PRACE NAUKOWE AKADEII EKONOICZNEJ WE WROCŁAWIU Nr 99 2003 Inwesycje finansowe i ubezpieczenia endencje wiaowe a polski rynek Krzyszof Pionek Akadeia Ekonoiczna we Wrocławiu WERYFIKACJA WYBRANYCH TECHNIK PROGNOZOWANIA ZIENNOCI ANAIZA SZEREGÓW CZASOWYCH. Wsp Zienno insruenów finansowych sała si jedny z waniejszych poj współczesnych finansów. Ogólnie ona powiedzie, e zienno jes iar niepewnoci co do przyszłych zian ceny insruenu finansowego (co do sopy zwrou z danego insruenu), por. (Hull 999; Jajuga 998; Pionek 2002). Jeli wzrasa zienno, ronie prawdopodobieswo, e dany insruen finansowy znacznie zieni swoj cen w przyszłoci. oe by o zarówno korzysna, jak i niekorzysna ziana z punku widzenia posiadacza akiego insruenu. Niepewno a ierzona oe by za pooc rónych iar (Jajuga 999), cho najczciej wykorzysuje si podawane w skali rocznej odchylenie sandardowe sóp zwrou. Znaczenie ziennoci w eorii finansów jes fundaenalne. Wysarczy wsponie o klasycznej eorii porfela zaproponowanej przez arkowiza, odelach wyceny opcji czy zalecanej osanio koncepcji poiaru ryzyka eod value a risk. Z punku widzenia podejowanych decyzji inwesycyjnych najwaniejsz rol odgrywaj prognozy ziennoci. Inwesor zaineresowany jes oszacowanie przyszłego poziou ziennoci, gdy prawidłowe okrelenie (przyszłego) paraeru ziennoci uoliwia zarzdzanie ryzykie inwesycji lub osignicie dochodów (spekulacyjnych bd arbiraowych). Współczesna nauka i prakyka wypracowały wiele eod prognozowania ziennoci insruenów finansowych. Do najwaniejszych grup zaliczy ona: eody opare na analizie szeregów czasowych sóp zwrou dla danych insruenów finansowych, eody opare na analizie oczekiwa uczesników rynku co do kszałowania si w przyszłoci ziennoci zienno iplikowana (eody e opare s na 484
załoeniu o efekywnoci rynku oraz na poprawnoci wybranego odelu wyceny insruenu pochodnego, eody heurysyczne (opare np. na sieciach neuronowych). Najpopularniejsze i najczciej wykorzysywane pozosaj eody zawierajce si w dwóch pierwszych grupach. Szeroki przegld ych eod znale ona w pracach np. Knigha i Sachella (998) oraz Pionka (2002). Brak zgodnoci, kóra z eod pozwala na najlepsze oszacowanie przyszłego poziou ziennoci. Kadego roku s proponowane nowe koncepcje prognozowania ziennoci oraz prezenowane wyniki nowych bada epirycznych (Knigh 998; Balaban 999; Pionek 2002). Dalsza cz pracy powicona jes jedynie wybrany echniko prognozowanie ziennoci na podsawie analizy szeregów czasowych sóp zwrou. W czci epirycznej dokonano weryfikacji wybranych echnik prognozowania ziennoci sóp zwrou indeksu WIG, cen iedzi oraz kursu dolara w kolejnych iesicach kalendarzowych. Dobór analizowanych insruenów finansowych był podykowany odiennyi wła- ciwociai obserwowanyi w szeregach sóp zwrou dla ych insruenów efeky auokorelacji, skupiania ziennoci, dwigni (por. s. 49 oraz szerzej (Pionek 2002)). Niewpliwie na wyniki bada i jako echnik prognozowania wpływa równie odienna organizacja oraz odienne funkcjonowanie rynków dla poszczególnych analizowanych insruenów. Aspek en nie był jednak rozwaany i pozosaje w sferze dalszych, niewpliwie koniecznych, bada auora. Cele bada jes odpowied na pyanie, kóra z prezenowanych echnik prognozowania sprawdzała si do ej pory najlepiej i powinna by wykorzysywana w przyszłoci. 2. Prognozowanie ziennoci analiza szeregów czasowych W niniejszej pracy rozparywane bd jedynie eody opare na analizie szeregów czasowych. Poinie zosan wic rozwaania doyczce ziennoci iplikowanej. W echnikach prognoz oparych na odelach szeregów czasowych wyrónia si dwa podejcia.. Zakłada si, e zienno w kolejnych dniach okresu prognozy jes sała. W przypadku prognozowania redniej ziennoci w zadany okresie (np. dla kolejnego iesica), prowadzi o do przyjcia załoenia, e zienno w cały okresie (kadego dnia) jes aka saa. Jes o podejcie niezgodne z wynikai wielu bada epirycznych (Knigh 998; Tsay 2002), w kórych swierdzono, i w szeregach ziennoci ona wykaza efek groadzenia ziennoci oraz,,efek dwigni'', a ake powrou do redniej (Pionek 2002). O ile podejcie zakładajce sało paraeru ziennoci w cały okresie, dla kórego worzona jes prognoza, jes ju podejcie rzadki w sferze rozwaa naukowych, o yle w prakyce jes jeszcze nadal bardzo czso wykorzysywane (na przykład w odelach wyceny opcji z klasy Blacka-Scholesa). 2. Zakłada si, e zienno warunkowa w kolejnych np. dniach okresu jes zienna i zaley od przeszłych inforacji. W podejciu y wykorzysuje si najczciej szerok ga odeli klasy GARCH (Bollerslev 986; Tsay 2002; Pionek 485
2002), kóre pozwalaj odelowa efek skupiania danych, dwigni, paici w procesie ziennoci, a ake co jes bardzo wane w odniesieniu do jakoci prognoz, pozwalaj odelowa efek powrou do redniej. Ze wzgldu na wyienione własnoci, odele e saj si coraz bardziej popularne w zakresie konsrukcji prognoz, zarówno jednodniowej, jak i redniej ziennoci. W eorii i prakyce wyagane jes dokonanie jeszcze jednego wyboru. ona prognozowa zienno na podsawie inforacji o przeszłych zrealizowanych odchyleniach sandardowych (Balaban 999; Rae 997) lub przeszłych zrealizowanych wariancjach sóp zwrou (Yu 998; Pionek 200, 2002). Nie a jednoznacznej odpowiedzi, kóre z ych podej jes lepsze. W pracy ej zosało przyje podejcie opare na prognozowaniu przyszłego odchylenia sandardowego sóp zwrou. Najczciej analizuje si zienno logaryicznych sóp zwrou. Zrealizowana zienno w podokresie ( s h, ) w skali roku 2 zdefiniowana zosała jako: n 252 2 ( r r ), () n gdzie: n liczba dni ransakcyjnych w badany podokresie, r rednia sopa zwrou w podokresie. Poniewa eae pracy jes prognozowanie ziennoci z podokresów iesicznych (wyraonej w skali roku), o n oznacza liczb dni ransakcyjnych w kolejnych iesicach. Przeskalowanie na okres roczny nie a oczywicie wpływu na jako prognozy. Przyjcie niewielkiej liczby obserwacji jak o a iejsce np. przy szacowaniu ziennoci zrealizowanej w poszczególnych iesicach (rednio 2 obserwacji) oe prowadzi do znacznych błdów oszacowa. ródłe błdu jes ake oszacowanie redniej r. Proponowana odyfikacja procedury (dla krókich, jednodniowych horyzonów sóp zwrou) polega najczciej na przyjciu załoenia, e oczekiwana sopa zwrou wynosi zero. W dalszej czci pracy analizie poddane zosanie zarówno podejcie wykorzysujce wzór (), jak i odyfikacj przy załoeniu, e r 0. Poniej zosały przedsawione podsawowe echniki (eody) prognozowania ziennoci na podsawie analizy szeregów czasowych zawierajcych inforacje jedynie o przeszłych sopach zwrou, a dokładniej o przeszłych ziennociach zrealizowanych w ubiegłych iesicach. odeli akich uywa si, gdy analizowane zagadnienie jes na yle skoplikowane, e pozyskanie pełnej inforacji, o y jakie czynniki wpływaj w sposób isony na dane zjawisko oraz w jaki sposób, jes nieoliwe lub zby koszowne. eod prognozowania nazywa si echnik przewarzania inforacji o przeszłoci zjawiska oraz sposób uzyskania prognozy na podsawie przeworzonych inforacji (Cielak 2000). Do worzenia prognoz (przy załoeniu sałoci ziennoci w okresie prognozy) wykorzysywana jes analogicznie inforacja o przeszłych zrealizowanych odchyleniach sandardowych sóp zwrou. 2 Przy załoeniu 252 dni sesyjnych w roku kalendarzowy. 486
Przyjo naspujce oznaczenia: s f, ( x ) prognoza ziennoci na iesic dokonana eod x, s h, i ni iesic. zienno hisoryczna (zrealizowana) w iesicu o i wczeniejszy 2.. eody ze sały paraere ziennoci w okresie Wród eod ze sały paraere ziennoci analizie poddane zosały (Rae 997; Yu 998; Balaban 999; Pionek 200): odel naiwny w posaci błdzenia losowego (rando walk odel) s f, ( RW ). (2) Najlepsz prognoz ziennoci w kolejny iesicu jes zienno zrealizowana w iesicu poprzedzajcy; odel redniej hisorycznej (long-er ean odel) s f, ( T ) j. (3) Najlepszy oszacowanie ziennoci jes rednia ze wszelkich dospnych ziennoci zrealizowanych w okresach wczeniejszych; odel redniej ruchoej (oving average odel) j s ( A) s. (4) f, h, j j Prognoz uzyskuje si poprzez urednienie inforacji o zrealizowanych ziennociach w osanich okresach ( sała wygładzania). odyfikacja ej echniki oe polega na przypisaniu wikszej wagi obserwacjo póniejszy (bliszy oenowi prognozy), kóre powinny zawiera bardziej akualne inforacje posarzanie inforacji : s ( WA) w s, f, j h, j j 0 w i, i=,2,...,, i wi ; (5) odele wygładzania wykładniczego: prose wygładzanie wykładnicze (exponenial soohing odel) s ( ES) s ( ES) s, (6) f, f, h, wykładniczo waona rednia ruchoa (exponenial weighed oving average odel) s f, ( EWA) s f, ( EWA) ( ) s, (7) h, j j 487
Paraer 0, nazywa si paraere wygładzania, a jego waro dobiera si eksperyenalnie inializujc błd prognozy wewnrz próby uczcej (Pionek 200). W odelach ych wyspuje równie efek posarzania inforacji; odel auoregresyjny (auoregression odel) s ( R ) s s s. (8) f, 0 h, 2 h, 2 p h, p W odelu y naley załoy rzd odelu auoregresji p lub wyznaczy go inializujc błd prognozy wewnrz próby uczcej (Pionek 200). 2.2. eody opare na odelach GARCH W podejciu y, prognozie podlegaj warunkowe wariancje (Bollerslev 986; Tsay 2002; Pionek 2002) dla kolejnych podokresów (najczciej dni), nieniej odpowiednie urednienie waroci prognoz uzyskanych dla poszczególnych dni, uoliwia wyznaczenie redniego poziou ziennoci (np. prognozy redniej ziennoci w kolejny iesicu). Naley paia, i o jakoci prognoz decyduje zarówno odpowiednio dobrana posa warunkowej wariancji, jak i posa warunkowej waroci oczekiwanej (Pionek 2002). Sporód odeli z klasy GARCH jako przykładowe odele ogce słuy do prognozowania ziennoci wybrane zosały odele zagniedone w odelu AR()-GJR-GARCH(,). odele e uoliwiaj opis grubych ogonów rozkładów sóp zwrou, groadzenia ziennoci, efeku dwigni, auokorelacji w szeregach sóp zwrou. odel AR()-GJR-GARCH(,) dany jes naspujcy zesawe równa (Pionek 2002; Tsay 2002): rr, (9) h z, z N(0,), (0) 2 0 h I h, () ; gdy p prawda, I p (2) 0; gdy p = fałsz, gdzie: warunkowa waro oczekiwana sopy zwrou zadana jako proces auoregresji rzdu pierwszego, AR(), h warunkowa wariancja sóp zwrou zadana odele GJR-GARCH(,),,,,, paraery odelu. Wprowadzay zienn poocnicz:. (3) 2 Bezwarunkowa, długoerinowa rednia wariancja dana jes wzore: 488
V. (4) Oczywicie spełniony usi by warunek:. (5) Prognoza warunkowej wariancji na kolejne dni dana jes zalenoci: k h V h V, (6) f, k f, gdzie: hf, k prognoza warunkowej wariancji w dniu na k dni do przodu. ona ławo wykaza, e gdy k, o hf, k V. W powyszy wzorze nierudno zauway równie efek powrou ziennoci (wariancji) do poziou redniego. Prognoz redniej warunkowej wariancji dla okresu T dni uzyskuje si na podsawie inforacji o prognozach wariancji warunkowych z okresu [,+T]. W naszy przypadku T, o oczywicie liczba dni ransakcyjnych w kolejny iesicu, czyli T = n. T T f, f, k f, T k. (7) T h h V h V T Prognoz ziennoci r uzyskuje si oczywicie jako pierwiasek z prognozy wariancji przy uwzgldnieniu efeku auoregresji rzdu pierwszego. s T hf, f, ( GARCH ) 2, (8) gdzie, o dni rozpoczynajce kolejne iesice sesyjne, a T = n, o liczba dni sesyjnych w dany iesicu kalendarzowy. 2.3. eody oceny prognoz Trafno prognoz w analizowanych wczeniej przypadkach okrela si za pooc błdów ex pos. iary e og zosa wykorzysane zarówno podczas analizy błdu prognozy wewnrz próby (dla próbki uczcej), kóry oe posłuy do kalibracji odelu prognozy, jak i do analizy błdu prognozy poza prób (próbka esowa). iary błdów prognozy ex pos dzieliy na: iary syeryczne, kóre w aki sa sposób uwzgldniaj przeszacowanie i niedoszacowanie prognozy ziennoci, iary niesyeryczne, kóre w odienny sposób uwzgldniaj przeszacowanie i niedoszacowanie prognozy ziennoci w poszczególnych iesicach. W zalenoci od wykorzysania prognoz do wyboru najlepszej eody sosuje si róne oszacowania błdu ex pos. W poniszych wzorach, w celu poprawienia czyelnoci, poinie zosan podawane w nawiasach oznaczenia echnik prognozy. Prognoza s f, oe wic by wyznaczona na podsawie wzorów (2)-(8) oraz (8). 489
Jako przykładowe (Brailsford, Faff 996) iary syeryczne ona wyieni: pierwiasek redniego kwadrau błdu (roo ean squared error) f h 2,, RSE s s, (9) redni błd bezwzgldny (ean absolue error) f, h, EA s s. (20) Przykładowe iary niesyeryczne błdu ex pos o: rednie błdy ieszane (ean ixed errors) EU s f, K s f,, (2) EO s f, K s f,, (22) dla s f, s h, K dla s f,,. (23) 0 dla s f, 0 dla s f, iara EU uwzgldnia silniej błdy niedoszacowania ziennoci, a iara EO błdy przeszacowania ziennoci. 3. Przykład epiryczny 3 Przykład epiryczny powicony zosał zbadaniu oliwoci prognozowania ziennoci logaryicznych sóp zwrou indeksu WIG, dolara oraz iedzi 4 w kolejnych okresach (iesice kalendarzowe, por. wzór ()) za pooc przedsawionych we wczeniejszej czci, echnik wykorzysujcych odele szeregów czasowych. Cele pracy jes odpowied na pyanie, kóra z oówionych echnik przynosiła najlepsze wyniki (jes obarczona najniejszy błde redni ex pos). Badanie zosały obje oszacowania ziennoci z 90 iesicy z okresu od aja 995 do padziernika 2002 r.. Próba podzielona zosała na cz uczc, w obrbie kórej dobierane były paraery niekórych echnik prognozy, oraz na cz esow, na kórej była badana skueczno poszczególnych echnik. Próba uczca obejowała 30 iesicy z okresu od aja 995 do padziernika 997 r., naoias próba esowa obejowała pozosałe 60 iesicy z okresu od lisopada 997 do padziernika 2002 r. 3 Wszelkie prezenowane i przywoływane wyniki bada epirycznych uzyskano na podsawie auorskich procedur napisanych w rodowisku ATAB 6.0. 4 Analizie poddane zosały kursy zaknicia sesji dla indeksu WIG, rednie dzienne kursy NBP dla dolara oraz ceny naychiasowe iedzi ogłaszane o godzinie 3:5 na ondyskiej Giełdzie eali E (ceny e sanowi podsaw do rozlicze insruenów pochodnych na ied). 490
Dokonano przeliczenia prognozy ziennoci na okres roczny, w celu dososowania wyniku do podejcia znanego z wyceny opcji, gdzie zienno podaje si w skali roku. Odpowiednie przeskalowanie nie a oczywicie wpływu na ocen, kóra z prezenowanych echnik okazała si najlepsza. W przypadku prognoz oparych na rednich ruchoych analizowano rednie z 3, 5 i 2 osanich iesicy (A(3), A(5), A(2)). Waona rednia ruchoa (WA) wyznaczana była na podsawie inforacji o 3 osanich iesicach, przy czy w raach procedury,,posarzania inforacji'' przyjo subiekywnie naspujcy zesaw wag [0,5; 0,3; 0,2]. W przypadku wygładzania wykładniczego oraz redniej ruchoej wygładzanej wykładniczo rozparywano dwie waroci paraeru wygładzania. Pierwsza, kóra inializowała błd RSE wewnrz próby uczcej (ES, EWA), oraz druga, zaproponowana przez bank J.P. organ na pozioie 0,94 (ES2, EWA2). Paraery w echnikach oparych na auoregresji wyznaczane były na podsawie 30 osanich iesicy. Rozwaano odele auoregresji rzdu pierwszego (AR()) oraz rzdu rzeciego (AR(3)). W pracy Pionka (2002) przedsawiono wyniki dopasowania rónych odeli sóp zwrou z warunkow waroci oczekiwan oraz warunkow wariancj do szeregów sóp zwrou z indeksu WIG, kursu dolara oraz ceny iedzi. Cele badania było sprawdzenie, kóry z odeli najlepiej dopasowuje si do danych epirycznych. We wszyskich przypadkach paraery odeli esyowane były za pooc eody najwikszej wiarygodnoci, a kryeriu wyboru odelu było kryeriu Akaike'a. W szeregu sóp zwrou z indeksu WIG powierdzony zosał efek auokorelacji, skupiania ziennoci oraz dwigni. Efeku dwigni nie swierdzono w szeregach kursu dolara oraz cen iedzi. Dodakowo w szeregu sóp zwrou z kursów dolara nie swierdzono efeku auokorelacji. W dalszej czci pracy do prognozowania ziennoci indeksu WIG wykorzysano wic odel AR()-GJR-GARCH(,), do prognozowania ziennoci cen iedzi odel AR()-GARCH(,), a do prognozowania ziennoci kursu dolara odel GARCH(,). Przez VARGJR, VARGARCH oraz VGARCH oznaczono prognozy wyznaczone na podsawie rednich, długoerinowych (bezwarunkowych) waroci ziennoci wynikajcych z poszczególnych odeli. Dla kadego z insruenów oraz kadego analizowanego podejcia wyznaczono błdy prognoz. Wyniki przedsawione zosały w ab. -9. Na podsawie uzyskanych wyników ona wycign naspujce wnioski. Dla prognoz ziennoci indeksu WIG w kolejnych iesicach: niejsze błdy ex pos prognoz orzyano na podsawie wzorów, w kórych poiar zrealizowanej ziennoci odbywał si przy załoeniu, e waro oczekiwana jednodniowych sóp zwrou wynosi zero, prognozy uzyskiwane za pooc odelu AR()-GJR-GARCH(,) nie okazały si lepsze (o niejszy błdzie ex pos) ni niekóre prose echniki prognozowania. Prognoza opara na długoerinowej redniej wariancji wynikajcej z odelu AR-GJR- GARCH obarczona jes duy błde ex pos, co dowodzi, e uwzgldnienie efeku powrou do redniej prowadzi do poprawienia jakoci prognoz, 49
krókoerinowe rednie ruchoe okazały si lepsze od długoerinowych, waona rednia ruchoa WA uwzgldniajca efek posarzania inforacji okazała si lepsza ni odel zwykłej krókoerinowej redniej ruchoej, zarówno dla wygładzania wykładniczego, jak i dla waonej wykładniczo redniej ruchoej, uzyskano lepsze prognozy w przypadku zasosowania paraeru wygładzania, kóry inializował błdy prognoz w obrbie próby uczcej (prognozy ES i EWA), ni w przypadku zasosowania zalecanej w eodologii Riskerics waroci 0,94. Opyalne współczynniki uzyskane na podsawie próby uczcej były nisze ni 0,5, odele auoregresji rzdu pierwszego okazały si lepsze ni odele rzdu rzeciego, w przypadku echniki oparej na odelu AR-GJR-GARCH naspuje czciej niedoszacowanie ni przeszacowanie ziennoci, o czy wiadcz wiksze waroci błdów EU ni EO. W przypadku pozosałych echnik efek en jes słabszy. Osaecznie zaleci ona dokonywanie prognoz ziennoci dla kolejnych iesicy na podsawie echnik oparych na zrealizowany odchyleniu sandardowy wyznaczany na podsawie odyfikacji wzoru () bez redniej. Najniejsze rednie błdy prognoz orzyano dla echniki A(3) i WA. Zblione waroci błdów EO oraz EU wiadcz o y, e e dwie proponowane echniki w przeszłoci nie powodowały syseaycznego zawyania ani zaniania ziennoci. Dla prognoz ziennoci cen iedzi uzyskano zblione własnoci poszczególnych echnik prognozowania jak dla prognoz ziennoci dla indeksu WIG. Jedyn znaczc rónic jes fak, i brak jes rónicy, czy wyznaczay zienno na podsawie wzorów ze redni czy bez redniej. Osaecznie w przypadku prognozowania ziennoci sóp zwrou dla kursów iedzi w kolejnych iesicach naleałoby równie zaproponowa wykorzysywanie echniki A(3) lub WA. Tabela. Błdy prognoz ziennoci indeksu WIG dla wzoru () ze redni 492 Tabela 2. Błdy prognoz ziennoci indeksu WIG dla wzoru () bez redniej RSE AE EO EU RSE AE EO EU RW 0,089 7,439 4,762 5,58 RW 9,960 7,29 4,57 4,954 A(3) 8,986 7,032 4,582 4,865 A(3) 8,980 7,050 4,623 4,864 A(5) 9,756 7,68 5,007 5,24 A(5) 9,642 7,636 4,992 5,96 A(2) 0,082 7,853 5,098 5,37 A(2) 0,007 7,666 4,966 5,89 WA 8,840 6,867 4,49 4,767 WA 8,804 6,874 4,52 4,765 ES 8,850 6,853 4,52 4,74 ES 8,86 6,798 4,485 4,693 ES2 9,680 7,702 4,762 5,495 ES2 9,64 7,533 4,66 5,375 EWA 9,057 7,083 4,625 4,877 EWA 9,049 7,3 4,67 4,882 EWA2 9,933 7,95 4,849 5,647 EWA2 9,866 7,762 4,762 5,543 AR() 9,288 6,726 4,5 4,505 AR() 9,86 6,550 4,407 4,39 AR(3) 9,479 7,0 4,555 4,959 AR(3) 9,492 7,022 4,482 4,876 Tabela 3. Błdy prognoz ziennoci kursu indeksu WIG na podsawie odelu AR-GJR-GARCH RSE AE EO EU ARGJR 0,078 7,903 4,63 5,864 VARGJR,25 9,598 5,06 7,529
Tabela 4. Błdy prognoz ziennoci cen iedzi dla wzoru () ze redni Tabela 5. Błdy prognoz ziennoci cen iedzi dla wzoru () bez redniej RSE AE EO EU RSE AE EO EU RW 6,0 4,675 3,20 3,436 RW 5,996 4,562 3,3 3,344 A(3) 5,066 3,867 2,846 2,79 A(3) 5,04 3,870 2,862 2,789 A(5) 5,609 4,45 3,02 3,232 A(5) 5,579 4,45 3,05 3,23 A(2) 5,467 4,388 2,903 3,424 A(2) 5,478 4,436 2,953 3,444 WA 5,35 3,8 2,777 2,779 WA 5,062 3,79 2,775 2,76 ES 5,638 4,572 2,633 3,96 ES 5,706 4,722 2,673 4,078 ES2 5,82 4,743 2,560 4,93 ES2 5,80 4,824 2,640 4,237 EWA 6,059 4,983 2,547 4,499 EWA 6,79 5,205 2,59 4,749 EWA2 5,96 4,88 2,585 4,337 EWA2 5,957 4,969 2,668 4,388 AR() 5,692 4,49 2,55 3,805 AR() 5,655 4,405 2,506 3,804 AR(3) 6,0 4,708 2,788 3,897 AR(3) 6,09 4,773 2,842 3,938 Tabela 6. Błdy prognoz ziennoci kursu iedzi na podsawie odelu AR-GARCH RSE AE EO EU ARGARCH 6,20 4,887 2,463 4,43 VARGARCH 7,898 6,300 2,662 5,945 Tabela 7. Błdy prognoz ziennoci kursu dolara dla wzoru () ze redni Tabela 8. Błdy prognoz ziennoci kursu dolara dla wzoru () bez redniej RSE AE EO EU RSE AE EO EU RW 5,066 3,667 2,727 2,646 RW 5,002 3,597 2,699 2,588 A(3) 4,577 3,430 2,66 2,479 A(3) 4,559 3,424 2,68 2,473 A(5) 4,90 3,39 2,523 2,23 A(5) 4,96 3,63 2,525 2,260 A(2) 3,975 2,946 2,399 2,8 A(2) 3,980 2,93 2,37 2,7 WA 4,505 3,377 2,60 2,48 WA 4,479 3,357 2,595 2,40 ES 4,033 2,996 2,438 2,33 ES 4,020 2,966 2,400 2,22 ES2 3,976 2,768 2,468,787 ES2 3,966 2,788 2,476,80 EWA 4,254 3,67 2,58 2,252 EWA 4,233 3,64 2,55 2,260 EWA2 4,003 2,79 2,492,783 EWA2 3,995 2,86 2,503,85 AR() 3,944 2,728 2,397,806 AR() 3,942 2,763 2,403,856 AR(3) 4,080 2,95 2,435 2,074 AR(3) 4,08 2,996 2,462 2,04 Tabela 9. Błdy prognoz ziennoci kursu dolara na podsawie odelu GARCH RSE AE EO EU GARCH 3,782 2,793 2,268 2,043 VGARCH 3,94 2,939 2,369 2,38 Do odiennych wniosków prowadz wyniki bada nad prognozowanie zienno- ci sóp zwrou dla kursu dolara. W y przypadku najlepsz echnik prognozowania okazała si echnika opara na odelu GARCH(,). Podejcie o przewysza znacznie wszyskie pozosałe analizowane echniki. Zbliona waro błdów asyerycznych 493
EO i EU, przy najniszy pozioie błdów asyerycznych, jes równie zale ej echniki wiadczc, i w okresie osanich 60 iesicy nie naspowało syseayczne przeszacowanie lub niedoszacowanie paraeru ziennoci. W abelach -9 zaprezenowane zosały wyniki błdów prognoz ziennoci w skali roku (w procenach). 4. Podsuowanie Na podsawie bada nad oliwoci prognozowania ziennoci insruenów swierdzono, e w przypadku prognoz oparych na szeregach czasowych prose eody wykorzysujce redni rucho obarczone s niejszy błde ex pos ni prognozy uzyskane za pooc odeli GARCH dla indeksu WIG oraz iedzi. Jedynie w przypadku prognoz ziennoci sóp zwrou z kursów dolara uzyskano przewag eod oparych na odelach GARCH. ieraura [] Balaban E. (999): Forecasing eerging sock arke volailiy. iddle Eas Technical Universiy Inernaional Conference in Econoics, Ankara, Turcja. [2] Bollerslev T. (986): Generalized auoregressive condiional heeroskedasiciy. Journal of Econoerics nr 3. [3] Brailsford T., Faff R. (996): An evaluaion of volailiy forecasing echiques. Journal of Banking and Finance nr 20. [4] Cielak. (red.) (2000): Prognozowanie gospodarcze. eody i zasosowania. Warszawa: Wydawnicwo Naukowe PWN. [5] Hull J. (999): Opion, fuures & oher derivaives. Prenice Hall. [6] Jajuga K. (998): Zienno prognozowanie i zasosowanie w zarzdzaniu ryzykie. aeriały z konferencji Prognozowanie w zarzdzaniu fir. Prace Naukowe Akadeii Ekonoicznej we Wrocławiu nr 808. [7] Jajuga K. (999): iary ryzyka rynkowego. Cz.. Rynek Terinowy lisopad. [8] Knigh J., Sachell S. (998): Forecasing volailiy in he financial arkes. Buerworh-Heineann,. [9] Pionek K. (200): Prognozowanie ziennoci insruenów finansowych. Rynek Terinowy nr 3. [0] Pionek K. (2002): odelowanie i prognozowanie ziennoci insruenów finansowych. Rozprawa dokorska. Akadeia Ekonoiczna we Wrocławiu. [] Rae D. (997): Forecasing volailiy. The Naional Bank of New Zealand, Econoics Division, Financial Research Paper No. 9. [2] Tsay R. (2002): Analysis of financial ie series. Chicago: Wiley & Sons. [3] Yu J. (998): Forecasing volailiy in he New Zealand sock arke. Deparen of Econoics, Universiy of Auckland, New Zealand. 494