Analiza matematyczna II

Analiza matematyczna II e nicje, twierdzenia 6 maja 03 K. obrowolska, W. yczka, H. Jakuszenkow, Matematyka dla studentów studiów technicznych, cz., HELPMATH, ódź 007 M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna II, O cyna Wydawnicza GiS, Wroc aw 000 M. Gewert. Z. Skoczylas, Równania ró zniczkowe zwyczajne, O cyna Wydawnicz GiS, Wroc aw 005 W. Zakowski, W. Ko odziej, Matematyka II, WNT, Warszawa 984 W. Zakowski, W. Leksiński, Matematyka I, WNT, Warszawa 984 F. Leja, Rachunek ró zniczkowy i ca kowy, PWN, Warszawa 963 W. Rudin, Podstawy analizy matematycznej, PWN, Warszawa 976 Rachunek ró zniczkowy i ca kowy funkcji wielu zmiennych. Przestrzenie metryczne. Rodzaje zbiorów w przestrzeniach metrycznych e nicja. Niech X b edzie niepustym zbiorem. owolna funkcj e d : X X! R taka, ze. d (p ; p ) = 0, p = p. 3. p ;p X p ;p X p ;p ;p 3X d(p ; p ) = d (p ; p ) (symetria) d (p ; p 3 ) d (p ; p ) + d (p ; p 3 ) (nierówno sć trójkata) nazywamy metryka w zbiorze X. Zbiór X wraz z ustalona metryka d nazywamy przestrzenia metryczna. Mo zna wykazać, ze nast epujace funkcje sa metrykami w zbiorze R n : v ux d e (p; q) = t n (x i y i ) (metryka euklidesowa) i=

. RACHUNEK RÓ ZNICZKOWY I CA KOWY FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH d t (p; q) = nx jx i y i j (metryka miejska/taksówkowa) i= d m (p; q) = gdzie p = (x ; :::; x n ) i q = (y ; :::; y n ). max jx i y i j (metryka maksimum) i=;:::;n W dalszym ciagu przez przestrzeń (metryczna) R n b edziemy rozumieć zbiór R n wraz z metryka euklidesowa. Niech d b edzie ustalona metryka w zbiorze X. e nicja. Kula (otwarta) o srodku w punkcie p i promieniu r > 0 nazywamy zbiór K (p; r) = fq X : d (p; q) < rg: Przyk ad.3 Kule o środku (0; 0) i promieniu w R w metryce euklidesowej (a), miejskiej (b) i maksimum (c): y y y x x x (a) (b) (c) e nicja.4 Mówimy, ze zbiór A X jest ograniczony, je zeli istnieje p X i r > 0 takie, ze A K (p; r) (tzn. A zawiera si e w pewnej kuli). Mówimy, ze A jest nieograniczony, gdy A nie jest ograniczony (tzn. A nie zawiera si e w zadnej kuli). e nicja.5 Mówimy, ze zbiór U X jest otwarty (w X), gdy dla dowolnego p U istnieje r > 0 takie, ze K (p; r) U: Twierdzenie.6 Niech X b edzie przestrzenia metryczna.. ;, X i kule otwarte sa zbiorami otwartymi w X. Je zeli U i sa otwarte w X, to U \ jest zbiorem otwartym w X 3. Je zeli fu g I jest rodzina zbiorów otwartych w X, to suma S U jest zbiorem otwartym w I X e nicja.7 Otoczeniem punktu p X nazywamy dowolny zbiór otwarty U X taki, ze p U. Sasiedztwem punktu p nazywamy ka zdy zbiór postaci U n fpg, gdzie U jest otoczeniem p.

. RACHUNEK RÓ ZNICZKOWY I CA KOWY FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH e nicja.8 Niech A X. Punkt p X nazywamy punktem wewn etrznym A, gdy istnieje r > 0 takie, ze K (p; r) A punktem zewn etrznym A, gdy istnieje r > 0 takie, ze K (p; r) XnA punktem brzegowym A, gdy w dowolnej kuli K (p; r) istnieja punkty nale z ace do A i punkty nale z ace do XnA punktem skupienia zbioru A, je zeli ka zde sasiedztwo punktu p zawiera jakís punkt zbioru A; punkty nale z ace do zbioru A, które nie sa jego punktami skupienia nazywamy punktami izolowanymi Przyk ad.9 p punkt wewn etrzny; q punkt zewn etrzny; r; u punkty brzegowe zbioru A. e nicja.0 Mówimy, ze zbiór C X jest domkni ety (w X), gdy jego dope nienie XnC jest zbiorem otwartym. Je zeli p X i r > 0, to kula domkni eta o srodku p i promieniu r nazywamy zbiór K (p; r) = fq X : d (p; q) rg: Twierdzenie. Niech X b edzie przestrzenia metryczna.. ;, X i kule domkni ete sa domkni etymi podzbiorami X:. Je zeli C i sa zbiorami domkni etymi w X, to C [ jest zbiorem domkni etym w X. 3. Je zeli fc g I jest rodzina zbiorów domkni etych w X, to iloczyn T C jest zbiorem I domkni etym w X. Twierdzenie. Zbiór jest domkni ety wtedy i tylko wtedy, gdy zawiera wszystkie swoje punkty skupienia. e nicja.3 Wn etrzem zbioru A nazywamy zbiór wszystkich punktów wewn etrznych A. Wn etrze A oznaczamy przez Int A. omkni eciem zbioru A nazywamy zbiór A w sumie ze wszystkimi punktami skupienia zbioru A. omkni ecie A oznaczamy przez A. Brzegiem zbioru A nazywamy zbiór wszystkich punktów brzegowych zbioru A; oznaczamy go przez @A (bd A, Fr A). Zachodzi przy tym @A = A n Int A: e nicja.4 Niech A X. Mówimy, ze zbiór A jest spójny, je zeli przy dowolnym rozk adzie A na sum e dwóch roz acznych i niepustych zbiorów U i, który s z nich zawiera punkty skupienia drugiego zbioru. Krzywa ciag a w przestrzeni R n nazywamy dowolne odwzorowanie ciag e : [0; ]! R n, tzn. (t) = (x (t) ; x (t) ; :::; x n (t)) ; t [0; ] ; gdzie funkcje x i : [0; ]! R sa ciag e. Punkt p = (0) nazywamy poczatkiem krzywej, zaś q = () końcem krzywej. Mówimy wtedy, ze jest krzywa aczac a punkty p i q. 3

. RACHUNEK RÓ ZNICZKOWY I CA KOWY FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH Przyk ad.5 Odcinek [p; q] o poczatku p i końcu q, gdzie p; q R n (t) = p + t (q p) ; t [0; ] : Mo zna wykazać, ze A R n jest zbiorem spójnym wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych punktów p; q A istnieje krzywa ciag a o poczatku p i końcu q taka, ze (t) A dla ka zdego t [0; ]. Przyk ad.6 Wyznaczyć wn etrzne, domkni ecie i brzeg zbioru. Określić, czy zbiór jest spójny.. A = f(x; y) R : y < ^ x > 0g. B = f(x; y) R : < jxj ^ 0 y < g 3. C = f(x; y) R : x = + n ; n Ng e nicja.7 Zbiór nazywamy obszarem, je zeli jest otwarty i spójny. Powiemy, ze jest obszarem domkni etym, gdy jest domkni eciem obszaru.. Powierzchnie stopnia II w R 3 Powierzchnia stopnia drugiego nazywamy zbiór punktów (x; y; z) R 3 spe niajacych równanie Ax + By + Cz + axy + bxz + cyz + x + y + z + = 0; przy czym A + B + C + a + b + c > 0:. Walce x (a) walec eliptyczny a + y b = ; z R; a; b > 0; a 6= b (b) walec ko owy x + y = r ; z R; r > 0 x (c) walec hiperboliczny y a b = ; z R (d) walec paraboliczny y = x ; z R. Sfera (x x 0 ) + (y y 0 ) + (z z 0 ) = r 3. Elipsoida 4. Paraboloidy (x x 0) (y y0) (z z0) a + b + c = x (a) paraboloida eliptyczna a + y b = z (b) paraboloida obrotowa x + y = z x (c) paraboloida hiperboliczna y a b = z 5. Hiperboloidy x (a) h. jednopow okowa a + y b = + z c x (b) h. dwupow okowa a + y b = + z c x 6. Sto zek a + y b = z 4

. RACHUNEK RÓ ZNICZKOWY I CA KOWY FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH.3 Granica i ci ag ość funkcji wielu zmiennych Mówimy, ze ciag punktów p k = x k ; x k ; :::; xn k R n jest zbie zny do punktu p = (x ; x ; :::; x n ), je zeli lim d (p k; p) = 0 k! (gdzie zgodnie z przyjet a umowa d oznacza metryke euklidesowa). Twierdzenie.8 Ciag (p k ) punktów p k = x k ; x k ; :::; xn k jest zbie zny do p = (x ; x ; :::; x n ) wtedy i tylko wtedy, gdy lim k! xk i = x i ; i = ; ; :::; n: e nicja.9 (Heinego) Niech f :! R, R n i niech p 0 = x 0 ; x 0 ; :::; xn 0 b edzie punktem skupienia zbioru. Mówimy, ze g jest granica funkcji f w punkcie p 0 je zeli lim f (p k) = g k! dla ka zdego ciagu (p k ) punktów zbioru takiego, ze lim p k = p 0. Piszemy wtedy k! lim f (p) = g p!p 0 W przypadku, gdy g = ( ), to mówimy o granicy niew a sciwej. g nazywamy te z granica n-krotna funkcji f w punkcie p 0. Je zeli n =, to mówimy o granicy podwójnej w punkcie p 0 i je sli p 0 = (x 0 ; y 0 ), to oznaczamy ja przez lim f (x; y) : (x;y)!(x 0;y 0) Uwaga.0 Granica w punkcie p 0 nie istnieje, gdy istnieja ró zne ciagi (p k ) i (q k ) o wyrazach w zbiorze takie, ze lim p k = p 0 = lim q k, ale k! k! lim f (p k) 6= lim f (q k) : k! k! e nicja. (Cauchy ego) Niech f :! R, R n i niech p 0 b edzie punktem skupienia zbioru. Mówimy, ze g jest granica (w a sciwa) funkcji f w punkcie p 0, je zeli ^ _ ^ (0 < d (p; p 0 ) < ) jf (p) gj < ") : ">0 >0 p Zadanie Podać de nicj e Cauchy ego granicy niew aściwej. Twierdzenie. e nicje granicy w sensie Heinego i Cauchy ego sa sobie równowa zne. Niech f :! R, R i niech p 0 = (x 0 ; y 0 ) b edzie punktem skupienia dziedziny. Je zeli istnieje granica lim lim f (x; y) ; x!x 0 y!y 0 to nazywamy ja granica iterowana gdy najpierw y! y 0, a nastepnie x! x 0. Podobnie, gdy istnieje granica lim lim f (x; y) y!y 0 x!x 0 to nazywamy ja granica iterowana gdy x! x 0, a nastepnie y! y 0. 5

. RACHUNEK RÓ ZNICZKOWY I CA KOWY FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH Uwaga.3 Istnienie granicy podwójnej jest niezale zne od istnienia granic iterowanych. Co wi ecej, je zeli granice iterowane istnieja, to moga być ró zne. Przyk ad.4. f (x; y) = xy x +y lim lim f (x; y) = 0 = lim x!0 y!0 y!0 lim f (x; y) ; x!0 ale lim f (x; y) nie istnieje. (x;y)!(0;0). f (x; y) = x y x +y lim lim x!0 y!0 i granica podwójna nie istnieje. x y x + y = ; lim lim y!0 x!0 3. f (x; y) = x sin x sin y lim lim x sin y!0 x!0 x sin = 0 y ale lim lim x sin x!0 y!0 x sin y nie istnieje; lim x sin (x;y)!(0;0) x sin y = 0: x y x + y = Twierdzenie.5 Je zeli istnieje granica podwója w punkcie (x 0 ; y 0 ) funkcji f i istnieje jedna z granic iterowanych, to sa sobie równe. Wniosek.6 Je zeli istnieja ró zne granice iterowane w punkcie (x 0 ; y 0 ), to nie istnieje granica podwójna w tym punkcie. e nicja.7 Niech f :! R, gdzie R n i niech p 0 b edzie punktem skupienia zbioru. Mówimy, ze funkcja f jest ciag a w punkcie p 0, je zeli lim f (p) = f (p 0 ) : p!p 0 Je zeli f jest ciag a w ka zdym punkcie swojej dziedziny, to mówimy, ze jest ciag a Twierdzenie.8 Je zeli f; g :! R sa ciag e, to. f g. f g 3. f g (o ile g 6= 0) sa funkcjami ciag ymi. 6

. RACHUNEK RÓ ZNICZKOWY I CA KOWY FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH Twierdzenie.9 (o lokalnym zachowywaniu znaku) Je zeli f :! R jest ciag a w p 0 i f (p 0 ) > 0 (f (p 0 ) < 0), to istnieje otoczenie U punktu p 0 takie, ze f (p) > 0 (f (p) < 0) dla ka zdego p U \. Twierdzenie.30 (Weierstrassa) Za ó zmy, ze f :! R jest funkcja ciag a okre slona na domkni etym i ograniczonym zbiorze. Wówczas funkcja f jest ograniczona, co wi ecej istnieja takie punkty p 0,p 00, ze f (p 0 ) = inf f (p) = infff (p) : p g; p f (p 00 ) = sup f (p) = supff (p) : p g: p Twierdzenie.3 (arboux) Za ó zmy, ze f :! R jest funkcja ciag a i jest zbiorem spójnym. Je zeli f (p 0 ) < < f (p 00 ), gdzie p 0 ; p, to istnieje taki punkt q, ze = f (q). Twierdzenie.3 (Cantora) Je zeli f :! R jest funkcja ciag a okre slona na domkni etym i ograniczonym zbiorze, to f jest jednostajnie ciag a tzn. ^ _ ^ (d (p; q) < ) d (f (p) ; f (q)) < ") : ">0 >0 p;q.4 Pochodne kierunkowe i cz astkowe. Ró zniczkowalność Niech f :! R, R n i niech p b edzie punktem wewnetrznym zbioru. e nicja.33 Pochodna kierunkowa funkcji f w punkcie p w kierunku wektora h R n nazywamy liczb e fh 0 f (p + th) f (p) (p) = lim ; t!0 t o ile powy zsza granica istnieje i jest skończona. Uwaga.34 Pochodna w kierunku wektora h jest równa pochodnej funkcji w punkcie t = 0. ' (t) = f (p + th) e nicja.35 Pochodna kierunkowa w kierunku wektora e i = [0; :::; i ; :::; 0] nazywamy pochodna czastkow a funkcji f w punkcie p wzgl edem zmiennej x i. Oznaczamy ja symbolem @f (p) ; a zatem @f (p) = f 0 f (p + te i ) f (p) e (p) = lim : i t!0 t 7

. RACHUNEK RÓ ZNICZKOWY I CA KOWY FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH W szczególnym przypadku, gdy n = i funkcja f jest funkcja zmiennych x i y, pochodne czastkowe oznaczamy odpowiednio przez @f @x ( df dx, f x) 0 i @f @y ( df dy, f y). 0 Jeśli p = (x 0 ; y 0 ), to @f @x (x 0; y 0 ) = lim t!0 t (f (x 0 + h; y 0 ) f (x 0 ; y 0 )) ; @f @y (x 0; y 0 ) = lim t!0 t (f (x 0; y 0 + t) f (x 0 ; y 0 )) : e nicja.36 Je zeli funkcja f ma pochodna czastkow a wzgl edem zmiennej x i dla ka zdego punktu p, to funkcj e @f :! R p 7! @f (p) nazywamy pochodna czastkow a funkcji f wzgl edem zmiennej x i. Uwaga.37 Je zeli ' i (t) = f (p + te i ), to @f (p) = ' 0 i (0) : W praktyce oznacza to, ze obliczanie pochodnej czastkowej wzgledem zmiennej x i to obliczanie zwyk ej pochodnej wzgledem x i, traktujac pozosta e zmienne jak sta e. Uwaga.38 Istnienie pochodnych czastkowych w punkcie p, a nawet istnienie wszystkich pochodnych kierunkowych w punkcie p nie gwarantuje ciag ości funkcji w tym punkcie. Twierdzenie.39 Je zeli f; g :! R, R n i istnieja pochodne czastkowe @f (p), @g (p) dla pewnego punktu p, to. @ (f g) (p) = @f (p) @f (p) @. (f g) (p) = @f (p) g (p) + f (p) @g (p) @ 3. f g (p) = f 0 x (p)g(p) f(p)g 0 i x (p) i ; g (p) 6= 0 (g(p)) e nicja.40 Mówimy, ze funkcja f :! R jest ró zniczkowalna w punkcie p Int, je zeli istnieje otoczenie U punktu p, na którym istnieja wszystkie pochodne czastkowe funkcji f i sa one ciag e w punkcie p. Mówimy, ze funkcja jest ró zniczkowalna (jest klasy C ) na zbiorze otwartym, gdy ma ciag e pochodne czastkowe na. Twierdzenie.4 Je zeli f :! R jest ró zniczkowalna w punkcie p Int, to dla dowolnego wektora h R n istnieje pochodna kierunkowa fh 0 (p), przy czym gdzie h = [h ; :::; h n ]. f 0 h (p) = nx i= @f (p) h i ; Wniosek.4 Je zeli f :! R jest ró zniczkowalna w punkcie p Int, to 8

. RACHUNEK RÓ ZNICZKOWY I CA KOWY FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH. f 0 h+k (p) = f 0 h (p) + f 0 k (p). f 0 h (p) = f 0 h (p) dla dowolnych wektorów h; k R n i R. Przyk ad.43 Obliczyć f 0 h (p), gdzie f (x; y) = x y, p = (; ) i h = [a; b] jest dowolnym wektorem. e nicja.44 Za ó zmy, ze f :! R jest ró zniczkowalna w punkcie p. Ró zniczka (zupe n a) funkcji f w punkcie p nazywamy odwzorowanie liniowe df (p) : R n! R okre slone wzorem nx @f df (p) (h) = (p) h i : i= Twierdzenie.45 Je zeli f :! R jest ró zniczkowalna w punkcie p Int, to istnieje funkcja ' okre slona w otoczeniu 0 R n, ciag a w 0, ' (0) = 0 oraz (jhj oznacza d ugo sć wektora h:). f (p + h) = f (p) + df (p) (h) + ' (h) jhj Wniosek.46 Je zeli f :! R jest ró zniczkowalna w punkcie p Int, to. f jest ciag a w p. dla ma ych jhj zachodzi przybli zony wzór f (p + h) f (p) + df (p) (h) : Niech g :! R, R n, f ; :::; f n :! R, R, przy czym Wówczas jest sens mówić o z o zeniu f (t) = (f (t) ; f (t) ; :::; f n (t)) ; t : (g f) (t) = g (f (t) ; :::; f n (t)) : Twierdzenie.47 Je zeli funkcje f i sa ró zniczkowalne w punkcie t 0 (i = ; :::; n) oraz g jest ró zniczkowalna w punkcie p 0 = f (t 0 ), to z o zenie g f jest ró zniczkowalna w t 0 ; przy czym (g f) 0 (t 0 ) = nx i= @g (f (t 0 )) f 0 i (t 0 ) = dg (f (t 0 )) ([f 0 (t 0 ) ; :::; f 0 n (t 0 )]) : Twierdzenie.48 Za ó zmy, ze funkcje f i :! R (i = ; :::; n), R m maja pochodne czastkowe @f i (t 0 ) @t j 9

. RACHUNEK RÓ ZNICZKOWY I CA KOWY FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH dla pewnego t 0 oraz ustalonego j ( j m). Wówczas przy za o zeniu, ze g :! R, R n, f (t) = (f (t) ; :::; f n (t)) ; t i ró zniczkowalno sci funkcji g w punkcie f (t 0 ) istnieje pochodna czatkowa @ @t j (g f) (t 0 ) przy czym @ nx @g (g f) (t 0 ) = (f (t 0 )) @f i (t 0 ) : @t j @t j i= Twierdzenie.49 (o wartości średniej) Je zeli f :! R, R n jest zbiorem otwartym i f jest ró zniczkowalna na zbiorze, to dla dowolnego punktu p 0 i wektora h R n takiego, ze odcinek [p 0 ; p 0 + h] zawiera si e w, istnieje t (0; ), ze f (p 0 + h) f (p 0 ) = df (p 0 + th) (h) : e nicja.50 Niech f :! R i p 0. Poziomica funkcji f przechodzac a przez punkt p 0 nazywamy zbiór S (p 0 ) = fp : f (p) = f (p 0 )g: e nicja.5 Za ó zmy, ze funkcja f :! R jest ró zniczkowalna w punkcie p 0 Int. Gradientem f w punkcie p 0 nazywamy wektor @f rf (p 0 ) = (p 0 ) ; :::; @f (p 0 ) : @x @x n Je zeli rf (p 0 ) = 0 (wektor zerowy!), to mówimy, ze p 0 jest punktem stacjonarnym funkcji f. Uwaga.5. Mo zna wykazać, ze gradient funkcji f wskazuje kierunek najszybszego wzrostu wartości tej funkcji. Ponadto rf (p 0 ) jest wektorem prostopad ym do poziomicy funkcji f przechodzacej przez p 0.. ( oznacza iloczyn skalarny wektorów). df (p 0 ) (h) = rf (p 0 ) h.5 Pochodne cz astkowe rz edu drugiego Niech f :! R, R n b edzie zbiorem otwartym i za ó zmy, ze istnieje pochodna czastkowa @f (p) dla ka zdego p. Je zeli istnieje pochodna czastkowa @ @ (p 0 ) @x j w punkcie p 0, to nazywamy ja druga pochodna czastkow a wzgledem i-tej i j-tej zmiennej. Oznaczamy ja przez @ f (p 0 ) lub fx 00 @x j x j (p 0 ) : i Pochodna @ f (p 0 ) oznaczamy przez @ f @x i (p 0 ) : 0

. RACHUNEK RÓ ZNICZKOWY I CA KOWY FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH e nicja.53 Mówimy, ze funkcja f :! R jest dwukrotnie ró zniczkowalna w punkcie p 0, je zeli istnieja pochodne czastkowe rz edu drugiego na pewnym otoczeniu p 0 i sa ciag e w tym punkcie. Mówimy, ze funkcja f jest dwukrotnie ró zniczkowalna (jest klasy C na zbiorze ; f C ()), je zeli ma ciag e pochodne czastkowe drugiego rz edu na. Twierdzenie.54 (Schwarza o symetrii drugiej ró zniczki) Je zeli f :! R jest dwukrotnie ró zniczkowalna w punkcie p 0, to @ f (p 0 ) = @ f (p 0 ) ; i; j = ; :::; n: @x j @x j e nicja.55 Za ó zmy, ze f jest dwrukrotnie ró zniczkowalna w punkcie p 0. ruga ró zniczka f w punkcie p nazywamy odwzorowanie okre slone wzorem d f (p 0 ) : R n R n! R d f (p 0 ) (h; k) = gdzie h = [h ; :::; h n ], k = [k ; :::; k n ]. W szczególnym przypdaku dla n = i jeśli h = k, to nx i;j= @ f @x j (p 0 ) h i k j d f (p 0 ) (h; k) = @ f @x (p 0) h k + @ f @x@y (p 0) (h k + h k ) + @ f @y (p 0) h k d f (p 0 ) (h; h) = @ f @x (p 0) h + @ f @x@y (p 0) h h + @ f @y (p 0) h ; w skrócie b edziemy pisać d f (p 0 ) h :.6 Ekstrema lokalne funkcji wielu zmiennych e nicja.56 Mówimy, ze funkcja f :! R, R n ma maksimum [minimum] lokalne w punkcie p 0, je zeli istnieje otoczenie U punktu p 0 takie, ze 3 ^ f (p) f (p 0 ) 4 ^ f (p) f (p 0 ) 5 : pu Je zeli w powy zszym warunku spe niona jest nierówno sć ostra, to mówimy o maksimum [minimum] lokalnym w a sciwym. Je zeli 3 ^ f (p) f (p 0 ) 4 ^ f (p) f (p 0 ) 5 ; p to mówimy, ze funkcja f ma w punkcie p 0 maksimum [minimum] absolutne oznaczamy je przez max f (p) min f (p) : p p pu p

. RACHUNEK RÓ ZNICZKOWY I CA KOWY FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH Twierdzenie.57 (warunek konieczny na istnienie ekstremum lokalnego) Je zeli funkcja f ma pochodne czastkowe w punkcie p 0 Int i ma w tym punkcie ekstremum lokalne, to Uwaga.58 @f (p 0 ) = 0; i = ; :::; n:. Funkcja mo ze mieć ekstremum lokalne w punkcie, w którym nie posiada pochodnych czastkowych, np. f (x; y) = p x + y.. Je zeli f jest ró zniczkowalna w p 0 i ma w tym punkcie ekstremum lokalne, to rf (p 0 ) = 0 (tzn. p 0 jest punktem stacjonarnym). 3. Zerowanie sie pochodnych czastkowych nie wystarcza do tego, zeby istnia o ekstremum lokalne, np dla funkcji f (x; y) = x y mamy rf (0; 0) = [0; 0], ale funkcja f nie ma ekstremum lokalnego w punkcie (0; 0). Twierdzenie.59 (warunek wystraczajacy na istnienie ekstremum lokalnego) Za ó zmy, ze f :! R, R jest zbiorem otwarym i f jest dwukrotnie ró zniczkowalna w punkcie p 0. Je zeli. rf (p 0 ) = 0. W (p 0 ) = f xx 00 (p 0 ) fxy 00 (p 0 ) fxy 00 (p 0 ) fyy 00 (p 0 ) > 0 to funkcja f ma w punkcie p 0 ekstremum lokalne w a sciwe, przy czym jest to maksimum lokalne, gdy f 00 xx (p 0 ) < 0 minimum lokalne, gdy f 00 xx (p 0 ) > 0 Je zeli W (p 0 ) < 0, to f nie ma ekstremum w p 0. Je zeli W (p 0 ) = 0, to jest to przypadek watpliwy, tzn. w zale zno sci od funkcji f mo ze, ale nie musi być ekstremum w tym punkcie. e nicja.60 Niech A M n;n (R) b edzie macierza symetryczna (tzn. A T = A). Forma kwadratowa o macierzy A nazywamy odwzorowanie ' : R n! R okre slone wzorem 3 3 a ::: a n h ' (h) = hah T 6 7 6 7 nx = [h ; :::; h n ] 4.. 5 4. 5 = a ij h i h j ; a n ::: a nn h i;j= n 3 a ::: a n 6 7 gdzie A = 4.. 5 i h = [h ; :::; h n ]. a n ::: a nn a Przyk ad.6 Gdy n =, A = b a ' (h) = [h ; h ] b, h = [h ; h ] b c b h c h ah + bh = [h ; h ] bh + ch = ah + bh h + bh h + ch = ah + bh h + ch :

. RACHUNEK RÓ ZNICZKOWY I CA KOWY FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH W szczególnym przypadku, gdy f :! R, R jest zbiorem otwartym i f jest klasy C na, to dla dowolnego punktu p otrzymujemy macierz symetryczna f 00 xx (p) fxy 00 (p) fxy 00 (p) fyy 00 : (p) Forma kwadratowa wyznaczona przez te macierz jest ' (h) = d f (p) h = d f (p) (h; h) = f 00 xx (p) h + f 00 xy (p) h h + f 00 yy (p) h : e nicja.6 Mówimy, ze forma kwadratowa ' jest dodatnio [ujemnie] okre slona, je zeli 3 ^ ' (h) > 0 4 ^ ' (h) < 05 : hr n nf0g hr n nf0g Mówimy, ze ' jest forma kwadratowa nieujemna [niedodatnia], je zeli " # ^ ^ ' (h) 0 ' (h) 0 : hr n hr n Przyk ad.63 Forma ' (h ; h ) = h jest forma nieujemna, ale nie jest dodatnio określona. e nicja.64 Mówimy, ze forma kwadratowa ' jest pó okre slona dodatnio, je zeli jest nieujemna, ale nie jest dodatnio okre slona. Mówimy, ze ' jest pó okre slona ujemnie, je zeli jest niedodatnia, ale nie jest ujemnie okre slona. Mówimy, ze forma ' jest nieokre slona, gdy ' przyjmuje warto sci dodatnie i ujemne. Przyk ad.65 Forma ' (h ; h ) = h h jest nieokreślona. e nicja.66 Niech A M n;n (R). Minorem g ównym stopnia k ( k n) macierzy A nazywamy wyznacznik 3 a ::: a k 6 7 k = det 4.. 5 : a k ::: a kk Twierdzenie.67 Niech A = [a ij ] b edzie macierza formy kwadratowej ' : R n! R. Forma ' jest dodatnio okre slona wtedy i tylko wtedy, gdy k > 0; ujemnie okre slona wtedy i tylko wtedy,gdy kf;:::;ng kf;:::;ng ( ) k k > 0: Je zeli f :! R, R n jest zbiorem otwartym i f jest dwukrotnie ró zniczkowalna w punkcie p 0, to mo zemy określić forme kwadratowa ' (h) = d f (p 0 ) (h; h) = nx i;j= f 00 x ix j (p 0 ) h i h j : 3

. RACHUNEK RÓ ZNICZKOWY I CA KOWY FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH Macierza tej formy jest macierz drugich pochodnych f w punkcie p 0 3 fx 00 x (p 0 ) fx 00 x (p 0 ) ::: fx 00 x n (p 0 ) fx 00 x (p 0 ) fx 00 x (p 0 ) ::: fx 00 x n (p 0 ) 6 7 4... 5 : fx 00 nx (p 0 ) fx 00 nx (p 0 ) ::: fx 00 nx n (p 0 ) Nazywamy ja macierza Hessego, zaś jej wyznacznik hesjanem. Twierdzenie.68 (warunek wystarczajacy na istnienie ekstremum lokalnego) Za ó zmy, ze f :! R, R n jest zbiorem otwartym, f jest dwukrotnie ró zniczkowalna w punkcie p 0 i rf (p 0 ) = 0. Je zeli forma kwadratowa h 7! d f (p 0 ) (h; h) = jest dodatnio okre slona, to f ma minimum lokalne w p 0 ; jest ujemnie okre slona, to f ma maksimum lokalne w p 0 ; jest nieokre slona, to f nie ma ekstremum lokalnego w p 0. n P i;j= Je zeli forma jest pó okre slona dodatnio [ujemnie], jest to przypadek watpliwy..7 Funkcja uwik ana f 00 x ix j (p 0 ) h i h j e nicja.69 Niech f :! R, R. Za ó zmy, ze ' : I! R (I R jest przedzia em) jest taka funkcja ciag a, ze. (x; ' (x)) ;. xi f (x; ' (x)) = 0: xi Wówczas funkcj e ' nazywamy funkcja uwik ana okre slona równaniem (przez równanie) f (x; y) = 0. Oznacza to, ze je sli S = f(x; y) : f (x; y) = 0g, to pewna cz e sć zbioru S jest wykresem funkcji '. Twierdzenie.70 (o istnieniu funkcji uwi anej) Je zeli f :! R jest klasy C na zbiorze otwartym R, (x 0 ; y 0 ) oraz f (x 0 ; y 0 ) = 0 i f 0 y (x 0 ; y 0 ) 6= 0; to istnieje dok adnie jedna funkcja y = ' (x) uwik ana przez równanie f (x; y) = 0 okre slona na pewnym przedziale (x 0 ; x 0 + ) przy czym ' (x 0 ) = y 0, ' jest klasy C oraz ' 0 (x) = f 0 x (x; ' (x)) f 0 y (x; ' (x)) ; x (x 0 ; x 0 + ) : (*) Uwaga.7 Równość (*) otrzymujemy przez zró zniczkowanie stronami równości f (x; ' (x)) = 0 : 0 = f 0 x (x; ' (x)) x 0 + f 0 y (x; ' (x)) ' 0 (x) = f 0 x (x; ' (x)) + f 0 y (x; ' (x)) ' 0 (x) ; 4

. RACHUNEK RÓ ZNICZKOWY I CA KOWY FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH w szczególności bo ' (x 0 ) = y 0. ' 0 (x 0 ) = f 0 x (x 0 ; y 0 ) f 0 y (x 0; y 0 ) ; Uwaga.7 Je zeli f 0 y (x 0 ; y 0 ) = 0, to mo ze sie zdarzyć, ze nie zachodzi teza twierdzenia o istnieniu funkcji uwik anej.. (x 0 ; y 0 ) = (0; 0) i f (x; y) = x y istnieja dwie ró zne ró zniczkowalne funkcje uwik ane ' (x) = x oraz ' (x) = x;. (x 0 ; y 0 ) = (0; 0) i f (x; y) = x + y nie istnieje funkcja uwik ana określona na otoczeniu x 0 = 0, bo f(x; y) : f (x; y) = 0g = f(0; 0)g; 3. (x 0 ; y 0 ) = (0; 0) i f (x; y) = 0 w tym przypadku S = f(x; y) : f (x; y) = 0g = R Je zeli funkcja f jest klasy C, to funkcja uwik ana ' jest te z klasy C przy czym na mocy (*) mamy 0 = f 0 x + f 0 y' 0 : Ponownie ró zniczkujac stronami otrzymamy stad ' 00 (x) = W szczególności ' 00 (x 0 ) = i jeśli ' 0 (x 0 ) = 0, to 0 = f 00 xxx 0 + f 00 xy' 0 x + f 00 yxx 0 + f 00 yy' 0 ' 0 + f 0 y' 00 0 = f 00 xx + f 00 xy' 0 + f 00 yy (' 0 ) + f 0 y' 00 fy 0 fxx 00 (x; ' (x)) + fxy 00 (x; ' (x)) ' 0 (x) + fyy 00 (x; ' (x)) ' 0 (x) : (x; ' (x)) f 0 fxx 00 (x 0 ; y 0 ) + fxy 00 (x 0 ; y 0 ) ' 0 (x 0 ) + f 00 (x 0 ; y 0 ) ' 0 (x 0 ) (x 0 ; y 0 ) ' 00 (x 0 ) = f 00 xx (x 0 ; y 0 ) f 0 y (x 0 ; y 0 ) : Twierdzenie.73 (o ekstremach funkcji uwik anej) Niech f :! R b edzie funkcja klasy C na zbiorze otwartym R i niech (x 0 ; y 0 ). Je zeli. f (x 0 ; y 0 ) = 0, f 0 x (x 0 ; y 0 ) = 0 i f 0 y (x 0 ; y 0 ) 6= 0;. f 00 xx (x 0 ; y 0 ) 6= 0; to funkcja uwik ana y = ' (x) ma ekstremum lokalne w punkcie x 0, przy czym jest to maksimum lokalne, gdy ' 00 (x 0 ) < 0; minimum lokalne, gdy ' 00 (x 0 ) > 0; gdzie ' 00 (x 0 ) = f 00 xx (x 0 ; y 0 ) f 0 y (x 0 ; y 0 ) : (**) 5

. RACHUNEK RÓ ZNICZKOWY I CA KOWY FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH.8 Pochodne cz astkowe rz edu >. Wzór Taylora e nicja.74 Niech f :! R, R n jest zbiorem otwartym i p 0. Za ó zmy, ze dla pewnej liczby naturalnej k w ka zdym punkcie p istnieja pochodne czastkowe rz edu k. Pochodnymi czastkowymi rz edu k w punkcie p 0 nazywamy pochodne czastkowe pochodnych czastkowych rz edu k w punkcie p 0. e nicja.75 Mówimy, ze funkcja f jest k-krotnie ró zniczkowalna w punkcie p 0, je zeli istnieja wszystkie pochodne czastkowe w pewnym otoczeniu punktu p 0 i sa ciag e w tym punkcie. Mówimy, ze funkcja f jest klasy C k na zbiorze otwartym, je zeli ma wszystkie pochodne czastkowe rz edu k na i sa one ciag e. e nicja.76 Niech f :! R, gdzie R n jest zbiorem otwartym, b edzie funkcja k-krotnie ró zniczkowalna w punkcie p 0. Ró zniczka rz edu k funkcji f w punkcie p 0 nazywamy odwzorowanie d k f (p 0 ) : R n ::: R {z n }! R k razy d k f (p 0 ) h ; :::; h k nx @ k = h i :::@x ::: h k i k ; ik i ;:::;i k = gdzie h i = h i ; :::; hn i, i = ; :::; k. Przyjmujemy nast epujac a umow e d k f (p 0 ) h (k) = d k f (p 0 ) (h; :::; h) : Twierdzenie.77 (Taylora) Je zeli funkcja f :! R, gdzie R n jest zbiorem otwartym, jest ró zniczkowalna w ka zdym punkcie odcinka [p 0 ; p 0 + h], to istnieje taka liczba (0; ), ze f (p 0 + h) = f (p 0 ) + df (p 0 ) h +! d f (p 0 ) h () + ::: + (k )! dk f (p 0 ) h (k ) + k! dk f (p 0 + h) h (k) : Twierdzenie.78 (o ca ce zale znej od parametru) Za ó zmy, ze funkcja F : [a; b] [; ]! R jest ciag a. Wówczas funkcja f : [; ]! R f (x) = Z b a F (t; x) dt, to wów- jest funkcja ciag a na przedziale [; ]. Je zeli F ma ciag a pochodna czastkow czas f jest ró zniczkowalna i Przyk ad.79 Niech f (x) = R 0 f 0 (x) = Z b a @F (t; x) dt: @x e x sin t dt. Wówczas f 0 (x) = Z 0 sin te x sin t dt: a @F @x 6

. RACHUNEK RÓ ZNICZKOWY I CA KOWY FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH.9 Ca ka podwójna e nicja.80 Przedzia em -wymiarowym nazywamy zbiór P postaci P = [a ; b ] [a ; b ] ; a i < b i ; i = ; : Obj eto scia -wymiarowa przedzia u P nazywamy liczb e jp j zde niowana jako za s srednica przedzia u P liczb e jp j = (b a ) (b a ) ; diam (P ) = q (b a ) + (b a ) : e nicja.8 Podzia em przedzia u P nazywamy ka zda rodzin e = fp ; :::; P m g (m N) przedzia ów -wymiarowych takich, ze. P = P [ ::: [ P m ;. Int P i \ Int P j = ;, i 6= j: Średnica podzia u nazywamy liczb e () = max diam (P i) : i=;:::;m Zbiór wszystkich podzia ów przedzia u P oznaczamy przez P (P ). e nicja.8 Warto sciowaniem podzia u = fp ; :::; P m g nazywamy zbiór T = fp ; :::; p m g taki, ze p i P i, i = ; :::; m. Zbiór wszystkich warto sciowań podzia u oznaczamy przez T (). e nicja.83 Niech f : P! R, gdzie P jest przedzia em -wymiarowym, = fp ; :::; P m g P (P ), T T (). Suma Riemanna dla funkcji f, podzia u i warto sciowania T nazywamy liczb e mx (f; ; T ) = f (p i ) jp i j : i= e nicja.84 Liczb e (f) nazywamy ca k a Riemanna funkcji f : P! R na przedziale P, je zeli 0 ^ _ ^ @ () < ) ^ j (f; ; T ) (f)j < " A : ">0 >0 P(P ) P T T () Liczb e (f) b edziemy dalej oznaczać przez (f) = f (x; y) dxdy i nazywać ca k a podwójna z funkcji f na przedziale P. Mówimy, ze funkcja f jest ca kowalna na przedziale P. e nicja.85 Ciag podzia ów ( k ) kn nazywamy normalnym, je zeli lim ( k) = 0. k! 7

. RACHUNEK RÓ ZNICZKOWY I CA KOWY FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH Twierdzenie.86 Funkcja f : P! R jest ca kowalna na przedziale P i RR P f jest ca k a Riemanna f na P wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego normalnego ciagu podzia ów ( k ) i ciagu warto sciowań (T k ), T k T ( k ), lim (f; k; P k ) = f: k! Twierdzenie.87 (warunek wystarczajacy ca kowalności) Ka zda funkcja ciag a f : P! R okre slona na przedziale P jest ca kowalna. Interpretacja geometryczna ca ki podwójnej. Je zeli f : P! R jest funkcja nieujemna określona na przedziale P, to ca ka RR f jest równa obj etości obszaru = f(x; y; z) R 3 : (x; y) P ^ 0 z f (x; y)g: Twierdzenie.88 (Fubiniego) Je zeli P = [a; b] [c; d], f : P! R jest ca kowalna oraz dla ka zdego x [a; b] istnieje ca ka oznaczona f (x) = (dla ka zdego y [c; d] istnieje ca ka f (y) = f (x; y) dxdy = 0 @ f (x; y) dxdy = P Z d c R b a Z b a Z d c P f (x; y) dy f (x; y) dx), to 0 @ 0 @ Z d c Z b a f (x; y) dya dx f (x; y) dxa dya : Uwaga.89. Za o zenie ca kowalności funkcji f i istnienie ca ek f (x) (f (y)) sa niezale zne od siebie.. Je zeli f jest funkcja ciag a, to f jest ca kowalna oraz istnieja ca ki f i f za o zenia twierdzenia sa wi ec automatycznie spe nione. 3. Je zeli f (x) = g (x) g (y) i funkcje g, g sa ciag e, to P f (x; y) dxdy = Z b a g (x) dx Z d c g (y) dy e nicja.90 Niech R b edzie zbiorem ograniczonym, f :! R. Mówimy, ze funkcja f jest ca kowalna (w sensie Riemanna) na zbiorze, je zeli istnieje przedzia P taki, ze funkcja f (x) ; x f (x) = 0; x P n P 8

. RACHUNEK RÓ ZNICZKOWY I CA KOWY FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH jest ca kowalna na P. Przyjmujemy wtedy f def = P f: e nicja.9 Niech R, P b edzie takim przedzia em, ze P oraz P (P ). Przyjmijmy Liczb e Z = fq : Q \ 6= ;g W = fq : Q g Z () = inff X Q Z jqj : P (P )g nazywamy zewn etrzna miara Jordana zbioru, za s liczb e W () = supf X jqj : P (P )g Q W wewn etrzna miara Jordana zbioru. Mówimy, ze zbiór jest mierzalny w sensie Jordana, je zeli Z () = W (). Wówczas liczb e jj = Z () = W () nazywamy (-wymiarowa) miara Jordana zbioru. Mo zna wykazać, ze przedzia y -wymiarowe sa mierzalne w sensie Jordana; miara Jordana przedzia u P jest równa jp j (źwyk a"miara P ). e nicja.9 Mówimy, ze zbiór R ma -wymiarowa miar e Jordana równa zero, je zeli Z () = 0. Twierdzenie.93 Je zeli funkcja f : [a; b]! R jest ciag a, to wykres funkcji f ma -wymiarowa miar e Jordana równa zero. f(x; f (x)) : x [a; b]g Twierdzenie.94 Ograniczony podzbiór R jest mierzalny w sensie Jordana, je zeli brzeg zbioru ma -wymiarowa miar e równa zero. e nicja.95 Ograniczony obszar R nazywamy regularnym, je zeli jego brzeg jest suma skończonej ilo sci wykresów funkcji ciag ych. Wniosek.96 Je zeli R jest regularny, to jest mierzalny w sensie Jordana. Twierdzenie.97 (warunek konieczny ca kowalności) Je zeli funkcja f jest ca kowalna na domkni etym regularnym obszarze, to jest ograniczona na. Twierdzenie.98 (warunek wystarczajacy ca kowalności) Je zeli funkcja f jest ciag a na domkni etym obszarze regularnym ; 9

. RACHUNEK RÓ ZNICZKOWY I CA KOWY FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH lub jest ograniczona na domkni etym obszarze regularnym i jest ciag a poza skończona ilo scia wykresów funkcji ciag ych, to jest ca kowalna. Twierdzenie.99 (w asności ca ki podwójnej) Za ó zmy, ze jest domkni etym obszarem regularnym.. Je zeli f; g :! R sa ca kowalne na, to funkcja f + g jest ca kowalna na (; R) oraz (f + g) dxdy =. Je zeli f; g :! R sa ca kowalne na oraz fdxdy + (x;y) fdxdy gdxdy: gdxdy: f (x; y) g (x; y), to 3. Je zeli f :! R jest ca kowalna, to jfj jest te z ca kowalna, przy czym fdxdy jfj dxdy: 4. Je zeli f :! R jest ca kowalna oraz (x;y) m f (x; y) M, to m jj fdxdy M jj : 5. Je zeli f; g :! R ró znia si e na zbiorze miary zero, to f jest ca kowalna wtedy i tylko wtedy, gdy g jest ca kowalna; wówczas fdxdy = gdxdy: 6. Je zeli = [, Int \ Int = ;, zbiory i sa domkni etymi obszarami regularnymi oraz f :! R jest ca kowalna, to f jest ca kowalna na i przy czym fdxdy = fdxdy + fdxdy: 7. Je zeli funkcja f :! R jest ciag a, to istnieje taki punkt (x 0 ; y 0 ), ze fdxdy = f (x 0 ; y 0 ) jj : 0

. RACHUNEK RÓ ZNICZKOWY I CA KOWY FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH.9. Zamiana ca ki podwójnej na ca k e iterowan a e nicja.00 Obszar domkni ety nazywamy normalnym wzgl edem osi OX, je zeli = f(x; y) : a x b ^ g (x) y h (x)g; gdzie g; h : [a; b]! R sa funkcjami ciag ymi takimi, ze g (x) < h (x). Mówimy, ze jest normalny wzgl edem osi OY, je zeli = f(x; y) : y ^ ^ y[;] gdzie '; : [; ]! R sa funkcjami ciag ymi takimi, ze Uwaga.0 Obszary normalne sa regularne. x(a;b) ' (y) x (y)g; y(;) ' (y) < (y) : Twierdzenie.0 (o zamianie ca ki podwójnej na iterowana) Za ó zmy, ze f :! R jest funkcja ciag a. Je zeli jest obszarem normalnym wzgl edem osi OX = f(x; y) : a x b ^ g (x) y h (x)g; to f (x; y) dxdy = Z b a 0 Z B @ h(x) g(x) Je zeli jest obszarem normalnym wzgl edem osi OY C f (x; y) dya dx: = f(x; y) : y ^ ' (y) x (y)g; to f (x; y) dxdy = Z 0 B @ Z (y) '(y) C f (x; y) dxa dy:.9. Zamiana zmiennych w ca ce podwójnej e nicja.03 Za ó zmy, ze dana jest funkcja F (u; v) = (x (u; v) ; y (u; v)), gdzie x; y :! R sa klasy C na zbiorze otwartym R. Jakobianem przekszta cenia F w punkcie (u; v) nazywamy liczb e @x @x J (u; v) = @u (u; v) @v (u; v) @y (u; v) (u; v) : @y @u Przyk ad.04. F (u; v) = (au + bv; cu + dv), gdzie (u; v) R i a; b; c; d sa ustalonymi liczbami rzeczywistymi. Wtedy @v J (u; v) = ad bc:. F (u; v) = p u v ; p uv, u; v (; ). Wtedy J (u; v) = v :

. RACHUNEK RÓ ZNICZKOWY I CA KOWY FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH 3. F (r; ') = (r cos '; r sin '). Wtedy J (r; ') = r: Twierdzenie.05 (o zamianie zmiennych w ca ce podwójnej) Je zeli. F (u; v) = (x (u; v) ; y (u; v)) przekszta ca wzajemnie jednoznacznie wn etrze domkni etego obszaru regularnego R na wn etrze domkni etego obszaru regularnego R ;. funkcje x i y sa klasy C na pewnym zbiorze otwartym U takim, ze U 3. funkcja f :! R jest ciag a 4. jakobian J (u; v) odwzorowania F jest ró zny od zera dla ka zdego (u; v) Int, to f (x; y) dxdy = f (x (u; v) ; y (u; v)) jj (u; v)j dudv: e nicja.06 P atem powierzchniowym nazywamy zbiór S = f(x; y; z) : (x; y) ^ z = f (x; y)g; gdzie R jest obszarem domkni etym i f :! R jest funkcja ciag a. Twierdzenie.07 Je zeli jest domkni etym obszarem regularnym i f jest klasy C na zbiorze (tzn. jest klasy C na pewnym zbiorze otwartym U takim, ze U), to pole powierzchni p ata S jest równe q jsj = + (fx) 0 dxdy: + fy 0 Twierdzenie.08 Je zeli = f(x; y; z) : (x; y) ^ f (x; y) z f (x; y)g; gdzie f ; f :! R sa ciag e na domkni etym obszarze regularnym R oraz f (x; y), to obj eto sć j j zbioru jest równa j j = (f (x; y) f (x; y)) dxdy:.0 Ca ka potrójna Przedzia em 3-wymiarowym nazwyamy zbiór obj etościa P nazywamy liczb e P = [a ; b ] [a ; b ] [a 3 ; b 3 ] ; a i < b i ; i = ; ; 3; jp j = (b a ) (b a ) (b 3 a 3 ) ; (x;y) f (x; y)

. RACHUNEK RÓ ZNICZKOWY I CA KOWY FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH zaś średnica liczb e diam (P ) = q (a b ) + (a b ) + (a 3 b 3 ) : Podobnie jak w pryzpadku -wymiarowym de niujemy poj ecie podzia u przedzia u P, wartościowania podzia u, sumy i ca ki Riemanna dla funkcji f : P! R, ca ki z funkcji f :! P, gdzie jest zbiorem ograniczonym. Ca ke z f :! R, gdzie R 3 jest zbiorem ograniczonym, nazywamy ca k a potrójna z funkcji f na i oznaczamy symbolem Z f (x; y; z) dxdydz: U zywajac poj ecia 3-wymiarowych przedzia ów de niujemy 3-wymiarowa miare Jordana ograniczonego zbioru R 3 ; oznaczamy ja przez j j. e nicja.09 Ograniczony obszar R 3 nazywamy regularnym, je zeli jego brzeg jest suma skończonej ilo sci p atów powierzchniowych. Interpretacja ca ki potrójnej: je zeli jest obszarem regularnym, to RRR dxdydz = j j je zeli (x; y; z) jest gestościa w punkcie (x; y; z), to masa jest równa Z m = (x; y; z) dxdydz: e nicja.0 omkni ety i ograniczony obszar R 3 nazywamy normalnym wzgl edem p aszczyzny OXY, je zeli = f(x; y; z) : (x; y) ^ g (x; y) z h (x; y)g; gdzie R jest domkni etym obszarem regularnym oraz g; h :! R sa funkcjami ciag ymi, przy czym g (x; y) < h (x; y). (x;y)int Twierdzenie. Je zeli funkcja f :! R jest ciag a na domkni etym obszarze normalnym wzgl edem p aszczyzny OXY, to przy powy zszych oznaczeniach 0 Z f (x; y; z) dxdydz = B @ Z h(x;y) g(x;y) C f (x; y; z) dza dxdy: e nicja. Niech F (u; v; w) = (x (u; v; w) ; y (u; v; w) ; z (u; v; w)), gdzie (u; v; w) i jest zbiorem otwartym. Je zeli funkcje x; y; z sa ró zniczkowalne na, to jakobianem F nazywamy funkcj e x 0 u x 0 v x 0 w J (u; v; w) = yu 0 yv 0 yw 0 zu 0 zv 0 zw 0 : Przyk ad.3 3

. RÓWNANIA RÓ ZNICZKOWE ZWYCZAJNE wspó rz edne walcowe 8 < wtedy J (r; '; h) = : x = r cos ' y = r sin ' z = h cos ' r sin ' 0 sin ' r cos ' 0 0 0 = r cos ' + r sin ' = r; wspó rz edne sferyczne 8 < wtedy J (r; '; ) = : x = r cos ' cos y = r sin ' cos z = r sin cos ' cos r sin ' cos r cos ' sin sin ' cos r cos ' cos r sin ' sin sin 0 r cos = r cos : Twierdzenie.4 (o zamianie zmiennych w ca ce potrójnej) Je zeli F (u; v; w) = (x (u; v; w; ) ; y (u; v; w) ; z (u; v; w)). przekszta ca wzajemnie jednoznacznie wn etrze domkni etego obszaru regularnego R 3 na wn etrze domkni etego obszaru regularnego R 3. funkcje x; y; z sa klasy C na 3. f jest ciag a na 4. jakobian J (u; v; w) 6= 0 dla ka zdego (u; v; w) Int, to Z f (x; y; z) dxdydz = Z f (x (u; v; w) ; y (u; v; w) ; z (u; v; w)) jj (u; v; w)j dudvdw Równania ró zniczkowe zwyczajne. Równania ró zniczkowe zwyczajne rz edu pierwszego Niech RR R b edzie zbiorem otwartym i F :! R b edzie taka funkcja, ze pochodna F wzgl edem ostatniej zmiennej nie jest to zsamościowo równa zero. e nicja. Równanie F (x; y; y 0 ) = 0; (.) w którym niewiadoma jest pewna funkcja y zmiennej x okre slona na pewnym przedziale otwartym I R, nazywamy równaniem ró zniczkowym zwyczajnym rz edu pierwszego. 4

. RÓWNANIA RÓ ZNICZKOWE ZWYCZAJNE e nicja. Rozwiazaniem szczególnym (ca k a szczególna) równania (.) nazywamy ka zda funkcj e ' : I! R okre slona na przedziale otwartym (ograniczonym lub nie) taka, ze. ' jest ró zniczkowalna na I;. f(x; ' (x) ; ' 0 (x)) : x Ig ; ^ 3. F (x; ' (x) ; ' 0 (x)) = 0: xi Wykres rozwiazania ' nazywamy krzywa ca kowa tego równania. e nicja.3 Zbiór wszystkich rozwiazań szczególnym równania (.) nazywamy rozwiazaniem ogólnym (ca k a ogólna) tego równania. e nicja.4 Niech ' : I! R oraz : J! R b ed a rozwiazaniami równania (.) takimi, ze I J oraz ^ ' (x) = (x). Wówczas nazywamy przed u zeniem rozwiazania ' xi (' nazywamy zaw e zeniem ). Je zeli I 6= J, to nazywamy przed u zeniem w a sciwym. Rozwiazanie nazywamy globalnym, je zeli nie istnieje jego w a sciwe przed u zenie. e nicja.5 Równanie ró zniczkowe zapisane w postaci y 0 = f (x; y) ; (.) gdzie f :! R, R jest znana funkcja dwóch zmiennych, nazywamy normalnym. Postać (.) nazywamy postacia normalna równania ró zniczkowego zwyczajnego rz edu I. Funkcja ' : I! R jest wiec rozwiazaniem równania (.), gdy. ' jest ró zniczkowalna na I;. f(x; ' (x)) : x Ig ; ^ 3. ' 0 (x) = f (x; ' (x)) : xi e nicja.6 Niech (x 0 ; y 0 ). Zadanie polegajace na znalezieniu rozwiazania szczególnego ' równania (.) spe niajacego warunek ' (x 0 ) = y 0 nazywamy zagadnieniem poczatkowym lub zagadnieniem Cauchy ego dla równania (.). Geometrycznie sprowadza si e do znalezienia krzywej ca kowej równania (.) przechodzacej przez z góry zadany punkt (x 0 ; y 0 ). e nicja.7 Rozwiazanie szczególne równia (.) (lub (.)) nazywamy regularnym, je zeli przez zaden punkt krzywej ca kowej wyznaczonej przez to rozwiazanie nie przechodzi zadna inna krzywa ca kowa tego równania osobliwym, je zeli przez ka zdy punkt krzywej ca kowej wyznaczonej przez to rozwiazanie przechodzi co najmniej jedna inna krzywa ca kowa 5

. RÓWNANIA RÓ ZNICZKOWE ZWYCZAJNE Twierdzenie.8 (Peano) Je zeli funkcja f jest ciag a na obszarze R, to przez ka zdy punkt tego obszaru przechodzi co najmniej jedna krzywa ca kowa równania y 0 = f (x; y) : Twierdzenie.9 (Cauchy ego) Je zeli funkcja f jest ciag a i ma ciag a pochodna fy 0 na obszarze R, to przez ka zdy punkt tego obszaru przechodzi dok adnie jedna krzywa ca kowa równania y 0 = f (x; y)... Równanie o zmiennych rozdzielonych e nicja.0 Równaniem ró zniczkowym o zmiennych rozdzielonych nazywamy równanie postaci y 0 = f (x) g (y) ; (.3) gdzie f : (a; b)! R i g : (c; d)! R sa funkcjami ciag ymi. Niech = (a; b) (c; d) : ^ Przypadek (i) g (y) 6= 0: y(c;d) Twierdzenie. Ka zde rozwiazanie ' równania (.3) w prostokacie jest okre slone wzorem ' (x) = ( (x) + C) ; x (; ) (a; b) ; (.4) gdzie odwrotna do jest funkcja pierwotna funkcji g, jest funkcj a pierwotna f. oraz C jest taka sta a, ze ^ x(;) oznacza funkcj e (x) + C nale zy do dziedziny funkcji. W tym przypadku zagadnienie Cauchy ego y (x 0 ) = y 0 ma dok adnie jedno rozwiazanie: y 0 = ( (x 0 ) + C) i stad Przypadek (ii) ' (x) = ( (x) + (y 0 ) (x 0 )) : Funkcja g posiada miejsca zerowe w przedziale (c; d). Za ó zmy, ze y (c; d) jest miejscem zerowym funkcji g : g (y ) = 0. Niech ' (x) = y (funkcja sta a). atwo widać, ze jest to rozwiazanie szczególne równania (.3). Je zeli y ; :::; y k sa miejscami zerowymi funkcji g, y i (c; d), i = ; :::; k, to dzielac zbiór na zbiory (a; b) (c; y ) ; (a; b) (y ; y ) ; :::; (a; b) (y k ; d) mo zemy na ka zdym z nich znaleźć rozwiazanie równania (.3) wyra zone wzorem (.4). Ponadto funkcje sta e ' k (x) = y i, i = ; :::; k sa rozwiazaniami szczególnymi równania (.3). e nicja. Niech f : (a; b)! R b edzie funkcja ciag a. Równanie ró zniczkowe postaci y y 0 = f (.5) x nazywamy równaniem jednorodnym wzgl edem x i y. 6

. RÓWNANIA RÓ ZNICZKOWE ZWYCZAJNE Niech = f(x; y) : a < y x < b ^ x > 0g; = f(x; y) : a < y x < b ^ x < 0g: Poszukujemy krzywych ca kowych równania (.5) w zbiorze = [. Twierdzenie.3 Funkcja ' : (; )! R jest rozwiazaniem równania (.5) wtedy i tylko wtedy, gdy u (x) = '(x) x jest rozwiazaniem równania o zmiennych rozdzielonych u 0 = f (u) x.. Równanie liniowe pierwszego rz edu i równanie Bernoullego Niech p; q : (a; b)! R b ed a funkcjami ciag ymi. e nicja.4 Równaniem liniowym pierwszego rz edu nazywmy równanie postaci u : y 0 + p (x) y = q (x) : (.6) Równaniem jednorodnym odpowiadajacym równaniu (.6) nazywamy równanie Równanie (.6) nazywamy niejednorodnym. y 0 + p (x) y = 0: (.7) Twierdzenie.5 Zbiór rozwiazań równania jednorodnego (.7) jest podprzestrznia liniowa o wymiarze jeden przestrzeni C 0 ((a; b)) (zbiór funkcji ciag ych na przedziale (a; b)). Je zeli P : (a; b)! R jest funkcja pierwotna funkcji p, to funkcja jest baza tej przestrzeni. ' (x) = e P (x) ; x (a; b) Wniosek.6 Ca k a ogólna równania jednorodnego (.7) jest zbiór funkcji ' 0 (x) = Ce P (x), gdzie P jest funkcja pierwotna funkcji p i C jest dowolna sta a. Uwaga.7. Je zeli ' i ' sa rozwiazaniami równania niejednorodnego (.6), to ' ' jest rozwiazaniem równania jednorodnego (.7).. Je zeli ' s jest rozwiazaniem równani niejednorodnego (.6) i ' 0 jest rozwiazaniem równania jednorodnego (.7), to ' s + ' 0 jest rozwiazniem równania (.6). Wniosek.8 Rozwiazaniem ogólnym równania liniowego (.6) jest klasa funkcji ' s + ' 0 ; gdzie ' s jest ca k a szczególna równania (.6) i ' 0 jest ca k a ogólna równania (.7). Metody poszukiwania ca ki szczególnej 7

. RÓWNANIA RÓ ZNICZKOWE ZWYCZAJNE metoda Lagrange a (uzmienniania/wariacji sta ej) Ca k a ogólna równania (.7) jest klasa funkcji ' 0 (x) = e P (x), gdzie P jest jakakolwiek funkcja pierwotna f-cji p. Poszukujemy ca ki szczególnej w postaci ' s (x) = C (x) e P (x) (.8) (w miejscu sta ej C pojawi a sie nieznana funkcja zmiennej x). Skoro ' s ma być ca k a szczególna równania niejednorodnego (.6), to C 0 (x) = q (x) e P (x) i stad Z C (x) = q (x) e P (x) dx: Przyk ad. y 0 + y cos x = e sin x : metoda przewidywań Je zeli fukcja p jest sta a, p (x) = p R, x (a; b), to rozwiazaniem ogólnym równania jednorodnego (.7) sa funkcje postaci ' 0 (x) = Ce px ; C R. Je zeli dodatkowo funkcja q jest postaci gdzie q (x) = e x (W n (x) cos x + m (x) sin x) ; W n, m sa wielomianami zmiennej x odpowiednio stopnia n i m ; pewne sta e, to istnieje rozwiazanie szczególne równania (.6) postaci gdzie ' s (x) = x k e x (R l (x) cos x + S l (x) sin x) ; R l, S l sa wielomianami zmiennej x stopnia l = maxfm; ng 0; + i 6= p k = : ; + i = p Twierdzenie.9 Je zeli ' i : (a; b)! R jest rozwiazaniem równania y 0 + p (x) y = q i (x), P i = ; :::; n, to ' (x) = n ' i (x) jest rozwiazaniem równania i= y 0 + p (x) y = nx q i (x) : e nicja.0 Równaniem ró zniczkowym Bernoullego nazywamy równanie postaci gdzie p; q : (a; b)! R sa funkcjami ciag ymi. i= y 0 + p (x) y = q (x) y r ; r 6= 0 ^ r 6= ; Równanie Bernoullego mo zna sprowadzić do równania liniowego za pomoca podstawienia u (x) = y r (x) : 8

. RÓWNANIA RÓ ZNICZKOWE ZWYCZAJNE. Równania ró zniczkowe zwyczajne rz edu drugiego e nicja. Równaniem ró zniczkowym zwyczajnym rz edu drugiego nazywamy równanie postaci F (x; y; y 0 ; y 00 ) = 0; (.9) gdzie F :! R, R jest zbiorem otwartym i pochodna F wzgl edem ostatniej zmiennej nie jest to zsamo sciowo równa zero oraz y jest niewiadoma funkcja zmiennej x okre slona na pewnym przedziale otwartym. e nicja. Odwzorowanie ' : I! R nazywamy rozwiazaniem równania (.9), je zeli. ' jest funkcja dwukrotanie ró zniczkowalna na I;. (x; ' (x) ; ' 0 (x) ; ' 00 (x)) ; 3. xi F (x; ' (x) ; ' 0 (x) ; ' 00 (x)) = 0: xi e nicja.3 Postać równania ró zniczkowego nazywamy postacia normalna. y 00 = f (x; y; y 0 ) (.0) e nicja.4 Zagadnieniem Cauchy ego (zagadnieniem poczatkowym) nazwyamy zadanie polegajace na znalezieniu rozwiazania ' równania (.9) lub (.0) takiego, ze ' (x 0 ) = y 0 ^ ' 0 (x 0 ) = y 0 0: Równania sprowadzalne do równań pierwszego rz edu F (x; y 0 ; y 00 ) = 0 F (y; y 0 ; y 00 ) = 0 stosujemy podstawienie u (x) = y 0 (x) stosujemy podstawienie y 0 = u (y).. Równanie ró zniczkowe liniowe rz edu II Niech p; q; f : (a; b)! R b eda funkcjami ciag ymi. e nicja.5 Równaniem ró zniczkowym liniowym rz edu II nazywamy równanie postaci Równanie y 00 + p (x) y 0 + q (x) y = f (x) : (.) y 00 + p (x) y 0 + q (x) = 0 (.) nazywamy równaniem jednorodnym odpowiadajacym równaniu (.). Podobnie jak w przypadku równania liniowego rz edu pierwszego wykazuje si e, ze je zeli ' i ' sa rozwiazaniami szczególnymi równania niejednorodnego (.), to ' ' jest rozwiazaniem równania (.); 9

. RÓWNANIA RÓ ZNICZKOWE ZWYCZAJNE je zeli ' jest rozwiazaniem szczególnym równania (.) i jest rozwiazaniem równania (.), to ' + jest rozwiazniem równania (.). Wniosek.6 Ca k a ogólna równania (.) jest rodzina funkcji postaci ' 0 + ' s ; gdzie ' 0 oznacza ca k e ogólna równania jednorodnego (.) i ' s ca k e szczególna równania niejednorodnego (.). e nicja.7 Mówimy, ze funkcje ' ; ' : (a; b)! R sa liniowo zale zne, je zeli istnieja sta e C ; C takie, ze C + C 6= 0 oraz C ' + C ' = 0, tzn. ^ C ' (x) + C ' (x) = 0: x(a;b) Mówimy, ze ' i ' sa liniowo niezale zne, gdy nie sa liniowo zale zne. Twierdzenie.8 Zbiór rozwiazań równania jednorodnego (.) jest podprzestrzenia wymiaru przestrzeni C ((a; b)). Ka zda baz e tej przestrzeni nazywamy uk adem podstawowym ca ek (fundamentalnym uk adem rozwiazań). Rozwiazania ' i ' tworza baz e tej przestrzeni wtedy i tylko wtedy, gdy sa liniowo niezale zne. Wtedy ka zde rozwiazanie ' mo zna zapisać w postaci ' = C ' + C ' ; gdzie C i C sa jednoznacznie wyznaczonymi sta ymi. Twierdzenie.9 Ca ki ' i ' równania (.) sa liniowo niezale zne wtedy i tylko wtedy, gdy ^ W (x) = ' (x) ' (x) ' 0 (x) ' 0 (x) 6= 0: x(a;b) Wyznacznik W (x) nazywamy wrońskianem (wyznacznikiem Wrońskiego). Wniosek.30 Ca k a ogólna równania (.) jest zbiór funkcji postaci ' (x) = C ' (x) + C ' (x) + ' s (x) ; gdzie ' i ' jest uk adem podstawowym ca ek równania (.), C ; C sa dowolnymi sta ymi oraz ' s jest dowolna ca k a szczególna równania niejednorodnego (.). Twierdzenie.3 Je zeli ' : (a; b)! R jest rozwiazaniem równania jednorodnego (.) i ' (x) 6= 0 dla x (a; b), to Z ' (x) = ' (x) ' (x)e P (x) dx; gdzie P (x) jest dowolna funkcja pierwotna funkcji p na (a; b), jest rozwiazaniem równania jednorodnego (.), przy czym ' i ' sa liniowo niezale zne. Metody poszukiwania ca ki szczególnej 30

. RÓWNANIA RÓ ZNICZKOWE ZWYCZAJNE metoda Lagrange a (uzmienniania sta ych) Za ó zmy, ze ' i ' sa liniowo niezale znymi rozwiazaniami równania jednorodnego (.). Poszukujemy rozwiazania szczególnego równania (.) w postaci ' s (x) = C (x) ' (x) + C (x) ' (x) ; gdzie C i C sa pewnymi funkcjami ró zniczkowalnymi na przedziale (a; b). Te niewiadome funkcje mo zna wyznaczyć przez rozwiazanie uk adu równań C 0 (x) ' (x) + C 0 (x) ' (x) = 0 C 0 (x) ' 0 (x) + C 0 (x) ' 0 : (x) = f (x) Zauwa zmy, ze wyznacznikiem tego liniowego uk adu równań jest W (x) = ' (x) ' (x) ' 0 (x) ' 0 (x) : metoda przewidywań Za ó zmy, ze funkcje p i q w równaniu (.) sa sta e; otrzymujemy wtedy y 00 + py 0 + qy = 0; p; q R: (.3) Równaniem charakterystycznym odpowiadajacym równaniu (.3) nazywamy równanie r + pr + q = 0: (.4) Niech = p 4q. Mamy nastepujace przypadki: > 0 wtedy równanie charakterystyczne ma dwa ró zne pierwiastki r, r ; niech ' (x) = e rx ; ' (x) = e rx ; = 0 wtedy równanie (.4) ma jeden podwójny pierwiastek r 0 ; niech ' (x) = e r0x ; ' (x) = xe r0x ; < 0 wtedy równanie (.4) ma dwa pierwiastki zespolone sprze zone r = i, ; R; niech ' (x) = e x cos x; ' (x) = e x sin x: W ka zdym z tych trzech przypadków funkcje ' i ' tworza fundamentalny uk ad rozwiazań równania (.3). Je zeli w równaniu o sta ych wspó czynnikach funkcja f jest postaci y 00 + py 0 + qy = f (x) (.5) f (x) = e x (W n (x) cos x + n (x) sin x) ; gdzie ; R i W n, m sa wielomianami zmiennej x odpowiednio stopnia n i m, to istnieje rozwiazanie szczególne równania (.5) postaci ' s (x) = x k e x (R l (x) cos x + S l (x) sin x) ; gdzie R l, S l sa wielomianami stopnia l = maxfm; ng oraz k f0; ; g oznacza krotność pierwiastka + i równania charakterystycznego r + pr + q = 0: 3

. RÓWNANIA RÓ ZNICZKOWE ZWYCZAJNE.3 Transformata Laplace a e nicja.3 Funkcja zespolona zmiennej rzeczywistej nazywamy dowolne odwzorowanie f : I! C, gdzie I R jest przedzia em. Niech u (t) = Re (f (t)) ; v (t) = Im (f (t)) : Wówczas u; v sa funkcjami rzeczywistymi zmiennej rzeczywistej oraz f (t) = u (t) + iv (t) : Mówimy, ze f jest ciag a (ró zniczkowalna) w punkcie t 0, gdy funkcje u oraz v sa ciag e (ró zniczkowalne) w t 0. e nicja.33 Funkcj e zespolona f zmiennej rzeczywistej nazywamy orygina em, je zeli f spe nia warunki:. f i f 0 sa przedzia ami ciag e dla t [0; ) (tzn. f i f 0 maja skończona ilo sć punktów nieciag o sci pierwszego rodzaju). f (t) = 0 dla t < 0 3. f jest funkcja rz edu wyk adniczego o wska zniku 0, tzn. istnieja sta e M > 0; 0 0 takie, ze ^ jf (t)j < Me 0t : tr e nicja.34 Transformata (przekszta ceniem) Laplace a nazywamy przekszta cenie L, które ka zdemu orygina owi f przyporzadkowuje pewna funkcj e zespolona L [f] zmiennej zespolonej i jest okre slone wzorem L [f] (s) = Z 0 f (t) e st dt; s C Je zeli f jest orygina em o wskaźniku wzrostu 0, to powy zsza ca ka jest bezwzglednie zbie zna w pó p aszczyźnie Re s > 0. Twierdzenie.35 W asno sci transformaty Laplace a.. L [a f + a f ] = a L [f ] + a L [f ], gdzie a ; a C sa dowolnymi sta ymi.. L [f 0 ] (s) = sl [f] (s) f (0 + ), gdzie f (0 + ) = lim t!0 + f (t) : 3. L f (n) (s) = s n L [f] (s) s n f (0 + ) s n f 0 (0 + ) ::: f (n ) (0 + ) : 4. L [ tf (t)] (s) = L [f] 0 (s) : 5. L [f (at)] (s) = a L [f] s a : 6. L [f (t a)] (s) = e as L [f] (s) ; a > 0: 7. L [e t f (t)] (s) = L [f] (s ) : 3