EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 0/05 FORMUŁA DO 0 ( STARA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P CZERWIEC 05
Klucz punktowania zadań zamkniętych Nr zad. 3 5 6 7 9 0 3 5 6 7 9 0 3 5 Odp. B B C C C D C A B A B C A A B D B A C D D D D C A zadań otwartych Zadanie 6. ( pkt) Rozwiąż nierówność Rozwiązanie 7x 0. Rozwiązanie nierówności kwadratowej składa się z dwóch etapów. Pierwszy etap rozwiązania: Znajdujemy pierwiastki trójmianu kwadratowego 7x : podajemy je bezpośrednio, np. zapisując pierwiastki trójmianu lub postać iloczynową trójmianu lub zaznaczając na wykresie x, 7 x x x lub obliczamy wyróżnik tego trójmianu, a następnie stosujemy wzory na pierwiastki: 0 0 0 7, x, x. Drugi etap rozwiązania: Podajemy zbiór rozwiązań nierówności: x lub, lub x, np. odczytując f x 7x. go ze szkicu wykresu funkcji x Zdający otrzymuje... pkt gdy: zrealizuje pierwszy etap rozwiązania i na tym poprzestanie lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności, np. 7 x x i na o rozłoży trójmian kwadratowy na czynniki liniowe, np. tym poprzestanie lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności,
o obliczy lub poda pierwiastki trójmianu kwadratowego x i x i na tym poprzestanie lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności, 3 o zaznaczy na wykresie miejsca zerowe funkcji f x 7x i na tym poprzestanie lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności realizując pierwszy etap popełni błąd (ale otrzyma dwa różne pierwiastki) i konsekwentnie do tego rozwiąże nierówność, np. popełni błąd rachunkowy przy obliczaniu wyróżnika lub pierwiastków trójmianu kwadratowego i konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże nierówność. Zdający otrzymuje... pkt gdy: poda zbiór rozwiązań nierówności: x lub, lub x, sporządzi ilustrację geometryczną (oś liczbowa, wykres) i zapisze zbiór rozwiązań nierówności w postaci: x poda zbiór rozwiązań nierówności w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi końcami przedziałów x Kryteria oceniania uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki. Akceptujemy sytuację, gdy zdający poprawnie obliczy lub poda pierwiastki trójmianu x i x i zapisze, np. x,, popełniając tym samym błąd przy przepisywaniu jednego z pierwiastków, to za takie rozwiązanie otrzymuje punkty.. Jeśli zdający pomyli porządek liczb na osi liczbowej, np. zapisze zbiór rozwiązań nierówności w postaci x,, to przyznajemy punkty. Zadanie 7. ( pkt) Rozwiąż równanie x x 3 7x 5 0. Rozwiązanie (metoda grupowania) Przedstawiamy lewą stronę równania w postaci iloczynu, stosując metodę grupowania wyrazów 3 x ( x ) 7( x ) 0 3 ( x 7)( x ) 0. Stąd x 3 lub x.
Egzamin maturalny z matematyki stara formuła Zdający otrzymuje... pkt gdy zapisze lewą stronę równania w postaci iloczynu, np.: ( x 3 7)( x ) i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy. Zdający otrzymuje... pkt gdy wyznaczy bezbłędnie oba rozwiązania równania: x 3, x. Zadanie. ( pkt) Funkcja kwadratowa f dla x 3 przyjmuje wartość największą równą. Do wykresu funkcji f należy punkt A, 3. Zapisz wzór funkcji kwadratowej f. I sposób rozwiązania Wykorzystując fakt, że dla x 3 funkcja kwadratowa f przyjmuje wartość największą równą, możemy zapisać: f x a x 3. Punkt A,3 należy do wykresu funkcji, zatem możemy obliczyć wartość współczynnika a: a 3 3, stąd a. f x x 3. Zapisujemy wzór funkcji f w postaci I sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje... p. gdy Zapisze wzór funkcji, w którym nieznany jest tylko współczynnik stojący przy x, np. f x a x 3, popełni błąd rachunkowy przy obliczeniu współczynnika a i konsekwentnie do popełnionego błędu zapisze wzór funkcji kwadratowej f. Zdający otrzymuje... p. gdy zapisze wzór funkcji kwadratowej f : np. f x x 3. II sposób rozwiązania Funkcja kwadratowa może być opisana wzorem f ( x) ax bx c. Wykorzystując fakt, że funkcja kwadratowa f przyjmuje wartość największą dla x 3, b możemy zapisać: 3. a
Stąd b 6a, czyli f ( x) ax 6ax c. Punkt 3, W należy do wykresu funkcji, zatem możemy zapisać: 9a a c Stąd c 9a, czyli f ( x) ax 6ax 9a. Punkt A,3 należy do wykresu funkcji, zatem możemy obliczyć wartość współczynnika a: a 6a 9a 3, stąd a. 6 7 Wyznaczamy wartości b i c: b, c 6 7 Zapisujemy wzór funkcji f : f ( x) x x. 5 II sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje... p. gdy Zapisze wzór funkcji, w którym nieznany jest tylko jeden współczynnik trójmianu kwadratowego f ( x) ax bx c, np. f ( x) ax 6ax 9a, popełni błędy rachunkowe przy obliczeniu współczynników a, b, c i konsekwentnie do popełnionych błędów zapisze wzór funkcji kwadratowej f. Zdający otrzymuje... p. 6 7 gdy zapisze wzór funkcji kwadratowej f : np. f ( x) x x. Zadanie 9. ( pkt) Bok AB czworokąta ABCD wpisanego w okrąg jest średnicą tego okręgu (zobacz rysunek). Udowodnij, że AD BD BC AC. D C O A B Dowód Kąt ADB jest prosty, jako kąt wpisany w okrąg oparty na jego średnicy.
Podobnie stwierdzamy, że kąt ACB jest prosty. Z twierdzenia Pitagorasa dla tych trójkątów prostokątnych otrzymujemy AB AD BD oraz AB AC BC. Porównując prawe strony tych równości otrzymujemy tezę. To kończy dowód. 6 Zdający otrzymuje... pkt gdy zauważy, że kąty ADB i ACB są proste, wykorzysta twierdzenie Pitagorasa i zapisze równości: dalej popełnia błędy. AB AD BD, AB AC BC i na tym poprzestanie lub Zdający otrzymuje... pkt gdy uzasadni równość. Zadanie 30. ( pkt) W siedmiowyrazowym ciągu arytmetycznym środkowy wyraz jest równy 0. Udowodnij, że suma wyrazów tego ciągu jest równa 0. Rozwiązanie Ciąg a n jest ciągiem arytmetycznym, złożonym z siedmiu wyrazów. Zatem środkowym wyrazem tego ciągu jest a a 3r 0. Suma wyrazów tego ciągu jest równa S7 a a a3 a a5 a6 a7. Wykorzystując wzór na wyraz ogólny ciągu arytmetycznego lub wzór na sumę wyrazów ciągu arytmetycznego, zapisujemy sumę ciągu w postaci S a a r a r a 3r a r a 5r a 6r 7a r 7 a 3r, więc a 3r. S 7 7a r 7 3r r r r. Ponieważ 0 Stąd 0 Zatem suma wyrazów tego ciągu jest równa 0. Zdający otrzymuje... pkt gdy zapisze sumę wszystkich wyrazów ciągu w postaci S 7 7a r i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy zapisze wszystkie wyrazy ciągu w zależności od wyrazu a, np. a a 3r, a a r, a 3 a r, a 5 a r, a6 a r, a7 a 3r, i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy. Zdający otrzymuje... pkt gdy uzasadni, że suma wyrazów ciągu jest równa 0.
Zadanie 3. ( pkt) Ze zbioru cyfr,,3,,5,6,7, losujemy kolejno dwie cyfry (losowanie bez zwracania) i tworzymy liczby dwucyfrowe tak, że pierwsza wylosowana cyfra jest cyfrą dziesiątek, a druga cyfrą jedności. Oblicz prawdopodobieństwo utworzenia liczby podzielnej przez. 7 I sposób rozwiązania (klasyczna definicja prawdopodobieństwa) Zdarzeniami elementarnymi są wszystkie pary uporządkowane x, y, gdzie x y, utworzone z dwóch cyfr wylosowanych ze zbioru,,3,,5,6,7,, przy czym x oznacza cyfrę dziesiątek, y oznacza cyfrę jedności. Liczba wszystkich zdarzeń elementarnych jest równa 7 56. Niech A oznacza zdarzenie, że utworzona liczba jest podzielna przez. Zatem A,,,6,,,,, 3,, 3,6,,, 5,, 5,6, 6,, 6,, 7,, 7,6,, Liczba zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A jest więc równa A. Prawdopodobieństwo zdarzenia A jest równe: II sposób rozwiązania (metoda tabeli) P A. 56 3 5 6 7 x x 3 x x 5 x 6 x 7 x x Symbole w tabeli oznaczają odpowiednio: x zdarzenie niemożliwe zdarzenie elementarne sprzyjające zdarzeniu A 7 56 i A, zatem P A. 56 I i II sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje... pkt gdy obliczy liczbę wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych: 7 56 obliczy (zaznaczy poprawnie w tabeli) liczbę zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A : A
Zdający otrzymuje... pkt gdy obliczy prawdopodobieństwo zdarzenia A: P A. Uwaga Jeżeli zdający popełnił błąd przy zliczaniu w tabeli par, spełniających warunki zadania i konsekwentnie do popełnionego błędu obliczy prawdopodobieństwo, to otrzymuje punkt. III sposób rozwiązania (metoda drzewa) Drzewo: 3 5 6 7 7 7 7 7 7 7 7 7 Prawdopodobieństwo zdarzenia A (liczba jest podzielna przez ) jest więc równe: P A. 7 7 7 7 7 7 7 7 56 III sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje... pkt gdy narysuje pełne drzewo i przynajmniej na jednej gałęzi zapisze prawdopodobieństwo Zdający otrzymuje... pkt gdy obliczy prawdopodobieństwo zdarzenia A: P A. Uwagi. Jeśli zdający rozwiąże zadanie do końca i otrzyma PA ( ), to otrzymuje za całe rozwiązanie 0 punktów.. Jeśli zdający dodaje prawdopodobieństwa na gałęziach drzewa, to za całe rozwiązanie otrzymuje punkt (pod warunkiem, że prawdopodobieństwa na gałęziach drzewa są zapisane prawidłowo). 3. Jeżeli zdający popełni błąd przy przepisywaniu prawdopodobieństw z gałęzi drzewa lub w zapisaniu prawdopodobieństwa na jednej gałęzi drzewa lub nie zaznaczy jednej istotnej gałęzi drzewa i konsekwentnie do popełnionego błędu oblicza prawdopodobieństwo, to otrzymuje punkt.
Zadanie 3. ( pkt) Dany jest romb o boku długości 35. Długości przekątnych tego rombu różnią się o. Oblicz pole tego rombu. Rozwiązanie Niech krótsza przekątna tego rombu ma długość x (zobacz rysunek). Wtedy druga przekątna ma długość równą x. 9 x x + 77 x + 77 x 35 Przekątne rombu przecinają się pod kątem prostym oraz dzielą się na połowy, zatem możemy zapisać równanie wynikające z twierdzenia Pitagorasa: x x 7 35. Po uporządkowaniu otrzymujemy równanie: x 7x 5 0. To równanie ma dwa rozwiązania: x, x. Odrzucamy ujemne rozwiązanie i zapisujemy długości przekątnych tego rombu: x oraz x 56. Szukane pole rombu równa się więc: P 56 76. Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania... p. Zdający oznaczy długości przekątnych tego rombu i zapisze zależności między długościami tych przekątnych, np. x i x i na tym zakończy lub dalej popełni błędy. Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp... p. Zdający zastosuje twierdzenie Pitagorasa i zapisze równanie z jedną niewiadomą, np.
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy. x x 7 35 0 Uwaga Jeżeli zdający zapisze układ równań opisujący sytuację w zadaniu, np. p q 7 p q 35 gdzie p i q oznaczają długości połówek, odpowiednio, większej i mniejszej przekątnej tego rombu, to przyznajemy punkty. Pokonanie zasadniczych trudności zadania... 3 p. Zdający rozwiąże powyższe równanie, otrzymując dwa rozwiązania: x, x, odrzuci ujemne rozwiązanie i na tym zakończy lub dalej popełni błędy. Rozwiązanie pełne... p. Zdający obliczy pole tego rombu: P 56 76. Uwaga Jeżeli zdający odgadnie długości przekątnych rombu i sprawdzi, że wtedy bok rombu ma długość 35, to otrzymuje punkt. Jeżeli ponadto obliczy poprawnie pole tego rombu, to otrzymuje punkty.
Zadanie 33. ( pkt) Wysokość prostopadłościanu ABCDEFGH jest równa, a długość przekątnej BH jest równa sumie długości krawędzi AB i BC. Oblicz objętość tego prostopadłościanu. H G E F D C A B Rozwiązanie Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku. H G E F d A D a B b C Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta DBH otrzymujemy Stąd i z równości BH BD DH d a b otrzymujemy, czyli a b a b, d a b. a ab b a b, ab Objętość V prostopadłościanu jest zatem równa V ab.
Egzamin maturalny z matematyki stara formuła Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania... pkt Zdający zapisze długość przekątnej w zależności od długości boków podstawy: d a b zapisze zależność między długością przekątnej prostopadłościanu i długościami jego d a b. krawędzi, np.: Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp... pkt Zdający zapisze równanie pozwalające obliczyć pole podstawy prostopadłościanu: a b a b. Pokonanie zasadniczych trudności zadania... 3 pkt Zdający obliczy pole podstawy prostopadłościanu: ab. Rozwiązanie pełne... pkt Zdający obliczy objętość prostopadłościanu:. Uwaga Jeżeli zdający rozwiąże zadanie jedynie w przypadku prostopadłościanu, którego podstawa ABCD jest kwadratem, to może otrzymać co najwyżej punkty, przy czym punkt otrzymuje za zapisanie równania d a, natomiast punkty otrzymuje za rozwiązanie zadania do końca w tym przypadku. Jeśli natomiast zauważy, że prostopadłościanów opisywanych w zadaniu jest nieskończenie wiele, więc wystarczy obliczyć objętość tylko w przypadku gdy a b, to może otrzymać co najwyżej 3 punkty. Zadanie 3. (5 pkt) Deweloper oferuje możliwość kompletnego wyposażenia kuchni i salonu w ofercie Malejące raty. Wysokość pierwszej raty ustalono na 775 zł. Każda następna rata jest o 0 zł mniejsza od poprzedniej. Całkowity koszt wyposażenia kuchni i salonu ustalono na 30 0 zł. Oblicz wysokość ostatniej raty i liczbę wszystkich rat. Rozwiązanie Kolejne raty tworzą ciąg arytmetyczny, w którym pierwszy wyraz a 775i różnica r 0. Jeżeli n oznacza liczbę rat, to suma wszystkich rat jest równa S n 300. Wykorzystując wzór na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego, zapisujemy równanie 775 n 0 Przekształcamy to równanie równoważnie i otrzymujemy Równanie to ma dwa rozwiązania 70 5 n 30 0 n 300. n i dalej n 56n 60 0.
n 7 i n. Obliczamy teraz wysokość ostatniej raty, czyli 7 65 a i a 55. Drugie rozwiązanie odrzucamy, jako sprzeczne z warunkami zadania, a całkowity koszt wyposażenia kuchni i salonu zostanie spłacony w 7 ratach. Odpowiedź: Liczba rat to 7. Ostatnia rata wyniosła 65 zł. 3 Rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze do całkowitego rozwiązania zadania... pkt Zdający zauważy, że problem daje się opisać za pomocą ciągu arytmetycznego, w którym pierwszym wyrazem jest 775, a różnicą tego ciągu jest 0. Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp... pkt 775 n 0 Zdający zapisze równania z niewiadomą n : np. n 30 0. Pokonanie zasadniczych trudności zadania... 3 pkt Rozwiązanie równania kwadratowego z niewiadomą n i otrzymanie dwóch rozwiązań n 7 i n. Rozwiązanie zadania do końca, lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np. drobne błędy rachunkowe lub wadliwe przepisanie)... pkt rozwiązanie równania z niewiadomą n z błędem rachunkowym (o ile przynajmniej jedno rozwiązanie jest liczbą naturalną) i konsekwentne do popełnionego błędu obliczenie wysokość ostatniej raty rozwiązanie równania kwadratowego i odrzucenie jednego rozwiązania i brak obliczenia lub obliczenie błędnie wysokości ostatniej raty. Rozwiązanie pełne... 5 pkt Wyznaczenie liczby rat: 7 i wysokości ostatniej raty: 65 zł.