METODA SIŁ - RAMA

Część 0. METODA IŁ - RAMA 0. 0. METODA IŁ - RAMA posób rozwiązywaia zadań metodą sił przeaalizujemy szczegółowo a kokretych przykładach liczbowych. Zadaie Wykoać wykresy sił wewętrzych od obciążeń rzeczywistych układu statyczie iewyzaczalego: P = 5 kn q = 9 kn/m Rys. 0.. Układ rzeczywisty z obciążeiem zewętrzym Układ jest dwukrotie statyczie iewyzaczaly. Wybieramy jede z możliwych układów podstawowych. Odrzucamy myślowo dwie podpory prętowe (pozostawiając jedyie utwierdzeie) i zastępujemy je iewiadomymi siłami X i X. P = 5 kn X X q = 9 kn/m Rys. 0.. Układ podstawowy z iewiadomymi siłami X i X Dobra D., Jambrożek., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., ysak A., Wdowska A.

Część 0. METODA IŁ - RAMA Aby układ te był rówoważy układowi rzeczywistemu ależy go uzupełić o układ rówań kaoiczych opisujących waruek idetyczości kiematyczej: { X X P =0 X X P =0 (0.) W celu obliczeia przemieszczeń δ ik, wykoujemy wykresy mometów od sił jedostkowych przyłożoych kolejo w miejsca iewiadomych X i X, oraz od obciążeia zewętrzego (rys. 0.). Wykresy te azwiemy kolejo M (rys. 0.), M (rys. 0.), MP 0 (rys. 0.5). X X M M Rys. 0.. Wykres mometów od siły jedostkowej przyłożoej w miejsce iewiadomej X Rys. 0.. Wykres mometów od siły jedostkowej przyłożoej w miejsce iewiadomej X 5 5 M P 0 [kn/m] Rys. 0.5. Wykres mometów od obciążeia zewętrzego Mając gotowe wykresy mometów możemy przystąpić do obliczaia współczyików rówań kaoiczych (0.) przy wykorzystaiu metody Maxwella-Mohra. Uwzględiając jedyie momety zgiające przemieszczeie obliczamy ze wzoru: ik = j M i M k ds (0.) Dobra D., Jambrożek., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., ysak A., Wdowska A.

Część 0. METODA IŁ - RAMA Dla uproszczeia całkowaia skorzystamy z umeryczej metody Wereszczagia Mohra [ ] m [ ]=7 [ ] m [ ]=7 = = m [ ]= 8 P 5 [ 9 8 ] knm =8 P [ 5 ] [ Układ rówań kaoiczych przyjmuje postać: 9 8 5 knm ] = 50 { 7 X 8 X 8 =0 8 X 7 X 50 =0 Z rozwiązaia powyższego układu rówań otrzymamy astępujące wyiki: { X = 7, kn X =5, kn Warto przy tym zadaiu zastaowić się ad sesem wprowadzaia iewiadomych w postaci grupy sił. Rys. 0. przedstawia układ podstawowy dla tego zadaia przyjęty jak poprzedio, z tą różicą, że zamiast iewiadomych sił X i X wprowadzoo grupy sił Z i. P = 5 kn Z Z q = 9 kn/m Rys. 0.. Układ podstawowy z iewiadomymi Z i Dobra D., Jambrożek., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., ysak A., Wdowska A.

Część 0. METODA IŁ - RAMA Wykoajmy zatem poowie wykresy mometów, tym razem od grup sił Z i. Wykresy te azwiemy kolejo M' (rys. 0.7) i M' (rys. 0.8). Tym razem układ rówań kaoiczych ma postać: { ' Z ' Z ' =0 P ' Z ' ' P =0 Z Z M ' M ' Rys. 0.7. Wykres mometów od sił jedostkowych przyłożoych w miejsce iewiadomych Z Rys. 0.8. Wykres mometów od sił jedostkowych przyłożoych w miejsce iewiadomych Przyglądając się wykresom M ' i M ' moża zauważyć, że iektóre przemieszczeia będą zerowe. próbujmy zatem sprawdzić czy asze spostrzeżeia są słusze i obliczmy poowie przemieszczeia z układu rówań kaoiczych: ' m =8 ' = =0 ' 8 m =90 ' P = [ 5 ] = 7 knm ' P = 7 [ 5 9 8 ] knm =008 Po podstawieiu do rówań kaoiczych otrzymujemy dwa rówaia z jedą iewiadomą: { 8 Z 0 Z 7 =0 0 Z 90 008 =0 Po rozwiązaiu rówań otrzymujemy wyiki: Dobra D., Jambrożek., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., ysak A., Wdowska A.

Część 0. METODA IŁ - RAMA 5 { Z = kn =, kn Wydaje się, że wyiki są róże, ale aalizując rys. 0. i rys. 0. okazuje się, że iewiadome X i są odpowiedimi sumami zmieych Zi: X =Z =, = 7, kn X =Z =, =5, kn czyli uzyskaliśmy takie same wyiki uikając rozwiązywaia skomplikowaego układu rówań. P = 5 kn 7, kn 5, kn q = 9 kn/m Rys. 0.9. ta obciążeia siłami zewętrzymi oraz adliczbowymi siłami X i X Po otrzymaiu wartości iewiadomych X i X dokoujemy aalizy końcowej zadaia, czyli tworzymy wykresy rzeczywistych sił wewętrzych w układzie podstawowym, obciążoym zewętrzie oraz przez siły X i X (rys. 0.9). Wartości sił wewętrzych możemy określić w oparciu o zasadę superpozycji. umując wykresy mometów w układach podstawowych od obciążeia zewętrzego M 0 P (rys. 0.5) i wykresy jedostkowe M (rys. 0.), M (rys. 0.) przemożoe przez rzeczywiste wartości adliczbowych X i X. Podobie możemy postąpić przy wyzaczaiu sił tących i ormalych : M P =M O P M i X i i= T 0 P =T P T i X i i= N P =N P 0 i N i X i (0.) Dobra D., Jambrożek., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., ysak A., Wdowska A.

Część 0. METODA IŁ - RAMA, 8,, 0, M P [kn/m] 58,8 Rys. 0.0. Wykres mometów rzeczywistych M P Poieważ ie dyspoujemy wykresami ormalych i tących ai w układzie podstawowym, ai w układach od staów X i X, wykresy tych fukcji możemy arysować tradycyjie korzystając z obciążeń a rys. 0.9 lub iaczej, korzystając z wykresu mometów w układzie statyczie iewyzaczalym (rys. 0.0). W tym celu dzielimy układ a pojedycze pomocicze fragmety i dla ich pomocą wyzaczamy wartości sił tących w poszczególych przekrojach. M p [knm] 8, 0, 8, knm 5 kn β α, M p [knm] γ β α γ, knm M P [kn/m], 5, kn 7, kn, knm δ q = 9 kn/m δ 58,8 x 58,8 knm Rys. 0.. Rysuki pomocicze do wykoaia wykresu sił tących Dobra D., Jambrożek., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., ysak A., Wdowska A.

Część 0. METODA IŁ - RAMA 7 T = 5, [kn ] T =8,8 [kn ] T = 7, [kn ] T = 9 x 8,8 _ -7, + _ -5, T P [kn] +,0 Rys. 0.. Wykres rzeczywistych sił tących T P Wartości sił ormalych moża wyzaczyć rówoważąc węzły układu (rówowaga sił w węzłach) 7, kn 8,8 kn N δ Rys. 0.. Rówowaga sił w węźle ramy Y =0 N = kn N P [kn] -,0 _ Rys. 0.. Wykres rzeczywistych sił ormalych N P Dobra D., Jambrożek., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., ysak A., Wdowska A.

Część 0. METODA IŁ - RAMA 8 0.. prawdzeia poprawości obliczeń 0... prawdzeie globale prawdzeie to polega a zbudowaiu pewego fikcyjego wykresu mometów M, będącego sumą wszystkich wykresów jedostkowych ( M, M,..., M i ): M = M i (0.) i= Na podstawie tak sporządzoego wykresu obliczamy współczyik δ ze wzoru: M (0.5) Okazuje się że wartość współczyika δ rówa jest sumie wszystkich współczyików macierzy podatości: Moża to udowodić w astępujący sposób: = i = k= ik (0.) M M M M M M M M M M... M M... M... M... =... = ik i = k= M M M M M M = W te sposób otrzymaliśmy możliwość sprawdzeia poprawości wyliczeń wszystkich uzyskaych współczyików δ ik (z pomiięciem Δ ip ). Jeżeli powyższa rówość jest spełioa przeprowadzoe dotychczas obliczeia są prawidłowe. Jeżeli ie, to lokalizujemy błąd sprawdzeiem lokalym. 0... prawdzeie lokale prawdzeie to, zwae także wierszowym lub kolumowym, polega a zlokalizowaiu błędu, przez odrębe rozpatrywaie elemetów daego wiersza macierzy podatości (lub daej kolumy, bo macierz ta jest symetrycza). umowaia te wyrażoe są wzorem: Dobra D., Jambrożek., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., ysak A., Wdowska A.

Część 0. METODA IŁ - RAMA 9 is M i M ds= ik (0.7) k= Gdzie i to umer wykresu jedostkowego (dla Xi ) oraz umer sprawdzaego wiersza macierzy. prawdzeie poprawości wartości obliczeń wyrazów wolych Δ ip przeprowadza się wzorem: P M 0 M P 0 ds= ip (0.8) i= Dowód a skuteczość zależości (0.7) i (0.8) jest aalogiczy jak dla sprawdzeia globalego. Po zlokalizowaiu i poprawieiu błędu przystępujemy do dalszej aalizy wyików. 0... prawdzeie wartości iewiadomych sił prawdzeie to polega a podstawieiu wyzaczoych wielkości Xk do rówań kaoiczych i stwierdzeiu, czy układ rówań jest spełioy. 0... prawdzeie statycze To sprawdzeie mówi am, czy przy wyzaczoych siłach wewętrzych spełioe są waruki statyczej rówowagi (ΣX=0, ΣY=0, ΣM=0). Polega oo a wykazaiu, że spełioe są rówaia rówowagi dla całości układu jak rówież dla wybraych jego części. Warto zazaczyć, że sprawdzeie to ie bada poprawości wyliczoych X k, a jedyie sprawdza poprawość wykresów sił wewętrzych od obciążeń zewętrzych i adliczbowych (iekoieczie prawidłowych). 0..5. prawdzeie kiematycze prawdzeie to jest ajważiejsze, gdyż tak aprawdę to dopiero oo mówi am czy uzyskae wyiki są prawidłowe. Polega oo a wykazaiu, że dla wybraych puktów (a ogół puktów, które ie dozają przemieszczeń w układzie statyczie iewyzaczalym) przemieszczeia są rówe wartościom rzeczywiście tam występującym. Zagadieie wyzaczaia przemieszczeń w układach statyczie iewyzaczalych wydaje się stosukowo złożoe, gdyż zgodie z uiwersalą zasadą pracy wirtualej w celu określeia przemieszczeia, ależy zaleźć wykresy sił wewętrzych w układzie statyczie iewyzaczalym zarówo dla stau rzeczywistego jak i wirtualego. j = M P M Żeby uzyskać wykres mometów od obciążeń zewętrzych trzeba było rozwiązać układ rówań kaoiczych. Dobra D., Jambrożek., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., ysak A., Wdowska A.

Część 0. METODA IŁ - RAMA 0 k= ik X k ip =0 (0.9) Podobie w celu stworzeia wykresu mometów wirtualych w układzie statyczie iewyzaczalym musimy ajpierw wyzaczyć reakcje adliczbowe: k= ik X k ip =0 ip Obliczamy możąc wykres ze stau X i wykres mometów od obciążeia wirtualego w układzie podstawowym. 0.. Twierdzeia redukcyje W celu obliczeia dowolego przemieszczeia w układzie statyczie iewyzaczalym ależy wykorzystać zasadę prac wirtualych wprowadzając do rówaia fukcje sił wewętrzych, wyikających z obciążeia wirtualego oraz z obciążeia rzeczywistego. Jedak moża jedą z tych fukcji (wirtualą lub rzeczywistą) wyzaczyć stosując dowoly układ podstawowy (statyczie wyzaczaly). = M P M M = P M 0 M = 0 P M (0.0) Zadaie Wyzaczyć przemieszczeie pioowe puktu zajdującego się w miejscu przyłożeia siły P (rys. 0.) stosując trzy róże układy podstawowe (statyczie wyzaczale) dla obciążeia wirtualego. a) Przy wykorzystaiu zależości (0.0) do rozwiązia potrzebe am będą dwa wykresy: wcześiej sporządzoy wykres mometów rzeczywistych M P z rys. 0.0, oraz wykres mometów w przyjętym układzie podstawowym obciążoym siłą wirtualą (po kieruku poszukiwaego przemieszczeia)., 8,, 0, M P [kn/m] 58,8 M 0 Przemieszczeie wyzaczamy korzystając z twierdzeia redukcyjego: Dobra D., Jambrożek., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., ysak A., Wdowska A.

Część 0. METODA IŁ - RAMA P = M P M 0 P [ 0, 8, ] 0, =9, b) Obliczamy przemieszczeie po przyjęciu iego układu podstawowego dla obciążeia wirtualego, 8,, M P [kn/m] 0, M 0 58,8 Przemieszczeie wyzaczoe ze wzoru (0.0) ma wartość : P = M P M 0 P [ 8, 0, ], =9, c) Na koiec sprawdzamy rachuki dla jeszcze iego układu podstawowego:, 8,, M P [kn/m] 0, M 0 58,8 Wartość przemieszczeia wyzaczamy możąc i całkując powyższe wykresy : P = M P M 0 P [ 8, ] 0, [ 58,8, 9 8 ] =9, Dobra D., Jambrożek., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., ysak A., Wdowska A.

Część 0. METODA IŁ - RAMA We wszystkich przypadkach otrzymaliśmy idetycze wartości przemieszczeń co dowodzi, że układ podstawowy może być przyjęty dowolie. 0... Dowód pierwszego twierdzeia redukcyjego Dowód twierdzeia przytoczymy uwzględiając w obliczeiach przemieszczeń jedyie wpływ mometów zgiających. próbujemy dowieść prawdziwości twierdzeia: M P M M = P M 0 (0.) Zgodie z zasadą superpozycji moża zapisać, że : M P =M P 0 X M... X M M =M 0 X M... X M (0.) Fukcje M p i M podstawiamy do wyrażeia pod pierwszą całką: M P M = M 0 P X M X... X M M 0 X M X... X M = =M 0 M 0 P X M X... X M X M 0 P M X M... X M M X M 0 P X M X... X M M... X M 0 P M X M M M... M X (0.) Biorąc pod uwagę, że całka z iloczyu mometów podzieloego prze sztywość jest odpowiedim przemieszczeiem : = = = M M M M M M M M (0.) (0.5) Dobra D., Jambrożek., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., ysak A., Wdowska A.

Część 0. METODA IŁ - RAMA P P P 0 M M P 0 M M P 0 M M P (0.) Wykorzystując to we wzorze (0.) zapiszemy: M j P M = X X X.. X P X X X... X P X X X... X P M 0 M P (0.7) Na mocy rówań kaoiczych metody sił, wartości w awiasach są rówe zeru. Ostateczie twierdzeie (0.) zostało udowodioe. j M M M P M 0 (0.8) 0... Dowód drugiego twierdzeia redukcyjego W celu obliczeia dowolego przemieszczeia w układzie statyczie iewyzaczalym, wystarczy rozwiązać układ te od obciążeia wirtualego, zaś rzeczywisty sta obciążeń określić dla dowolego układu podstawowego statyczie wyzaczalego. j M P M 0 M P M (0.9) Warto zazaczyć, że dzięki twierdzeia redukcyjemu w rozważaym układzie moża przeprowadzić bardzo dużo sprawdzeń kiematyczych, gdyż możemy przyjąć wiele różych układów podstawowych. Reasumując, kotrole kiematyczą ajlepiej przeprowadzać stosując iy układ podstawowy iż wykorzystyway przy liczeiu iewiadomych, poieważ efektem tego sprawdzeia byłoby tylko wykazaie poprawości rówaia kaoiczego. Uwzględiając w obliczeiach przemieszczeń jedyie wpływ mometów zgiających udowodimy twierdzeie redukcyje w postaci: j M P M 0 M P M Dobra D., Jambrożek., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., ysak A., Wdowska A.

Część 0. METODA IŁ - RAMA Zgodie z zasadą superpozycji momet w układzie statyczie iewyzaczalym jest rówy: M P =M P 0 X M... X M M =M 0 X M... X M Fukcje M P i M podstawiamy do wyrażeia podcałkowego: M P M = M 0 P X M... X M M 0 P X M X.... X M = =M 0 p M 0 X M... X M X M 0 M X M... X M M M 0 X M... X M M... X M 0 M X M M M... M X (0.0) Biorąc pod uwagę wyrażeia (0.), (0.5), (0.) oraz (0.0) otrzymamy : M j P M ds=x X X.. X P X... X P X X X... X P M 0 P M (0.) Na mocy rówań kaoiczych metody sił, wartości w awiasach są rówe zeru. Po ich wyelimiowaiu otrzymujemy twierdzeie redukcyje: j M P M M 0 P M Zadaie Dokoać sprawdzeia obliczeń układu statyczie iewyzaczalego z rys. 0. Obliczoe wcześiej przemieszczeia (współczyiki macierzy podatości) mają wartość: 8 = =0 = 90 P = 7 P 008 Dobra D., Jambrożek., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., ysak A., Wdowska A.

Część 0. METODA IŁ - RAMA 5 a) prawdzeie globale umujemy wykresy Z i Z aby otrzymać wykres Ms. Z Z M ' M ' M s Rys. 0.7. Zestawieie wykresów mometów od stau Z i Przy wykorzystaiu wzoru (0.5) otrzymujemy wartość współczyika δ. =08 Aby sprawdzić asze obliczeia według (0.) musimy zaleźć jeszcze drugą stroę rówaia: i = k= ik = 8 0 0 90 08 prawdzeie globale jest spełioe poieważ : = i= ik k= 08 =08 b) prawdzeia lokale Z Z M ' M s Rys. 0.8. Wykres mometów w staie M' i M s Dobra D., Jambrożek., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., ysak A., Wdowska A.

Część 0. METODA IŁ - RAMA Dla rozważaego przykładu suma współczyików pierwszego wiersza macierzy podatości wyosi: k= k = 8 0 8 Aby sprawdzić obliczeia musimy zaleźć jeszcze wartość współczyika δ. W tym celu ależy przemożyć wykresy M' i M. Poieważ: M M ds [ i 8 = k 8 k= ] =8 Rówaie (0.7) jest spełioe dla wiersza pierwszego. W celu sprawdzeia kolumy wyrazów wolych, zgodie ze wzorem (0.8) obliczamy sumę: k= k P = P P = 7 008 = 9 A astępie współczyik Δ P a podstawie wykresów: 5 5 M P [kn/m] M s P Rys. 0.9. Wykres mometów w staie P i M s M M P ds [ 5 9 8 ] = 9 Rówaie (0.8) jest spełioe poieważ: M P M P 9 = 9 ds= ip i= Dobra D., Jambrożek., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., ysak A., Wdowska A.

Część 0. METODA IŁ - RAMA 7 c) prawdzeie wartości iewiadomych sił Aby upewić się, że układ rówań został poprawie rozwiązay ależy wartości iewiadomych Xi podstawić do rówań: {8 0, 7 =0 0 90, 008 =0 { 0 =0 0 =0 Wartości adliczbowych spełiają układ rówań. d) prawdzeie statycze Dyspoując wszystkimi siłami wewętrzymi odciamy myślowo ramę od podpór i przykładamy siły przypodporowe (reakcje). K P = 5 kn 7, kn 5, kn q = 9 kn/m kn 58,8 knm kn Rys. 0.0. Rama zawieszoa a wewętrzych siłach przypodporowych Obciążeie zewętrze wraz z reakcjami musi spełiać rówaia rówowagi. e) prawdzeie kiematycze X : 9 =0 0=0 Y : 7, 5 5, =0 0=0 M : 58,8 7, 9 5 5, =0 0=0 korzystamy z twierdzeia redukcyjego i obliczymy przemieszczeie możąc rzeczywisty wykres mometów M P przez wykres wirtualy utworzoy w owym układzie podstawowym. Dobra D., Jambrożek., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., ysak A., Wdowska A.

Część 0. METODA IŁ - RAMA 8 Żeby dokoać sprawdzeia musimy policzyć zae przemieszczeie. W układzie podstawowym a rys. 0. zamy przemieszczeie pioowe i kąt obrotu przekroju w dolej podporze. W rzeczywistości jest tam utwierdzeie, tak więc wszystkie przemieszczeia są rówe zero. Liczymy kąt obrotu przekroju (przykładamy wirtualy momet):, 8,, 0, M P [kn/m] 0,5 0,5 58,8 M 0 [-] Rys. 0.. Wykresy mometów zgiających od: obciążeia rzeczywistego w układzie rzeczywistym (statyczie iewyzaczalym) oraz od jedykowej siły w iym układzie podstawowym Uwzględiając tylko wpływ mometów otrzymujemy: Wyik jest poprawy. [, 8, 0, 0, [ 58,8, 9 8 ] = 0 =0 rad ] 0.. Metoda sił dla iych typów obciążeń Podstawową różicą pomiędzy obliczaiem układów statyczie wyzaczalych a iewyzaczalych jest to, że w tych drugich obciążeia takie jak: temperatura, osiadaie czy błąd motażu wywołują obok przemieszczeń kostrukcji także siły wewętrze. Dlatego obciążeia te ależy uwzględić w wyrazach wolych w rówaiach kaoiczych, tz. δ ik pozostaje bez zmia, atomiast w zależości od obciążeia Δ ip zastępuje się astępującymi wielkościami: 0... Wpływ temperatury gdzie : α t - współczyik rozszerzalości termiczej, Δt - różica temperatur, i t = t t h M i N i t t 0 (0.) Dobra D., Jambrożek., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., ysak A., Wdowska A.

Część 0. METODA IŁ - RAMA 9 t o h - rówomiere ogrzaie, - wysokość przekroju, Mi i Ni - wykresy sił wewętrzych dla stau Xi =, α t, Δ t, t o są takie same jak dla układów statyczie wyzaczalych. Rówaie kaoicze przyjmie postać: k= ik X k it =0 (0.) 0... Wpływ osiadaia podpór gdzie: Δ i - przemieszczeie liiowe podpory, φ i - przemieszczeie kątowe podpory, i = i Ri i Mi - reakcje po kierukach przemieszczaych podpór. R i i M i i (0.) i Rówaie kaoicze przyjmie postać: k= ik X k i =0 (0.5) 0... Wpływ błędów motażu gdzie: i m = i bim - błąd w wymiarze elemetu (p. pręt zbyt długi), B im - siła wewętrza po kieruku błędego wymiaru (p. siła ormala). Rówaie kaoicze przyjmie postać: Uwaga! k= B i m b i m (0.) ik X k i m =0 (0.7) Gdy wpływem zewętrzym jest temperatura, osiadaie podpór lub błędy motażu zadaie jest rozwiązywale tylko przy zaym, EA, GA. Wyrazy wole Δit, ΔiΔ, Δim ie są wyrażoe przez sztywość dlatego też ie moża pomiąć sztywości we współczyikach δik. Dobra D., Jambrożek., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., ysak A., Wdowska A.

Część 0. METODA IŁ - RAMA 0 Zadaie Obliczyć siły wewętrze w aalizowaej ramie, wywołae działaiem temperatury (pomiiemy wpływ rówomierego ogrzaia) oraz osiadaiem podpór. -5 o C 5 o C 5 o C 0,05 0,0 rad Rys. 0.. Układ rzeczywisty obciążoy temperaturą i osiadaiem podpór Do obliczeń przyjmujemy układ podstawowy, który daje prostszą postać macierzy podatości: -5 o C Z 5 o C 5 o C Z 0,0 rad 0,05 W zadaiu przyjęto: Rys. 0.. Układ podstawowy z iewiadomymi Z i współczyik rozszerzalości termiczej jak dla stali: ramę wykoaą z profili stalowych rygiel ramy I00 słup ramy I00 o astępujących parametrach: t =, 0 5 C Dobra D., Jambrożek., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., ysak A., Wdowska A.

Część 0. METODA IŁ - RAMA E=0,0 GPa=0,0 0 kn m J x =0 0 8 m E J =08, kn m Poieważ układ podstawowy przyjęto jak w poprzedim zadaiu możemy skorzystać z wykoaych wcześiej wykresów: Z Z M ' M ' Rys. 0.. Wykresy mometów zgiających w układzie podstawowym pochodzące kolejo od: siły jedykowej przyłożoej w miejsce iewiadomej Z i siły jedykowej przyłożoej w miejsce iewiadomej i wcześiej obliczoych wartości iektórych współczyików: m =8 = =0 8 m =90 a) Obciążeie teperaturą W układzie rówań kaoiczych: { Z t =0 Z t =0 brakuje jeszcze wyrazów wolych. Obliczamy je według wzoru (0.) pomijając wpływ t 0., 0 5 t = 0,0 0 0 =0,089 m, 0 5 t = 0,0 0 0 0 =0,07 m Jeżeli cały układ rówań pomożymy przez współczyiki δik będą liczbami, a wyrazy wole będą miały wartość: Dobra D., Jambrożek., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., ysak A., Wdowska A.

Część 0. METODA IŁ - RAMA E J t =0,089 08, =8, kn m E J t =0,07 08, =75,87 kn m Układ rówań kaoiczych przyjmie więc postać: { 8 Z 8, =0 90 75,87 =0 Z powyższego układu rowań otrzymao wyiki: { Z =, 9 kn = 0,88 kn W miejscu usuiętych podpór działają odpowiedie sumy sił Zi: Z = 5,7 kn Z =,79 kn Aby uzyskać wykres mometów od temperatury obciążamy ramę tylko siłami adliczbowymi Z i.,0,7 5,7 kn 5,08,79 kn M t [knm] Rys. 0.5. Wykresy mometów zgiających od temperatury w układzie rzeczywistym (statyczie iewyzaczalym) Kotrolę kiematyczą przeprowadzimy możąc wykres rzeczywisty M t przez wykres wiryualy M 0. Dobra D., Jambrożek., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., ysak A., Wdowska A.

Część 0. METODA IŁ - RAMA 0,5 0,5 M 0 [-] Rys. 0.. Wykresy mometów zgiających od: jedykowej siły wirtualej w iym układzie podstawowym Licząc wartość przemieszczeia ależy pamiętać o wpływie temperatury (wpływ t0 pomiięto): = t t h M 0 M t M 0 (0.8) Wykres mometów M t jest poprawy jeśli przemieszczeie bedzie zerowe.,0, 0 5 0 0,0 5,08, 0 5 0 0,0 =0,00000 0 rad,7, 0 5 0 0,0 Wykresy sił tących i ormalych rówież wykoujemy tylko od sił Zi. T t [kn] _ -5,7,79 + Rys. 0.7. Wykres rzeczywistych sił tących T t Dobra D., Jambrożek., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., ysak A., Wdowska A.

Część 0. METODA IŁ - RAMA -9,58 _ N t [kn] Rys. 0.8. Wykres rzeczywistych sił ormalych N t Warto zwrócić uwagę, że wykresy mometów zgiających odłożoe są po stroie zimiejszej, co wyika z istieia (działaia) dodatkowych więzów. W układach statyczie wyzaczalych zawsze rozciągae były włóka cieplejsze. b) Obciążeie osiadaiem podpór Podobie jak w przypadku temperatury do rozwiązaia układu rówań brakuje wartości wyrazów wolych ΔiΔ. Obliczamy je a podstawie pracy reakcji w staach jedostkowych. Z Z 0,0 rad 0,05 0,0 rad 0,05 M = 0 M = R = R = 0 Rys. 0.9. Reakcje w podporach od staów Z oraz = 0,05 =0,05 m = 0,05 0,0 =0,05 m Cały układ rówań możymy przez, stąd wartości wyrazów wolych: E J =0,05 08, =,9 [kn m ] E J =0,05 08, =98,88 [kn m ] Układ rówań kaoiczych przyjmie więc postać: Dobra D., Jambrożek., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., ysak A., Wdowska A.

Część 0. METODA IŁ - RAMA 5 { 8 Z,9 =0 90 98,88 =0 Z powyższego układu rowań otrzymao wartości adliczbowych sił: { Z =,7 kn =,0 kn A po zsumowaiu wartości adliczbowych reakcji: Z = 5,878 kn Z =,70 kn Obciążając układ podstawowy tylko wyliczoymi siłami możemy arysować wykres mometów zgiających od obciążeia rzeczywistego w układzie rzeczywistym (statyczie iewyzaczalym). 7,,0 5,878 kn,,70 kn M Δ [knm] Rys. 0.0. Wykres mometów zgiających od obciążeia osiadaiem podpór w układzie rzeczywistym Kotrola kiematycza sprawdzeie wykresu mometów MΔ. Aby wyzaczyć dowole przemieszczeie w układzie, którego podpory osiadają trzeba uwzględić pracę reakcji wirtualych a rzeczywistych przemieszczeiach. Dobra D., Jambrożek., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., ysak A., Wdowska A.

Część 0. METODA IŁ - RAMA 0,5 0,5 0,05 0,0 rad M 0 [-] Rys. 0.. Układ rzeczywisty podday obciążeiu osiadaiem; wykres mometów zgiających od jedykowej siły wirtualej w iym układzie podstawowym Korzystamy z wzoru: = R 0 M M 0 dx (0.9) Podstawiając wartości adliczbowe otrzumujemy przemieszczeie o wartości bliskiej zeru co zaczy, że sprawdzay wykres jest poprawy. 7,,0, 0,0 0,05 = 0,00000 rad 0 rad Wykresy sił tących i ormalych w układzie rzeczywistym powstają tylko od sił Zi. _,70 + -5,878 T Δ [kn] Rys. 0.. Wykres rzeczywistych sił tących T Δ Dobra D., Jambrożek., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., ysak A., Wdowska A.

Część 0. METODA IŁ - RAMA 7-7,8 _ N Δ [kn] Rys.0.. Wykres rzeczywistych sił ormalych N Δ 0.. Projektowaie kostrukcji metodą sił Zaprojektować kostrukcję tz. przyjąć przekroje elemetów (p. prętów, słupków rygli ram, itp.) w taki sposób by spełić waruek dopuszczalości, ie przekroczyć ośości elemetów lub dopuszczalych ugięć. gdzie: M eks. - maksymaly momet zgiający w elemecie, W σdop. f eks. f dop. - wskaźik wytrzymałości przekroju, - dopuszczale aprężeia przy zgiaiu, - ekstremale ugięcie elemetu, - dopuszczale ugięcie (przemieszczeie). M eks. W dop. (0.0) f eks. f dop. Przystępując do projektowaia zakładamy pewe przekroje elemetów. Jeżeli po przeprowadzeiu obliczeń okazuje się, że przyjęte przekroje ie spełiają aszych założeń wytrzymałościowych, ekoomiczych bądź iych, to jesteśmy zmuszei zmieić wymiary przekroi. Przyjmując w kostrukcji ie przekroje musimy poowie rozwiązać układ metodą sił, poieważ zmiaa sztywości prętów pociągęła za sobą zmiaę macierzy podatości (δ ik ) oraz wektora wyrazów wolych (Δ ip ) w rówaiach kaoiczych. Po dokoaiu obliczeń poowie sprawdzamy, czy przyjęte do obliczeń przekroje prętów w drugim etapie spełiają arzucoe kryteria. Jeżeli ie, to dokoujemy kolejej zmiay przekrojów prętów i powtarzamy obliczeia, aż do skutku. Reasumując kostrukcję statyczie iewyzaczalą projektujemy metodą kolejych przybliżeń (iteracyjie rozwiązując w każdym kroku układ statyczie iewyzaczaly). Dobra D., Jambrożek., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., ysak A., Wdowska A.