MODELE MATEMATYCZNE UKŁADÓW DYNAMICZNYCH Podstawową formą opisu procesów zachodzących w członach lub układach automatyki jest równanie ruchu - równanie dynamiki. Opisuje ono zależność wielkości fizycznych, przyjętych jako sygnały wyjściowe (), od wielkości fizycznych, będących sygnałami wejściowymi () danego członu lub układu. Równanie różniczkowo-całkowe i L R + + 1 = przy warunkach początkowych: 0 = 0, 0 = 0 e vc i C Sygnałem wyjściowym układu jest prąd w obwodzie, a sygnałem wejściowym () jest wartość napięcia źródła napięciowego (). Różniczkując obie strony równania różniczkowo-całkowego otrzymujemy równanie różniczkowe drugiego rzędu + + 1 = Ponieważ = oraz =, równanie powyższe można zapisać w postaci przy czym: = 1, =, = 1, = 1 + + = są współczynnikami równania różniczkowego. 1
Analogi elektryczne układów mechanicznych Zmienne przepływu: siła () jest analogiczna do prądu () Zmienna spadku: prędkość () jest analogiczna do napięcia () Tłumik f (t) f ( t) = bv( t) Rezystor i(t) 1 i ( t) = u( t) R b f (t) Tlumik v(t) 1 R u(t) i(t) Rezystor x &( t) = v( t) u(t) 2
Sprężyna f (t) f ( t) = kx( t) = k v( t) dt Cewka indukcyjna i(t) 1 i ( t) = u( t) dt L k Sprezyna f (t) v(t) 1 L u(t) i(t) Cewka x ( t) = v( t) dt u ( t) dt Masa f (t) dv( t) f ( t) = m dt Kondensator i(t) du( t) i( t) = C dt m m f (t) Masa C u(t) Kondensator v(t) i(t) &&( x t) = dv( t) dt du ( t) dt 3
() + () + = () Resor m Masa Amortyzator przy czym: b stała tłumienia amortyzatora - tłumika tłokowego, k stała sprężystości sprężyny resora, m masa zawieszenia, - położenie chwilowe masy, () - siła oddziaływania na zawieszenie F Przyjmując, że =, = () oraz () = =, =, = 1, równanie dynamiki układu sprowadzamy do postaci () () + + = () t 4
Transmitancja operatorowa Załóżmy, że mamy proces (obiekt) gdzie zależność pomiędzy wielkością wyjściową jest y(t) i wejściową u(t) jest określona równaniem różniczkowym: + = + + + gdzie współczynniki ai i bj są wielkościami stałymi przy czym m n. + + + + Jeżeli wszystkie warunki początkowe są zerowe, wtedy, wykorzystując transformację Laplace'a, związek ten można zapisać w postaci równania operatorowego + + + + = + + + + lub w postaci transmitancji operatorowej = L() L() = = + + + + + + + + Transmitancja operatorowa układu (obiektu) liniowego, określa stosunek transformaty Laplace'a wielkości wyjściowej do transformaty Laplace'a wielkości wejściowej U(s), przy założeniu zerowych warunków początkowych. 5
Transmitancja operatorowa jest funkcją wymierną zmiennej zespolonej s i ma tę właściwość, że w rezultacie pomnożenia transformaty sygnału wejściowego () przez transmitancję otrzymuje się transformatę sygnału wyjściowego - odpowiedzi układu s = () Znając postać transmitancji operatorowej układu można obliczyć przebieg odpowiedzi układu na dowolne wymuszenie () przy wykorzystaniu odwrotnego przekształcenia Laplace a = L s = L () Postać równania dynamiki lub postać transmitancji operatorowej stanowią kryterium, według którego klasyfikuje się człony automatyki. () Umowne oznaczenie bloku (członu) automatyki Członem dynamicznym nazywany jest dowolny układ fizyczny, w którym wyodrębniona jest wielkość wejściowa (sygnał wejściowy) i wielkość wyjściowa (sygnał wyjściowy), a właściwości jego dynamiki syntetycznie określa transmitancja operatorowa. Rząd członu lub układu automatyki jest określony wysokością rzędu równania różniczkowego. Rząd członu lub układu określa więc także najwyższa wartość wykładnika potęgowego przy operatorze s mianownika transmitancji operatorowej. Współczynniki mianownika transmitancji determinują rozkład jego pierwiastków (biegunów) w płaszczyźnie zmiennej zespolonej, który decyduje o charakterze przebiegu przejściowego dynamiki układu. Graficzna prezentacja przebiegu przejściowego przy zerowych warunkach początkowych nazywana jest charakterystyką czasową. 6
Opis układów dynamicznych w przestrzeni stanów Stanem układu (procesu) nazywamy zbiór liniowo niezależnych wielkości,, określających w pełni skutki przeszłych oddziaływań (t < t0) na układ, który jest wystarczający do wyznaczenia przebiegów chwilowych dowolnych wielkości w tym układzie dla t > t0, gdy znane są wymuszenia i parametry tego obwodu. Wielkości,, nazywamy zmiennymi stanu, a wektor x =,, wektorem stanu tego układu. Można powiedzieć, że układ dynamiczny ma swoistą "pamięć", w której przechowuje informacje o wpływie poprzednich wielkości wejściowych. = + = () + równanie stanu równanie wyjść gdzie: wymiarowa macierz stanu wymiarowa macierz stanu wymiarowa macierz wyjść wymiarowa macierz przejścia D u B x& x C y A 7
e i L R vc C + + = lub = lub + + 1 = 1 = 1 i Układ równań pierwszego rzędu zapisujemy w postaci pojedynczego równania macierzowo-wektorowego równania stanu = 1 gdzie: = = - zmienne stanu, = - wejście układu (sterowanie), 1 1 0 + lub 0 = - macierz stanu, = - macierz reprezentująca wejście (macierz sterowań) Sygnały wyjściowe zależne są od zmiennych stanu oraz sygnału wejściowego, co zapisuje się równaniem wyjść: = () +. W przykładzie wyjściem jest prąd. Stąd równanie wyjścia ma postać: = = 1 0. Można także wyznaczyć dodatkową wielkość jaką jest napięcie = = 0 = () + 1. 8
L e 2 = + = () + C 1 R 1 R 3 C 2 U 3 () = (), () =, = () e 1 R 2 0 0 1 = 0 + 1 + 1 + + + +, = 0 0 1 0 + 1 + = 0 + +, = 0 + 9
Zmienne stanu a transmitancja operatorowa = + L () = () + = + L = () + Wyznaczanie wektora transformat operatorach zmiennych stanu: () = = = det Wyznacznik det macierzy charakterystycznej jest wielomianem stopnia n. Elementy macierzy dołączonej są wielomianami stopnia co najwyżej 1. Wyznaczanie wektora transformat operatorach wyjść odpowiedzi układu: = + () det Transmitancja operatorowa dla układu jednowymiarowego = () () = det + Jeżeli stopień wielomianu licznika jest niższy od stopnia wielomianu mianownika transmitancji operatorowej (), to macierz = 0. 10
Transmitancja operatorowa układu Reprezentacja transmitancji operatorowej przez zmienne stanu = = + + + + + + + + Mnożąc licznik i mianownik przez transmitancję można zapisać w postaci Przyjmując, że = + + + + 1 + + + + = 1 1 + + +, + lub = + + +, to () = + + + + 11
Przyjmując za zmienne stanu,, wielkości wyjściowe integratorów można napisać układ równań = = = = + = + + + + U(s) u E(s) s -1 E(s) b n-1 bn-2 s -2 E(s) s 1-n E(s) s -n E(s) x n x n-1 x 2 x 1 b 0 Y(s) y -a n-1 -a n-2 -a 0 12
Postać kanoniczna (normalna) sterowalna = + = 0 1 0 0 0 0 1 0 = 0 0 0 1 =, = 0 0 0 1 Postać kanoniczna (normalna) obserwowalna = + = 0 0 0 1 0 0 = 0 0 0 0 0 1 = 0 0 0 1, = Miedzy macierzami obu typów wariantów modeli opisanych w przestrzeni stanów zachodzą zależności =, =, = 13
Podstawowe typy sygnałów i ich transformaty Laplace a = = = L = = L = t t = = = L = = L = t t = = t = L = + t = L = = = L = t 14
= = = 1 + = 1 + t t = sin = cos t = + t = + = sin = cos t = + + t = + + + 15
Wyznaczanie oryginału funkcji wymiernej zmiennej zespolonej Odwrotne przekształcenie Laplace a przyporządkowuje funkcji zmiennej zespolonej s funkcję () zmiennej rzeczywistej t. Funkcję wymierną = L = = + + + + + + + + można zawsze przedstawić w postaci sumy ułamków prostych o postaci, = przy czym: jest dowolnym pierwiastkiem wielomianu M(), l jego krotnością,, - liczbą rzeczywistą, zwaną współczynnikiem udziału, j - liczbą różnych co do wartości pierwiastków. 16
Każdemu z prostych ułamków składowych odpowiada znana funkcja zmiennej rzeczywistej - czasu. I tak: Gdy = 0, wówczas przekształcenie odwrotne Laplace a daje L = 1! Gdy = σ jest liczbą rzeczywistą, wówczas L = 1! Gdy = ± jest liczbą zespoloną lub urojoną, to pierwiastki zespolone występują zawsze jako parami sprzężone. Sumę takich ułamków prostych można przedstawić jako wyrażenie o wszystkich współczynnikach rzeczywistych L + + = cos + + sin 17
Przy obliczaniu współczynników udziału możliwe są dwa postępowania. Pierwsze z nich zwie się metodą współczynników nieoznaczonych. Polega ona na sprowadzeniu sumy ułamków prostych z nieokreślonymi jeszcze współczynnikami,,, do wspólnego mianownika, a następnie przyrównaniu wielomianu otrzymanego w liczniku tego ułamka do wielomianu licznika funkcji wymiernej (). Oba liczniki są sobie tożsamościowo równe, więc równe są również współczynniki przy wyrazach o takiej samej potędze zmiennej s. Prowadzi to do zbioru równań liniowych względem współczynników, który można rozwiązać znanymi sposobami. Drugie postępowanie oparte jest na twierdzeniu Heaviside a o rozkładzie. I tak w przypadku jednokrotnych pierwiastków wielomianu funkcji wymiernej () wartości współczynników udziału wyznacza się ze wzoru = () W przypadku pierwiastka l krotnego w () występuje między innymi suma ułamków prostych o postaci + + + 18
Wartości l współczynników oblicza się korzystając ze wzorów, = (), = (), = 1 2! (), = 1! () Wyznaczanie wartości współczynników udziału w przypadku pierwiastków zespolonych można wyznaczyć na podstawie poniższej tożsamości + + = +, gdzie wartości współczynników i są składowymi: rzeczywistą i urojoną, liczby zespolonej, zdefiniowanej wzorem = + = + 19
Transformata odwrotna tego składnika ma postać L + = cos sin. Prawą stronę powyższej zależności można zapisać w postaci cos sin = sin +, przy czym = arc tg. 20
Zadanie 1 Wyznacz transformatę odwrotną funkcji operatorowej Rozwiązanie = 7 + 10 + 1 + 2,5 Pierwiastkami - miejscami zerowymi - mianownika są: = 0, = 1, = 2,5. Pierwiastki są jak widać jednokrotne. Rozkład na ułamki proste będzie więc typu = + + 1 + + 2,5 Współczynniki udziału = 1,2,3 wyznaczamy zgodnie z zależnością = () = () = 7 + 10 + 1 + 2,5 = 4, = + 1() = 7 + 10 + 2,5 = 2, = + 2,5(), = 7 + 10 + 1, = 2 21
W rezultacie otrzymujemy rozkład na ułamki proste Zgodnie z L = 1! = 4 + 2 + 1 + 2 + 2,5, L = 1! transformata odwrotna () funkcji jest sumą transformat odwrotnych rozkładu na ułamki proste = + + = 4 2 2, Przebiegi funkcji i jej składowych względem zmiennej rzeczywistej t pokazuje rys. 1. 4 () 3 2 1-1 -2 = + + () = 4 = 2 = 2, 0.5 1 1. 2 2.5 3 t () () Rys. 1. Wykres funkcji () w zadaniu 1 22
Zadanie 2 Wyznacz współczynniki udziału z zadania 1.metodą współczynników nieoznaczonych. Rozwiązanie Prawą stronę poniższego równania sprowadzamy do wspólnego mianownika 7 + 10 + 1 + 2,5 = + + 1 + + 2,5 7 + 10 + 1 + 2,5 = + 1 + 2,5 + + 2,5 + + 1 + 1 + 2,5 Mamy tu różne postacie tego samego wyrażenia, ale liczniki obu ułamków są sobie równoważne. 7 + 10 = + 1 + 2,5 + + 2,5 + + 1 Rozkład na ułamki proste jest prawdziwy dla każdej wartości s. Zatem podstawiając takie wartości s, które wyzerują odpowiednie składniki licznika prawej strony powyższej tożsamości, uzyskamy wartości poszczególnych współczynników. 23
I tak, podstawiając = 0 otrzymujemy 10 = 2,5 stąd = 4, = 1 otrzymujemy 3 = 1,5 stąd = 2, = 2,5 otrzymujemy 7,5 = 3,75 stąd = 2. 24
Zadanie 3 Wyznacz transformatę odwrotną oryginał - funkcji operatorowej = + 2 + 5 + 3 + 5 Rozwiązanie Pierwiastki mianownika są równe = 3, = 5, przy czym pierwszy z nich jest jednokrotny, drugi dwukrotny. Rozkład na ułamki proste będzie więc typu = + 3 + + 5 + + 5 Współczynnik wyznaczamy zgodnie z zależnością = () Pozostałe dwa zgodnie z zależnością + + + Gdzie współczynniki udziału wyznaczamy zgodnie z procedurą, = (), = (), =! (), =! (). przy czym tutaj = 2, = 2. 25
W tym przypadku = + 3() = + 2 + 5 + 5 = + 5 () = + 2 + 5 + 3 = 2, = 10, = + 5 () = + 2 + 5 + 3 = + 6 + 1 + 3 = 1. Stąd otrzymujemy rozkład na ułamki proste z ujawnionymi wartościami współczynników udziału = 2 + 3 + 1 + 5 + 10 + 5 Oryginały poszczególnych ułamków uwidacznia związek () = + + = 2 1 + 10 Przebiegi funkcji i jej składowych względem zmiennej rzeczywistej t pokazuje rys. 2. 26
2 1.5 1 0.5 = + + () () = 2 = 1 = 10-0.5-1 0 0.5 1 1.5 2 t () () Rys. 2. Wykres funkcji () w zadaniu 3 Warto zauważyć, że wartość współczynnika można wyznaczyć bez różniczkowania. Ponieważ rozkład na ułamki proste jest prawdziwy dla każdego s, to jest także prawdziwy dla = 0. Podstawiając więc = 0 otrzymuje się + 2 + 5 + 3 + 5 = + 3 + + 5 + + 5 1 15 = 3 + 5 + 25 Ponieważ = 2 i = 10, to stąd wynika, że = 1. 27
Wyznacz oryginał funkcji operatorowej = Zadanie 4 5 + 13 + 4 + 13 Rozwiązanie Mianownik ma trzy pierwiastki, z których jeden jest liczbą rzeczywistą = 0 a pozostałe dwa są liczbami zespolonymi sprzężonymi, co zapiszemy w formie następującej, = 2 ± 3 W związku z rozkład na ułamki proste będzie typu L + + = cos + + sin = + + + 2 + 3 Z powodu operowania liczbami zespolonymi, dogodniejsze jest posłużenie się rozkładem wynikającym z tożsamości + + = +, gdzie wartości współczynników i są składowymi: rzeczywistą i urojoną, liczby zespolonej zdefiniowanej wzorem = + = + 28
Transformata odwrotna tego składnika ma postać L + = cos sin W związku z powyższym zapis rozkładu funkcji () przedstawiamy w postaci () = + + 2 3 + 2 + 3 Współczynnik wyniesie = () = 5 + 13 + 4 + 13 = 1. Pozostałe dwa współczynniki i wyznaczamy zgodnie z procedurą pokazaną powyżej = 3 + 4 + 13 = 5 + 13 3 = 1. Wartości tych współczynników wynoszą zatem: = 1, = 1. 29
Rozkład na ułamki proste zapisujemy w postaci Oryginały poszczególnych ułamków () = 1 + + 2 + 3 + 2 + 3 () = + cos sin t = 1 + cos 3 + sin 3 1.5 = + 1 ()=1 0.5-0.5-1 0.5 1 1.5 2 2.5 Rys. 4 Wykres funkcji () = cos 3 + sin 3 t 30