p, q oznaczają obrazy podlegające filtracji.

Transkrypt

1 . Filtr liniowe Wkład. Filtracja obrazów cfrowch Filtr liniowe Filtr jest liniow jeżeli spełnia warunki liniowości które można sformułować następująco: addtwność: p q p q jednorodność: p p R gdzie jest funkcją opisującą filtr a p q oznaczają obraz podlegające filtracji. W praktce najczęściej stosuje się filtr spełniające dodatkowo warunek niezmienności względem przesunięcia. Oznacza to że każd punkt obrazu jest przekształcan w identczn sposób. Do grup filtrów liniowch możem zaliczć filtr dolnoprzepustowe oraz górnoprzepustowe. Wkorzstwane są one głównie do takich operacji jak wkrwanie krawędzi narożników lub usuwanie zakłóceń z obrazu. Funkcja jasności obrazu Prz konstruowaniu filtrów splotowch wkorzstwane są pochodne funkcji jasności odwzorowującej dskretne współrzędne punktów obrazu cfrowego = = w zbiór poziomów jasności [ ]. Gradient funkcji jasności w punkcie przjmuje postać prz czm składowe wektora gradientu oblicza się następująco:.. Wektor powższego gradientu opiswan jest parametrami modułu

2 . Filtr liniowe oraz kąta. arctg Jeśli gradient funkcji jasności w danm punkcie posiada dużą wartość to należ wnioskować że punkt ten należ do krawędzi. Moduł stanowi siłę krawędzi natomiast ψ wskazuje na kąt nachlenia wektora w punkcie w stosunku do osi OX. Jego nachlenie jest przesunięte w stosunku do krawędzi o ±9 co oznacza że wektor gradientu jest zawsze prostopadł do konturu. aplasjan ciągłej funkcji jasności w punkcie to suma drugich pochodnch cząstkowch postaci. Dokonując dskretzacji powższego wzoru ciągłą pochodną zastępuje się skończonm przrostem postaci:.. W oparciu o wzor. i. konstruowane są filtr wkrwające krawędzie i filtr wostrzające.. Filtr dolnoprzepustowe Filtr dolnoprzepustowe uśredniające mają za zadnie tłumić składowe widma sgnału o dużej częstotliwości a pozostawiać bez zmian składowe o małej częstotliwości. Głównm zastosowaniem filtrów dolnoprzepustow w obróbce cfrowej obrazu jest redukcja szumu o niewielkich rozmiarach jednopikselowego dwupikselowego. Efektem działania filtru dolnoprzepustowego jest łagodniejsze przejście od obszarów jaśniejszch do ciemniejszch i na odwrót. Obiekt znajdujące się na obrazach poddanch działaniu filtru ulegną rozmciu. Stopień rozmcia obrazu zależ od wielkości maski oraz od współcznników w niej

3 . Filtr liniowe zawartch. Stopień rozmcia wzrasta wraz z wielkością maski. Suma współcznników maski filtru dolnoprzepustowego jest zazwczaj większa od zera i każd z nich określa swój wkład w jasność punktu dla którego wznaczan jest splot. Najczęściej stosowane maski przestrzennch filtrów dolnoprzepustowch zestawione został poniżej: filtr dolnoprzepustow bez wartości środkowej. Podczas filtracji obrazu maską. nie jest bran pod uwagę piksel środkow maski. Wartość pierwotna piksela nie wpłwa w żaden sposób na wartość piksela po przetworzeniu. podstawow filtr dolnoprzepustow uśredniając. Filtr z maską. jest podstawowm filtrem dolnoprzepustowm usuwa drobne zakłócenia i wgładza drobne zawirowania krawędzi oraz usuwa efekt falowania jasności na obiektach i na tle. Ma jednak wadę powoduje rozmcie konturów obiektów oraz pogorszenie wrazistości kształtów. Dalsze stosowanie filtru powoduje kolejne zmniejszenie ostrości obrazu oraz znikanie elementów o małch rozmiarach. Po lewej obraz przed filtracją po prawej obraz po zastosowaniu filtru uśredniającego.. źródło: Tadeusiewicz R. Korohoda P. Komputerowa analiza i przetwarzanie obrazów

4 . Filtr liniowe Filtr kwadratow jest uśrednieniem każdego piksela wraz ze swoimi dwudziestoma czteroma sąsiadami. Wnikiem jest odfiltrowanie większej liczb szczegółów niż w przpadku filtru.. filtr kwadratow. Filtr kołow jest podobn do filtru kwadratowego jest on uśrednieniem każdego piksela wraz ze swoimi dwudziestoma sąsiadami. Piksele położone w narożnikach nie biorą udziału w filtracji ze w względu na wagę równą. filtr kołow.6 Zaszumion obrazek przed filtracją z lewej obrazek po filtracji uśredniającej. po środku po filtracji maską kwadratową. z prawej. W celu zmniejszenia negatwnch skutków filtracji uśredniającej stosuje się czasem filtr uśredniające o większej wartości środkowego współcznnika wewnątrz okna K. Dzięki takim maskom jak P P oraz P pierwotna wartość piksela w większm stopniu wpłwa na wartość piksela po przetworzeniu.

5 . Filtr liniowe maska filt maska filt maska fil Zaszu obrazek po filtracji ma Filtr piramidaln oraz zadanie poprawić jakość obraz wartości punktu rośnie wraz ze f f tru P tru P ltru P umion obrazek przed filtracją z lewej aską P pośrodku po filtracji maską P stożkow. i. są kolejnmi filtr zu. Można zaobserwować iż w maskach tc e zmniejszaniem się odległości do obliczaneg filtr piramidaln filtr stożkow z prawej. rami mającmi za ch filtrów znaczenie go punktu...

6 . Filtr liniowe 6 W przpadku osłabienia punktu centralnego następuje mocniejsze rozmcie. Jeśli natomiast wartość jasności centralnej zostaje wzmocniona rozmcie jest słabsze ponieważ centralna jasność ma większ wpłw na jasność wnikową. Odpowiednie dobieranie wag pozwala kontrolować efekt rozmcia prz odpowiednim uśrednianiu otoczenia jasności centralnej obrazu wejściowego. Prz dobieraniu wag dobrze jest posłużć się rozkładem Gaussa. Stosowanie w tm celu liczb całkowitch aproksmującch funkcję Gaussa jest wskazane ze względu na optmalizację działania filtra jednak należ pamiętać że jest ona znacznm przbliżeniem analogowej funkcji Gaussa. Dwuwmiarowa funkcja Gaussa wraża się wzorem G e f gdzie : zmienne funkcji α parametr kształtu. Poszczególne wagi dla maski o rozmiarze można obliczć następująco. b b b b b Przkładowe maski Gaussa są postaci:. 9.. Rsunek. przedstawia realizację filtrów Gaussa. Filtr Gaussa. spowodował większe rozmcie obrazu w stosunku do filtru Gaussa.. Zaszumion obrazek przed filtracją z lewej obrazek po filtracji: maską Gaussa. środkow maską Gaussa. z prawej.

7 . Filtr liniowe 7.. Filtr górnoprzepustowe Filtrów górnoprzepustowch użwa się do wzmocnienia szczegółów o dużej częstotliwości prz zachowaniu integralności elementów o małej częstotliwości. Efektem działania filtru jest uwdatnienie szczegółów obrazu ich większe zaakcentowanie. Zazwczaj zwiększa się ostrość obrazu jednak ujemnm skutkiem jest zwiększenie szumu. Filtr górnoprzepustowe służą do podkreślenia elementów które charakterzują się szbkimi zmianami jasności kontur krawędzie. Na obrazie wnikowm prawie wszstkie punkt należące do wewnętrznch części widzianch obiektów i tła zostają usunięte wzerowane natomiast punkt należące do krawędzi i granic pomiędz obiektami i tłem zostają odpowiednio weksponowane i wzmocnione. Sposób przeprowadzania obliczeń jest podobna jak w filtrach dolnoprzepustowch różnica polega na innch wartościach współcznników w maskach wstępują tu także wartości ujemne. Zasada działania tego filtru jest odwrotna do tej na jakiej działają filtr rozmwające. Jeżeli chcem coś wostrzć to chcem zwiększć różnicę międz sąsiednimi pikselami. W jaki sposób to osiągnąć? Wprowadzim ujemne wagi dla pikseli otaczającch. W rezultacie do obrazu dodajem krawędzie. Maska. jest podstawowm filtrem górnoprzepustowm jej użcie powoduje wostrzenie obrazu a także wzmocnienie szumów oraz zakłóceń. 9 maska filtru Mean removal. Maski filtrów HP cechują się mniejszm wostrzeniem obrazu oraz mniejszm wszczególnieniem szumów w stosunku do filtru.. Filtr HP powoduje najmniejsze z filtrów wostrzającch wzmocnienie szumów. maska filtru HP.6 maska filtru HP.7

8 . Filtr liniowe 8 maskaa filtru HP.8 Przkład realizacji filtrów wostrzającch pokazano na rs... Obraz środkow oraz po prawej stronie został wostrzone. Filtr HP w stosunku do Mean removal nie spowodował znacznego wszczególnienia szumów. obrazek po filtracji HP środkow po filtracji maską Mean removal z prawej. Metoda gradientu Filtr gradientow charakterzującch się zmianami jasności pikseli w określonm kierunku. Punkt obrazu poddan działaniu takiego filtru staje się jasn jeśli istnieje w nim gradient spadek lub wzrost jasności w kierunku określonm przez maskę splotu. Dodatkowo wielkość gradientu określa poziom jasności. Większ gradient odpowiada większej jasności piksela mniejsz powoduje że dan punkt staje się mniej widoczn. Gradient obrazu Obrazek przed filtracją z lewej daje możliwość eksponowania fragmentów w punkcie wraża się wzorem: obrazu gdzie składowe wektora gradientu są równe:.9..

9 . Filtr liniowe 9 Najprostszmi operatorami gradientu są operator Robertsa. Są one proste ze względu na wielkość maski niski poziom reakcji na krawędzie.. Wadami operatorów Robertsa jest wsoka czułość na szum oraz maska filtru pionowego Robertsa. maska filtru poziomego Robertsa. maska filtru poziomo-pionowego Robertsa. W obszarach w którch sąsiednie piksele nie różnią się wartością jasności po odjęciu wartość wnikowa jest bliska zeru kolor czarn. Tam gdzie jest znaczna różnica jasności sąsiednich pikseli otrzmana wartość nowego piksela jest co do wartości bezwzględnej duża kolor biał. Gradient Robertsa oparte na masce można w naturaln sposób przenieść na maski. Poniżej widać maski Robertsa po przeniesieniu na wielkość. maska filtru poziomego. maska filtru pionowego. maska filtru poziomo-pionowego.6 Obraz przed filtracją po filtracji maską. po filtracji maską.6.

10 . Filtr liniowe Rozwinięciem operatorów Robertsa są operator Prewitta aproksmujące pierwszą pochodną. Operator te o rozmiarze umożliwiają estmację gradientu w ośmiu kierunkach gdzie większa wartość wskazuje jego zwrot. SE S SW E W NE N NW Maski Prewitta Obrazek poddan filtracji Prewitta o różnch orientacjach.

11 . Filtr liniowe Filtr do wkrwania krawędzi i konturu Realizacja filtru konturowego jest bardzo podobna do przpadku standardowego filtru splotowego. W stosunku do obrazu wkorzstujem operacje splotu. Różnica polega na tm że analizujem obraz w dwóch niezależnch przebiegach oddzielnie dla konturów poziomch oraz dla pionowch. W celu wkrcia krawędzi najpierw wkonujem operację splotu poziomego filtru.7 z obrazem a następnie stosujem filtr pionow.8. Jako filtr mogą nam posłużć maski filtrów Sobela lub maski filtrów Prewitta. I Obraz Filtr poziom.7 I Obraz Filtr pionow.8 Krokiem kolejnm jest wznaczenie ostatecznej jasności każdego punktu obrazu wnikowego według wzoru: I I I.9 Rsunek poniższ przedstawia realizację filtrów konturowch. Obraz po środku został poddan filtracji konturowej Prewitta złożonej z masek NE oraz SE. Obrazek po prawej stronie został przefiltrowan maskami Sobela SE SW. Obrazki po filtracji konturowej. W wniku działania operatorów Sobela wkrwane są również krawędzie błędne z powodu wstępującch szumów jednak ich intenswność jest o wiele słabsza w odróżnieniu od krawędzi poprawnch. Operator Sobela oraz Prewitta są odporniejsze na szum niż operator Robertsa.

12 . Filtr liniowe SE S SW E W NE N NW Maski Sobela. Obraz poddan filtracji Sobela o różnch orientacjach.

13 . Filtr liniowe Ekspozcja krawędzi z wkorzstaniem filtrów górnoprzepustowch nie zawsze może prznieść oczekiwane rezultat. Jest to powodowane faktem że składniki o wsokich częstotliwościach można wkrć w pozornie jednolitm tle bądź w strefach wewnątrz konturu. Przcznia się do tego zazwczaj faktura powierzchni tła nierównomierne oświetlenie obiektu lub niedoskonałości procesu dskretzacji obrazu. Dla lepszego uwdatnienia wkrtch krawędzi za pomocą opisanch operatorów można dodatkowo zastosować operację binarzacji po wkrciu krawędzi. Odpowiednio ustawion próg może weliminować drobne zakłócenia pozostawiając jednolite krawędzie. Wostrzenie obrazu Filtr wostrzające w przeciwieństwie do filtrów gradientowch mają charakter bezkierunkow. Ich zadaniem jest wkrcie i podkreślenie wstępującch krawędzi niezależnie od ich kierunku. Działanie filtrów wostrzającch realizuje się z wkorzstaniem operatorów aplace a funkcji jasności zwanch laplasjanami. Metod wkrwania krawędzi korzstające z laplasjanu dają ostrzejsze krawędzie niż większość innch metod a w wniku filtracji określają zmian na krawędziach wstępującch w obrazie. aplasjan ciągłej funkcji dwóch zmiennch z punktu widzenia matematki jest określan jako:.. J Drugie pochodne dla funkcji dskretnej są aproksmowane w następując sposób:. Na podstawie wzorów.. oraz. otrzmujem maski filtrów aplace a: maska filtru AP

14 . Filtr liniowe Nie jest to jednak jego jedna postać. Można go skonstruować jako sumę pochodnch dla wszstkich ośmiu kierunków postaci 8 maska filtru AP Maska filtru AP daje mocniejsz sgnał w stosunku do maski AP. Wnikowa jasność jest obliczona z uwzględnieniem sąsiedztwa co powoduje że krawędzie są wkrwane niezależnie od kierunku. Jest to możliwe dzięki smetrcznej postaci maski. Dla zwiększenia odporności można policzć pochodną równocześnie dla trzech równoległch linii w poziomie i w pionie. W wniku otrzmana maska przjmuje postać. Inne bardziej skomplikowane przkład masek wglądają następująco. Pierwsz wariant będzie reagował na krawędzie diagonalne. Drugi wariant to maska AP przemnożona przez. Tworzenie operatorów aplace a może przebiegać ekspermentalnie. Ze względu na czułość laplasjanu na szum warto jest przeprowadzić wcześniej wgładzenie obrazu filtrem Gaussa. W praktce wostrzenie za pomocą operatorów aplace a polega na przemnożeniu przez stałą obliczonej jasności oraz dodaniu do jasności źródłowej postaci F w gdzie: w jasność wnikowa w punkcie jasność źródłowa w punkcie F jasność obliczona za pomocą operatora aplace a w punkcie α stała skalująca stopień wostrzenia np. 7.

15 . Filtr liniowe Przekształcenie Błąd! Nie m postaci maski Wnik tch złożeń obrazują po mask mas maska f Obraz pr maską filtru ukośne Filtr wkrwające nar Jednm ze sposobów w ze wzorcem danej krzwej. De analizowanm obrazem. Mask można odnaleźć źródła odwołania. można oniżej zaprezentowane maski ka filtru AP ska filtru AP filtru ukośnego rzed filtracją z lewej obrazek po filtracji ego środkow po filtracji maską AP z rożniki wkrwania krzwch jako krawędzi obiektó etekcja krawędzi odbwa się przez splot każd ka dająca w określonm punkcie największ zapisać również w prawej. ów jest splot obrazu dej z ośmiu masek z zej wartości funkcji

16 . Filtr liniowe 6 wskazuję na obecność w tm punkcie krawędzi w formie narożnika o określonej orientacji. W celu weliminowania zakłóceń wnik funkcji można porównać z małm progiem t. Na rsunku przedstawiono maski Robinsona potrzebne do przeprowadzenia detekcji narożników. SE S SW E W NE N NW Maski Robinsona wkrwające narożniki. Przefiltrowan obrazek maskami Robinsona o różnch orientacjach.

17 . Filtr liniowe 7 Inne maski do wkrwania narożników podał Kirsch. Mają one podobną strukturę ale inne wartości współcznników: SE S SW E W NE N NW Maski Kirscha wkrwające narożniki. Przefiltrowan obrazek maskami Kirscha o różnch orientacjach.