Poniższe zdni pochodzą ze zbiorów: ) J. Rutkowski, Algebr bstrkcyjn w zdnich b) M. Bryński, J. Jurkiewicz, Zbiór zdń z lgebry Do kolokwium proszę też przejrzeć zdni z ćwiczeń. Wszystkim życzę Wesołych Świąt :-) Zdnie 1 Sprwdź, że dziłnie określone w zbiorze R wzorem b = + b + 1 jest przemienne i łączne orz to, że m ono element neutrlny. Wyzncz te elementy zbioru R, dl których istnieje element odwrotny i przedstw ten element odwrotny do w zleżności od. Zdnie 2 Sprwdź, że dziłnie określone w zbiorze R wzorem b = b + + b jest przemienne i łączne orz to, że m ono element neutrlny. Wyzncz te elementy zbioru R, dl których istnieje element odwrotny i przedstw ten element odwrotny do (o ile istnieje) przez. Zdnie 3 Zbdj, czy dziłnie określone w zbiorze Q wzorem b = + b 2 i czy m ono element neutrlny. jest łączne Zdnie 4 Dziłnie jest określone w zbiorze R wzorem b = ( 3 + 3 b) 3. Sprwdź, czy jest ono przemienne i łączne. Znjdź element neutrlny tego dziłni. Wyzncz elementy odwrotne do tych liczb R, które tki element mją. Zdnie 5 Zbdj, czy relcj równoległości określon w zbiorze R 2 wektorów n płszczyźnie jest zgodn z dziłniem: ) dodwni wektorów b) mnożeni wektorów przez liczby rzeczywiste. Zdnie 6 Niech n N. Udowodnij, że relcj równowżności określon w zbiorze Z przez wrunek b m b jest zgodn z dodwniem i mnożeniem w zbiorze Z. Zdnie 7 Sprwdź, że zbiór Z jest grupą względem dziłni określonego w zbiorze Z wzorem { + b dl 2Z b = b dl 2Z Zdnie 8 Sprwdź, czy zbiór R wrz z dziłniem b = + b + 5 tworzy grupę. Zdnie 9 Sprwdź, czy zbiór R wrz z dziłniem b = b b + 2 tworzy grupę.
Zdnie 10 Sprwdź, że zbiór Z tworzy grupę belową względem dziłni b = ( 1) b + ( 1) b. Zdnie 11 Sprwdź, że zbiór M mcierzy postci grupę belową względem mnożeni mcierzy. [ ( 1) 0 ( 1) Zdnie 12 Niech mcierze 1, ĩ, j, k SL(2, C) będą określone nstępująco: [ ] [ ] [ ] [ ] 1 0 i 0 0 1 1 =, ĩ =, j =, 0 1 0 i 1 0 k 0 i =. i 0 ], gdzie Z tworzy Zbuduj tbelkę mnożeni mcierzy w zbiorze Q 8 pr (Q 8, ) jest grupą. := ± 1, ±ĩ, ± j, ± k, nstępnie sprwdź, że Zdnie 13 Niech A bedzie zbiorem wszystkich przedziłów domkniętych <, b > n prostej, gdzie b. Sprwdź, czy A jest grupą względem dziłni określonego w A wzorem <, b > < c, d >=< + c, b + d >. Zdnie 14 Sprwdź, że zbiór C 1 = {z C : z = 1} jest grupą względem mnożeni liczb. Zdnie 15 Utwórz tbelkę dziłni w podnej grupie ) Z 2 Z 2, b) { 1, 1} Z 3. Zdnie 16 Wyzncz wszystkie podgrupy grupy Z 10. Zdnie 17 Wyzncz wszystkie podgrupy grupy Φ(10) Zdnie 18 Niech H 1, H 2 bedą podgrupmi grupy belowej G. Udowodnij, że zbiór H 1 + H 2 := {h 1 + h 2 : h 1 H 1, h 2 H 2 } jest podgrup grupy G orz, że podgrup t jest njmniejszą (w sensie inkluzji) podgrup grupy G zwierjącą kżdą z podgrup H 1, H 2. Zdnie 19 Niech S bedzie niepustym podzbiorem grupy G. Wykż, że relcj określon w zbiorze G wzorem b b 1 S jest relcją równowżności wtedy i tylko wtedy, gdy S jest podgrup grupy G Zdnie 20 Wyzncz wrstwy grupy Z 12 względem poniższej jej podgrupy H: ) {0, 4, 8}, b) {0, 2, 4, 6, 8, 10}.
Zdnie 21 Wyzncz wrstwy grupy Φ(13) względem poniższej jej podgrupy H: ) {1, 5, 8, 12}, b) {1, 3, 4, 9, 10, 12}. Zdnie 22 Wyzncz wrstwy grupy Φ(36) względem poniższej jej podgrupy H: ) {1, 13, 25}, b) {1, 17, 19, 35}, c) {1, 5, 13, 17, 25, 29}. Zdnie 23 Opisz wrstwy grupy C względem jej podgrupy R + że Zdnie 24 Niech H i F będą trkimi podgrupmi grupy skończonej G, że H F. Wykż, (G : H) = (G : F )(F : H). Zdnie 25 Wskż elementy grupy ilorzowej Φ(21)/H, gdzie H = {1, 8, 13, 20} orz zbuduj tbelkę dziłni w tej grupie. Zdnie 26 Wskż elementy grupy ilorzowej Φ(27)/H, gdzie H = {1, 8, 10, 17, 19, 26} orz zbuduj tbelkę dziłni w tej grupie. Zdnie 27 Wskż elementy grupy ilorzowej Φ(20)/H, gdzie H = {1, 19} orz zbuduj tbelkę dziłni w tej grupie. Zdnie 28 Wskż elementy grupy ilorzowej Z/4Z orz zbuduj tbelkę dziłni w tej grupie. Zdnie 29 Wskż elementy grupy ilorzowej Z/2Z orz zbuduj tbelkę dziłni w tej grupie. Zdnie 30 Sprwdź, że zbiór H = {I, I} jest dzielnikiem normlnym grupy GL(n, K). Symbol I ozncz tu mcierz jednostkową, GL(n, K)-zbiór wszystkich mcierzy nieosobliwych stopni n o elementch z pierścieni K. Zdnie 31 Sprwdź, że jeśli S jest niżej podnym podzbiorem zbioru R i H = {λi GL(n, R) : λ S}, to H jest dzielnikiem normlnym grupy GL(n, R). ) R, b) R +, c) Q, d) Q +. Zdnie 32 Sprwdź, czy SL(n, K) jest podgrupą grupy GL(n, K). SL(n, K)-zbiór wszystkich mcierzy stopni n o elementch z pierścieni K i wyznczniku równym 1. Zdnie 33 Sprwdź, że jeśli S jest niżej podnym podzbiorem zbioru R GL(n, R) : deta S}, to H jest dzielnikiem normlnym grupy GL(n, R). i H = {A
) R +, b) Q, c) Q +. Zdnie 34 Udowodnij, że zbiór L wszystkich funkcji f : R R, które są postci f(x) = x + b, gdzie R, b R, tworzy grupę przeksztłceń zbioru R. Wykż, że podzbiór H grupy L utworzony przez wszystkie funkcje postci f(x) = x, gdzie R jest podgrupą lecz nie jest dzielnikiem normlnym grupy L ntomist podzbiór F grupy L utworzony przez wszystkie funkcje postci f(x) = x + b jest dzielnikiem normlnym grupy L. Zdnie 35 Niech G będzie grupą i niech H będzie podgrupą grupy G orz F będzie dzielnikiem normlnym grupy G. Wykż, że zbiór jest podgrupą grupy G. HF := {hf : h H, f F } Zdnie 36 Niech G będzie grupą i niech F będzie podgrupą grupy G orz H będzie dzielnikiem normlnym grupy G. Wykż, że zbiór jest podgrupą grupy G. HF := {hf : h H, f F } Zdnie 37 Wykż, że jeśli H orz F są dzielnikmi normlnymi grupy G, to również zbiór jest dzielnikiem normlnym grupy G. HF := {hf : h H, f F } Zdnie 38 Udowodnij, że kżd grup cykliczn jest below. Zdnie 39 Dl kżdego Q 8 (ptrz Zdnie 12.) wyzncz podgrupę < > i określ rz. Czy grup Q 8 jest cykliczn? Zdnie 40 Sprwdź, czy dn grup jest cykliczn: ) Φ(5), b) Φ(8), c) Φ(15), d) Φ(30). Zdnie 41 Czy cykliczn jest grup (Z, ), gdzie dziłnie określone jest wzorem b = + b + 5? Zdnie 42 Dl kżdego Z 8 wyzncz podgrupę < > i określ rz. Zdnie 43 Dl kżdego Φ(14) wyzncz podgrupę < > i określ rz. Czy grup Φ(14) jest cykliczn? Zdnie 44 Udowodnij, że dl dowolnych, b G zchodzi równość rz = rz(b 1 b).
Zdnie 45 Udowodnij, że dl dowolnych, b, c G zchodzi równość rz(bc) = rz(bc) = rz(cb). Zdnie 46 Udowodnij, że kżd grup, której rząd jest liczb pierwszą, jest cykliczn. Zdnie 47 Udowodnij, że jeśli rz = n i n Z, to m = e wtedy i tylko wtedy, gdy n m. Zdnie 48 Niech G będzie dowolną grupą i niech G. Wykż, że jeśli rz = n orz d n, to rz d = n d. Zdnie 49 Niech G będzie dowolną grupą cykliczną generowną przez elenent rzędu n. Udowodnij, że element k jest genertorem grupy G wtedy i tylko wtedy, gdy liczby k i n są wzglednie pierwsze. Zdnie 50 Niech i b będą tkimi elementmi grupy G, że b = b orz (rz, rzb) = 1. Udowodnij, że rz(b) = rz rzb. Zdnie 51 Sprwdź, że dl poniższych mcierzy A, B SL(2, Z) mmy rza <, rzb < orz rz(ab) [ = rz(ba) ] = [ : ] 1 2 1 1 A =, B =. 1 1 1 0 Zdnie 52 Udowodnij, że obrz homomorficzny grupy cyklicznej jest grupą cykliczną. Zdnie 53 Udowodnij, że jeśli ϕ : G F jest homomorfizmem grup orz ϕ() = b i rz <, to rzb rz. Zdnie 54 Sprwdź, czy dn funkcj ϕ jest homomorfizmem grup. Jeśli tk, to wyzncz jądro i obrz tego hohomorfizmu. ) ϕ : C C, ϕ(z) = z, b) ϕ : R + R, ϕ() = log, c) ϕ : GL(n, R) R +, ϕ(a) = deta, d) ϕ : GL(2, R) R, ϕ(a) = tra, e) ϕ : R R, ϕ() = 5, f) ϕ : R R, ϕ() = 5, g) ϕ : R R, ϕ() = 3, h) ϕ : M(2, R) R, ϕ(a) = deta. Zdnie 55 Udowodnij, że funkcj ϕ : G G określon wzorem ϕ() = 2 jest homomorfizmem grup wtedy i tylko wtedy, gdy G jest grupą belową. Zdnie 56 Sprwdzić, że funkcj ϕgl(n, R) R określon wzorem ϕ(a) = deta jest epimorfizmem grup. Wyzncz kerϕ. Zdnie 57 Niech G będzie grupą, ϕ : G G G funkcją dną wzorem ϕ((, b)) = b. Udowodnij, że φ jest homomorfizmem grup wtedy i tylko wtedy, gdy G jest grupą belową.
Zdnie 58 Udowodnij, że jeśli funkcj ϕ : G G jest epimorfizmem grup, to kżd podgrup H grupy G jest postci ϕ(h), gdzie H jest odpowiednią podgrupą grupy G. Zdnie 59 Niech funkcj ϕ : G G będzie homomorfizmem grup. Udowodnij, że jeśli H jest dzielnikiem normlnym grupy G, to ϕ 1 (H ) jest dzielnikiem normlnym grupy G. Wywnioskuj stąd, że kerϕ jest podgrupą grupy G. Zdnie 60 Udowodnij, że funkcj ϕ : Z Z określon wzorem ϕ(x) = x 5 jest izomorfizmem grupy (Z, +) n grupę (Z, ), gdzie x y = x + y + 5 dl dowolnych x, y Z. Zdnie 61 Udowodnij, że grupy M(2, R) i R 4 są izomorficzne. Zdnie 62 Udowodnij, że jeśli funkcj ϕ : G G jest izomorfizmem grup, to funkcj ϕ 1 : G G jest izomorfizmem grup. Zdnie 63 Wykż, że ) C <1,3> = C<5,9>, b) C <1,2> = C<4,7>, c) C <0,1> = C<0,3>, d) C <1,2> = C<4,5>. Zdnie 64 Sprwdź, że dny zbiór M mcierzy tworzy grupę względem mnożeni mcierzy. Wykż, że grup t jest izomorficzn z grupą Z. {[ ] } {[ ] } 1 + 1 2 4 ) M = : Z, b) M = : Z. 1 1 + 2 Zdnie 65 Sprwdź, że funkcj ϕ : Z M określon wzorem ϕ() = {[ ( 1) 0 ( 1) ] : Z jest {[ izomorfizmem grupy ] (Z,} ), gdzie b = ( 1) b + ( 1) b n grupę (M, ), gdzie ( 1) M = 0 ( 1) : Z. Zdnie 66 Udowodnij, że dn grup nie jest izomorficzn z grupą Q: ) Z b) Q Zdnie 67 Korzystjąc z twierdzeni o izomorfizmie grup wykż, że: } ) R /{ 1, 1} = R +, b) R /R + = { 1, 1}, c) C/R = R, d) C /C 1 = R +.