Zajęcia wyrównawcze z izyki -Zestaw 13 -eoria Drgania i ale. Ruch drgający harmoniczny, równanie ali płaskiej, eekt Dopplera, ale stojące. Siła harmoniczna, ruch drgający harmoniczny Siłą harmoniczną (sprężystości) nazywamy siłę działającą na ciało proporcjonalną do wychylenia ciała z położenia równowagi i skierowaną przeciwnie do wychylania. Dla przesunięcia wzdłuż osi x siła sprężystości jest dana równaniem F k x gdzie x jest wychyleniem (przesunięciem) ciała z jego położenia równowagi. Stałą k nazywamy współczynnikiem sprężystości. Siła taka wywołuje ruch drgający harmoniczny, tzn. ruch powtarzający się w czasie w sposób okresowy, gdzie zależność wychylenia ciała z położenia równowagi w unkcji czasu jest opisana unkcją sinus lub cosinus, przykładowo: x Asin t, A oznacza amplitudę drgań, czyli maksymalne wychylenie z położenia równowagi, jest częstością kołową drgań, powiązaną z okresem drgań wzorem: 1, oznacza częstotliwość., Prędkość i przyspieszenie w ruchu drgającym harmonicznym. Gdy w ruchu drgającym harmonicznym wychylenie ciała z położenia równowagi opisane jest w unkcji czasu wzorem: x a t Asin t dx dt t A cos t d dt d x dt t A sint, to prędkość i przyspieszenie liczymy w sposób następujący:
Z powyższych wzorów wynika, że maksymalne wartości prędkości i przyspieszenia wynoszą odpowiednio: max A a max A Ponadto w każdej chwili czasu spełniona jest następująca zależność pomiędzy przyspieszeniem i wychyleniem: a x Przykłady drgań harmonicznych, wzory na częstość drgań: k m m k Ciężarek na sprężynie. g l l g Wahadło matematyczne. Energia w ruchu drgającym harmonicznym. W ruchu drgającym harmonicznym energia potencjalna obiektu wykonującego drgania wynosi: E p kx ka sin t Natomiast energia kinetyczna wynosi: E k m ma cos t ka cos t
Można udowodnić, że w ruchu drgającym harmonicznym energia całkowita obiektu jest stała. Wniosek ten jest słuszny gdy drgania zachodzą jedynie pod wpływem siły sprężystości, przy braku siły tarcia, sił oporu ruchu. E C E p E k kx m ka sin t ka cos t ka Fale mechaniczne Ruch alowy jest bardzo rozpowszechniony w przyrodzie. Przykładami al mechanicznych są między innymi ale rozchodzące się na powierzchni wody, a także ale dźwiękowe. Jeżeli wychylimy jakiś ragment ośrodka sprężystego z jego położenia równowagi to w następstwie będzie on wykonywał drgania wokół tego położenia. e drgania, dzięki właściwościom sprężystym ośrodka, są przekazywane na kolejne części ośrodka, które zaczynają drgać. W ten sposób zaburzenie (ala) rozchodzi się w ośrodku. Zwróćmy uwagę, że sam ośrodek nie przesuwa się, a jedynie jego elementy wykonują drgania. Dobrym przykładem są tu ale na powierzchni wody: przedmioty pływające na powierzchni wody wykonują niewielkie drgania wokół swojego położenia równowagi, natomiast same ale rozchodzą się ruchem jednostajnym na duże odległości. Jest to możliwe dzięki przekazywaniu energii kolejnym cząsteczkom ośrodka, które w ten sposób są pobudzane do drgań przez swoich poprzedników. Rodzaje al Ze względu na kierunek drgań cząstek ośrodka względem kierunku rozchodzenia się ale dzielimy na ale podłużne i ale poprzeczne. Fala jest podłużna gdy kierunek drgań cząstek ośrodka jest równoległy do kierunku rozchodzenia się ali i zarazem kierunku transportu energii. Przykładem są tu ale dźwiękowe w powietrzu czy też drgania naprzemiennie ściskanej i rozciąganej sprężyny. Fala jest poprzeczna gdy kierunek drgań cząstek ośrodka jest prostopadły do kierunku rozchodzenia się ali i zarazem kierunku transportu energii. Przykładem mogą tu być drgania naprężonego sznura, którego końcem poruszamy cyklicznie w górę i w dół. Fala podłużna. Fala poprzeczna.
Ze względu na kształt powierzchni alowej możemy wyróżnić ale płaskie i ale kuliste. Powierzchnie alowe (płaszczyzny) i promienie ali płaskiej Fala kulista rozchodząca się ze źródła Z; wycinki powłok serycznych przedstawiają powierzchnie alowe. Równanie ali płaskiej: Następujące równanie opisuje poprzeczną alę płaską rozchodzącą się w dodatnim kierunku osi x. y,, w powyższym wzorze: x t Asin x t A oznacza amplitudę (maksymalne wychylenie drgającego punktu z położenia równowagi), to długość ali, a to prędkość rozchodzenia się ali w ośrodku. x to odległość rozważanego punktu drgającego od źródła ali. Długość ali λ Czas, w którym ala przebiega odległość równą λ nazywamy okresem.
Fale stojące W przypadku nakładania się al biegnących w dwóch przeciwnych kierunkach, posiadających te samą częstotliwość i amplitudę, w ośrodku może powstać ala stojąca. Położenie punktów charakteryzujących się maksymalną i minimalną amplitudą drgań tej ali nie zmienia się wraz z upływem czasu. Przykład al stojących: Fale stojące dla struny zamocowanej na obu końcach; węzły są zaznaczone niebieskimi liniami, a strzałki czerwonymi. Punkty znajdujące się w położeniach x = λ/4, 3λ/4, 5λ/4 itd. mają maksymalną amplitudę. Punkty te nazywamy strzałkami, a punkty takie, że x = λ/, λ, 3λ/ itd. mają zerową amplitudę i nazywane są węzłami. Widać, że odległości między kolejnymi węzłami i strzałkami wynoszą pół długości ali. Zjawisko Dopplera Zjawisko Dopplera (eekt Dopplera) polega na zmianie częstotliwości ali z powodu ruchu obserwatora lub źródła ali. Zjawisko to możemy zaobserwować np. gdy słyszymy dźwięk poruszającej się karetki pogotowia. Gdy karetka zbliża się do obserwatora częstotliwość odbieranego dźwięku jest wyższa, niż częstotliwość dźwięku wysyłanego przez syrenę karetki. zr Gdy karetka oddala się do obserwatora częstotliwość odbieranego dźwięku jest niższa, niż częstotliwość dźwięku wysyłanego przez syrenę karetki. zr Gdy źródło dźwięku jest nieruchome, a porusza się obserwator, obowiązują następujące wzory: o, obserwator zbliża się do nieruchomego źródła. o, obserwator oddala się od nieruchomego źródła. Wzór ogólny: o. zr
Natężenie ali dźwiękowej. Natężeniem ali dźwiękowej nazywamy energię ali dźwiękowej podzieloną przez czas i powierzchnię, przez którą ta energia przenika. I W t S P S I - natężenie dźwięku - jednostką jest "wat na metr kwadrat" [W/m ]. t - czas w sekundach [s] S - pole powierzchni, na którą pada energia dźwiękowa wyrażone w "metrach kwadratowych" [m ]. P - moc ali dźwiękowej w watach [W] Natężenie progu słyszalności Minimalna wartość natężenia ali dźwiękowej, którą człowiek może jeszcze usłyszeć wynosi: 10-1 W/m (jedna bilionowa wata na metr kwadrat). Moc związana z tym natężeniem jest niezwykle mała, a akt że w ogóle może być przez ucho rejestrowania świadczy bardzo dobrze o możliwościach naszych zmysłów. Natężenie progu bólu Gdy natężenie ali dźwiękowej przekroczy wartość ok. 1 W/m, wtedy dźwięk staje się zbyt silny jak na możliwości ludzkiego ucha. Wtedy przestaje ono rozróżniać cechy tego dźwięku i reaguje bólem. Poziom natężenia dźwięku, decybel Ucho ludzkie działa "nieliniowo". Oznacza to, że razy większe natężenie dźwięku wcale nie jest przez nas odbierane jako razy głośniejszy dźwięk. Ucho dokonuje silnego "spłaszczenia" odczuwania głośności - dźwięk, który odczuwamy jako kilka razy głośniejszy od początkowego, ma w rzeczywistości energię dziesiątki, a nawet setki razy większą. Dokładniej - nasz narząd słuchu logarytmuje natężenie dźwięku, co powoduje, że razy większe natężenie dźwięku odpowiada zwiększeniu głośności o wartość proporcjonalną do "logarytmu z dwóch". Wprowadza się wielkość zwaną poziomem natężenia dźwięku - uwzględniającą logarytmiczny charakter odczuwania głośności. I 10 log, gdzie I o Β- jest poziomem natężenia wyrażanym w decybelach [db], I - jest natężeniem badanej ali dźwiękowej w W/m. I 0 - jest natężeniem tzw. "progu słyszalności" czyli wielkości równej 10-1 W/m. Przykłady: - krotny wzrost natężenia oznacza wzrost poziomu głośności o ok. 3 db
10 - krotny wzrost natężenia daje wzrost poziomu głośności o 10 db 100 - krotny wzrost natężenia daje wzrost poziomu głośności o 0 db 1000 - krotny wzrost natężenia daje wzrost poziomu głośności o 30 db itd... Ponieważ logarytm z jedynki ma wartość zero, więc od razu widać, że (po podstawieniu do wzoru I = I 0 ) natężenie progu słyszalności daje poziom natężenia 0 db. Z kolei bardzo głośny słyszalny dźwięk ma poziom głośności w okolicy 100 db; 10 db to tzw. próg bólu.