Algortm Cann ego detekcji krawędzi w procesie segmentacji ów medcznch. Rafał Ludwiczuk Pracownia Technologii Informatcznch Insttut Fizki niwerstet Marii Curie - kłodowskiej w Lublinie treszczenie Jedną z metod realizacji segmentacji ów są techniki wkrwania krawędzi. Ten artkuł koncentruje się na algortmie Cann ego wkrwania krawędzi oraz jego rozbudowie i automatzacji. Abstract Edge detection techniques are one of possible approaches to image segmentation. The article is concentrated on Cann s algorithm, its extensions and automation. 1. Algortm Cann ego. Krteria Cann ego. Algortm Cann ego jest jednm z niewielu filtrów wkrwania krawędzi zaprojektowanm w oparciu o czsto analitczne podejście do konstrukcji filtrów tego tpu. Projekt Cann ego bazuje na jednowmiarowm modelu krawędzi skokowej w ciągłej dziedzinie o amplitudzie h E z dodatkowm, tzw. białm szumem Gaussa o standardowm odchleniu σ []. Proces detekcji krawędzi Cann sprowadził do złożenia w ciągłej dziedzinie i jednowmiarowej przestrzeni sgnału krawędzi zakłóconej szumem f ( x) z antsmetrcznm impulsem h ( x) o amplitudzie równej zero poza przedziałem ( W,W ). Krawędź zaznaczona jest w punkcie lokalnego maksimum gradientu złożenia funkcji f ( x) i h ( x). Dla wboru odpowiedniego impulsu filtrującego h ( x) Cann opracował trz krteria: krterium dobrej detekcji; krterium dobrej lokalizacji; krterium pojednczej odpowiedzi. W krterium dobrej detekcji analizujem amplitudę stosunku sgnał - szum gradientu ( ) snr. Celem jest maksmalizacja snr dla uzskania małego prawdopodobieństwa błędnch zaznaczeń punktów rzeczwistej krawędzi oraz małego prawdopodobieństwa fałszwch zaznaczeń punktów, które nie tworzą krawędzi. W modelu Cann ego snr wraża się wzorem:
gdzie: h snr = (1.1) E σ ( h) ( h) W = W ( x) [ h( x) ] W h dx dx (1.) Krterium dobrej lokalizacji mówi, że punkt zaznaczone przez operator Cann ego powinn znajdować się możliwie blisko centrum krawędzi. Współcznnik lokalizacji jest zdefiniowan w następując sposób: gdzie: h LOC = L (1.3) E σ ( h) L ( h) = W ( ) [ h' ( x) ] W h' dx (1.4) Prz czm h' ( x) w równaniu 1.4 jest pierwszą pochodną impulsu filtrującego ( x) h. ens krterium pojednczej odpowiedzi krje się w nazwie. Wg niego powinniśm otrzmać pojednczą odpowiedź dla prawdziwej krawędzi. Odległość pomiędz wierzchołkami gradientu w przpadku reprezentacji samego szumu, oznaczona jako x m, jest proporcjonalna do szerokości okna operatora W. Współcznnikiem proporcjonalności jest k: = k W (1.5) x m Rozważania analitczne prowadzone przez Cann ego doprowadził go do impulsu Rsunek 1.1. Analiza Cann ego i jej porównanie z pierwszą pochodną rozkładu Gaussa. a) Impuls filtrując Cann ego h ( x). b) Pierwsza pochodna rozkładu Gaussa.
filtrującego ( x) h o kształcie zbliżonm do pierwszej pochodnej rozkładu Gaussa []. Analizę ilustruje rsunek 1.1.. Etap detekcji krawędzi w algortmie Cann ego. W związku z widoczną zbieżnością analiz Cann ego do pierwszej pochodnej rozkładu Gaussa, implementacja algortmu opiera się właśnie na filtrach Gaussa oraz filtrach różnicowch []. Dzięki zastosowaniu takich operacji otrzmam z zaakcentowanmi konturami. Kolejne etap algortmu mają na celu selekcję istotnch krawędzi, ich domknięcie oraz lokalizację konkretnej krawędzi w jednm pikselu..1 Rozmcie u wejściowego filtrem Gaussa. Pierwszm etapem w implementacji algortmu Cann ego jest operacja splotu [1] u wejściowego z filtrem Gaussa. Ma to na celu weliminowanie szumów wstępującch w ie przed jego dalszm przetwarzaniem. W tm miejscu algortmu podajem pierwsz jego parametr odchlenie standardowe σ charakterzujące rozkład Gaussa. Maska filtru [1] jest generowana dnamicznie w czasie działania programu, gdż jej rozmiar oraz wartości elementów są zależne od parametru σ. Okazuje się, iż maski filtrów Gaussa mają dość spore rozmiar. Wnika to z żądanej dokładności odwzorowania krzwej Gaussa w dskretnej masce. Czas obliczeń potrzebn na wkonanie operacji splotu jest proporcjonaln do kwadratu rozmiaru maski, dlatego stosuję w programie MEzop tzw. splot dwuwmiarow [3]. ama nazwa jest nieco mląca, optmalizacja polega na zastosowaniu jednowmiarowej maski filtru o nieparzstej liczbie elementów do operacji splotu z wierszami u a następnie z kolumnami u. zskujem w ten sposób liniową zależność czasu obliczeń od rozmiaru maski filtru, a dzięki smetrczności filtru Gaussa uzskujem poprawne wniki. Do generowania rozmiaru maski filtru ws w programie MEzop wkorzstuję następując wzór: ws = 1+. 5 σ (.1) natomiast obliczam element maski korzstając ze wzoru: prz czm 1 x = i g exp i (.) σ π σ ws ws ws ws x i = + 1, +,..., + ws =. a) b) c) Rsunek. 1. Rozmcie filtrem Gaussa ; a) orginaln; b) rozmt z odchleniem standardowm =, 77 σ = 1, σ ; c) rozmt z odchleniem standardowm 3
Rsunek.1 prezentuje uzskan w wniku operacji splotu dwuwmiarowego z filtrem Gaussa o odchleniu standardowm σ =, 77 oraz σ = 1, 3.. Przetwarzanie operatorem gradientu kierunkowego. Obraz uzskan w wniku operacji splotu z filtrem Gaussa jest em wejściowm w następnm etapie realizacji algortmu Cann ego. W tm kroku rozpocznam analizę u pod kątem zmienności funkcji g ( j, k) opisującej wejściow. W programie MEzop do tego celu jest wkorzstan konturow filtr obela z rotacją maski filtru [], która niweluje, oczwiście do pewnego stopnia, czułość kierunkową tego filtru. W masce filtru mam 4 wejściow wjściow G M x (+;-) M x (-;+) M (+;-) M (-;+) 1 45 o (+;-) 45 o (-;+) 135 o (+;-) 135 o (-;+) 3 4 Rsunek.. chemat algortmu przetwarzania operatorem gradientu. wróżnione kierunki, uwzględniając ich zwrot otrzmujem 8 operacji splotu. Rsunek. przedstawia schemat tego algortmu. Oznaczenia M i określają uzskane w operacji splotu z maską w kierunku wiersz oraz kolumn natomiast oznaczenia 45 i 135 oznaczają uzskane w operacji splotu z maską o rotacji odpowiednio z kątem 45 o i 135 o w stosunku do wiersz. Oznaczenia tpu (+;-) określają zwrot. Dla przkładu podaję maski dla operacji splotu M x (+;-) oraz M x (-;+): 1 1 1 1 M ( + ; ) : ( ; + ) x M x 1 : 1 1 1 (.3) i są to tablice średnich geometrcznch odpowiednich natężeń pikseli. Np. 1 jest to tablica zawierająca średnie geometrczne odpowiednich wartości pikseli po operacji splotu M x (+;-) i M (-;+) jest to tablica gradientu u w kierunku wiersz: [ ] [ M ( )( j k) ] ( j' k) M ( )( j, k) 1 + ; + ; +, = (.4) Rsunek.3 prezentuje wniki działania programu MEzop w zastosowaniu do ów medcznch tpu MRI.
a) b) c) Rsunek.3. Wnik działania wielokierunkowego operatora detekcji konturu; c) wejściow; b) rozmt; c) konturow..3 stalenie orientacji krawędzi w płaszczźnie u. Mapa kierunków. Konieczne jest w algortmie Cann ego określenie orientacji krawędzi w płaszczźnie u [5]. W tm celu wkorzstujem tablice utworzone w poprzednim etapie, są to tablice 1 oraz. Tablice te zawierają wartości gradientów u w kierunku wiersz 1, oraz w kierunku kolumn, czli w kierunkach ortogonalnch wzajemnie, zatem są to tablice zawierające składowe wektorów gradientu u. Wektor gradientu dla piksela (j,k) ma składowe 1 (j,k) oraz (j,k). Dla każdego piksela wznaczam kąt, jaki tworz wektor gradientu z kierunkiem wiersz - OX: ( j, k ) ( j, k) θ ( j, k) = arctg (.5) 1 W wniku otrzmujem tablicę, której elementami są wartości kątów dla kolejnch pikseli. W programie MEzop tablicę tą nazwam mapą kierunków, jest ona cennm źródłem informacji prz procesie konstrukcji krawędzi o szerokości jednego piksela, właśnie to jest celem tego algortmu..4 Eliminacja pikseli o nie maksmalnej jasności (NM). W dotchczasowch etapach przetwarzania u w algortmie Cann ego uzskaliśm tablicę wartości gradientów konturów, oraz mapę kierunków. zskane kontur cechuje pewna szerokość i nie jest to szerokość jednego piksela. Następn etap nazwa się eliminacją nie maksmalnch wartości natężenia pikseli (ang. Non Maxima uppression) [5]. Analizie podlegają piksele tworzące prostopadł przekrój konturu, gasim te, które nie mają maksmalnej wartości natężenia. Realizację tego etapu w programie MEzop wjaśnię posługując się rsunkiem.4. Do analiz piksela (j,k) włączam jego 8-mio elementowe otoczenie (z pikselem analizowanm mam 9 elementów). Znam wartość gradientu piksela (j,k) oraz orientację krawędzi, której prawdopodobnie jest elementem. Musim wznaczć wartości gradientu po lewej i prawej stronie krawędzi. Okazuje się, że wstarcz interpolować tę wartość na podstawie dwóch pikseli z otoczenia, które są wbierane w zależności od orientacji krzwej. Tmi pikselami są piksele
najbliższe punktu A po prawej stronie krawędzi oraz punku B po lewej stronie krawędzi na rsunku.4. Zależności interpolacjne przedstawiają się następująco: x x G A = G( j + 1, k 1) + G( j, k 1) (.6) x x GB = G( j 1, k + 1) + G( j, k + 1) (.7) G(j-1,k-1) G(j-1,k) G(j,k-1) x A G(j,k) G(j+1,k-1) G(j+1,k) Jeśli natężenie piksela ( j k) G(j-1,k+1) B x G(j,k+1) G(j+1,k+1) G, jest większe od natężenia po lewej G B oraz prawej G A stronie patrząc na rsunek.4, wted piksel pozostaje zapalon, w przeciwnm wpadku piksel gasim. W programie MEzop jest tworzona specjalna tablica NM, w której każd piksel o maksmalnej wartości jest oznaczon wartością 18. Jest to mapa prawdopodobnch krawędzi..5 Konstrukcja krawędzi. Progowanie histogramu. Kierunek krawędzi Rsunek.4. Ilustracja algortmu NM w programie MEzop. W tm kroku budujem histogram dla u konturu c z rsunku.3. Również na tm etapie algortmu podajem kolejne dwa parametr charakterzujące filtr Cann ego: próg wsoki HT (ang. high threshold) oraz próg niski LT (ang. low threshold) [4]. Analizie podlegają piksele zaznaczone w mapie prawdopodobnch krawędzi, celem procesu jest podjęcie deczji o istnieniu krawędzi w danm pikselu. prawdzam wartość gradientu G ( j, k) w ie konturu odpowiadającą danemu pikselowi i rozpatrujem następujące przpadki: Jeśli G ( j, k) > HT wted stwierdzam, że piksel należ do krawędzi i przpisujem mu maksmalną jasność, czli. Jeśli G ( j, k) LT, HT, wted badam otoczenie danego piksela. Jeśli wpadkow gradient otoczenia jest większ od LT stwierdzam, że w danm pikselu jest zlokalizowana krawędź wkorzstujem w tm etapie map spójności. Jeśli G ( j, k) < LT, oznacza to, że piksel nie jest częścią jakiejkolwiek krawędzi, przpisujem mu wartość 55.
Po zlokalizowaniu punktów krawędzi badam ich otoczenie. Krje się w tm miejscu algortm domkania krawędzi, poruszę dwie metod jego realizacji algortm sekwencjn oraz rekurencjn. W ob przpadkach definiujem trz map spójności: 4 4 ( j, k ) 4 8 ( j, k) 8 6 ( j, k) 4 pójność 4-tego rzędu 8 8 8 8 8 8 pójność 8-tego rzędu kupię się na algortmie rekurencjnm, gdż jest on zaimplementowan w programie MEzop. Na potrzeb lepszej przejrzstości załóżm, że piksele, w którch zlokalizowaliśm krawędzie mają etkiet 1 i tworzą tablicę edge_map, tworzm również nową tablicę etkiet labels. Algortm rekurencjn: prawdzam kolejne piksele tablic edge_map. Jeśli znajdujem piksel oznaczon przez 1 w tablic edge_map i z zerową etkietą w tablic labels, przpisujem mu nową etkietę w labels. Rekurencjnie sprawdzam otoczenie piksela z poprzedniego kroku. Jeśli trafim na piksel z etkietą 1 w edge_map oraz z zerową etkietą w labels przpisujem mu tę samą etkietę, co poprzedniemu pikselowi w tablic labels. Kończm algortm, kied wszstkie piksele oznaczone przez 1 w edge_map będą miał swoje etkiet w tablic labels. Rsunek.5 prezentuje efekt działania pełnego algortmu Cann ego detekcji krawędzi zaimplementowanego w programie MEzop, na ie medcznm tpu MRI. a) b) 6 6 6 6 6 pójność 6-tego rzędu Rsunek.5. Wniki działania algortmu Cann ego na ach medcznch tpu MRI uzskane programem MEzop. a) wejściow; b) wjściow. 3. Program MEzop - etap procesu przetwarzania u i ich automatzacja. W programie MEzop, oprócz rozbudow kolejnch etapów algortmu Cann ego, wprowadzam wstępne przetwarzanie u wejściowego techniką progowania [] rsunek 3.1. Ma to na
celu delikatne wskazanie lub inaczej ukierunkowanie samego algortmu Cann ego na określone obiekt u, a w przpadku ów medcznch na określone struktur tkanek. wejściow Przetwarzanie wstępne przejściow Cann wjściow poziom okno Odchlenie standardowe σ poziom niski LT poziom wsoki HT Rsunek 3.1. chemat przetwarzania u w programie MEzop. Oczwiście, za cel obrałem doprowadzenie do pełnej automatzacji całego procesu przetwarzania u w programie MEzop, innmi słow, celem jest automatczna segmentacja mózgu z ów MRI. Zatem, automatcznie muszę znaleźć 5 optmalnch parametrów wejściowch, dla przetwarzania wstępnego: poziom, okno; dla algortmu Cann ego: σ, LT, HT rsunek 3.1. 3.1 Przetwarzanie wstępne - algortm Levenberga-Marquardta. Określenie okna oraz poziomu w przetwarzaniu wstępnm realizuje się w oparciu o algortm Levenberga Marquardta [6]. Algortm ten dopasowuje kilka rozkładów Gaussa w histogram u. Wiadomo, któr Gauss reprezentuje substancję białą, a któr szarą rozpatrując oczwiście MRI. Rola użtkownika ogranicza się do wboru tkanki, którą chcem segmentować. Poziom określa maksimum rozkładu natomiast okno jego szerokość. 3. Funkcje ocen. Więcej problemów napotkam prz określaniu parametrów σ, HT oraz LT. W chwili pisania tego artkułu trwają eksperment mające na celu konstrukcję funkcji ocen. Muszą istnieć takowe funkcje jako pewne krteria dla algortmu. Oczekujem, iż dobrmi parametrami tch funkcji będą: średnia długość domkniętch krawędzi; stosunek liczb wszstkich krawędzi zlokalizowanch w ie do liczb krawędzi domkniętch. Poszukujem odpowiednich postaci tch funkcji w oparciu o powższe parametr na drodze ekspermentu. Jest powszechnie wiadome, że taki proces jest czasochłonn oraz pracochłonn a czasami wręcz zaskakując. Jednak po odpowiedniej konstrukcji funkcji ocen mam już proste metod ich minimalizacji w celu określenia najlepszch parametrów filtru Cann ego. 5. Podsumowanie. egmentacja jest jedną z ważniejszch metod przetwarzania ów cfrowch a jej zastosowanie w dziedzinie informatki medcznej ma niebagatelne znaczenie. Algortm segmentacji struktur biologicznch są kluczowm elementem sstemów eksperckich analiz ów MRI lub CT. egmentacja tch ów otwiera ogromne możliwości wizualizacji konkretnch struktur biologicznch.
Literatura [1] Christopher D. Watkins, Alberto adun, tephen Marenka, Nowoczesne metod przetwarzania u [] William K. Pratt, Digital image processing [3] Jan-Mark Geusebroek, Arnold W. M. meulders, Joost van de Weijer, Fast Anisotropic Gauss Filtering, Intelligent ensor Information stem, Department of Computer cience, niversit of Amsterdam, Kruislaan 43, 198 J Amsterdam, The Nederlands [4] Declan Murph, An Improved Edge Detection and Ranking Technique, Computer cience Dept, Copenhagen niversit [5] Brendan McCane, Edge Detection, Department of Computer cienceniversit of Otago, Dunedin, New Zealand [6] Lukas Finschi, An Implementation of the Levenberg-Marquardt Algorithm, Eidgenössische Technische Hochschule Zürich, Institut für Operations Research, Clausiusstrasse 45, CH- 89 Zürich, April 16, 1996