Niezbyt formalny i niezbyt intuicyjny wst p do algebry abstracyjnej 1. Nawiasami [[]] oznacza b d omentarze. 2. Denicja 0.1 Grup z [[jaim± abstracyjnym]] dziaªaniem nazywamy zbiór G speªniaj cy waruni (a) Dla wszystich a, b G jest a b G (b) Dla wszystich a, b, c G jest (a b) c = a (b c) [[czyli olejno± nie ma znaczenia]] (c) Istnieje specjalny element e G, tai, a e = e a = a dla wszystich a G [[element neutralny dziaªania ]] Element ten jest jedyny. Element ten b d dalej oznacza przez 0 G. (d) Dla a»dego a G istnieje odwrotno± elementu a, czyli tai element b G, a b = b a = 0 G. [[gdzie 0 G jest tym elementem neutralnym]]. Ten element oznacz przez a. (e) Jeli dodatowo zachodzi dla wszystich a, b G równo± a b = b a, to grup nazywamy przemienn [[tylo taimi si b dziemy zajmowa ]] Par uwag: W grupie jest doªadnie jeden element neutralny: Niech e, f G b d elementami neutralnymi. Wtedy e = ef = f [[Pierwsza równo± z ore±lenia f, druga z ore±lenia e]]. Dla a»dego elementu a G istnieje w grupie G doªadnie jeden element odwrotny do a: Niech a b = b a = 0 G i a c = c a = 0 G to c = 0 G c = b a c = b 0 G = b. Elementem odwrotnym do 0 G jest 0 G. Ponadto 0 G 0 G = 0 G. Dalej b d dla uproszczenia pisa a b zamiast a ( b). Oczywi±cie jeli a, b G, to b G, wi c a b = a ( b) G. 3. Przyªady grup przemiennych: Liczby caªowite z dodawaniem - elementem neutralnym jest 0, a elementem odwrotnym do liczby a jest a bo a + ( a) = 0 i ( a) + a = 0. Liczby wymierne bez 0 z mnoniem - elementem neutralnym jest 1, a elementem odwrotnym do danej liczby jest 1 a. Liczby wymierne z dodawaniem. Liczby rzeczywiste z dodawaniem. Zbiór reszt z dzielenia przez n czyli zbiór {0, 1, 2,, n 1} tworzy grup ze wzgl du na dodawanie modulo n, czyli na dziaªanie a + b mod n. 0 jest elementem neutralnym, elementem przeciwnym do a jest element n a, gdy» a + (n a) = n = 0 mod n. Grup t zwyle oznaczamy Z + n. Jeli p jest liczb pierwsz to zbiór {1, 2,, p 1} z mnoniem modulo p, czyli z dzia- ªaniem a b mod p. 1 jest elementem neutralnym. Grup t oznaczamy Z p. Aby wyaza, istnieje odwrotno± a {1, 2,, p 1} we¹my zbiór liczb {0a mod p, 1a mod p, 2a mod p,, (p 1)a mod p}. Šatwo zauwa»y, p a la = ( l)a tylo je±li = l (bo a jest wzgl dnie pierwsze z p) a wi c liczby {0a mod p, 1a mod p, 2a mod p,, (p 1)a mod p} daj ró»ne reszty z dzielenia przez p. Soro reszt jest p i tych liczb jest p, to tóra± z nich musi dawa reszt 1. Istnieje wi c taie b {1, 2,, p 1}, ab = 1. Liczba b jest odwrotno±ci a. 1
Liczby dodatnie, wzgl dnie pierwsze z n N i mniejsze od n z dziaªaniem a b mod n. Dowodzimy podobnie ja w poprzednim przyªadzie, lecz trzeba udowodni te» warune a). Ilo± elementów tej grupy, czyli ilo± liczb wzgl dnie pierwszych z n i mniejszych od n oznaczamy przez φ(n). [[tylo na wszeli wypade]] Liczby zespolone z dodawaniem i liczby zespolone bez 0 z mno- niem. Liczby naturalne z dodawaniem nie s grup, gdy» nie istnieje np. taa liczba dodatnia n, 1 + n = 0, czyli nie istnieje odwrotno± 1. Liczby caªowite bez 0 z mnoniem nie s grup - nie ma liczby caªowitej taiej, 2 = 1, czyli nie ma odwrotno±ci 2. Przyªadem grupy, tóra jest nie przemienna s macierze odwracalne 2 2 z mnoniem macierzy. [[Podre±lam, taimi przyªadami nie b dziemy si zajmowa ]]. 4. Pytanie: po co ompliowa sobie»ycie, mówi c, zwyªe liczby caªowite tworz ja ±tam grup? Chodzi o to, jeli udowodnimy jaie± twierdzenie dla grup, to b dziemy je mieli udowodnione dla wszystich grup: b dzie to jaie± twierdzenie dla liczb caªowitych, inne twierdzenie dla macierzy itd. Twierdzenia te mog wydawa si bardzo ró»ne i trudne do powi zania, jeli nie b dziemy mówi o grupach. 5. Denicja 0.2 Powiemy, H jest podgrup G, jeli zbiór H jest zawarty w G: H G i H jest grup ze wzgl du na to samo dziaªanie co G. Lemat 0.3 Do tego, by H G, byªo podgrup, gdy wiemy, G jest grup, wystarczy a, b H a b H i a H a H Fatycznie pierwszy i czwarty warune denicji jest speªniony z zaªonia, drugi warune jest speªniony dla G, a wi c tym bardziej dla H. Ponadto jeli a H i a H, to z a, b H a b H otrzymuj, podstawiaj c b = a, 0 G = a + a H. A wi c a»da podgrupa zawiera element neutralny grupy i jest on elementem neutralnym podgrupy! Ponadto jeli G jest przemienna to i H jest przemienna. 6. Pierwsze oty za pªoty, czyli pierwsze twierdzenie w teorii grup. Twierdzenie 0.4 (Twierdzenie Lagrange) Jeli H jest podgrup grupy G, tóra ma so«czenie wiele elementów, to H dzieli G, gdzie X oznacza ilo± elementów zbioru X. Dowód: Zdeniujmy sobie relacj pomi dzy elementami grupy G: niech a b oznacza, a b H [[z denicji G dla a»dych elementów a, b G jest a b G, ale wcale nie musi by a b H!]]. Relacja speªnia waruni: a a, gdy» a a = 0 G H a b b a. Jeli a b H, to z denicji grupy (a b) H, a (a b) = b a, czyli b a H, a wi c z denicji jest b a. a b b c a c. Jeli a b H i b c H, to (a b) (b c) H, a (a b) (b c) = a c, wi c a c H, czyli a c. Relacja rozbija G na pewn ilo± podzbiorów, tórych elementy pozostaj ze sob w relacji np. Niech G b dzie grup {0, 1, 2,, 7} z dodawaniem modulo 8, a H = {0, 2, 4, 6} z tym samym dziaªaniem. Wtedy H jest podgrup G. Relacja ore±lona wyj rozbija G na 2 zbiory: {0, 2, 4, 6} i {1, 3, 5, 7} Wracajac do przypadu ogólnego, niech relacja rozbija G na podzbiory A 1, A 2,, A m, tórych elementy pozostaj ze sob w relacji. 2
Jeli udowodniªbym, dowolny podzbiór A ma tyle samo elementów co H, to z tego wyniaªoby, G = A 1 + A 2 + + A m = H + H + + H = m H czyli teza. Pozostaje udowodni, A i = H dla dowolnego i. Niech a A i. Rozwa»my zbiór B = {a h 1, a h 2, a h 3, a h } gdzie h 1, h 2,, h to wszystie elementy H. Zauwa»my, zbiór B ma H elementów. Zauwa»my, a (a h i ) = h i H, czyli element a jest w relacji ze wszystimi elementami zbioru B, a wi c B A i, gdy» A i byª zbiorem elementów b d cych w relacji z a. Z drugiej strony, jeli a b to a b H, czyli a b = h (gdzie h H), czyli b = a h = a ( h). Element h nale»y do H, a wi c b mo»na zapisa w postaci a element z H, wi c b B. b byªo wybrane dowolnie, wi c a»dy element pozostaj cy w relacji z a nale»y do B! St d wynia A i B a wcze±niej byªo B A i wi c B = A i i H = B = A i. To o«czy dowód. 7. Zastosowania twierdzenia Lagrange'a: (a) Niech G b dzie so«czon grup i a G. Niech b dzie najmniejsz liczb dodatni, ta, a a a = 0 G [[Taa liczba istnieje, dowód orzysta z metody szuadowej Dirichleta]] Mo»na udowodni, {0 G, a, a+a,, a a a} to podgrupa G i podgrupa ta ma elementów [[dla > l 1 równo± a a a = a a a impliuje a a a = 0 G, a dla, l < l l równo± ta nie mo zaj±, wi c elementy s ró»ne]]. Z twierdzenia Lagrange wynia Wynia st d: a a a G G = (a a a) (a a a) (a a a) = } {{ } 0 G 0 G 0 }{{ G = 0 } G gdzie = G. Liczb nazywamy rz dem elementu a. (b) Twierdzenie 0.5 (Maªe twierdzenie Fermata) Jeli p jest liczb pierwsz i a jest wzgl dnie pierwsze z p, to p a p 1 1 Rozwa»amy podzielno± przez p, wi c mo»na zaªo»y a {1, 2,, p 1}. Wiemy, {1, 2,, p 1} tworz grup ze wzgl du na mnonie modulo p. Korzystam z pierwszego wniosu: a a a i zamieniam abstracyjne na dziaªanie a b mod p i podstawiam G G = p 1: a p 1 = 1 mod p (c) Twierdzenie 0.6 (Twierdzenie Eulera) Jeli a jest wzgl dnie pierwsze z n, to n a φ(n) 1 gdzie φ(n) to ilo± liczb wzgl dnie pierwszych z n i mniejszych od n. Dowód jest analogiczny ja wyj dla grupy elementów wzgl dnie pierwszych z n i mniejszych od n. 3
8. [[Dowód istnienia generatora]] Twierdzenie 0.7 W grupie Z p = {1, 2,, p 1} z dziaªaniem a b mod p istnieje element g tai, {g, g 2, g 3,, g p 1 } = {1, 2,, p 1} mod p (a) Dowód: Soro dla dowolnego b, elementy {0 Z p, b, b b,, b b b} σ(b) 1 tworz podgrup Z p maj c σ(b) elementów, to wystarczy udowodni, istnieje element, tórego rz d to p 1. Niech a oznacza element, tórego rz d jest masymalny i niech b oznacza dowolny inny element. (b) Udowodni, σ(b) Jeli σ(b) to znaczy, istnieje taa liczba pierwsza q, σ(b) = q x r = q y s gdzie x > y, q r i q s [[Wynia z to rozªadu na czynnii pierwsze, chwila zastanowienia jest potrzebna, by to zobaczy ]]. (c) Niech Jest A = σ(a ) = s i B = σ(b ) = q x wielorotno±ci a]]. a = a a a q y b = b b b r A := {0 Z p, a, a a,, a a a } σ(a ) 1 B := {0 Z p, b, b b,, b b b } σ(b ) 1 [[rz d a jest zwi zany z rz dem a, gdy» a jest (d) Niech x A i x B. Z twierdzenia Lagrange σ(x) A = s i σ(x) B = q x. Ale liczby s, q x s wzgl dnie pierwsze, wi c ich jedyny wspólny dzielni to 1. St d σ(x) = 1, a wi c x = 0 Z p. Jedynym elementem wspólnym A i B jest wi c element neutralny. (e) Rozwa»my element a b. Jest Wynia st d w szczególno±ci, 0 Z p = a b a b a b b b b = a a a A b b b B wi c b b b = 0 Z p i q x = σ(b ). Analogicznie s = σ(a ), a soro s, q x s wzgl dnie pierwsze, to sq x 4
St d wynia, < sq x, czyli rz d a b jest wi szy ni» rz d a, wbrew ore±leniu a. Sprzeczno±. Wiemy wi c, dla a»dego b Z p jest σ(b) (f) Rozwa»my wielomiany o wspóªczynniach z Z p na tórych wszystie dziaªania wyonywane s mod p. Dla taich wielomianów dziaªa schemat Hornera i w zwi zu z tym dziaªa twierdzenie Bezout. W szczególno±ci, a»dy wielomian mo mie najwyj tyle pierwiatów, ile wynosi jego stopie«. [[To si mo wyda podejrzane, ale dowód jest dªugi i po prostu deniuje ponownie schemat Hornera]] Z poprzedniej cz ±ci wiemy, wielomian x n 1 gdzie n = byªo zdeniowane wyj, ma jao pierwiasti wszystie liczby z {1, 2,, p 1}, gdy» dla a»dego elementu b {1, 2,, p 1} jest b 1 = (b σ(b) ) 1 = 1 1 = 0 mod p gdzie = σ(b) jest liczb caªowit. Soro ta, to znaczy, stopie«wielomianu x n 1 jest niemniejszy ni» p 1. Stopie«ten jest równy n =, czyli p 1. Z tw. Lagrange p 1, wi c p 1. Ostatecznie = p 1 i a jest szuanym generatorem. 9. To jest 1. cz ± sryptu. Podre±lam, srypt ten jest niezbyt u»yteczny na poziomie szolnym i dlatego nie nale»y si denerwowa, jeli po paru przeczytaniach nadal maªo si rozumie. Jeli pojawi si gªosy zach ty, mo by stworzona 2. cz ± sryptu o ciaªach: dowód, ciaªo ma p n elementów, przyªady ciaª maj cych p 2, p 3 elementów i inne. 5