 99 8954655 959 769393 8 6 895 38 7944 88 434599 9 86 87385 43 98878 84 3367975 94 875558 4 9766 4 77656 73 857353 3 873463 85 5693488 59 845-6 7638538 68 848888 3 8 847-4 9975367 763 698 4 89 798484-8 639 863 733363 5 68 784536-87 69 6448 6 54 74675-8 7466599 59 59659 7 7 59983 8 758 9 57 47 Przkład obliczeiow (5) 9 8 7 6 5 4 3 3 4 5 6 7 8 9 3 4 5 6 7 8 9 48
Przkład obliczeiow (6) α8; β53; γ F S C ( -^ ) 48 955 6 4 3 49 975 4 43 856 5 7 7 3 6 84 73645 4686 4 965794 7 69 734755 57 93958 838 76369 8 6 773676 8 83639 677 59948 9 86 837688 7 67 735 567336 94 8393696 35 9888 37 94947 73 7946583-7 986338 8 88378 59 756-43 8939 659 47599 3 8 7689355 6 53443 695 37563 4 89 7969 4 56 867 57776 5 68 75958-4 943566 74 359787 6 54 67349-48 894 65 47943 7 658 67363 8 649 9 478 386 Przkład obliczeiow (7) 9 8 7 6 5 4 3 3 4 5 6 7 8 9 3 4 5 6 7 8 9 49
5 Modele szeregów czasowch z wahaiami okresowmi zmieej progozowaej (8) Aaliza harmoicza gd wsępują wahaia sezoowe wraz z edecją rozwojową lub sałm przecięm poziomem model buduje się w posaci sum zw. harmoik fukcji siusoidalch lub cosiusoidalch o dam okresie pierwsza harmoika ma okres rów druga / rzecia /3 id.. liczba wszskich harmoik wosi / progozę sawia się a podsawie modelu: / i i i w ) ( i cos i si π β π α Modele szeregów czasowch z wahaiami okresowmi zmieej progozowaej (9). Jeśli wsępuje red o oblicza się asępujące warości (elimiacja redu): ŷ '. Szacuje się paramer α α i β i modelu: korzsając z zależości: ' a / i i i i cos i si ' π β π α α... i i cos ' b... i i si ' a i i dla dla π π
Modele szeregów czasowch z wahaiami okresowmi zmieej progozowaej () 3. Z modelu moża welimiować harmoiki kórch udział wwjaśiaiu wjaśiaiu wariacji rozparwaej zmieej jes ajmiejsz. Udział w wariacji zmieej progozowaej dla wszskich oprócz osaiej harmoiki wosi: aomias dla osaiej: gdzie: i c i ω i s c i ω i s c a b s jes szacukiem wariacji zmieej progozowaej i i Przkład obliczeiow () Firma Save Lock prowadzi sprzedaż wkładek bębekowch wsokiej klas bezpieczeńswa. Dae doczące miesięczej wielkości sprzedaż [j.p.] z osaich la przedsawioo w poiższej abeli. Należ wzaczć progozę a koleje kwarał za pomocą aaliz harmoiczej. 48 6 49 43 7 84 69 6 86 94 73 59 8 89 68 54 5
Przkład obliczeiow () 9 8 7 6 5 4 3 3 4 5 6 7 8 9 3 4 5 6 Wsępuje red wielomiaow Przkład obliczeiow (3) elimiacja redu ^ '( -^) 45 43989 778 55 4 454485 995547 4 3 9 46753-6755 3 4 6 48599-7599 56 5 5 4973 676996 66 6 36 5898 499 48 7 49 53633-43639 36 8 64 5353456-753456 59 9 8 5465 43875 7 555945 44585 5 564795-447957 4 44 576859-66859 66 3 69 579638 8386 77 4 96 5855788 844 59 5 5 59589-5888 48 6 56 5946-46 5
Przkład obliczeiow (4) Szacowaie warości paramerów α α β '(-^) x(p/6) six cosx si x cos x 777843 39699 383 9 65389 5776 99554759 785398 77 7 73935 73935 3-6755 78977897 94 38-69478 -5648 4-7599896 577963-7599 -6E-4 5 676995798 9634954 94-38 579988-4 6 49898 356945 77-7 543-543 7-436393 7488936 383-9 -66866 4849 8-75345588 34597 E-6 - -5E-4 753456 9 43875 353497-383 -9-6794 -4535 44584734 396998-77 -7-8647 -8647-44795687 4396899-94 -38 438534 7437-6685944 47389 - - 66859 99E-4 3 8386448 5588-94 38-74677 37647 4 84485 5497787-77 7-3455 3455 5-5888353 589486-383 9 94-536665 6-4698 683853 -E-6 8E-4-46 Σ 7374E-3 Σ -9875 6745477 α 49E-4 α -63438 843846 β Przkład obliczeiow (5) Szacowaie warości paramerów α β x six cosx si x cos x 785 7 777 78 78 57 63E-7 995547 6E-5 356 7-777 -4737987 4737987 34 - -E-4 7599 397-7 -777-443856 -443856 47 - -84E-6-499 -74E-4 5498-7 777 3838-3838 683-43E-4-753456 769 7 777 343 343 7854 36E-6 44585 44E-4 8639 7-777 -367497 367497 945 - -598E-4 66859-7 -777-568463 -568463 - -49E-6-844 -79E-4 78-7 777 4746-4746 57-56E-4-46 Σ -958564 3499993 α -4485 437499 β 53
Przkład obliczeiow (6) Szacowaie warości paramerów α 3 β 3 3x six cosx si x cos x 78 9 38683 5776 65389 356 7-777 73935-73935 3534-38 -9388 5648 69478 47 - -84E-6 7599 37E-4 589-38 9388-4 579988 769 7 777 543 543 847 9-38683 -4849 66866 945 - -644E-4 753456 6-9 -38683-4535 -6794 78-7 777-8647 8647 96 38 9388-7437 -438534 44 55E-6-66859 -897E-4 53 38-9388 37647-74677 649-7 -777-3455 -3455 767-9 38683 536665-94 885-843E-4-46 Σ -9588 776786 α 3-97535 9797 β 3 Przkład obliczeiow (7) Szacowaie warości paramerów α 4 β 4 4x six cosx si x cos x 57 63E-7 778 5E-5 34 - E-4-995547 47 - -84E-6 6755 3E-4 683-43E-4-7599 7854 36E-6 676996 9E-4 945-548E-4-499 - -49E-6 43639 87E-4 57-859E-4-753456 44 55E-6 43875 4E-4 57-88E-4-44585 78 - -45E-5 447957 E-3 E-3 885 - E-3-66859 4-98E-6 8386-788E-4 99-58E-3-844 356 - -7E-5 5888 57E-5 53 - E-3-46 Σ 36868-384 α 4 4585-598 β 4 54
Przkład obliczeiow (8) Szacowaie warości paramerów α 5 β 5 5x six cosx si x cos x 963 9-38683 5776-65389 397-7 -777-73935 -73935 589 589-38 9388 5648-69478 7854 36E-6-7599 -59E-4 987-38 -9388-4 -579988 78-7 777-543 543 374 9 38683-4849 -66866 57 - -7E-3 753456 767-9 38683-4535 6794 963 7 777 8647 8647 6 38 38-9388 -7437437 438534 356 - -7E-5 66859 438E-3 553 38 9388 37647 74677 749 7-777 3455-3455 945-9 -38683 536665 94 34-4E-3-46 Σ -737666 567746 α 5-348 79643 β 5 Przkład obliczeiow (9) Szacowaie warości paramerów α 6 β 6 6x six cosx si x cos x 356 7-777 78-78 47 - -84E-6-995547 -83E-4 769 7 7 777-4737987 -4737987 945 - -634E-4 7599 78-7 777-443856 443856 44 55E-6 499 8E-4 649-7 -777 3838 3838 885-9E-3-753456 7-777 343-343 356 - -7E-5-44585 -388E-3 59 7 7 777-367497 -367497 87 - -79E-3 66859 363-7 777-568463 568463 399-49E-6 844-94E-4 3534-7 -777 4746 4746 377-69E-3-46 Σ -635 5563873 α 6-3756 695484 β 6 55
Przkład obliczeiow () Szacowaie warości paramerów α 7 β 7 7x six cosx si x cos x 749 38-9388 65389-5776 5498-7 777-73935 73935 847 9-38683 -69478 5648 - -49E-6 7599 74E-4 374 9 38683 579988 4 649-7 -777-543 -543 94 38 9388-66866 -4849 99 - -5E-3 753456 474-38 9388-6794 4535 749 7-777 8647-8647 34-9 38683 438534-7437437 399-49E-6-66859 797E-4 3574-9 -38683-74677 -37647 3848 7 777 3455 3455 43-38 -9388 94 536665 4398-97E-3-46 Σ 84793 488 α 7 355349 5536 β 7 Przkład obliczeiow () Szacowaie warości paramerów α 8 β 8 8x six cosx si x cos x 34-9E-5-778 683 - -44E-4 995547 945 - -46E-4 6755 57-846E-4-7599 57-385E-4-676996 885 - -E-3 499 99 - -374E-4 43639 53-7E-3-753456 87-484E-4-43875 34 - -76E-3 44585 3456 - -E-3 447957 377-39E-3-66859 484 - - -58E-3-8386 4398 - -36E-3 844 47 - -33E-5 5888 57-5E-3-46 Σ -6E-3-96359 α 8-35E-4-94 β 8 56
Przkład obliczeiow () Udział harmoik w wariacji Nr harmoiki a i b i c i c i ω i [%] -63438 843846 89347 33465 8% -4485 437499 486989 685 36% 3-97535 9797 54674 376758 9% 4 4585-598 56893 46546 9386% 5-348 79643 74679 547646 9% 6-3756 695484 737738 538485 % 7 355349 5536 537664 639559 % 8-35E-4-94 94 44767 % 44767 % Poieważ harmoika 4 wjaśia Σ 6496 prawie 94% zmieości zmieej s 348 progozowaej o do progozowaia wkorzsa będzie model lko z ą harmoiką Przkład obliczeiow (3) Model progoscz ( w ) Posać aalicza fukcji redu f ( ) 44 45 8 96 48 Posać modelu π π ŷ 44 45 8 96 48 45 si 5 3 cos 57
58 8 3 5 8 45 8 48 8 96 8 45 44 7 3 5 7 45 7 48 7 96 8 45 44 8 7 π π π π cos si cos si Przkład obliczeiow (4) Progoza 3 5 45 48 96 8 45 44 9 3 5 9 45 9 48 9 96 8 45 44 9 π π π π cos si cos si 643 7 45 556 75 9 8