3.3. UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH. Równanie liniowe z dwiema niewiadomymi. Równaniem liniowym z dwiema niewiadomymi x i y nazywamy równanie postaci

Podobne dokumenty
Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

3.2. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI LINIOWE.

Rozwiązywanie układu równań metodą przeciwnych współczynników

1.UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH

Pendolinem z równaniami, nierównościami i układami

UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH

Układy równań i nierówności

FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH

Układy równań. Kinga Kolczyńska - Przybycień 22 marca Układ dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi

FUNKCJA LINIOWA - WYKRES

FUNKCJA LINIOWA. A) B) C) D) Wskaż, dla którego funkcja liniowa określona wzorem jest stała. A) B) C) D)

Definicja i własności wartości bezwzględnej.

Równania różniczkowe cząstkowe

EGZAMIN GIMNAZJALNY W ROKU SZKOLNYM 2011/2012

FUNKCJA LINIOWA. Zadanie 1. (1 pkt) Na rysunku przedstawiony jest fragment wykresu pewnej funkcji liniowej y = ax + b.

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

a, b funkcji liniowej y ax + b

Równania różniczkowe cząstkowe

Definicja wartości bezwzględnej. x < x y. x =

FUNKCJA LINIOWA, OKRĘGI

Matematyka licea ogólnokształcące, technika

FUNKCJA LINIOWA - WYKRES. y = ax + b. a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe

Liczby, działania i procenty. Potęgi I pierwiastki

25. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE PIERWSZEGO RZĘDU. y +y tgx=sinx

matematyka Matura próbna

M10. Własności funkcji liniowej

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Funkcje liniowe i wieloliniowe w praktyce szkolnej. Opracowanie : mgr inż. Renata Rzepińska

FUNKCJA LINIOWA. Przykłady lekcji 6 matematyki z zastosowaniem komputera. Autor pracy: JOANNA NOWAK

3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,.

ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI

Skrypt 10. Funkcja liniowa. Opracowanie L Równanie pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi.

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 5

Ć w i c z e n i e K 2 b

12.Rozwiązywanie równań i nierówności liniowych oraz ich układów.

PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA PROSTO DO MATURY KLASA 1 ZAKRES PODSTAWOWY

Programowanie nieliniowe optymalizacja funkcji wielu zmiennych

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

KONSPEKT LEKCJI na temat: PRZESUWANIE PARABOLI

Dwie proste mogą być względem siebie prostopadłe, równoległe albo przecinać się pod kątem innym niż prosty..

RZĘDU PIERWSZEGO. RÓWNANIE BERNOULLIEGO. RÓWNANIE JEDNORODNE. KRZYWE ORTOGONALNE. RÓWNANIE BERNOULLIEGO. Nieliniowe równanie różniczkowe Bernoulliego

FIGURY I PRZEKSZTAŁCENIA GEOMETRYCZNE

Zadanie. Oczywiście masa sklejonych ciał jest sumą poszczególnych mas. Zasada zachowania pędu: pozwala obliczyć prędkość po zderzeniu

Rozwiązania zadań. Arkusz Maturalny z matematyki nr 1 POZIOM ROZSZERZONY. Aby istniały dwa różne pierwiastki równania kwadratowego wyróżnik

Geometria analityczna - przykłady

Kształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 2

Rozwiązanie równań stanu dla układów liniowych - pola wektorowe

Skrypt 23. Geometria analityczna. Opracowanie L7

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 3

WIELOMIANY I FUNKCJE WYMIERNE

Funkcja liniowa i prosta podsumowanie

Ćwiczenie 361 Badanie układu dwóch soczewek

Układy równań stopnia pierwszego z dwiema i trzema niewiadomymi

TEMAT: Ilustracja graficzna układu równań.

KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W OPARCIU O PODSTAWĘ PROGRAMOWĄ I PROGRAM NAUCZANIA MATEMATYKA 2001 DLA KLASY DRUGIEJ

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY III

Egzamin ustny z matematyki semestr II Zakres wymaganych wiadomości i umiejętności

Zadanie 3 Oblicz jeżeli wiadomo, że liczby 8 2,, 1, , tworzą ciąg arytmetyczny. Wyznacz różnicę ciągu. Rozwiązanie:

Scenariusz lekcji matematyki z wykorzystaniem komputera

PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA PROSTO DO MATURY KLASA 1 ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY

Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny branżowa szkoła I stopnia klasa 1 po gimnazjum

Wykład 4 Testy zgodności. dystrybuanta rozkładu populacji dystrybuanty rozkładów dwóch populacji rodzaj rozkładu wartości parametrów.

Pojęcie funkcji i jej podstawowe własności.

Zajęcia nr. 6: Równania i układy równań liniowych

Równania różniczkowe

Pierwiastki kwadratowe z liczby zespolonej

DEFINICJE: Punkt, prosta, płaszczyzna i przestrzeń są pojęciami pierwotnymi przyjmowanymi bez definicji,

Matematyka dyskretna dla informatyków

Matura próbna 2014 z matematyki-poziom podstawowy

EGZAMIN PRÓBNY CZAS PRACY: 180 MIN. SUMA PUNKTÓW: 50 ZADANIE 1 (1 PKT) ZADANIE 2 (1 PKT) ZADANIE 3 (1 PKT) ZADANIE 4 (1 PKT) ZADANIE 5 (1 PKT)

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

ROZKŁAD MATERIAŁU DLA KLASY I LICEUM I TECHNIKUM (ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ

PLAN WYNIKOWY PROSTO DO MATURY KLASA 1 ZAKRES PODSTAWOWY

1.8. PRZEDZIAŁY LICZBOWE

VIII. ZBIÓR PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ MATURALNYCH

GEOMETRIA ANALITYCZNA W PRZESTRZENI

Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne.

POWTÓRKA ROZDZIAŁU III FUNKCJA LINIOWA

f x f y f, jest 4, mianowicie f = f xx f xy f yx

FUNKCJE ELEMENTARNE I ICH WŁASNOŚCI

Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu

MATEMATYKA ZBIÓR ZADAŃ MATURALNYCH. Lata Poziom podstawowy. Uzupełnienie Zadania z sesji poprawkowej z sierpnia 2019 r.

Rozdział VII. Przekształcenia geometryczne na płaszczyźnie Przekształcenia geometryczne Symetria osiowa Symetria środkowa 328

Przykładowe rozwiązania

Wykład Analiza jakościowa równań różniczkowych

14. Grupy, pierścienie i ciała.

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 1 zakres podstawowy 1. LICZBY RZECZYWISTE

3.4. FUNKCJA LINIOWA ZADANIA TEKSTOWE. Sześć lat temu ojciec był 6 razy starszy od syna.

Stan naprężenia. Przykład 1: Tarcza (płaski stan naprężenia) Określić siły masowe oraz obciążenie brzegu tarczy jeśli stan naprężenia wynosi:

ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI W KLASIE II TECHNIKUM.

Metody Eulera i Eulera-Cauchy'ego rozwiązywania równań różniczkowych zwyczajnych. y 3 := x 2 (1) ( ) Rozwiązanie dokładne równania (1) (2)

WYMAGANIA na poszczególne oceny-klasa I Gimnazjum

są wielomianami nie jest wielomianem zerowym. Rozwiązując załoŝenie otrzymujemy dziedzinę wyraŝenia wymiernego.

Rozwiązywanie belek prostych i przegubowych wyznaczanie reakcji i wykresów sił przekrojowych 6

ZAGADNIENIA ZALICZENIOWE i PRZYKŁADY PYTAŃ z METOD KOMPUTEROWYCH w TSiP

KURS FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH

Wymagania edukacyjne z matematyki klasa II technikum

punktów 0 2 punktów oznaczenie i wyskalowanie osi wykresu narysowanie odcinka łączącego punkty o współrzędnych (0 m; 0 J) i (31,25 m; J)

Transkrypt:

.. UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH Równanie liniowe z dwiema niewiadommi Równaniem liniowm z dwiema niewiadommi i nazwam równanie postaci A B C 0, gdzie A, B, C R i A B 0 m równania z dwiema niewiadommi nazwam parę liczb, które spełniają dane równanie. Ilustracją graficzną równania liniowego z dwiema niewiadommi jest prosta. Przkład... Sprawdź, która z par (, ), (,0) 0 jest rozwiązaniem równania 0, 0 0 0 Odp. (, ) nie jest rozwiązaniem równania. 0 (,0) 0 0 0 0 Odp. (,0) jest rozwiązaniem równania., jest rozwiązaniem równania, podstawiając Sprawdzam, cz para, Po uproszczeniu otrzmujem równość fałszwą. Zatem (, ) nie jest rozwiązaniem równania. Sprawdzam, cz para (,0) jest rozwiązaniem równania, podstawiając, 0 Po uproszczeniu otrzmujem równość prawdziwą.,0 jest rozwiązaniem równania. Zatem

Układ równań liniowch z dwiema niewiadommi Układem równań liniowch z dwiema niewiadommi jest układ c b a c b a Układ równań liniowch z dwiema niewiadommi moŝna rozwiązać metodą podstawiania, metodą przeciwnch współcznników, metodą graficzną. Przkład... RozwiąŜ układ równań metodą podstawiania 7 4 / 7 4 4 Odp. Układ ma jedno rozwiązanie Metoda podstawiania polega na wznaczeniu niewiadomej z jednego równania i podstawieniu jej do drugiego, otrzmujem wówczas równanie z jedną niewiadomą, które rozwiązujem. Z drugiego równania wznaczam niewiadomą i podstawiam ją do pierwszego równania. Drugie równanie przepisujem, a pierwsze rozwiązujem. Znalezioną wartość podstawiam do drugiego równania i obliczam.

4 Przkład... RozwiąŜ układ równań metodą przeciwnch współcznników 4 Metoda przeciwnch współcznników polega na pomnoŝeniu równania lub równań przez liczbę lub liczb, w taki sposób, ab otrzmując prz jednej niewiadomej przeciwne współcznniki, wówczas po dodaniu stronami obu równań otrzmujem równanie z jedną niewiadomą które rozwiązujem. 4 / / 0 0 0 4 0 0 4 0 9 9 / 9 4 / 4 4 4 Ab prz niewiadomej otrzmać przeciwne współcznniki, mnoŝm pierwsze równanie przez, a drugie przez. Równania dodajem stronami i rozwiązujem równanie z niewiadomą. Znalezioną wartość podstawiam do pierwszego równania i obliczam. Odp.. Układ ma jedno rozwiązanie

Ilustracja graficzna układu równań liniowch Liczba rozwiązań Nazwa układu jednm Proste przecinają się w punkcie (, ), którego współrzędne (,) są rozwiązaniem układu jedno rozwiązanie (,) układ oznaczon lub układ równań niezaleŝnch Proste są równoległe rozłączne, nie mają punktów wspólnch nie ma rozwiązania układ sprzeczn lub układ równań sprzecznch Proste pokrwają się, kaŝd punkt leŝąc na tch prostch jest rozwiązaniem układu nieskończenie wiele rozwiązań układ nieoznaczon lub układ równań zaleŝnch

Przkład..4. RozwiąŜ algebraicznie układ równań. Wkonaj ilustrację graficzną układu. a) 0 / ------------------- 7 7 / 7 0 / Odp. Układ ma jedno rozwiązanie Rozwiązujem układ równań algebraicznie metodą przeciwnch współcznników. Metoda graficzna (ilustracja graficzna) układu polega na narsowaniu prostch opisanch poszczególnmi równaniami, a następnie odcztaniu z rsunku punktów wspólnch obu prostch. / - 0 Z pierwszego równania wznaczam. Prz pomoc tabelki wznaczam punkt

/ - 4-4 Z drugiego równania wznaczam. Prz pomoc tabelki wznaczam punkt Odp. Układ ma jedno rozwiązanie,. Zaznaczając punkt z tabelek rsujem proste. Proste przecinają się w jednm punkcie, P. Współrzędne punktu P są rozwiązaniem układu. b) 0 0 0 0 Porządkujem układ równań.

( ) / 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Odp. Układ nie ma rozwiązania. 0 0 / ( ) - 4 - -4 0 0 0 / ( 0) 0 0 0 Rozwiązujem układ równań algebraicznie metodą przeciwnch współcznników. Wniku przekształceń obie niewiadome się redukują i otrzmujem sprzeczność. Rozwiązujem układ równań metodą graficzną. Z pierwszego równania wznaczam. Prz pomoc tabelki wznaczam punkt Z drugiego równania wznaczam. Prz pomoc tabelki wznaczam punkt Zaznaczając punkt z tabelek rsujem proste. Proste nie mają punktów wspólnch. Odp. Układ nie ma rozwiązania.

c) / / 0 0 0 0 0 0 0 0 / 0 0 0 0 0 0 Odp. Układ ma nieskończenie wiele rozwiązań. 0 0 0 0 / -4-0 - -4 - Porządkujem układ równań Rozwiązujem układ równań algebraicznie metodą przeciwnch współcznników. Wniku przekształceń obie niewiadome się redukują i otrzmujem toŝsamość. Rozwiązujem układ równań metodą graficzną. Oba równania są takie same, dlatego przedstawiają dwie jednakowe proste. Z równania wznaczam. Prz pomoc tabelki wznaczam punkt

Zaznaczając punkt z tabelki rsujem prostą. Proste pokrwają się. Mają nieskończenie punktów wspólnch. KaŜd punkt leŝąc na prostej jest rozwiązaniem układu. Odp. Układ ma nieskończenie wiele rozwiązań. ĆWICZENIA Ćwiczenie... (pkt.)rozwiąŝ układ równań 0 schemat oceniania Numer odpowiedzi Odpowiedź Liczba punktów Podanie wartości niewiadomej Podanie wartości niewiadomej Ćwiczenie... (pkt.) RozwiąŜ układ równań 7 4 ( ) ( ) schemat oceniania Numer odpowiedzi Odpowiedź Liczba punktów Podanie układu równań uporządkowanego. Podanie wartości niewiadomej Podanie wartości niewiadomej