SNM - Elementy analizy wektorowej - 1 Całki krzywoliniowe Definicja (funkcja wektorowa jednej zmiennej) Funkcją wektorową jednej zmiennej nazywamy odwzorowanie r : I R 3, gdzie I oznacza przedział na prostej, co zapisujemy gdzie t I. r(t) = [x(t), y(t), z(t)], Jeżeli funkcje x, y, z mają ciągłe pochodne na przedziale I, to mówimy, że funkcja wektorowa r jest różniczkowalna w sposób ciągły na I, a pochodna określona jest wzorem r (t) = [x (t), y (t), z (t)]. Równania parametryczne ważniejszych łuków Odcinek w przestrzeni o końcach A(x 1, y 1, z 1 ), B(x 2, y 2, z 2 ) ma przedstawienie parametryczne x(t) = x 1 + (x 2 x 1 ) t, : y(t) = y 1 + (y 2 y 1 ) t, t < 0, 1 >. z(t) = z 1 + (z 2 z 1 ) t, Okrąg o środku S(x 0, y 0 ) i promieniu R ma przedstawienie parametryczne : { x(t) = x0 + R cos t, y(t) = y 0 + R sin t, t < 0, 2π >. Elipsa o środku S(x 0, y 0 ) i półosiach a, b ma przedstawienie parametryczne : { x(t) = x0 + a cos t, y(t) = y 0 + b sin t, t < 0, 2π >. Linia śrubowa o skoku h, nawinięta na walec (x x 0 ) 2 +(y y 0 ) 2 = R 2 ma przedstawienie parametryczne x(t) = x 0 + R cos t, : y(t) = y 0 + R sin t, t R. z(t) = h 2π t
SNM - Elementy analizy wektorowej - 2 Twierdzenie (długość łuku) Niech = {(x(t), y(t), z(t)) : t β} będzie łukiem zwykłym, gładkim w przestrzeni. Wtedy jego długość wyraża się wzorem = β [x (t)] 2 + [y (t)] 2 + [z (t)] 2 dt. Całka krzywoliniowa niezorientowana. Definicja (całka krzywoliniowa niezorientowana) Niech = {(x(t), y(t)) : t <, β >} będzie łukiem gładkim na płaszczyźnie. Wprowadźmy oznaczenia: P = {t 0, t 1,..., t n } - podział odcinka <, β > na n N odcinków; δ(p ) = max{ t k : 1 k n} - średnica podziału P ; l k - długość łuku A k 1 A k, gdzie 1 k n. Niech f będzie funkcją ograniczoną na łuku gładkim. Całkę krzywoliniową niezorientowaną z funkcji f po łuku definiujemy wzorem n f(x, y) dl def = lim f(x k, yk) l k, δ(p ) 0 k=1 o ile granica po prawej stronie znaku równości istnieje i nie zależy od sposobu podziału P odcinka <, β > ani od sposobu wyboru zbioru punktów pośrednich (x k, y k).
SNM - Elementy analizy wektorowej - 3 Uwaga Całka krzywoliniowa nie zależy od parametryzacji łuku. Zamiana całki krzywoliniowej niezorientowanej na całkę pojedynczą Niech f będzie funkcją ciągłą na łuku gładkim. Wtedy gdy = {y = y(x) : a x b} mamy wzór f(x, y) dl = b a f(x, y(x)) 1 + [y (x)] 2 dx ; = {(x(t), y(t)) : t <, β >} mamy wzór f(x, y) dl = β f(x(t), y(t)) [x (t)] 2 + [y (t)] 2 dt ; = {(x(t), y(t), z(t)) : t <, β >} mamy wzór f(x, y, z) dl = β f(x(t), y(t), z(t)) [x (t)] 2 + [y (t)] 2 + [z (t)] 2 dt. Zastosowania Długość łuku. Pole płata powierzchni bocznej walca. Masa łuku. Momenty statyczne względem osi układu łuku materialnego. Momenty statyczne względem płaszczyzn układu łuku materialnego. Współrzędne środka masy łuku materialnego. Momenty bezwładności względem osi lub początku układu współrzędnych łuku materialnego. Natężenie pola elektrycznego, Siła przyciągania grawitacyjnego, Energia kinetycznej łuku.
SNM - Elementy analizy wektorowej - 4 Całka krzywoliniowa zorientowana. Definicja (łuk zorientowany) Łuk zwykły niezamknięty, na którym ustalono początek i koniec (kierunek), nazywamy łukiem zorientowanym. Łuk zorientowany oznaczamy tym samym symbolem co łuk:. Łuk o orientacji przeciwnej do orientacji łuku oznaczamy przez. Jeżeli wraz ze wzrostem parametru łuku zorientowanego poruszamy się po nim w kierunku orientacji, to mówimy, że parametryzacja łuku jest zgodna z jego orientacją. Definicja (całka krzywoliniowa zorientowana) Niech F = [P, Q] będzie polem wektorem na łuku zorientowanym R 2. Całkę krzywoliniową zorientowaną z pola wektorowego F po łuku definiujemy wzorem n P (x, y) dx + Q(x, y) dy def = lim ( P (x k, yk) x k + Q(x k, yk) y k ), δ(p ) 0 k=1 o ile granica po prawej stronie znaku równości istnieje oraz nie zależy od sposobu podziału P przedziału <, β > ani od sposobu wyboru zbioru punktów pośrednich (x k, yk). Oznaczenia: A k - punkty podziału łuku indukowane przez podział P ; r k - punkty pośrednie na łuku A k 1 A k ; r k = [ x k, y k ] dla 1 k n. Powyższą całkę oznaczamy P dx + Q dy lub F d r, gdzie d r = [ dx, dy ]. Całkę krzywoliniową z pola wektorowego F = [P, Q, R] po łuku położonym w przestrzeni definiujemy analogicznie i oznaczamy symbolem P dx + Q dy + R dz
SNM - Elementy analizy wektorowej - 5 lub gdzie d r = [ dx, dy, dz ]. F d r, Zamiana całki krzywoliniowej zorientowanej na całkę pojedynczą Jeżeli na łuku gładkim = {(x, y) : y = y(x), x < a, b >}, którego orientacja jest zgodna ze wzrostem zmiennej x, pole wektorowe F = [P, Q] jest ciągłe, to P (x, y) dx + Q(x, y) dy = b [P (x, y(x)) + Q(x, y(x))y (x)] dx. a Jeżeli na łuku gładkim = {(x(t), y(t)) : t <, β >}, którego orientacja jest zgodna z parametryzacją, pole wektorowe F = [P, Q] jest ciągłe, to P (x, y) dx + Q(x, y) dy = β [P (x(t), y(t))x (t) + Q(x(t), y(t))y (t)] dt. Jeżeli na łuku gładkim = {(x(t), y(t), z(t)) : t <, β >}, którego orientacja jest zgodna z parametryzacją, pole wektorowe F = [P, Q, R] jest ciągłe, to = β P (x, y, z) dx + Q(x, y, z) dy + R(x, y, z) dz = [P (x(t), y(t), z(t))x (t) + Q(x(t), y(t), z(t))y (t) + R(x(t), y(t), z(t))z (t)]dt. W formie wektorowej powyższe dwa wzory mają postać: F ( r ) d r = [ F ( r ) r (t)] dt. Wyrażenie P (x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz jest różniczką zupełną funkcji U(x, y, z) w obszarze D, jeżeli w tym obszarze Równość U x (x, y, z) = P (x, y, z), U y (x, y, z) = Q(x, y, z), U z (x, y, z) = R(x, y, z). P y (x, y, z) = Q x (x, y, z), Q z (x, y, z) = R y (x, y, z), R x (x, y, z) = P z (x, y, z) jest warunkiem koniecznym i wystarczającym na to, aby I) wyrażenie P (x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz było różniczką zupełną; II) całka krzywoliniowa AB P (x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz wzdłuż krzywej AB nie zależała od drogi całkowania, a tylko od położenia punktów A i B.
SNM - Elementy analizy wektorowej - 6 W tym przypadku P (x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz = AB W formie wektorowej powyższe twierdzenie można zapisać następująco AB AB grad U d r = U(B) U(A). Zastosowania całki krzywoliniowej zorientowanej du(x, y, z) = U(B) U(A). Pole obszaru ograniczonego łukiem zamkniętym kawałkami gładkim. Praca w polu wektorowym wykonana wzdłuż łuku zorientowanego.
SNM - Elementy analizy wektorowej - 7 Całki powierzchniowe Definicja (funkcja wektorowa dwóch zmiennych) Niech D będzie obszarem na płaszczyźnie. Funkcją wektorową dwóch zmiennych w przestrzeni nazywamy odwzorowanie r : D R 3 : gdzie (u, v) D. Funkcja wektorowa r jest: r = [ x(u, v), y(u, v), z(u, v) ], ciągła na obszarze D, gdy funkcje x, y, z są ciągłe na tym obszarze; różniczkowalna w sposób ciągły na obszarze D, gdy funkcje x, y, z mają ciągłe wszystkie pochodne cząstkowe pierwszego rzędu na tym obszarze. Definicja (płat powierzchniowy) Niech D będzie prostokątem domkniętym oraz niech funkcja wektorowa r(u, v) będzie ciągła i różnowartościowa na tym prostokącie. Płatem prostym powierzchniowym nazywamy zbiór wartości funkcji wektorowej r: Σ = { r(u, v) : (u, v) D}. Zbiór w przestrzeni taki, że każdy jego punkt ma otoczenie domknięte, które jest płatem prostym, nazywamy płatem powierzchniowym. Definicja (płat powierzchniowy gładki) Płat powierzchniowy Σ, gdzie D jest obszarem domkniętym z brzegiem kawałkami gładkim, a funkcja wektorowa r jest różnowartościowa i różniczkowalna w sposób ciągły na obszarze D, nazywamy płatem gładkim, gdy na bszarze D spełniony jest warunek gdzie r u r v 0, r u = [ x u, y u, z u ], r v = [ x v, y v, z v ]. Płat, który można podzielić na skończoną liczbę płatów gładkich, nazywamy płatem kawałkami gładkim. Równania parametryczne ważniejszych powierzchni Sfera o środku w (0, 0, 0) i promieniu r: x = r cos u cos v, Σ : y = r sin u cos v, z = r sin v, gdzie u [0, 2π], v [ π 2, π 2 ]. Powierzchnia walcowa x 2 + y 2 = r 2, gdzie 0 z H: x = r cos u, Σ : y = r sin u, z = v, gdzie u [0, 2π], v [0, H].
SNM - Elementy analizy wektorowej - 8 Powierzchnia stożka z = k x 2 + y 2, gdzie x 2 + y 2 r 2 : gdzie u [0, 2π], v [0, r]. x = v cos u, Σ : y = v sin u, z = kv, Powierzchnia paraboloidy obrotowej z = k(x 2 + y 2 ), dla x 2 + y 2 r 2 : gdzie u [0, 2π], v [0, r]. x = v cos u, Σ : y = v sin u, z = kv 2,