Wykład 3: Dźwięk Katarzyna Weron. WPPT, Matematyka Stosowana

Transkrypt

1 Wykład 3: Dźwięk Katarzyna Weron WPPT, Matematyka Stosowana

2 Fala dźwiękowa Podłużna fala rozchodząca się w ośrodku Powietrzu Wodzie Ciele stałym (słyszycie czasem sąsiadów?) Źródło:

3 Fala dźwiękowa W pobliżu źródła fala jest kulista Dalej przybliżamy przez płaszczyzny (proste) fala płaska promienie Czoła fali (powierzchnie, na których drgania mają tą samą fazę) Źródło dźwięku Źródło: University Physics

4 Prędkość dźwięku Prędkość zależy od własności ośrodka inercyjnych (gromadzących energię kinetyczną) sprężystych (gromadzących energię potencjalną) np. naprężenie, moduł ściśliwości v = F μ = mmmmm ssssssssssss mmmmm bbbbbbbbbbbb np. gęstość

5 Prędkość dźwięku Moduł ściśliwości jak zinterpretujesz? B Δp ΔV/V PP Wzór można wyprowadzić z zasad dynamiki Newtona (patrz Restnick i inni ) v = B ρ? Względna zmiana objętości wywołana przez zmianę ciśnienia ośrodek Powietrze 20 0 C 344 Woda 0 0 C 1402 Woda 20 0 C 1482 Beton 3800 Szkło 6000 prędkość [m/s]

6 Uwaga dot. modułu ściśliwości - moduł sprężystości Rzeczywiste ciała nie są doskonale sztywne Deformacja (odkształcenie) pod pływem przyłożonej siły: Naprężenie: proporcjonalne do siły Odkształcenie: miara stopnia deformacji Prawo Hooke a (niewielkie odkształcenia) mmmmm ssssssssssss = nnnnnnnnnn ooooooooooooo

7 Moduły sprężystości Moduł Younga miara oporu ciała na zmianę jego długości Moduł sprężystości poprzecznej miara oporu ciała na siłę styczną do powierzchni Moduł ściśliwości miara oporu ciała na zmianę jego objętości B Δp ΔV/V PP

8 Moduł ściśliwości i ściśliwość B Δp ΔV V PP, β 1 B = 1 V ΔV Δp 1 V materiał β (m²/n or Pa 1 ) Plastyczna glina Luźny piasek Gęsty piaszczysty żwir Woda w temp. 25 C 3]

9 Prędkość dźwięku ośrodek prędkość [m/s] v = B ρ? Powietrze 20 0 C 344 Woda 0 0 C 1402 Woda 20 0 C 1482 Beton 3800 Szkło 6000 Prędkość dźwięku w powietrzu zależy od temperatury (gaz doskonały): v = 331m/s 1 + T 0 C C

10 Jak słyszymy? Drgania błony bębenkowej przenoszone przez system kosteczek do ślimaka Wewnątrz ślimaka komórki słuchowe zamieniają drgania mechaniczne na impulsy nerwowe (elektryczne) Impulsy biegną do kory mózgowej Źródło:

11 Jak słyszymy? Ludzkie ucho wykrywa zmiany ciśnienia Fala dźwiękowa trafia do kanału słuchowego Wywiera fluktuujące ciśnienie na zewnętrzną stronę bębenka powietrze z drugiej strony bębenka jest pod ciśnieniem atmosferycznym różnica ciśnień po obu stronach błony bębenkowej ustawia ją w ruch Mikrofony i inne również wyczuwają różnicę ciśnień

12 Zakres słyszalności Źródło:

13 Zmiany ciśnienia i przemieszczenia Powierzchnia przekroju poprzecznego A Δs λ Δx x Dla fali poprzecznej w linie ruch cząstek wzdłuż osi Y: y x, t = y m ccc(kk ωω) lub y x, t = y m sss kk ωω Dla fali podłużnej (wybierzmy cos): s x, t = s m ccc(kk ωω)

14 Zmiany ciśnienia i przemieszczenia Powierzchnia przekroju poprzecznego A Δs λ Δx x Przemieszczenie małego elementu objętości: V = AΔx Przemieszczenie opisane wzorem: s x, t = s m ccc(kk ωω) Jak zmienia się ciśnienie?

15 Zmiany ciśnienia i przemieszczenia s x, t = s m ccc(kk ωω) A jak zmienia się ciśnienie? Zmiana objętości wywołana ruchem tłoka Δp = B ΔV V = B AΔs AΔx = B Δs Δx Objętość warstwy powietrza

16 Zmiany ciśnienia i przemieszczenia W granicy Δx 0: s x, t Δp = B = BBs m sss kk ωω bo s x, t = s m ccc(kk ωω) Amplituda zmian ciśnienia (max fluktuacja): Δp m = BBs m = ρρρs m? Pokaż to Δp = Δp m sss kk ωω

17 Przykład maksymalna amplituda w uchu Maksymalna amplituda zmian ciśnienia jaką może wytrzymać ludzkie ucho w postaci głośnego dźwięku to 28 PP Czy to dużo? Normalne ciśnienie powietrza to ok PP! Jaka jest amplituda przemieszczenia s m dla takiego dźwięku w powietrzu o gęstości ρ = 1.21 kk/m 3, przy częstości 1000HH i prędkości 343m/s?

18 Przykład rozwiązanie Pokazaliśmy, że amplituda zmian ciśnienia: Δp m = ρρρs m s m = Δp m /ρρρ Dane: Δp m = 28 PP, ρ = 1.21 kk/m 3, f = 1000HH, v = 343m/s Nie mamy ω! Czy może jakoś wiąże się z f? ω = 2πf Czyli: s m = Δp m 2ππvv = m = 11μμ Uwaga: używaliśmy zamiennie f i ν (ν - Restnick i inni), ale częstość ν (czyt. ni) może się wam mylić z prędkością v (czyt. fau), więc zostaniemy przy f!

19 Wrażenia słuchowe Częstość fali dźwiękowej wysokość dźwięku Dla danej częstości im większe Δp m tym głośniejszy (i niższy) wydaje się dźwięk Związek między Δp m a odbieraną głośnością nie jest prosty (różnie dla różnych osób) Wrażliwość na dźwięki o różnej częstości z zakresu słyszalnego jest inna Dźwięk o tym samym Δp m ale innej częstości może się wydawać głośniejszy

20 Natężenie fali dźwiękowej Średnia szybkość dostarczania energii na jednostkę powierzchni Moc szybkość dostarczania energii Można pokazać, że: I = P S powierzchnia I = P S = 1 2 ρρω2 s m 2 Wzór wyprowadzony na str 166, tom 2(5) Restnick i inni na ćwiczenia

21 Skala głośności Amplitudy s m w ludzkim uchu: Od m najcichsze dźwięki Do 10 5 m najgłośniejsze dźwięki (patrz przykład) Stosunek amplitud = 106 Stosunek natężeń I = 1 2 ρρω2 s m Duuuży zakres skala logarytmiczna Głośność dźwięku β = 10dd lll I I 0

22 Głośność β = 10dd lll I I 0 Alexander Graham Bell Standardowe natężenie odniesienia bliskie natężeniu dla najcichszego słyszalnego dźwięku I 0 = W m Dla I = I 0 β = 0dd (Decybel=0.1 Bela) β = 40dd to już natężenie 10 4 większe od standardowego!

23 Decybele wokół nas Źródło:

24 Źródła dźwięków w muzyce Drgające ciała: Struny: gitara, skrzypce, fortepian, Membrany: kocioł, werbel, Słupy powietrza: flet, obój, organy, Drewniane lub metalowe płytki: ksylofon, marimba

25 Fala stojąca w rurze Poznaliśmy już falę stojącą w strunie Analogicznie fala stojąca w wypełnionej powietrzem rurze Możliwe nawet w rurach otwartych częściowe odbicie Zaleta fali stojącej duża, niezanikająca amplituda Dźwięk wychodzący z rury o częstości tej samej co drgania w rurze

26 Fala stojąca w rurze otwartej na obu końcach Na każdym końcu mamy strzałkę pierwsza harmoniczna (n=1): L = λ 2L λ = 2L = 2 1 druga harmoniczna (n=2): L = λ λ = L = 2L trzecia harmoniczna (n=3) : L = 3λ 22 λ = 2 3 λ = 22, n = 1, 2, 3, n 2 ν = v λ = nn 22 częstości rezonansowe Źródło:

27 Fala stojąca w rurze otwartej na jednym końcu Na zamkniętym końcu węzeł, na otwartym strzałka, n- harmoniczne: n=1: L = λ 4 λ = 4L n=2: L = 3 4 λ λ = 4 3 L n=3: L = 5λ 4L λ = 4 5 λ = 4L, n = 1,2,3 2n 1 ν = v λ = (2n 1)v 4L częstości rezonansowe

28 Fala stojąca w rurze zamkniętej Na końcach strzałki n=1: L = λ λ = 2L 2 n=2: L = λ λ = L n=3: L = 3λ 2 λ = 2L n λ = 2L 3, n = 1,2,3, ν = v λ = nn 2L częstości rezonansowe Źródło:

29 Efekt Dopplera (J. Ch. Doppler 1842) Radiowóz stoi na poboczu z włączoną syreną wyjącą z częstością 1000 Hz Ty też stoisz na poboczu: słyszysz dźwięk o tej samej częstości Jedziesz w kierunku radiowozu z prędkością 120km/h słyszysz dźwięk o 96Hz wyższy Oddalasz się z prędkością 120km/h słyszysz dźwięk o 96Hz niższy

30 EX1: Obserwator i źródło nieruchome Źródło emituje dźwięk o częstości f Fala dźwiękowa porusza się z prędkością v v λ λ = v f S, f D = f S = v/λ

31 EX2: Obserwator przybliża się do nieruchomego źródła v D v λ f D = v + v D λ = v + v D v/f S = f S 1 + v D v f D > f S

32 EX2: Obserwator oddala się od nieruchomego źródła λ v v D f D = v v D λ = v v D v/f S = f S 1 v D v f D < f S

33 EX3: Obserwator i źródło poruszają się v D v s v Fala emitowana goni czoło fali wyemitowanej wcześniej długość fali przed źródłem mniejsza

34 EX3: Obserwator i źródło poruszają się obserwator goni źródło (za źródłem) v D v v s λ = v+v S f S, f D = v+v D λ = v+v D v+v S f S = f S v+v D v+v S

35 EX3: Obserwator i źródło poruszają się obserwator ucieka przed źródłem (przed źródłem) v s v v D λ = v v S, f f D = v v D S λ = v v D v v S f S = f S v v D v v S

36 Jakie jeszcze mogą być sytuacje? f D = f S v ± v D v v S Jeśli S i D zbliżają się do siebie to wzrost częstości i vice versa Rozpatrz jeszcze pozostałe przypadki jako ćwiczenie Co to jest przesunięcie ku czerwieni? Linie widmowe promieniowania elektromagnetycznego docierające z niektórych gwiazd lub galaktyk są przesunięte w stronę większych długości fali (mniejszych częstotliwości) Oddalamy się od źródła!

37 Fala uderzeniowa v ± v D f D = f S v v S A co jeśli v v S 0? f D A co jeśli prędkość źródła większa niż dźwięku? Nie stosujemy równania opisującego efekt Dopplera Fala uderzeniowa - warstwa, w której następuje gwałtowny wzrost ciśnienia gazu (kondensacja - mgiełka)

38 Fala uderzeniowa prędkości naddźwiękowe Źródło wyprzedza falę Stożek Macha liczba Macha sin α = vv v S t = v v S

39 W domu Przeczytaj Restnik, Halliday, Walker, Podstawy Fizyki tom 2, rozdział 18 (Fale II)