Fale mechaniczne i akustyka

Fale mechaniczne i akustyka

Wstęp: siła jako element decydujący o rodzaju ruchu Na pierwszym wykładzie, dynamiki Newtona omawiając II zasadę dr d r F r,, t = m dt dt powiedzieliśmy, że o tym, jakim ruchem będzie poruszać się ciało decydują siły, które na to ciało oddziałują. Rozważmy kilka ważnych przykładów ruchu.

Ruch harmoniczny Przykładem takiego ruchu jest odbywający się bez tarcia ruch klocka przedstawionego na rysunku. Jeżeli x oznacza wychylenie klocka z położeni równowagi, to siła działająca na klocek jest równa F = kx gdzie k jest pewną stałą (charakteryzującą sprężynę).

Różniczkowe równanie ruchu (wynikające z II zasady dynamiki Newtona) ma postać d x m = kx dt Ogólna postać rozwiązania tego równania. x = A sin ( ω t + ϕ ) Zauważmy, że d x d dx d = = Aω cos( ω t + ϕ ) = dt dt dt dt = Aω sin ( ω t + ϕ ) = ω x

Stąd ω = k m Wartości stałych A i ϕ należy dobrać na podstawie innych informacji nt. ruchu (np.. Położenia i prędkości w chwili czasu t=0) Stałą A nazywamy amplitudą drgań. Stałą ϕ nazywamy fazą początkową drgań. Energia kinetyczna w ruchu harmonicznym wynosi: 1 dx 1 Ek = m = maω cos ( ω t + ϕ ) = dt 1 = ka cos ( ω t + ϕ ) Energia potencjalna jest równa 1 1 E p = kx = ka sin ( ω t + ϕ )

Energia całkowita w ruchu harmonicznym wynosi więc ka E=

Ruch harmoniczny tłumiony Przykładem takiego ruchu jest ruch przedstawionego na rysunku (krążek doczepiony do ciała o masie m jest zanurzony w cieczy). Jeżeli x oznacza wychylenie klocka z położeni równowagi, to siła działająca na klocek ze strony sprężyny jest równa F = kx gdzie k jest pewną (charakteryzującą sprężynę). stałą

Jeżeli siła hamująca klocek jest proporcjonalna do jego prędkości, to równanie ruch ma postać: d x dx m = kx b dt dt Rozwiązanie tego równania ma postać x = Ae β t sin ( ω ' t + ϕ ) gdzie b β = m ω '= k m b m

Amplituda w ruchu harmonicznym tłumionym jest funkcją czasu (linia przerywana)

Ruch harmoniczny wymuszony Weźmy oscylator harmoniczny tłumiony, dodatkową siła wymuszającą jego drgania: ale F = Fm cos( ω 0t ) Równanie ruchu takiego oscylatora jest następujące: d x dx m = kx b + Fm cos( ω 0t ) dt dt Rozwiązaniem tego równania jest Fm x= sin ( ω 0t ϕ G ) z

gdzie G= k m ω 0 + b ω 0 m oraz bω 0 ϕ = arccos G Zauważmy, że oscylator drga z taką częstotliwością, z jaką zmienia się siła wymuszająca. Amplituda drgań zależy od częstotliwości drgań własnych oscylatora, częstotliwości siły wymuszającej i współczynnika tłumienia b.

Zależność amplitudy drgań wymuszonych w zależności od stosunku częstotliwości siły wymuszającej do częstotliwości drgań własnych dla różnych stopni tłumienia drgań.

Fale mechaniczne

Rozpatrzmy ośrodek, w którym istnieje sprzężenie między jego sąsiednimi punktami takie, że zmiana stanu tego środka w danym punkcie powodowała podobną jego zmianę w punktach sąsiednich. Dodatkowo załóżmy, że siła działająca na dany punkt ośrodka jest proporcjonalna do wychylenia tego punktu z położenia równowagi (ośrodek jest sprężysty); właściwie jeżeli siła działająca na punkt wychylony z położenia równowagi o x jest równa F ( x ) = α x + β x + γ x 3 +... to wystarczy, aby współczynniki β, γ, były dostatecznie małe, by móc zaniedbać wyrazy rzędów wyższych niż pierwszy. Dla x dominujący zawsze będzie wyraz αx.

Wyprowadźmy cząsteczkę ośrodka z położenia równowagi. Co się będzie działo dalej? W wyniku oddziaływania z sąsiednimi cząstkami ośrodka, zostaną one wyprowadzone z położenia równowagi. Stanie się to z pewnym opóźnieniem (ze względu na bezwładność ośrodka). Zaburzenie będzie wędrować przez ośrodek na skutek kolejnych oddziaływań. Szybkość tej wędrówki będzie tym większa, im mniejszy jest czas potrzebny na wyprowadzenie cząstki z położenia równowagi na skutek oddziaływań z sąsiednimi cząsteczkami. Zauważmy, że z wyprowadzeniem cząsteczki ośrodka z położenia równowagi wiąże się nadanie jej energii. Następuje więc przenoszenie energii między cząsteczkami bez przenoszenia masy. Jest to szczególna cecha ruchu falowego.

Ze względu na kierunek drgań cząsteczek wokół położenia równowagi w odniesieniu do kierunku rozchodzenia się fali rozróżniamy fale podłużne i poprzeczne. Z falą podłużną mamy do czynienia wtedy, gdy kierunek drgań jest równoległy do kierunku rozchodzenia się fali. Z falą poprzeczną mamy do czynienia wtedy, gdy kierunek drgań jest prostopadły do kierunku rozchodzenia się fali.

F = F sin ϕ Fϕ

Ze względu na kształt czoła fali (powierzchni o stałej fazie tzw. powierzchni fazowej) rozróżniamy w szczególności fale płaskie, walcowe i kuliste.

Jeżeli zaburzenie rozchodzące się w postaci fali jest okresowe, to falę nazywamy okresową. Fale nie muszą być okresowe. Jeżeli fala jest okresowa, to można zdefiniować jej długość jako odległość najbliższych powierzchni falowych o tej samej fazie.

Kilka faktów W przypadku, gdy zaburzenia są małe, dowolne fale opisywane są równaniem 1 + + ψ ( x, y, z, t ) = 0 c t y z x gdzie c oznacza prędkość fali. Jest to równanie liniowe, więc suma dowolnych rozwiązań tego równania jest również jego rozwiązaniem. Szczególnym przypadkiem fal są fale sinusoidalne ( ) () r t ψ r, t = A r sin π λ T

Każdą falę można przedstawić jako superpozycję fal sinusoidalnych. O tym, jaka będzie fala rozchodząca się w ośrodku decyduje źródło fali oraz właściwości ośrodka.

Fala stojąca Rozpatrzmy superpozycję dwóch fal płaskich o tej samej amplitudzie i częstotliwości, ale o przeciwnych kierunkach rozchodzenia się: t z xst = x1 + x = X 0 sin π + X 0 sin π T λ π z = X 0 cos sin ω t λ t z + T λ Fala stojąca może powstać np. w wyniku superpozycji fali padającej i tej samej fali odbitej na granicy ośrodków. Nie przenosi ona energii. Co λ/ występują tzw. węzły fali stojącej (punkty, w których nie zachodzą drgania). Co λ/ występują tzw. strzałki fali stojącej (punkty, w których zachodzą drgania o maksymalnej amplitudzie).

Prędkość fali w powietrzu Rozpatrzmy fale dźwiękowe wytwarzane w rurze przez drgający tłok:

Dla elementu płynu wchodzącego w strefę zagęszczenia mamy z II zasady dynamiki Newtona: F = ( p + p ) S ps = ps = ma gdzie S jest polem przekroju rury. Wybierzmy rozmiar l rozpatrywanego elementu na zewnątrz strefy zagęszczenia w taki sposób, by l = v t

Mamy: v v S p = ma = ρ 0 S l = ρ 0 Sv t t t p = ρ 0 v v v p = ρ 0v v Płyn, który w punkcie P zajmował objętość V = Sv t po wejściu do strefy zgęszczenia zostaje ściśnięty o V = S v t

Stąd mamy V p ρ 0v = = B V gdzie B oznacza tzw. moduł ściśliwości. Ostatecznie v= B ρ0 Jeżeli fala rozchodzi się w gazie, to dodatkowo mamy (bo gaz zostanie ściśnięty na tak krótki czas, że nie zdązy wymienić ciepła z otoczeniem) pv κ = const. gdzie κ = c p cv

W takim przypadku const. p= Vκ const p = κ κ +1 V V p const. = κ κ +1 V V V p const. =κ = κp κ V V gdzie p oznacza gazu niezaburzonego

Ostatecznie mamy: v= κp ρ0 Prędkości fal w innych ośrodkach: - Fale podłużne w ciałach stałych: v= E ρ gdzie E moduł Younga, ρ gęstość ciała - Fale poprzeczne w napiętej strunie: v= F m1 gdzie F siła przyłożona do struny, m1 masa przypadająca na jednostkę długości struny

Akustyka

Natężenie fali dźwiękowej Fale rozchodzące się w powietrzu są falami podłużnymi. Są to fale ciśnieniowe. Po dotarciu do ludzkiego ucha wywołują wrażenie dźwięku o ile ich częstotliwość leży w przedziale od 16 Hz do 0 khz. W akustyce definiuje się wielkość nazywaną natężeniem dźwięku. Jest to moc przenoszona przez falę akustyczną przez jednostkową powierzchnię prostopadłą do kierunku rozchodzenia się fali: P I= S Dla fali kulistej 1 I~ r

Czułość ucha jest zależna od częstotliwości dźwięku: I0=10-1 W/m nazywamy natężeniem poziomu zerowego.

Subiektywne natężenie dźwięku I Λ = 10 log I0 Jednostką względnego natężenia dźwięku (w ten sposób zdefiniowanego) jest decybel. Przyjęcie takiej jednostki jest skutkiem tego, że zmiana intensywności subiektywnego wrażenia dźwiękowego wywołanego przez dwa dźwięki jest proporcjonalna do logarytmu stosunku natężeń porównywanych dźwięków (prawo Webera i Fechnera)

Zjawiska akustyczne Echo - dwu lub kilkukrotne słyszenie tego samego dźwięku w wyniku odbić. Pogłos podobne do echa, ale ze względu na małe opóźnienia docierających dźwięków ucho nie potrafi ich rozróżnić, a jednocześnie echo wyczuwa już istnienie odbić. Występuje zwykle w pomieszczeniach zamkniętych. Powoduje zwykle subiektywne wrażenie przedłużenie czasu trwania dźwięku. Dudnienia powstają na skutek nakładania się fal o zbliżonych częstotliwościach. Weźmy dwie fale x1 = X 0 sin ( ω 1t kz ) x = X 0 sin ( ω t kz )

W wyniku ich nałożenia otrzymujemy ω1 ω ω1+ ω xd = X 0 cos t sin t kz Amplituda dudnień: X 0d ω1 ω = X 0 cos t Efekt Dopplera. Niech źródło dźwięku o częstotliwości f porusza się ze stałą prędkością u zbliżając się do obserwatora. Częstotliwość dźwięku odbierana przez obserwatora będzie równa c c c c f '= = = = f λ' λ u λf u c u f f f

Jeżeli źródło spoczywa, a obserwator zbliża się do źródła z prędkością v, to mamy: c+ v c+ v c+ v f '= = = f c λ c f Łącząc oba przypadki otrzymujemy c+ v f '= f c u

Powstanie fali uderzeniowej (fali balistycznej). Zachodzi, gdy źródło dźwięku porusza się z prędkością większą od prędkości dźwięku.