Poblem syntezy steowania w systemach automatycznego powadzenia statku wzdłuż zadanej tajektoii Zenon Zwiezewicz Szczecin,
Poblem syntezy steowania w systemach automatycznego powadzenia statku wzdłuż zadanej tajektoii Zenon Zwiezewicz Systemy automatycznego steowania statkiem odgywają coaz badziej istotną olę w automatyzacji pocesu powadzenia statku. Dla óżnych zadań steowania mamy właściwe systemy. Wyóżnić możemy tu: systemy stabilizujące kus (populane autopiloty), systemy dynamicznej stabilizacji pozycji statku (DSP), systemy antykolizyjne lub powadzenia statku wzdłuż zadanej tajektoii. Odębną olę odgywają systemy stabilizacji kołysań bocznych bądź steowania pędkością wzdłużną statku. W atykule pzedstawione zostaną i poównane dwa podejścia do poblemu syntezy układu steowania w systemach powadzenia statku wzdłuż zadanej tajektoii. Piewszy z nich opaty jest na podejściu klasycznym tzn. mając nieliniowy model pocesu (uchu statku wzdłuż tajektoii) najpiew go lineayzujey, a następnie, po wpowadzeniu stosownego kyteium jakości, dokonujemy syntezy steowania optymalnego na bazie poceduy LQR (linea quadatic egulato) []. W podejściu dugim dokonujemy syntezy w opaciu o oyginalny nieliniowy model, co wymaga zastosowania znacznie badziej zaawansowanych technik matematycznej teoii steowania systemami nieliniowymi [6]. Dzięki temu podejściu możemy uniknąć wielu wad, któymi obaczone są techniki lineayzacji. Chodzi tu głównie o szybko naastający błąd modelu liniowego, jaki cechuje systemy zlineayzowane (model-object mismatch) w pzypadku zwiększonych odchyleń zmiennych systemu od zadanego punktu pacy. Sytuacja taka może w pewnych waunkach dopowadzić do całkowitego zdestabilizowania pacy systemu.. Poblem powadzenia statku wzdłuż zadanej tajektoii Tajektoię, wzdłuż któej statek winien być powadzony definiujemy najczęściej w postaci linii łamanej okeślonej popzez zadanie ciągu tzw. punktów zwotu (way points) P ( x, y), P ( x, y),, P i ( xi, yi ),, P n( xn, yn), czyli jej wiezchołków. Jest wiele sposobów fomalizacji zadania powadzenia statku wzdłuż zadanej tajektoii, co wynika z istnienia wielu sposobów definicji błędu(ów) śledzenia tajektoii pzez statek. Jednym z pzykładów definicji takiego błędu jest stategia LOS (line-of-sight), któa polega na wyznaczaniu pożądanego kusu statku w opaciu o kieunek linii łączącej statek (jego śodek ciężkości) z punktem pzecięcia bieżącego odcinka łamanej z okęgiem o zadanym pomieniu zakeślonym wokół statku (patz Rys.). Stategia LOS powadzi do wyznaczania w sposób ciągły (nowego) kusu zadanego pokładowego egulatoa kusu (autopilota) w wyniku czego uzyskujemy zbieżność do zea błędu kusowego postaci los. Powadzi to [5] do spowadzenia do zea ównież popzecznego błędu śledzenia (patz dalej), a więc pożądany efekt powadzenia wzdłuż tajektoii. los dla
Pi P los los P i Rys.. Sposób wyznaczania kusu zadanego w opaciu o stategię LOS. Innym podejściem (zastosowanym w tym atykule) jest stategia bezpośedniego spowadzenia zaówno błędu popzecznego jak i błędu kusowego do zea. W tym celu wpowadzimy następujące dwa układy współzędnych (Rys..): - układ odniesienia globalny, nieuchomy względem ziemi (X g,y g ), któego współzędne mogą być miezone bezpośednio za pomocą GPS u, - układ odniesienia względny (uchomy) (X,Y ), któego początek znajduje się w 'uchomym' punkcie zwotu Pi ( xi, yi ) i któego oś OX pzebiega wzdłuż odcinka P (i=,,...,n) ip i X g Tajektoia zadana X P i + o x x g P i y Y y g Y g Rys.. Układy odniesienia globalny(stały) i względny (uchomy). (X g, Y g ) układ współzędnych globalny (X, Y ) układ współzędnych względny (x g, y g ) pozycja statku w układzie globalnym (miezona popzez GPS) (x, y ) pozycja statku w układzie względem o kąt obotu względnego układu współzędnych (w stosunku do układu globalnego) kus z żyokompasu elatywny kus względem osi P i X (odchyłka kusowa). Względną pozycję statku (x,y ), a także jego względny kus możemy uzyskać w wyniku następującego pzekształcenia zamiany współzędnych
x coso sino xg xi y sino coso yg yi o, () któe okeśla kolejne pzesunięcia i oboty globalnego układu odniesienia w zależności od bieżącego odcinka łamanej (tajektoii). o jest tutaj kątem obotu układu zdefiniowanym wzoem: y y i i tan o. () xi xi Widać teaz, że sensownym będzie potaktowanie współzędnej y (błąd popzeczny) oaz kusu względnego (błąd kusowy) jako wielkości okeślających błędy śledzenia w stosunku do danego odcinka tajektoii. Celem pojektowanego egulatoa jest spowadzenie tych błędów do zea, co zapewniłoby pefekcyjny pzebieg pocesu steowania statkiem wzdłuż tajektoii.. Modele uchu statku dla celów syntezy steowania Równanie opisujące uch statku wg. Nomoto [5] ma postać: gdzie : T ( t) ( t) K( t), () (t) - odchylenie od kusu zadanego (t) - wychylenie płetwy steowej (t) < max - maksymalne wychylenie steu (oganiczenie na steowanie) T - stała czasowa K - współczynnik wzmocnienia (współczynnik efektywności steu) Nobin (96) zapoponował, aby zastąpić w modelu Nomoto liniowy składnik pzez nieliniowe chaakteystyki manewowe H ( ) otzymując model postaci: N T H ( ) N K. (4) Funkcję H ( ), opisująca nieliniową chaakteystykę manewową statku, uzyskuje się w opaciu o N tzw. manew odwóconej spiali [5] i pzyjmuje się standatowo jako wielomian -go stopnia. (5) H N ( ) a a a a Dla statku statecznego na kusie a, zaś dla niestatecznego a. Napęd z jedną śubą lub asymetia kadłuba powadzi do niezeowej watości a. Podobnie symetia kadłuba implikuje a. Składnik a może służyć także do modelowania stałego wychylenia steu (udde offset) potzebnego do kompensacji zakłóceń w postaci stałego wiatu lub pądu. Wynika z tego, że znaczna liczba statków może być opisana za pomocą postego wielomianu H ( N ) a a. (6) 4
. Synteza układu powadzenia statku wzdłuż tajektoii na bazie modelu zlineayzowanego Jako, że model Nomoto jest faktycznie zlineayzowaną wesją modelu Nobina ozważymy poblem syntezy układu śledzenia zadanej tajektoii statku bazując na liniowym modelu Nomoto, uzupełnionym o zlineayzowane ównanie kinematyki statku (patz model (5)). Powyższy poblem sfomalizujemy jako poblem egulatoa optymalnego LQR [,]. Lineayzując zatem dugie z ównań kinematyki modelu (5) mamy y U v. (7) Zaniedbując w ównaniu (7) pędkość popzeczną v (sway) oaz pzekształcajac () do postaci nomalnej uzyskujemy układ y e I U a y d y c b ei, (8) gdzie ostatnie z ównań epezentuje całkę z piewszej współzędnej wektoa stanu tzn. całkowanie błędu popzecznego śledzenia y : e I y dt. (9) Dodatkowe całkowanie wpowadzono w celu eliminacji uchybu stałego (dla popzecznego błędu śledzenia). U oznacza pędkość wypadkową (jako pzybliżenie pędkości wzdłużnej u) natomiast pędkość kątową -. b jest wolno zmiennym paametem epezentującym zakłócenia zewnętzne (np. moment obotowy wytwazany pzez pojedyńczą śubę), natomiast d y epezentuje znoszenie (dift), od np. pądu lub wiatu, wzdłuż osi OY (d x zaniedbujemy jako tu nieistotne). Pozostałe paamety modelu są takie same jak w zlineayzowanym modelu symulacyjnym (5). Ponieważ, na ozważany błąd śledzenia składają się: błąd popzeczny y oaz błąd kusowy, jako kyteium jakości pzyjmujemy funkcjonał kwadatowy ( ) ( y ) J y dt, () gdzie y, - współczynniki wagowe. y Pzyjmując macieze Q i e R= łatwo zauważyć, że funkcjonał () jest postaci T T J( u ) ) dt (x Qx u Ru. () Zapisujac teaz (8) w ogólnej postaci 5
x Ax Bu w, () gdzie x [ y ] T ei jest wektoem stanu widać, że dla tak sfomalizowanego poblemu śledzenia możemy zastosować znaną poceduę syntezy LQR [,], uzyskując steowanie w postaci popocjonalnego spzężenia zwotnego od stanu postaci u( t) K( t) x ( t). W naszym pzypadku steowanie to wyaża się fomułą ( t) Kx ( t) [ k k k k ] [ y e ] T k y k k k e () y e I y e I Regulato ten wypacowuje watość kąta wychylenia płetwy steowej w opaciu o pomia współzędnych wektoa stanu y,,, ei. W pzypadku, gdy statek nie jest wyposażony w mienik pędkości kątowej należy estymować za pomocą obsewatoa stanu [7, ]. W tym pzypadku spowadza się to do óżniczkowania pomiau kusu otzymanego z żyokompasu. Wydawałoby się, że pojawienie się zakłóceń w w () psuje możliwość zastosowania poceduy LQR. Faktycznie jednak w (tatowane jako stałe) może wpowadzić do wystabilizowanego układu co najwyżej odchylenie wektoa stanu od zea [4]. Z dugiej stony wiadomo, że całkowanie (9) zapewnia zeowanie się (w stanie ustalonym) błędu popzecznego y oaz, że stuktua układu (dugie z ównań) gwaantuje zeowanie się pędkości kątowej. Widać zatem, że ewentualne odchylenie od zea może pojawić się jedynie we współzędnych e I oaz. Pzy czym e I, jako zmienna pomocnicza, wpowadzona jest celowo do pzejęcia uchybu stałego od innych współzędnych stanu, więc nie stanowi ona poblemu. Bak zeowania się dopuszcza jednak, że powadzenie statku wzdłuż tajektoii, pzy wybanej konfiguacji pędników (jeden ste płetwowy; patz model (5)), może zachodzić także pzy niezeowym błędzie kusowym (patz Rys. 4). 4. Synteza układu powadzenia statku wzdłuż tajektoii na bazie modelu nieliniowego W celu dokonania syntezy steowania systemu śledzącego zadaną tajektoię użyjemy teaz nieliniowego modelu Nobina uchu statku uzupełnionego o dugie z ównań jego kinematyki (patz model (5)). Zapisując te ównania w postaci ównań stanu otzymamy układ: y u sin v cos d H N() c b y gdzie jako ównanie wyjścia pzyjmiemy:, (4 a) (4b) (4c) y y (5) tzn. jako wyjście systemu taktujemy błąd popzeczny śledzenia. Ponieważ w badaniach symulacyjnych wykozystano statek klasy Maine epezentowany modelem (5), jako chaakteystykę H N pzyjmujemy funkcję H b a () N. (6) 6
Współczynniki modelu (4) pzyjęto oczywiście takie same jak odpowiednie współczynniki z modelu symulacyjnego (5). Popzez kolejne óżniczkowanie wyjścia y względem czasu pzekształcimy teaz układ (4) do postaci liniowej, z któej łatwo już będzie można znaleźć szukaną syntezę steowania. Poces óżniczkowania kończymy w momencie pojawienia się w uzyskanej pochodnej zmiennej steowania. Opisana pocedua znana jest w teoii steowania pod nazwą lineayzacji spzężeniem zwotnym od wyjścia [6]. Obliczmy zatem kolejne pochodne wyjścia y względem czasu: u sin cos d y y [ ] u sin cos d H N() c b y u sin cos y u [, cos sin, sin ] H () c N b, (7) (8) stąd gdzie y f ( x) g( x ), (9) f ( x ) u cos sin cos ( H ( ) ) () g x) c cos ( N b Pzy czym pędkość boczną v w ównaniu (4a) zastąpiono wzoem v (patz model (5)). Łatwo zauważyć, że układ (9) można spowadzić do postaci układu liniowego popzez podstawienie f( x) v g( x), () co powadzi do ównania y v. () Pzyjmując teaz pomocnicze steowanie v postaci v t k y k y () () oaz bioąc pod uwagę (5), dostajemy ównanie y ky ky, (4) któego stabilność ozwiazań możemy zapewnić popzez stosowny wybó paametów k, k. Można tego dokonać za pomocą metody lokacji biegunów [7], bądź też w opaciu o pzedstawioną wcześniej metodę LQR. Podsumowując, ównania () i () definiują szukaną syntezę egulatoa dla systemu powadzenia statku wzdłuż zadanej tajektoii. Należy w tym miejscu podkeślić, że ze względu na niedokładności modelu obiektu (statku) uzyskane w powyższy sposób steowanie może być ważliwe na błędy modelowania. Dlatego, dla zwiększenia odponości systemu stosuje się tu dodatkowo metody steowania odponego (obust contol) [5], 7
bądź adaptacyjnego (adaptive contol) []. Wywód tych metod pzekacza jednak objętość tego atykułu. Zwiększenie odponości systemu metodą eżimu ślizgu można znaleźć w pacy [,9,], natomiast syntezę bazującą na technikach steowania adaptacyjnego podano w []. Podobna uwaga dotyczy także pojektowania systemów w opaciu o model zlineayzowany. 5. Model symulacyjny uchu statku Jakość działania pzedstawionych systemów steowania zweyfikujemy teaz dogą symulacji komputeowej. Jako model, opisujący dynamikę uchu statku pzyjmujemy następujący układ ównań podany pzez de Witt'a i Oppe go (W-O) [4]: x= u cosψ y= u sinψ ψ = = a b u= f u v = gdzie: (x, y) - współzędne Katezjańskie - kus - pędkość kątowa u - pędkość wzdłużna (suge) v - pędkość popzeczna (sway) - wychylenie steu (jako zmienna steująca) S - siła napou śuby W v sinψ v cosψ cδ S (5) Model ten będzie pełnił tutaj olę zeczywistego obiektu (statku), któego uch steowany będzie sygnałami uzyskanymi z egulatoa w opaciu o wcześniej wyznaczone algoytmy. Jako pzykładowe paamety manewowe uchu statku weźmiemy paamety statku klasy Maine, m.s. Compass Island. Paamety ustalono [4] jak następuje a =.84 /min, b =.6 min, c =.55 ad/min, = -.75 nm/ad, =, f =.86 /min, W =.67 nm/ad, S =.5 nm/min. Maksymalne wychylenie steu jak i maksymalna pędkość jego wychylania wynoszą odpowiednio 5 deg oaz.8 deg/s. Inne dane chaakteystyczne statku to: tonaż ejestowy butto 94 t, nośność 498 t, długość 7 m, zanuzenie 9,4 m, pojedyncza śuba, szybkość maksymalna węzłów. Należy zauważyć, że pzyjęte paamety czynią statek kusowo stabilny oaz, że inne modele dynamiczne statków mogą być tu także wykozystane. 6. Wyniki symulacji W celu zweyfikowania syntezy steowania oaz poównania ezultatów dla obu zapoponowanych wcześniej pojektów dokonano testów symulacyjnych z użyciem pogamu Matlab/Simulink. Symulacji dokonano na bazie nieliniowego modelu symulacyjnego W-O dynamiki statku, epezentującego zeczywisty statek. W pzypadku modelu zlineayzowanego maciez wzmocnień K egulatoa () obliczono na podstawie algoytmu LQR, jako K [.4,.,,.45] T. Macieze Q i R z kyteium () pzyjęto odpowiednio jako Q diag [., 4,,.] (tzn. elementy y,, e wynosiły odpowiednio., 4,.) oaz R=. y e 8
X Paamety epezentujące zakłócenia zewnętzne oaz popzeczny pąd wynosiły odpowiednio. oaz d,4 nm/min. Zakłócenia pochodzące od falowania uzyskano w symulacji jako b y odpowiednio pzefiltowany biały szum [5,]. W pzypadku syntezy opatej na modelu nieliniowym (4) wzmocnienia k, k ze wzou () zostały wyznacone ównież w opaciu o algoytm LQR pzy czym ich watosci numeyczne wynosiły k.8, k.7. Na ysunku zadana tajektoia jest łamaną składającą się z tzech odcinków. Piewszy jest częścią osi OX (od punktu (,) do (,)), dugi łączy punkty (,) i (4,) podczas, gdy tzeci stanowi półpostą o początku (4,), ównoległą do osi OX i zgodnie z nią skieowaną. Początkowa pozycja statku, kus i pędkość kątowa wynoszą odpowiednio (,-.5), o i ad/min. Pzyjęta skala odległości jest nm pzy nominalnej pędkości statku.5 nm/min. 8 6 4 8 6 4 pozycja poczatkowa statku znoszenie padowe - - 4 5 Y Rys.. Pzebieg tajektoii statku wzdłuż łamanej (,), (,), (4,), (,8); (czewona dla modelu zlineayzowanego, niebieska dla modelu nieliniowego). Rysunki 4 oaz 5 pzedstawiają odpowiednio pzebieg kąta kusowego oaz pzebieg wychyleń steu w czasie. Na każdym z ysunków na czewono oznaczono wykes odpowiadający systemowi zlineayzowanemu, podczas, gdy ten opaty o model nieliniowy jest oznaczony linią niebieską. 9
wychylenie steu [deg] kus [deg] 8 6 4-4 5 6 7 8 9 czas [min] Rys. 4. Pzebieg kąta kusowego statku (czewony dla modelu zlineayzowanego, niebieski dla modelu nieliniowego). 4 - - - -4 4 5 6 7 8 9 czas [min] Rys. 5. Pzebieg wychylenia steu statku (czewony dla modelu zlineayzowanego, niebieski dla modelu nieliniowego). 7. Uwagi i wnioski końcowe Posta analiza wyników symulacji wskazuje na znacznie lepszą jakość działania egulatoa nieliniowego, zwłaszcza pzy dużych odchyleniach stanu pocesu od punktu pacy tzn. od łamanej wyznaczającej zadaną tajektoię. Widać to zwłaszcza w początkowej fazie pocesu śledzenia, gdzie pozycja statku jest znacznie od niej oddalona. Ze względu na popzeczny pąd znoszący statek z tajektoii oaz fakt wyposażenia statku tylko w jeden pędnik steujący (ste płetwowy) powadzenie wzdłuż tajektoii odbywa się pzy niezeowym błędzie kusowym (patz Rys. 4.), któego nie da się wyeliminować bez udziału dodatkowych pędników (np. stea stumieniowego). W eakcji na wolno zmienne zakłócenia zewnętzne (wytwazające moment obotowy), epezentowane paametem b, występuje koekcyjne wychylenie steu (udde offset). Widać to na ysunku 5, gdzie składowa stała oscylującego wychylenia steu pzebiega wyaźnie ponad osią czasu. Należy zauważyć, że egulato nieliniowy stabilizuje tylko błąd popzeczny y podczas, gdy ten zlineayzowany bieze także pod uwagę odchyłkę kusową. Sugeuje to, aby w dalszych badaniach wyposażyć egulato nieliniowy ównież i w tą właściwość, co powinno dodatkowo podnieść jakość jego działania. Z paktycznego punktu widzenia watość zapezentowanych systemów steowania będzie zależała od ich odponości na zmiany paametów modeli jak i zakłóceń zewnętznych. Podejście do poblemu z uwzględnieniem tych faktów wykacza jednak poza amy tego atykułu i można je znaleźć w pacy [].
Liteatua. Andeson B.D.O., Mooe J.B.: Linea Optimal Contol. Pentice Hall, 97.. Astom K. J., Wittenmak B.: Adaptive Contol. Addison-Weseley, 995.. Athans M., Falb P.: Steowanie otymalne. Wstep do teoii i jej zastosowania. WNT, 969. 4. De Wit C, Oppe J.: Optimal collision avoidance in unconfined wates. Jounal of the Institute of Navigation, 979-8; vol. 6, no. 4, (96-) 5. Fossen TI.: Guidance and contol of ocean vehicles. Wiley: New Yok, 994. 6. Isidoi A.: Nonlinea Contol Systems. An intoduction. Spinge Velag, Belin, 989. 7. Kaczoek T.: Teoia steowania ( t. ) PWN, Waszawa, 98. 8. Lisowski J.: Statek jako obiekt steowania automatycznego. Wyd. Moskie, Gdańsk, 98. 9. Slotine, J. E. Li W.: Applied nonlinea contol, Pentice Hall, New Jesey, 99.. Utkin V. I.: Sliding modes and thei application in vaiable stuctue systems. Mi Publishes, 978.. Zwiezewicz Z.: On the ship guidance automatic system design via lqg-integal contol. 6 th IFAC Confeence on Manoeuving and Contol of Maine Cafts (MCMC), 7-9 Septembe, Giona, Spain, (49-5).. Zwiezewicz Z. P. Bokowski Synteza steowania nieliniowych układów śledzenia pzy baku znajomości dynamiki obiektu. Zeszyty Naukowe n (8) Akademii Moskiej w Szczecinie, Szczecin 6, (4-44).. Zwiezewicz Z.: Nonlinea adaptive tacking-contol synthesis fo functionally uncetain systems. Intenational Jounal of Adaptive Contol and Signal Pocessing, 4(), (96-5). 4. Zwiezewicz Z.: On Genealization of Integal Contol to a Class of Nonlinea Uncetain Systems Achives of Contol Sciences, Vol. (LVI),, no., (87-98). 5. Zhou K., Doyle J. C., Glove K.: Robust and Optimal Contol. Pentice Hall, 995.