Fizyka relatywistyzna Zadania z rozwiązaniami Projekt współfinansowany przez Unię uropejską w ramah uropejskiego Funduszu Społeznego
Zadanie Na spozywająą ząstkę zazyna działać stała siła. Jaką prędkość uzyska ząstka, gdy siła wykona praę W? Porównaj rozwiązanie klasyzne i relatywistyzne. Rozwiązanie klasyzne: nergię kinetyzną przyrównujemy do wykonanej pray Rozwiązanie relatywistyzne: nergia kinetyzna wynosi : m m, zyli: m mv klas W W v klas m m W W m W m W m W v relat. v klas v m W W m m m Z porównania rozwiązań wynika, że wzór relatywistyzny przehodzi we wzór klasyzny, gdy spełniony jest warunek W m, a zatem gdy praa wykonywana przez siłę przyspieszająą jest znaznie mniejsza od energii spozynkowej przyspieszanej ząstki. Wynika stąd, że obok znanego kryterium stosowania mehaniki relatywistyznej, gdy prędkość iała jest bliska prędkośi światła w próżni, można sformułować drugie kryterium, które mówi, że mehanikę relatywistyzną stosujemy wtedy, gdy energia dostarzona iału jest, o najmniej bliska jego energii spozynkowej.
, 3 9 Przykład: Weźmy jako ząstkę elektron o masie spozynkowej m 9, kg i ładunku e 6, C przyspieszany w polu elektryznym (stałą siłą). nergię spozynkową elektronu można oblizyć ze wzoru: 3 6 4 6 m 9, kg 9 m s 8 9, J 5, ev 5, MeV Przypomnijmy, że używana w fizye atomowej, relatywistyznej i jądrowej wygodna jednostka energii elektronowolt [ev] jest 9 zdefiniowana jako energia, którą uzyskuje ładunek elementarny e 6, C przebywają różnię potenjałów U = V, 9 zyli ev 6, J. Wskutek przebyia drogi, dla której różnia potenjałów wynosi U elektron uzyskuje energię kinetyzną równą pray wykonanej przez pole elektryzne W = eu. Rozważmy dwa przypadki:.lektron przyspieszany w lampie kineskopowej w różniy potenjałów U = 5 kv uzyskuje energię W eu 5, W 5, 5 zatem v v klas v klas 96, m 5,, kev gdzie v klas 3, Różnia między wartośią prędkośi końowej oblizoną klasyznie i relatywistyznie jest niewielka..lektron przyspieszany w akeleratorze van de Graaffa w różniy potenjałów U = 5 MV uzyskuje energię W 5 eu MeV, wię 5 W m gdzie v klas 9 9, stąd: v 5 5 v klas v klas, W tym przypadku wartość prędkośi końowej oblizona ze wzoru klasyznego jest ozywiśie nonsensowna.
Zadanie Cząstka o masie spozynkowej m porusza się z taką prędkośią, że jej zas żyia obserwowany w układzie laboratorium jest trzy razy dłuższy niż średni zas żyia tej ząstki zmierzony wtedy, gdy ząstka jest w spozynku. Obliz energię kinetyzną i prędkość tej ząstki oraz jej pęd. Rozwiązanie Zależność między zasem własnym a zasem mierzonym w laboratorium t: t v t 3 3 k m m m nergia kinetyzna wynosi: m by oblizyć prędkość skorzystamy ze wzoru: 3 v v 3 Pęd można oblizyć na dwa sposoby. z zależnośi między energią ałkowitą, pędem i energią spozynkową: p 4 m 4 4 m m m p m p m. Z definiji pędu: p mv mv m
Zadanie 3 Obserwator O widzi dwa identyzne statki kosmizne zbliżająe się do niego z dwóh stron z prędkośią v 8,. Długość własna statku wynosi d = m. Jaką długość jednego z pojazdów obserwuje pilot drugiego pojazdu? Rozwiązanie Trzeba oblizyć prędkość jednego ze statków względem drugiego. v v 6, v' 976, v v 64, Długość jednego pojazdu w układzie drugiego: v' 976, d' d d, d, m Odp.: Pilot widzi drugi pojazd o długośi, m.
Zadanie 4 Zdarzenie ma w układzie O współrzędne zasoprzestrzenne x, t, zdarzenie - współrzędne zasoprzestrzenne x, t. Czy może istnieć związek przyzynowy między tymi zdarzeniami? Wartośi współrzędnyh: a) x =, t =, x = 5, t = 5, b) x =, t =, x = 3, t = 6 Rozwiązanie a) Kwadrat interwału zasoprzestrzennego między zdarzeniami i w układzie O wynosi: S t x t t x x 9 6 7 Interwał zasoprzestrzenny jest urojony: t x Oznaza to, że między zdarzeniami nie może być związku przyzynowego zdarzenia są tak daleko od siebie (duże x), że światło nie zdąży dotrzeć od zdarzenia do w zasie t Rozwiązanie b) Kwadrat interwału zasoprzestrzennego między zdarzeniami i w układzie O wynosi: S t x t t x x 36 35 Interwał zasoprzestrzenny jest rzezywisty: t x Oznaza to, że zdarzenia mogą być powiązane przyzynowo zdarzenia są na tyle bliskie przestrzennie (małe ), że światło zdąży dotrzeć od zdarzenia do w zasie t x
Zadanie 5 Zdarzenie ma w układzie O współrzędne zasoprzestrzenne x, t, zdarzenie - współrzędne zasoprzestrzenne x, t. Jaka jest ih kolejność zasowa w układzie współrzędnyh O poruszająym się wzdłuż osi x z prędkośią v =,8? Wartośi współrzędnyh: a) x =, t =, x = 5, t = 5, b) x =, t =, x = 3, t = 6 t by zbadać, jaka jest ih kolejność zasowa w układzie O, należy znaleźć t współrzędne zasowe zdarzeń w tym układzie (wykonać transformaję Lorentza) O O v x x x' x t t x t' gdzie v Rozwiązanie a) t' 8, 8,, 6, t' 5 8, 5 8, 6, 6667, O ile w układzie O najpierw zaszło zdarzenie, a potem (t < t ), to w układzie O kolejność zdarzeń jest odwrotna (t > t ).
Rozwiązanie b) Współrzędne zdarzeń w układzie O wynoszą: t' 8, 8, 6, 6, 667, t' 6 8, 3 8, 3 6, 6, 6 Kolejność zdarzeń w układzie O i w układzie O jest jednakowa: najpierw zaszło zdarzenie, a potem (t < t ) i (t < t ).
Zadanie 6 Zdarzenie ma w układzie O współrzędne zasoprzestrzenne x, t, zdarzenie - współrzędne zasoprzestrzenne x, t. Z jaką prędkośią porusza się układ O, w którym zdarzenia zajdą jednoześnie? Jaki warunek musi spełniać prędkość układu O, aby kolejność zdarzeń była odwróona? Wartośi współrzędnyh: a) x =, t =, x = 5, t = 5, b) x =, t =, x = 3, t = 6 Rozwiązanie a) by znaleźć prędkość takiego układu, w którym zdarzenia są równozesne, należy przyrównać wyrażenia na współrzędne zasowe w układzie poruszająym się z szukaną prędkośią u. t x t x t t x x t' t' t t x x gdzie u 3 75, 4 zyli u =,75 (dodatni znak prędkośi oznaza, prędkość u skierowana jest zgodnie z osią x) Kolejność zdarzeń będzie odwróona w układzie poruszająym się z prędkośią u, w którym zahodzi nierówność: t x t' t' t x t t x x wstawiamy dane lizbowe i otrzymujemy: 3 4 75, Odp.: Układ, w którym zdarzenia i są równozesne porusza się w kierunku dodatnim osi x z prędkośią u =,75, jeśli prędkość układu będzie większa niż,75, to kolejność zdarzeń będzie odwróona.
Rozwiązanie b) Czy istnieje układ, w którym zdarzenia są równozesne? Spróbujmy znaleźć prędkość takiego układu u. t t x x t x t x 6 6 Kolejność zdarzeń byłaby odwróona w układzie poruszająym się z prędkośią u, w którym zahodzi nierówność: t' Prowadzi to to nierównośi: 6 t' Otrzymaliśmy absurdalny wynik, ponieważ prędkość układu nie może być większa od prędkośi światła. Musi być spełniona nierówność: Odp.: Nie ma takiego układu, w którym zdarzenia są równozesne, jak również w żadnym układzie nie zahodzą w odwrotnej kolejnośi. Jest to słuszne dla każdyh dwóh zdarzeń, które mogą być powiązane przyzynowo Uwalnia nas to od dylematów filozofiznyh, gdybyśmy mogli w jakimś układzie obserwować najpierw skutek (np. narodziny syna), a potem przyzynę (narodziny jego oja).
Zadanie 7 Zdarzenie ma w układzie O współrzędne zasoprzestrzenne x, t, zdarzenie - współrzędne zasoprzestrzenne x, t. Z jaką prędkośią porusza się układ O, w którym zdarzenia zajdą w tym samym miejsu? Wartośi współrzędnyh: a) x =, t =, x = 5, t = 5, b) x =, t =, x = 3, t = 6 Rozwiązanie a) by znaleźć prędkość takiego układu, w którym zdarzenia zajdą w tym samym miejsu, należy przyrównać wyrażenia na współrzędne przestrzenne w układzie poruszająym się z szukaną prędkośią u. x' x' x x t x t x t t x x t t gdzie u 4 3 333, Nie istnieje układ, w którym zdarzenia zahodzą w tym samym miejsu, nie mogą wię byd powiązane przyzynowo. Żaden układ nie może poruszać się z prędkośią większą od prędkośi światła. Wynika z tego, że nie ma takiego układu, w którym zdarzenia i zajdą w tym samym miejsu. Rozwiązanie b) x x t t x' x' x x t t 6 667, Istnieje układ, w którym zdarzenia zahodzą w tym samym miejsu, mogą wię byd powiązane przyzynowo. Odp.: Układ, w którym zdarzenia i zajdą w tym samym miejsu porusza się w kierunku dodatnim osi x z prędkośią u =,667.
Zadanie 8 Na nieruhomą ząstkę o masie spozynkowej m zazyna działać stała siła F. Po jakim zasie energia kinetyzna ząstki w laboratoryjnym układzie odniesienia stanie się k razy większa od energii spozynkowej ząstki. Ile razy wzrośnie w tym zasie masa ząstki? Jaką drogę przebędzie ząstka w tym zasie w układzie laboratoryjnym? Rozwiązanie nergia pozątkowa: m m km k m nergia końowa: m k m m Z wyrażenia na masę końową m oblizamy prędkość końową v: m v k m v k k k
Z II zasady dynamiki: dp F dt dp Fdt p t p dp Fdt p Ft p m v k m k k k k k k k m F m Ft t k k szukany zas by oblizyć drogę przebytą x L przez ząstkę w układzie laboratoryjnym, przyrównujemy praę wykonaną przez siłę do nabytej przez ząstkę energii kinetyznej. Fx L km x L km F Odp.: masa ząstki wzrośnie k+ razy w zasie drogę km F x L m t k k F, w układzie laboratoryjnym ząstka przebędzie
Zadanie 9 km p m p Cząstka o masie spozynkowej m i pędzie zderza się z identyzną ząstką o pędzie. Obie ząstki poruszają się wzdłuż jednej prostej. Oblizyć masę spozynkową M i prędkość u powstałej w wyniku zderzenia ząstki złożonej. Rozwiązanie Z prawa zahowania pędu: km m M u u plus prędkośi ząstek mają jednakowe zwroty, minus - prędkośi ząstek mają przeiwne zwroty Z prawa zahowania energii: m v m v M u m v v km v k k m v m v v
k m v m m v m u M u k m u M k m Dzielimy równania stronami k k u u k m M k k m M
m p p Zadanie Spozywająa ząstka o masie spozynkowej M rozpada się na dwie ząstki o masah spozynkowyh m i m. Wyznazyć energie kinetyzne powstałyh ząstek i. Rozwiązanie prawo zahowania energii: p p prawo zahowania pędu: M m m m M p p Pęd ząstki należy wyrazić przez jego energię kinetyzną m p 4 4 m m m p k m p k k równanie () i () tworzą układ równań z niewiadomymi m m M m m M m M m m M M m M m m M
Zadanie Wyprowadzić wzór na dylataję zasu: Rozwiązanie: Na pozątku trzeba zdeydować, zy zostanie użyta prosta zy odwrotna transformaja Lorentza. Oba podejśia nie są w tym przypadku symetryzne i tylko jedno z nih umożliwia uzyskanie prostego wyniku. Chodzi mianowiie o to, żeby końowy rezultat zawierał tylko interwały zasowe oraz relatywistyzny zynnik zawarty pod pierwiastkiem. W tym przypadku skorzystamy z transformaji odwrotnej, wiążąej współrzędne układu spozywająego ze współrzędnymi układu poruszająego się: 7
Jeśli teraz hemy oblizyć zas, jaki upłynął w układzie spozywająym, pomiędzy hwilami t i t, to otrzymamy: W tym momenie trzeba pozynić ważną uwagę: x oraz x odpowiadają pomiarowi przeprowadzonemu przez obserwatora poruszająego się. Jeżeli hemy, aby mierzył on swój zas własny, jaki mu upłynął, to musi on dokonać pomiaru jednym i tym samym zegarem (zarówno t jak i t ). Zegar ten spozywa w jego własnym układzie, stąd wniosek, że x = x. Jeśli różnię t i t oznazymy jako Δt, to otrzymamy: 8
Zadanie Wyprowadzić wzór na relatywistyzne dodawanie prędkośi, przyjmują, że prędkość układu poruszająego się względem układu spozywająego wynosi u. Rozwiązanie: Jeśli w układzie będąym w ruhu, iało ma prędkość v, to jego prędkość w układzie spozywająym będzie wynosić: Następnie trzeba skorzystać z odwrotnej transformaji Lorentza, żeby wyrazić współrzędne w układzie spozywająym, przez współrzędne w układzie poruszająym się: Dokonują kolejnyh przekształeń oraz pamiętają, że otrzymujemy: 9
Zadanie 3 Rozwiązać paradoks bliźniąt. yło dwóh bliźniaków: Piotr i Paweł. Zaraz po urodzeniu Paweł wybrał się w długą podróż kosmizną rakietą, poruszająą się z prędkośią bliską prędkośi światła. Zgodnie z wnioskami płynąymi ze szzególnej teorii względnośi, Pawłowi zas powinien płynąć wolniej, zatem po powroie na Ziemię będzie on młodszy od swojego brata. Jednak z punktu widzenia Pawła, siedząego w rakieie, to on spozywa, zaś jego brat Piotr, porusza się względem niego z prędkośią bliską prędkośi światła, zatem to Piotrowi powinien wolniej płynąć zas i to on podzas spotkania powinien być młodszy. Jak rozwikłać ten paradoks? Rozwiązanie: Cały paradoks daje się rozwiązać, jeśli się narysuje odpowiednie układy odniesienia. Jak wiadomo, osie układu poruszająego się są pohylone względem osi układu spozywająego pod kątem proporjonalnym do prędkośi układu będąego w ruhu. Dla układu poruszająego się z prędkośią niewielką w porównaniu z prędkośią światła, osie tego układu z punktu widzenia obserwatora spozywająego, będą wyglądały następująo:
Układem poruszająym się jest tu ozywiśie układ primowany (patrz wykres na kolejnej stronie). Im większa prędkość tego układu, tym bardziej osie x oraz t będą się do siebie zbliżały. Jak wiadomo Paweł porusza się z prędkośią bliską prędkośi światła, a zatem jego odpowiednie osie będą nahylone pod bardzo dużym kątem, bliskim 45 do osi układu Piotra. Oś x, jest zarazem osią równozesnośi dla Pawła, zaś jego oś t, jest linią świata jego ruhu, widzianego z punktu widzenia Piotra. W momenie, gdy Piotr ma 5 lat, Paweł postanawia zawróić w kierunku Ziemi. Zmienia wtedy układ odniesienia na układ bis. Jego osie, a zatem i linia równozesnośi oraz linia świata w układzie Piotra, będą nahylone pod ujemnymi kątami. Na poglądowym rysunku kolorem zielonym zostały zaznazone linie równozesnośi spozywająego Piotra i przy każdej z tyh linii zaznazono, ile miał on lat w hwili tego zdarzenia. Kolorem niebieskim zaznazone są linie świata poruszająego się Pawła, z punktu widzenia Piotra (są to odpowiednio osie t i t ). Kolorem zerwonym zaś zaznazone są linie równozesnośi Pawła. Jak widać prawa szzególnej teorii względnośi nie zostały złamane. Pawłowi rzezywiśie zas płynie zdeydowanie wolniej aż do momentu deyzji o powroie. Piotr widzi, że podzas gdy on sam postarzał się o 5 lat, jego brat postarzał się powiedzmy o ok. 7 lat. Obserwaje Pawła będą również zgodne z teorią względnośi. Widzi on, że w momenie deyzji o powroie, zdążył postarzeć się o 7 lat, podzas gdy Piotr od hwili rozstania postarzał się zaledwie o lata (zerwona linia równozesnośi). Zatem z jego punktu widzenia, to Piotrowi na Ziemi zas płynie wolniej, bo to on porusza się względem Pawła. nalogiznie sytuaja przebiega w zasie powrotu na Ziemię. Znów każdy z nih prowadzi swoje własne obserwaje, sprzezne z obserwajami brata. Kluzowy dla rozwiązania tego paradoksu jest punkt, w którym Paweł zawraa swoją rakietę. Momentalnie zmienia on układ odniesienia, zmienia linię równozesnośi z linii odpowiadająej latom Piotra na linię odpowiadająą 48 latom Piotra. zatem momentalnie Piotr z punktu widzenia Pawła postarzał się o 46 lat! Paweł popełnił bardzo gruby błąd, pomijają w swoih obserwajah obszar na wykresie, leżąy pomiędzy liniami równozesnośi odpowiadająymi latom i 48 latom. Uwzględniają zatem ten efekt, rzezywiśie Paweł postarzeje się o 7 lat, podróżują w jedną stronę, o kolejne 7, podróżują w drugą stronę, zyli w sumie w trakie spotkania będzie on 4-letnim hłopem, podzas gdy Piotr będzie 5-letnim mężzyzną.
powrót linie równozesnośi Piotra podróż tam linie świata poruszająego się Pawła linie równozesnośi Pawła x
Zadanie 4 Rozwiązać paradoks tyzki i stodoły. Są dwie tyzkarki: Monika i nia. Monika postanowiła pobić rekord świata w skoku o tyze, ale potrzebuje do tego bardzo długiego rozbiegu, który biegnie przez stodołę. Stodoła posiada automatyznie zamykane drzwi na pozątku i na końu. nia postanowiła, że za wszelką enę uniemożliwi Monie pobiie rekordu i zamknie równoześnie przednie i tylne drzwi od stodoły w momenie, gdy Monika będzie przez tą stodołę przebiegać. Jednak z punktu widzenia ni tyzka ulegnie skróeniu, gdy Monika będzie biegła z bardzo dużą prędkośią i może się zdarzyć, że tyzka skrói się na tyle, że przednie i tylne drzwi stodoły zamkną się równoześnie, a po hwili otworzą się równoześnie, nie uszkadzają tyzki. Z kolei z punktu widzenia biegnąej Moniki, to stodoła przybliża się ku niej, a zatem ulegnie skróeniu i może stać się krótsza od tyzki. Zatem zamykająe się drzwi (nawet na bardzo krótką hwilę) mogą uszkodzić tyzkę. Jak zatem pogodzić to, o będzie widzieć Monika z tym, o będzie widzieć nia? Rozwiązanie: Pozorny spór obu tyzkarek wynika z braku zrozumienia krahu równozesnośi w szzególnej teorii względnośi. Trzeba narysować diagram zasoprzestrzenny (patrz kolejna strona) spozywająej ni, z jej liniami równozesnośi (oś x oraz linia zielona) oraz z liniami równozesnośi biegnąej Moniki (zerwone linie). Na diagramie tym odpowiednie zdarzenia oznazone są następująo: zamknięie pierwszyh drzwi stodoły, zamknięie drugih drzwi, otwarie pierwszyh drzwi, otwarie drugih drzwi. Zatem z punktu widzenia spozywająej ni drzwi pierwsze i drugie zamkną się w tej samej hwili, a po pewnej hwili również równoześnie się otworzą. Jeśli tyzka jest odpowiednio krótka, w wyniku relatywistyznego skróenia, to hwilowe zamknięie obu par drzwi nie spowoduje uszkodzenia tyzki w momenie, gdy ta znajduje się wewnątrz stodoły. nia słusznie będzie twierdzić, że wbrew swoim ozekiwaniom, nie udało jej się uszkodzić tyzki Moniki. 3
otwarie pierwszyh drzwi linie równozesnośi Moniki otwarie drugih drzwi zamknięie pierwszyh drzwi linie równozesnośi ni zamknięie drugih drzwi 4
Z punktu widzenia Moniki, to rzezywiśie stodoła ulegnie relatywistyznemu skróeniu i stanie się krótsza od tyzki, jednak zdarzenia nie będą już równozesne, jeśli przyjrzymy się zerwonym liniom równozesnośi Moniki, narysowanym na diagramie zasoprzestrzennym. Pierwsza linia równozesnośi Moniki przebiega przez zdarzenie, a wię zamknięie drugih drzwi stodoły. Następnie mamy zdarzenie, zyli otwarie drugih drzwi stodoły. W międzyzasie Monika wbiega do środka ze swoją długą (w porównaniu ze stodołą) tyzką. Kolejna linia równozesnośi przebiega przez, zyli zamknięie pierwszyh drzwi (ale Monika zdążyła już dawno je minąć) i wreszie następuje, zyli otwarie pierwszyh drzwi. ardzo duża prędkość Moniki spowodowała, że jej linie równozesnośi są nahylone pod takimi kątami, że możliwe jest dla niej minięie stodoły bez ryzyka uszkodzenia tyzki. Każda z obu tyzkarek zaobserwuje te same zdarzenia w innyh momentah i to, o dla ni było równozesne (zamknięie obu par drzwi a następnie otwarie obu par drzwi), dla Moniki nie będzie już równozesne. Zahodzi tu krah równozesnośi, spowodowany transformają współrzędnyh zasowyh z jednego układu, do drugiego układu. Zatem obie panie zgodzą się o do wyniku obserwaji, że tyzka nie została w żaden sposób uszkodzona. 5
Zadania do samodzielnego rozwiązania
Zadanie 4 Cząstka o masie spozynkowej m i prędkośi v dogania identyzną ząstką poruszająą się z 3 5 prędkośią v. Oblizyć masę spozynkową M i prędkość u powstałej w wyniku zderzenia ząstki 5 złożonej. 5 5 6 Odp: u M m 4, m 7 6 Zadanie Cząstka o masie spozynkowej m i energii kinetyznej zderza się z nieruhomą ząstką o tej samej masie spozynkowej. Oblizyć masę spozynkową M i prędkość u powstałej w wyniku zderzenia ząstki złożonej. Odp: u m M m m Zadanie 3 Na poruszająą się ząstkę o masie spozynkowej m zazyna działać stała siła F. Po jakim zasie masa ząstki wzrośnie od m do 4m Ile razy wzrośnie w tym zasie masa ząstki? Jaką drogę przebędzie ząstka w tym zasie w układzie laboratoryjnym? m Odp: t 5 3 F m F S
Zadanie 4 Znaleźć własny zas żyia ząstki, jeśli porusza się ona z prędkośią v 97, i do momentu rozpadu przebyła odległość km. Zadanie 5 Odp: 8,35 6 s Znaleźć układ odniesienia, w którym hrzest Polski i bitwa pod Grunwaldem odbyły się a) w tym samym miejsu, b) w tym samym zasie. ) Czy te zdarzenia mogą być w związku przyzynowo-skutkowym? Przyjąć, że w układzie Ziemi odległość między Gnieznem a Grunwaldem wynosi km, a zas między tymi wydarzeniami wynosi 4 lat. Odp: a) układ poruszająy się od Gniezna do Grunwaldu z prędkośią b) taki układ nie istnieje ) tak Zadanie 6 v,59 Sprawdzić, zy zdarzenia i mogą być powiązane przyzynowo. Z jaką prędkośią porusza się układ O, w którym zdarzenia zajdą jednoześnie? Jaki warunek musi spełniać prędkość układu O, aby kolejność zdarzeń była odwróona? Wartośi współrzędnyh: a) x = 4, t =, x = 6, t = 3, b) x = 5, t = 3, x =, t = Odp: a) zdarzenia zajdą jednoześnie w układzie poruszająym z prędkośią, v 5,, kolejność zdarzeń będzie odwróona w układzie poruszająym z prędkośią, v 5, b) taki układ nie istnieje 5 m s
Zadanie 7 Pręt o masie spozynkowej m porusza się z taką prędkośią, że jego długość obserwowana w układzie laboratorium jest dwa razy krótsza niż zmierzona wtedy, gdy pręt jest w spozynku. Obliz energię kinetyzną i prędkość pręta oraz jego pęd. Odp: v 3 k m 3m p Zadanie 8 Mezon porusza się z energią ałkowitą Gev. Jego energia spozynkowa wynosi m MeV, a własny zas żyia równy jest 6 s a) Czas żyia w laboratorium b) Pęd ) nergię kinetyzną Obliz: Odp: t 4 s GeV p 9 999979, k 9 8, GeV Zadanie 9 Ze statku kosmiznego poruszająego się względem Ziemi z prędkośią v 6, wystrzelono w kierunku ruhu poisk z prędkośią v 8,. Z jaką prędkośią u porusza się poisk względem Ziemi? Jakie wymiary poisku widzi obserwator na Ziemi, jeśli w układzie własnym poisk jest kulą o średniy d = m? Odp: u 946, Poisk ma kształt spłaszzonej kuli o grubośi 3, m.
Zadanie W układzie współrzędnyh x - t zdarzenia mają współrzędne (,), (7,), C (6,7), D (,7). Na diagramie Minkowskiego zakreślić obszary, któryh przyzyną może być: a) zdarzenie, przy zym przyzyną nie może być zdarzenie, b) zdarzenie lub, przy zym przyzyną nie może być zdarzenie C, ) zdarzenie, przy zym przyzyną nie może być zdarzenie C i D, d) zdarzenie D i, przy zym przyzyną nie może być zdarzenie. Zadanie Wyprowadzić wzór na skróenie Lorentza: przy zym l jest długośią własną pręta spozywająego w układzie poruszająym się z prędkośią v, zaś l jest długośią mierzoną przez obserwatora spozywająego na Ziemi. Wskazówka: W tym przypadku trzeba skorzystać z prostej transformaji Lorentza, tak aby wyrazić współrzędne położenia pręta w układzie poruszająym się poprzez współrzędne zasowe i przestrzenne pręta w układzie spozywająym. Jeśli się zauważy, że pomiar długośi pręta (zyli jego pozątku i końa) w układzie spozywająym musi odbywać się w tym samym momenie, to podobnie jak w zadaniu z dylatają zasu, współrzędne zasowe ulegną skróeniu. 3
Zadanie Długość pręta spozywająego w samoloie leąym z prędkośią wynosi l. Korzystają ze wzoru na kontrakję długośi znaleźć jego długość z punktu obserwatora spozywająego na ziemi. Odp. Zadanie 3 Względem układu O porusza się ze stałą prędkośią v wzdłuż osi x układ O. W układzie O znajduje się pręt o długośi l, tworząy kąt φ z osią x. Jaką długość pręta i jaki kąt zmierzy obserwator O? Odp. 3
Zadanie 4 Pręt o długośi l spozywa w układzie O. Układ O porusza się z pewną prędkośią względem układu O, w którym zmierzona długość pręta wynosi l. Układ O porusza się także z pewną prędkośią względem układu O (większą niż względna prędkość O i O ), w którym zmierzona długość pręta wynosi l. Oblizyć względną prędkość układów O i O. Układy O i O poruszają się w tym samym kierunku. Odp. v prędkość względna O i O, w prędkość względna układów O i O, u prędkość względna układów O i O Zadanie 5 kelerator liniowy przyspiesza elektrony do takih prędkośi, dla któryh Kanał akeleratora ma długość 3 m. Oblizyć, jaką długość kanału przyspieszająego zmierzy obserwator związany z pędząymi elektronami, gdy zakońzył się już proes przyspieszania. Odp. 3
Zadanie 6 Dwie wiązki elektronów wylatują z akeleratora z prędkośią,9. Wiązki te skierowano przeiwbieżnie. Oblizyć prędkość względną elektronów z punktu odniesienia jednej z wiązek. Odp. 33