Część 3. BELKI CIĄGŁE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE 3. 3. BELKI CIĄGŁE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE 3.. Metoda trzech momentów Rozwiązanie wieloprzęsłowych bele statycznie niewyznaczalnych można ułatwić w znaczącym stopniu przez dobranie odpowiedniego schematu podstawowego oraz zastosowanie szczególnej postaci metody sił zwanej metodą trzech momentów. Rozważmy dowolnie obciążoną wieloprzęsłową belę statycznie niewyznaczalną. Rys. 3.. Bela wieloprzęsłowa statycznie niewyznaczalna Najbardziej dogodnym schematem zastępczym (podstawowym), będzie schemat, w tórym przerwiemy ciągłość beli przez wprowadzenie przegubów nad podporami i przyjmiemy nadliczbowe niewiadome w postaci momentów podporowych. X -2 X EJ X - EJ X EJ 2 X 2-2 - 2 l - l l l 2 Rys. 3.2. Schemat podstawowy Uwaga: przy ta dobranym uładzie podstawowym macierz podatności będzie macierzą pasmową. Rozważmy teraz dwa sąsiednie, dowolnie wybrane przęsła beli l oraz l, o różnej sztywności EJ, EJ, ale stałej na całej długości przęsła. Załóżmy taże jao wiodący wpływ momentów (wpływ sił normalnych i poprzecznych w belce zginanej jest zniomy).
Część 3. BELKI CIĄGŁE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE 2 X -2 X - X X X 2-2 l - - l l l 2 2 M dla X - = - M dla X = M dla X = M 2 dla X 2 = Rys. 3.3. Wyresy momentów w stanach jednostowych Uład równań anonicznych zapiszemy w postaci: n ij X j ip =, i=,2,..., n (3.) j= W celu otrzymania współczynniów -tego wiersza macierzy podatności, należy wyres momentów M mnożyć olejno przez pozostałe wyresy. Analizując wyresy momentów dla olejnych stanów obciążeń (rys. 3.3) łatwo zauważyć, że wyres M porywa się jedynie z dwoma sąsiednimi wyresami. Stąd tylo trzy współczynnii z indesem będą miały wartość różną od zera.,, =, = EJ,, = EJ 2 l 2 3 EJ,, =, = EJ 2 l 3 = l (3.2) 6 EJ 2 l 2 3 = 3 l l EJ EJ (3.3) 2 l 3 = l (3.4) 6 EJ Podstawiając otrzymane wartości i mnożąc przez 6 całe równanie anoniczne otrzymujemy: X l 2 X EJ l l EJ EJ X l 6 EJ P = (3.5) Mnożąc następnie równanie przez sztywność porównawczą EJ o uzysujemy równanie zwane równaniem trzech momentów (nazwa pochodzi stąd, że w tym równaniu występują trzy sąsiednie momenty podporowe):
Część 3. BELKI CIĄGŁE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE 3 X l ' 2 X l ' l ' X l ' = 6 EJ o P (3.6) gdzie: l ' =l EJ o EJ (3.7) jest długością sprowadzoną (długość zastępcza). Równanie trzech momentów na ońcach beli wieloprzęsłowej wymaga pewnej modyfiacji waruni brzegowe omówimy dla trzech przypadów zaończenia beli.. Przypade pierwszy - bela jest podparta na ońcu w sposób przegubowo przesuwny. 2 l l 2 Rys. 3.4. Przegubowo-przesuwne zaończenie beli Dla taiego zamocowania ońca belo moment w puncie jest równy, stad X o = i równie trzech momentów będzie sładało się tylo z trzech wyrazów. 2 X l ' l 2 ' X 2 l 2 ' = 6 EJ o P 2. Przypade drugi - bela z wolnym, nie podpartym ońcem: 2 3 l l 2 l 3 Rys. 3.5. Bela z przewieszeniem W tym przypadu na ońcu beli moment można łatwo wyznaczyć i wtedy M = M, X dla X =M dla 2 X l 2 ' 2 X 2 l 2 ' l 3 ' X 3 l 3 ' = 6 EJ o 2 P
Część 3. BELKI CIĄGŁE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE 4 3. Przypade trzeci utwierdzenie na początu beli 2 l l 2 Rys. 3.6. Utwierdzony począte beli Taą belę należy rozszerzyć o jedno przęsło wstecz, załadając równocześnie, że lo = 2 l l l 2 Rys. 3.7. Model zastępczy przy utwierdzeniu Tai zabieg doprowadzi do uzysania równania brzegowego w postaci: 2 X o l ' X l ' = 6 EJ o P (3.8) 3.2. Linie wpływu sił nadliczbowych X i bele wieloprzęsłowych Rozpatrzmy sytuację, w tórej obciążenie beli wieloprzęsłowej, statycznie niewyznaczalnej jest zmienne. P Rys. 3.8. Bela wieloprzęsłowa statycznie niewyznaczalna Wyznaczanie w uładach statycznie niewyznaczalnych linii wpływu wielości statycznych lasyczną metodą sił, należy rozpocząć od wyznaczenia linii wpływu nadliczbowych niewiadomych X. Zmiennymi będą wyrazy wolne P i w onsewencji taże X przyjmą wartości zależne od położenia obciążenia. Problemem jest sposób wyznaczenia P przy obciążeniu poruszającym się po belce. Rozpocznijmy rozważania od rozwiązania tego problemu. Niech dana będzie bela wieloprzęsłowa, statycznie niewyznaczalna, po tórej porusza się siła P. Przyjmujemy uład podstawowy ja na rys. 3.2, wtedy P jest wzajemnym obrotem przeroju lewego i prawego przy podporze wywołany działaniem siły P.
Część 3. BELKI CIĄGŁE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE 5 P l l - - l Rys. 3.9. Uład podstawowy obciążony siłą poruszającą się Zatrzymajmy myślowo daną siłę P na jednym z przęseł (rys. 3.). P - l Rys. 3.. Siła P położona w danym przęśle (-,) Dla taiego, chwilowego położenia siły, wyres momentów wystąpi tylo w przęśle w tórym działa siła P. P M(P) O - O Rys. 3.. Wyres momentów od siły P położonej w przęśle (-,) Jeżeli założymy, że P = [-] możemy przejść na umowny zapis (wzajemny ąt obrotu jest równy podatności, tzn. przemieszczeniu od jednostowej siły): P = P (3.9) Na mocy twierdzenia Mawella wiadomo, że wzajemny ąt obrotu przeroju lewego i prawego przy przegubie jest równy: P = P (3.)
Część 3. BELKI CIĄGŁE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE 6 gdzie δp jest to przemieszczenie pionowe pod puntem przyłożenia siły P, wywołane działaniem momentu X = lub inaczej jest to linia ugięcia beli wywołana stałym momentem X =. Ugięcie to jet niezerowe tylo dla dwóch przęseł (-,) i (,). X = - δ P l l P δ P - l l Rys. 3.2. Linie ugięcia beli przy działaniu X i P Znajdźmy linię ugięcia beli w() wywołaną znanym momentem M() za pomocą całowania równania różniczowego. X = - EJ R - = l l w() M() Rys. 3.3. Momenty zginające w przęśle (-,) od przyłożonego momentu jednostowego Funcję ugiętej osi beli opisuje równanie różniczowe: EJ d 2 w d 2 = M (3.) Dla rozpatrywanej beli (rys. 3.3) moment M() jest opisywany funcją: M = l (3.2) Podstawiając równanie momentu do wzoru (3.) otrzymujemy:
Część 3. BELKI CIĄGŁE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE 7 EJ w' ' = l (3.3) Wprowadźmy bezwymiarową zmienną: = l (3.4) Druga pochodna funcji w(ξ) po zmiennej wynosi: d 2 w d 2 = d 2 w d 2 l 2 (3.5) Po podstawieniu (3.4) i (3.5) do (3.3) otrzymujemy równanie: EJ 2 2 l d w = d 2 EJ l 2 w' ' = (3.6) Otrzymaną funcję dwurotnie całujemy: EJ l w' = 2 2 2 C (3.7) EJ l w = 2 3 6 C D (3.8) A po podstawieniu warunów brzegowych w() = i w(l) = otrzymujemy wartości stałych: C= 6 D= W ten sposób uzysujemy funcję linii ugięcia beli l 2 w = 3 (3.9) 6 EJ
Część 3. BELKI CIĄGŁE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE 8 tóra jest poszuiwanym współczynniiem δp dla przęsła (-,) Krzywiznę ugiętej beli opisuje wzór: l 2 P = P =w = (3.2) 6 EJ = 3 (3.2) Wyres momentów MP od siły działającej w przęśle (-,) (rys. 3.) porywa się tylo z wyresami jednostowymi X= i X-= (rys. 3.3). Wobec tego dla dowolnego tylo P oraz -,P będą różne od. P mamy już wyznaczone, problemem teraz pozostaje wyznaczenie -,P = δ -,P = δ P,- (gdzie δ P,- jest przemieszczeniem pionowym pod siłą P wywołanym działaniem momentu supionego X-). X - = ξ ξ' δ P, - - l Rys. 3.4. Linia ugięcia beli od momentu jednostowego przyłożonego w puncie - Współczynni δp,- można wyznaczyć w analogiczny sposób co δp podstawiając jedynie do wyznaczonego wzoru (3.9) ξ' zamiast ξ. Otrzymamy wówczas równanie: l 2 P, = ' ' 3 (3.22) 6 EJ Po podstawieniu zależności ξ' = -ξ i uporządowaniu zapisu otrzymujemy: l 2 2 P, = [ 3 ]= l 2 3 2 3 = l ' (3.23) 6 EJ 6 EJ 6 EJ 2 Funcję rzywizny opisuje wzór: ' =2 3 2 3 (3.24)
Część 3. BELKI CIĄGŁE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE 9 Uzysane funcje (3.2) i (3.22) trzeba wstawić do wzoru trzech momentów (3.6). Rozpiszemy występujące tam człony: 6 EJ o P = 6 EJ o l 2 3 = 6 EJ 6 EJ o l 2 = l 6 EJ l ' (3.25) 6 EJ o, P = l l ' ' (3.26) gdzie: l ' =l EJ o EJ Teraz możemy przejść do wyznaczenia nadliczbowych X i - stosujemy zapis macierzowy: [ F ] {X } { }={ } (3.27) [ F ] {X }= { } (3.28) gdzie {X} wetor szuanych sił nadliczbowych, [F] = [δi] - macierz podatności, {Δ} = [CP]- wetor wyrazów wolnych. Po przeniesieniu {Δ} na drugą stronę równania i podzieleniu obu stron równania przez [F] otrzymujemy: {X }= [ F ] { } (3.29) Jeżeli zapiszemy, że [ F ] =[ i ], to wzór ogólny na -tą niewiadomą przyjmie postać: X = C P 2 C 2 P, C, P C P, C, P (3.3) gdzie C jp = -6EJ oδ jp, przy czym należy zaznaczyć, że w przypadu gdy siła jednostowa porusza się w obrębie przęsła (-,), tylo dwa wyrazy CjP są niezerowe: C, P = 6 EJ o, P = l l ' ' (3.3) C, P = 6 EJ o, P = l l ' (3.32) Wobec powyższego funcja nadliczbowej X w ażdym przęśle ma inną postać wyznaczoną w oparciu o dwa człony wyrażenia (3.3).
Część 3. BELKI CIĄGŁE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE Linia wpływu nadliczbowej niewiadomej X przebiega następująco: Rys. 3.5. Linia wpływu nadliczbowej niewiadomej X lw X Widać z rysunu, że linia wpływu przestała być prostoreślna (ja w przypadu linii wpływu w uładach statycznie wyznaczalnych), jest natomiast rzywą trzeciego stopnia. 3.3. Linie wpływu sił wewnętrznych w belach wieloprzęsłowych statycznie niewyznaczalnych. Niech dana będzie bela wieloprzęsłowa statycznie niewyznaczalna, obciążona poruszającą się siłą jednostową. P= - l - l Rys. 3.6. Przerój - w belce wieloprzęsłowej W poprzednim puncie wyznaczyliśmy już linie wpływu wszystich wielości nadliczbowych X i. Do wyznaczenia linii wpływu sił wewnętrznych posłużymy się zasadą superpozycji: n S n =S o S i X i (3.33) i gdzie: S wielość siły uogólnionej w uładzie statycznie niewyznaczalnym, S (o) - wielość siły uogólnionej w uładzie stycznie wyznaczalnym, S (i) - wielość siły uogólnionej w stanie X i =. Zasada superpozycji dla linii wpływu sił uogólnionych zastanie zapisana w następujący sposób:
Część 3. BELKI CIĄGŁE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE lw S n =lw S o S i lwx i (3.34) i Wobec tego linia wpływu momentu w przeroju - w uładzie statycznie niewyznaczalnym wynosi: n lw M n =lw M o i M lwx i (3.35) i gdzie: lw M o linia wpływu momentu w przeroju - beli w uładzie podstawowym (statycznie wyznaczalnym), M i wartość momentu zginającego w przeroju - w stanie X i =. Rozpocznijmy od wyznaczenia linii wpływu momentu w przeroju - beli w uładzie podstawowym od wędrującej siły jedynowej. Dla uładu podstawowego moment w przeroju - będzie różny od zera, wtedy gdy siła poruszająca się obciąża przęsło (-,),w tórym zloalizowany jest przerój -. - P= ' O l O ' l - ( ) l lw M (o) Rys. 3.7. Linia wpływu momentu w przeroju w uładzie podstawowym Następnie oreślmy wartości M i, czyli wartości momentu zginającego w przeroju -, gdy uład podstawowy będzie obciążony olejno siłami X i =. Spośród wszystich wartości M i tylo dwie są niezerowe:
Część 3. BELKI CIĄGŁE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE 2-2 - M -2 M ( -) M - M () M M Rys. 3.8. Wartości momentów M (i) w stanach jednostowych gdy obciążymy przęsło, na tórym znajduje się przerój - momentem jednostowym X- = (obciążenie stacjonarne) przy lewej podporze, ' X - = - l l l M ( -) Rys. 3.9. Moment M (-) przy obciążeniu lewej podpory przęsła siłą uogólnioną X - = wtedy: M = ' l (3.36) oraz gdy obciążymy przęsło, na tórym znajduje się przerój - momentem jednostowym X = (obciążenie stacjonarne) przy prawej podporze,
Część 3. BELKI CIĄGŁE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE 3 l - l ' l X = M () Rys. 3.2. Moment M () przy obciążeniu prawej podpory przęsła siłą uogólnioną X = wtedy: M = l (3.37) Podstawiając wyprowadzone wielości, otrzymujemy wzór ostateczny linii wpływu momentu w przeroju - (zloalizowanego w przęśle (i-,i)) beli wieloprzęsłowej statycznie niewyznaczalnej od wędrującej siły jedynowej P: lw M n =lw M o ' lw X l i lw X i l i (3.38) i Przebieg linii wpływu momentu zginającego w przeroju - dla uładu podstawowego i rzeczywistego przedstawiono na rys. 3.2. - (o) lw M lw M Rys. 3.2. Linia wpływowa momentu zginającego w przeroju - Linia wpływu sił poprzecznych wyznaczymy analogicznie ja dla momentów zginających. Zapiszemy, zgodnie z zasadą superpozycji:
Część 3. BELKI CIĄGŁE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE 4 n lwt n =lwt o i T lwx i (3.39) i Linia wpływu siły poprzecznej w przeroju - w uładzie podstawowym ogranicza się do przęsła, w tórym występuje przerój. - P= ' - l (o) O O lwt - l Rys. 3.22. Linia wpływu siły poprzecznej w przeroju dla uładu podstawowego i Wartości siły poprzecznej T będą niezerowe, podobnie ja dla momentów, tylo w dwóch przypadach: gdy obciążymy przęsło, na tórym znajduje się przerój - momentem przy lewej podporze (rys. 3.9). T = l (3.4) oraz gdy obciążymy przęsło, na tórym znajduje się przerój - momentem przy prawej podporze (rys. 3.2). T = l (3.4) po podstawieniu powyższych wartości do wzoru (3.39) otrzymujemy: lw T n =lwt o l i lw X i l i lw X i (3.42) Przebieg linii wpływu siły poprzecznej w uładzie podstawowym i rzeczywistym ilustruje rys. 3.23.
Część 3. BELKI CIĄGŁE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE 5 P= - (o) O O lw T lw T Rys. 3.23. Linia wpływu siły poprzecznej w przeroju 3.4 Linie wpływu reacji beli wieloprzęsłowej statycznie niewyznaczalnej. Taże w tym przypadu wyorzystamy zasadę superpozycji: n lw R n r =lw R o r i R r i lwx i (3.43) o Linia wpływu reacji w podporze w uładzie podstawowym R przęsła. swym zaresem obejmuje dwa P= - R l l (o) O O lw R - l l Wartości reacji R i będą niezerowe w trzech przypadach (w trzech stanach jednostowych): Pierwszy przypade przyładamy obciążenie jednostowe w puncie -:
Część 3. BELKI CIĄGŁE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE 6 X - = - R ( -) l l Rys. 3.25. Reacja w podporze w stanie X - = wtedy: R = l (3.44) Drugi przypade obciążenia jednostowe w podporze : X = - R () l l Rys. 3.26. Reacja w podporze w stanie X = wtedy: R = l l (3.45) Trzeci przypade obciążenie jednostowe w podporze : X = - R () l l Rys. 3.27. Reacja w podporze w stanie X =
Część 3. BELKI CIĄGŁE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE 7 wtedy: R = l (3.46) Po podstawieniu otrzymujemy ostateczny wzór na linie wpływu reacji w podporze beli wieloprzęsłowej statycznie niewyznaczalnej: lw R n i =lwr o i lw X l i i l i l i lw X i lwx l i (3.47) i Przebieg linii wpływu reacji (dla beli bez podpór sprężystych) przedstawiono poniżej: - R lw R (o) lw R Rys. 3.28. Linia wpływu reacji w podporze Zadanie Dla beli ciągłej przedstawionej na (rys. 3.29) wyznaczyć linie wpływowe momentów i reacji podporowych oraz momentu zginającego i siły poprzecznej w zaznaczonym przeroju. 7 A P = B C D E F,2 J J J J J 6 8 3 3 Rys. 3.29. Bela ciągła
Część 3. BELKI CIĄGŁE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE 8 Sztywność porównawcza beli wynosi EJo, natomiast sztywność podpory sprężystej: = 5 EJ m 3 Rzędne linii wpływowych będą wyznaczone z doładnością co, m. Linie wpływowe w belach ciągłych statycznie niewyznaczalnych oblicza się zgodnie z wzorem superpozycyjnym: S n =S o S X i= X i (3.48) i gdzie: S wartość w uładzie niewyznaczalnym S o wartość w uładzie wyznaczalnym S Xi= wartość w stanie Xi = Uład jest jeden raz statycznie niewyznaczalny (SSN = ) W celu rozwiązania przyjmujemy uład podstawowy: P = X 6 8 3 3 Rys. 3.3. Uład podstawowy Równanie anoniczne wyraża warune inematycznej zgodności. B = X P = (3.49) Przy obliczaniu wartości δ ij orzystamy z równania pracy wirtualnej uwzględniającego prace momentów zginających i reacji w podporach sprężystych. ij = M i M j EJ d R i R j (3.5)
Część 3. BELKI CIĄGŁE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE 9 W celu obliczenia przemieszczenia δ, wyonuję wyres momentów od siły jednostowej przyłożonej w miejsce niewiadomej X Stan od obciążenia X = X = M 6 6 6 8 3 3 Rys. 3.3. Stan od obciążenia X = Wyorzystując wzór (3.5) otrzymujemy: =,2 EJ 2 2 3 EJ 6 2 2 3 6 6 5 EJ = 4,9 6 EJ Zamiast obliczać przemieszczenie w danym puncie od poruszającej się siły P =, sorzystamy z twierdzenia Mawella i obliczymy przemieszczenia pionowe P puntu, nad tórym stanie siła P od założonej, nieruchomej siły X =. Ponieważ położenie siły P zmienia się funcja P jest linią ugięcia P = P = y (3.5) Aby obliczyć δ P() należy znaleźć linie ugięcia w ażdym z przedziałów orzystając z równania różniczowego linii ugięcia: EJ d 2 y i d i 2 = M i (3.52) gdzie y i, i to funcja ugięcia i współrzędna puntu w i-tym przedziale. Wyznaczamy linie ugięcia dla poszczególnych przedziałów (odcinów) beli:
Część 3. BELKI CIĄGŁE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE 2 przedział AB Przyjmujemy uład współrzędnych w zaczepiony w A A X = B M( )= Rys. 3.32. Schemat beli w przedziale AB Moment zginający w przeroju odległym o od A wynosi M ( ) = /. Korzystając z zależności (3.52) obliczamy: d 2 y,2 EJ d = 2 dy EJ = 2 d 2 2 C EJ y = 3 24 3 C D (3.53) Waruni brzegowe dla przedziału AB: = y = = y = (3.54) Pozwalają wyznaczyć wartości stałych całowania D = C = 25 8 (3.55) Po podstawieniu wartości (3.55) do równania (3.53) otrzymujemy równanie linii ugięcia na odcinu AB: odcine BC y = EJ 72 3 25 8 (3.56)
Część 3. BELKI CIĄGŁE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE 2 B 6 2 X = M( 2 )=- 2 6 C 6 6 Rys. 3.33. Schemat beli w przedziale BC Korzystając z zależności (3.52) obliczamy: d 2 y EJ 2 d = 2 2 2 6 dy EJ 2 = 2 d 2 6 2 2 C 2 2 EJ y 2 = 3 2 2 3 2 2 2 C D (3.57) 2 2 2 Waruni brzegowe dla przedziału BC mają następującą postać: 2 = y 2 = 2 =6 y 2 = R = 6 EJ 5 = 5 6 EJ (3.58) Po podstawieniu warunów brzegowych do równań (3.57) otrzymujemy: D 2 = C 2 = 77 36 (3.59) Wartości (3.59) wstawione do równania (3.57) prowadzą do funcji linii ugięcia na odcinu BC : i ąta obrotu przeroju y 2 = EJ 36 3 2 2 2 2 77 36 2 (3.6) 2 = EJ 2 2 2 77 2 36 (3.6)
Część 3. BELKI CIĄGŁE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE 22 odcine CD C 6 3 D Rys.3.34. Schemat beli w przedziale CD 8 Korzystając z zależności (3.52) obliczamy: d 2 y EJ 3 d = 2 3 EJ dy 3 d 3 =EJ 3 =C 3 EJ y 3 =C 3 3 D 3 (3.62) Ja wcześniej ustalono przemieszczenie w podporze sprężystej wynosi 3 = y 3 = 5 6 EJ (3.63) Natomiast ąt obrotu przeroju nad podporą jest tai sam z lewej i prawej strony 2 2 =6 = 3 3 = (3.64) obliczamy ąt dla lewego przedziału EJ 2 2 =6 = 6 2 2 6 77 36 = 3 36 (3.65) i przyrównujemy do funcji z prawej strony EJ 3 3 = =C 3 (3.66) Ostatecznie otrzymujemy:
Część 3. BELKI CIĄGŁE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE 23 D 3 = 5 6 C 3 = 3 36 (3.67) Po ich wyorzystaniu otrzymujemy równanie linii ugięcia na odcinu CD: y 3 = EJ 3 36 3 5 6 (3.68) odcine DE 4 D E 3 Rys. 3.35. Schemat beli w przedziale DE Również w tym przedziale moment w stanie X = wynosi zero. Podobnie ja poprzednio prowadzimy przeształcenia d 2 y EJ 4 d = 2 4 EJ dy 4 d 4 =C 4 EJ y 4 =C 4 4 D 4 (3.69) Przemieszczenie pionowe puntu D wyznaczone w przedziale CD musi być tai same ja w przedziale DE. y 3 3 =8 = y 4 4 = (3.7) Dla przedziału CD mamy EJ y 3 3 =8 = 3 36 8 5 6 = 9 8 (3.7) a dla DE wynosi EJ y 4 4 = =D 4 (3.72)
Część 3. BELKI CIĄGŁE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE 24 w puncie E jest podpora więc dla 4 =3 y 4 = (3.73) Z powyższych zależności otrzymujemy D 4 = 9 8 C 4 = 9 54 (3.74) i dalej: y 4 = EJ 9 54 4 9 8 (3.75) odcine EF E 5 F 3 Rys. 3.36. Schemat beli w przedziale EF Moment w stanie X wynosi dla przedziału EF. d 2 y EJ 5 d = 2 5 EJ dy 5 d 5 =C 5 EJ y 5 =C 5 5 D 5 (3.76) waruni brzegowe dotyczą podpory w puncie E. Przemieszczenie jest równe zero 5 = y 5 = (3.77)
Część 3. BELKI CIĄGŁE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE 25 a ąt obrotu tai sam nad podporą liczony z lewej i z prawej strony: 4 4 =3 = 5 5 = (3.78) z lewej strony już znamy wartość EJ 4 4 =3 = 9 54 (3.79) z prawej strony musimy wyznaczyć EJ 5 5 = =C 5 (3.8) Po podstawieniu otrzymujemy: D 5 = C 5 = 9 54 (3.8) Ostatecznie równanie linii ugięcia na odcinu EF ma postać : y 5 = EJ 9 54 5 (3.82) Znając równania linii ugięcia beli można obliczyć linię wpływu X. Z równania anonicznego wyznaczamy funcję X = P Obliczenia zestawiono w (tab. 3.). Aby uzysać wyres funcji, prościej jest policzyć wartości P, a potem X np. co metr.
Część 3. BELKI CIĄGŁE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE 26 X (),6,8,356,53,76,88,56,232,82,4 _ -,28 -,542 -,77 -,949 -,59 -,85 -,8 -,84 -,483 -,339 -,58 -,542 -,475 -,339 -,69 -,44 -,82 -,232 6 8 3 3 Rys. 3.37. Linia wpływu momentu X () Linie wpływu reacji podporowych oraz momentu zginającego i siły poprzecznej w przeroju obliczymy ze wzoru (3.48) Wyznaczenie linii wpływu R A () Ponieważ R A X = = [ ] to: R A =R A X (3.83) Natomiast R A, oznacza linię wpływu reacji R A w uładzie podstawowym występującą w pierwszym przedziale i opisaną funcją. R A () [ - ] - 6 8 3 3 Rys. 3.38. Linia wpływu R A () Obliczenia dla R A zestawiono w (tab. 3.) a wyres przedstawiono na rys. 3.39.
Część 3. BELKI CIĄGŁE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE 27,,872,746,623,55,394,292,99,9,52 _ -,34 -,5 -,54 -,47 -,34 -,7,,8,36,53,7,88,6,23,82,4 _ -,4 -,82 -,23 R A () [ - ] 6 8 3 3 Rys. 3.39. Linia wpływu R A () Wyznaczenie linii wpływu RB () Reacja R B w stanie X = wynosi 4/5 i jest sierowana w dół. Wobec tego: R n B =R B 4 5 X (3.84) Linia wpływu R B w uładzie podstawowym opisana jest różnymi funcjami w poszczególnych przedziałach (rys. 3.4). R B () [ - ] 2-4 3-4 - 3 _ 3 4 9 4 3 6 4 5-2 6 4 9 5 6 8 3 3 4 3 Rys. 3.4. Linia wpływu R B () Wartości RB () obliczono w tabeli 3. i zaznaczono na rys. 3.4.
Część 3. BELKI CIĄGŁE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE 28,75,345,56,653,782,889,969,7,29,,924,82,645,46,257,45 _,554,8,662 -,68 -,382 -,595 -,88 -,22 -,235 -,448 -,662 -,8 -,554 R B () [ - ] 6 8 3 3 Rys. 3.4. Linia wpływu R B () Wyznaczenie linii wpływu R C () dla X = reacja R C wynosi /6 Linię wpływu reacji RC w uładzie podstawowym przedstawiono na rys.3.42. R C () [ - ] 2 3 4 7 9 5 _ -7 3 2 6 7 3 6 7 3 3-7 9 4 6 8 3 3 5 Rys. 3.42. Linia wpływu R C () a w uładzie niewyznaczalnym na rys. 3.43.
Część 3. BELKI CIĄGŁE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE 29 _,,249,4,588,777,972,68,363,559,755,95 -,47 -,9 -,29 -,58 -,77 -,8 -,68 -,36 -,8 2,47 2,343 2,539,692,846 _ -,846 -,692-2,539 R C () [ - ] 6 8 3 3 Rys. 3.43. Linia wpływu R C () Wyznaczenie linii wpływu R D () ponieważ RD(X=) = [-] to: R D n =R D R D () [ - ],333,667,,333,667 2, 6 8 3 3 Rys. 3.44. Linia wpływu R D ()=R D () Wyznaczenie linii wpływu M Korzystając z zależności (3.48) możemy zapisać: M =M M X = X (3.85) Moment w przeroju - w stanie X = wynosi:
Część 3. BELKI CIĄGŁE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE 3 M,7 6 6 7 3 6 8 3 3 Rys. 3.45. Wyres momentów dla X = Natomiast linia wpływu M w uładzie podstawowym jest różna od zera tylo w przedziale A-B. 2 7 2,- 2-3 2, M () 7 3 6 8 3 3 Rys. 3.46. Linia wpływu M () Obliczenia M n zestawiono w (tab. 3.),4,22,36,536,758,4,394,83,362 _,4,27,249,372,494,67,74,862,575,287 _ -,237 -,356 -,38 -,332 -,237 -,9 -,287 -,575 -,862 M () [ m ] 7 3 6 8 3 3 Rys. 3.47. Linia wpływu M () Wyznaczenie linii wpływu T() T =T T X = X (3.86) gdzie: T(X = ) oznacza wartość siły poprzecznej w przeroju - od siły X = T oznacza linię wpływu siły poprzecznej T od siły P = w uładzie podstawowym.
Część 3. BELKI CIĄGŁE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE 3 Na rys. 3.48 przedstawiono wyres sił poprzecznych w stanie X =. Ponieważ w przedziale AB wartość siły tnącej jest stała to: T [ - ] - 6 _ 6 8 3 3 Rys. 3.48. Wyres sił tnących dla X = T(X = ) =, [-] Najpierw wyznaczono linię wpływu w uładzie podstawowym - -,7 _ T () [ - ],3,3-7 3 6 8 3 3 Rys. 3.49. Linia wpływu T () A następnie obliczono T n -,28 -,254 -,377 -,495 -,66 -,78 -,8 _,99,99,52 _ -,34 -,5 -,54 -,47 -,34 -,7,,8,36,53,7,88,6,23,82,4 _ -,4 -,82 -,23 T () [ - ] 7 3 6 8 3 3 Rys. 3.5. Linia wpływu T ()
Część 3. BELKI CIĄGŁE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE 32 Tabela 3.. Zestawienie obliczeń dla olejnych puntów beli δ P() X () R A () R A () R B () R B () R C () R C () M () M () T () T (),,38 2 2,67 3 3,79 4 4,67 5 5,2 6 5,33 7 4,96 7 4,96 8 4, 9 2,38,,,67 2 2,5 3 2,67 4 2,33 5,67 6,83 6,83 7 -,3 8 -,89 9 -,75 2-2,6 2-3,47 22-4,33 23-5,9 24-6,6 24-6,6 25-4,4 26-2,2 27, 27, 28 2,2 29 4,4 3 6,6,,,,,, -,28,9,872,,75, -,47,3,4 -, -,28 -,542,8,746,2,345, -,9,6,22 -,2 -,254 -,77,7,623,3,56, -,29,9,36 -,3 -,377 -,949,6,55,4,653, -,58,2,536 -,4 -,495 -,59,5,394,5,782, -,77,5,758 -,5 -,66 -,85,4,292,6,889, -,8,8,4 -,6 -,78 -,8,3,99,7,969, -,68 2,,394 -,7 -,8 -,8,3,99,7,969, -,68 2,,394,3,99 -,84,2,9,8,7, -,36,4,83,2,9 -,483,,2,9,29, -,8,7,362,,52,,,,,,,,,,,, -,339, -,34,83,924,,, -,237, -,34 -,58, -,5,67,82,33,249, -,356, -,5 -,542, -,54,5,645,5,4, -,38, -,54 -,475, -,47,33,46,67,588, -,332, -,47 -,339, -,34,7,257,83,777, -,237, -,34 -,69, -,7,,45,,972, -,9, -,7 -,69, -,7,,45,,972, -,9, -,7,6,, -,7 -,68,7,68,,4,,,8,,8 -,33 -,382,33,363,,27,,8,356,,36 -,5 -,595,5,559,,249,,36,53,,53 -,67 -,88,67,755,,372,,53,76,,7 -,83 -,22,83,95,,494,,7,88,,88 -, -,235 2, 2,47,,67,,88,56,,6 -,7 -,448 2,7 2,343,,74,,6,232,,23 -,33 -,662 2,33 2,539,,862,,23,232,,23 -,33 -,662 2,33 2,539,,862,,23,82,4 -,4 -,82 -,232,,,,,,,,82,4 -,4 -,82 -,23 -,89 -,44,,,44,89,33 -,8 -,554,554,8,662,56,78,, -,78 -,56-2,33,692,846 -,846 -,692-2,539,,,,,,,,575,287 -,287 -,575 -,862,,82,,4,,, -,4, -,82,,23