WST P DO MATEMATYKI WSPÓŠCZESNEJ. Grzegorz Szkibiel. Jesie«2004/05

WST P DO MATEMATYKI WSPÓŠCZESNEJ Grzegorz Szkibiel Jesie«2004/05

Spis tre±ci 1 Elementy rachunku funkcyjnego 4 1.1 Elementy rachunku zda«..................... 4 1.2 Kwantykatory jako funktory zdaniotwórcze.......... 5 1.3 Prawa rachunku funkcyjnego................... 6 2 Algebra zbiorów 15 2.1 Sko«czony rachunek zbiorów................... 15 2.2 Rodziny indeksowane....................... 17 2.3 Sumy i przekroje uogólnione................... 18 2.4 Podstawowe wªasno±ci sum i przekrojów uogólnionych........................... 19 2.5 Rodziny podwójnie indeksowane................. 22 2.6 Sumy i przekroje uogólnione a obrazy i przeciwobrazy zbiorów................. 23 3 Produkty, relacje i funkcje 26 3.1 Produkty sko«czonej liczby zbiorów............... 26 3.2 Pewne wªasno±ci relacji dwuczªonowych............. 28 3.3 Produkty uogólnione....................... 31 4 Zbiory liczbowe 33 4.1 Aksjomatyka zbioru liczb naturalnych.............. 33 4.2 Dodawanie i mno»enie liczb naturalnych............ 35 4.3 Zasada minimum......................... 37 4.4 Konstrukcja liczb caªkowitych................... 38 4.5 Konstrukcja liczb wymiernych................... 39 2

Wst p do matematyki wspóªczesnej wykªad 3 5 Teoria mocy 41 5.1 Równoliczno± zbiorów...................... 41 5.2 Zbiory przeliczalne........................ 44 5.3 Porównywanie liczb kardynalnych. Twierdzenie Cantora-Bernsteina................. 46 6 Zbiory uporz dkowane 50 6.1 Zbiory cz ±ciowo uporz dkowane................ 50 6.2 Izomorzmy zbiorów cz ±ciowo uporz dkowanych....... 54 6.3 Zbiory skierowane......................... 56 6.4 Zbiory uporz dkowane liniowo.................. 58 6.5 Lemat Kuratowskiego-Zorna a moce zbiorów.......................... 59 6.6 Zbiory uporz dkowane liniowo g sto............... 64 6.7 Zbiory uporz dkowane liniowo w sposób ci gªy.......................... 64 6.8 Zbiory dobrze uporz dkowane.................. 64

Rozdziaª 1 Elementy rachunku funkcyjnego W rozdziale tym wykorzystamy nasze wiadomo±ci z dziedziny rachunku zda«. Na pocz tku przypomnimy podstawowe poj cia, a pó¹niej je rozwiniemy i uzupeªnimy. 1.1 Elementy rachunku zda«zdaniem w sensie logiki nazywamy fraz, której mo»na przypisa faªsz (0) lub prawd (1). Zdania tworzymy wykorzystuj c formy zdaniowe lub funktory zdaniotwórcze. Niech dany b dzie pewien zbiór X. Form zdaniow ϕ(x) okre±lon na zbiorze X nazywamy taki sposób tworzenia zdania,»e je±li a jest dowolnym elementem zbioru X, to ϕ(a) jest zdaniem w sensie logiki. Zbiór X nazywamy wówczas dziedzin formy zdaniowej ϕ(x). Mówimy te»,»e forma zdaniowa ϕ(x) przebiega zbiór X, a x nazywamy zmienn przebiegaj c zbiór X. Mo»e si zdarzy,»e X jest produktem dwóch lub wi cej zbiorów, tj. X = X 1 X 2 X n. Wówczas ka»dy element zbioru x X jest n-elementowym ci giem (x 1, x 2,..., x n ) i form zdaniow ϕ(x) mo»emy rozwa»a jako form jednej zmiennej lub te» jako form zdaniow n zmiennych x 1, x 2,..., x n. Funktorem zdaniotwórczym n zmiennych nazywamy sposób przeksztaªcania n zda«w jedno zdanie. Najcz ±ciej u»ywanym funktorem jednej zmiennej jest negacja, oznaczana symbolem, która przeksztaªca zdanie p w zdanie nieprawda,»e p. Je±li chodzi o dwie zmienne, to najcz ±ciej u»ywamy funktorów koniunkcji, alternatywy, implikacji i równowa»no±ci. Funktory zdaniotwórcze mo»na te» stosowa do form zdaniowych. Wówczas przeksztaªcaj 4

Wst p do matematyki wspóªczesnej wykªad 5 one n form zdaniowych w jedn form zdaniow. Utworzone za pomoc funktorów zdaniotwórczych zdanie, które jest prawdziwe bez wzgl du na warto±ci logiczne przeksztaªcanych zda«, nazywamy tautologi. Przypu± my,»e mamy dany pewien zbiór X oraz form zdaniow ϕ(x) okre±lon na tym zbiorze. Wówczas dla pewnych elementów a zbioru X zdanie ϕ(a) jest prawdziwe. Podzbiór zbioru X skªadaj cy si z tych wszystkich elementów x, dla których zdanie ϕ(x) jest prawdziwe zapisujemy {x X : ϕ(x)}. Oczywi±cie, podzbiór ten mo»e by pusty. Je±li jednak tak nie jest, tzn. {x X : ϕ(x)}, to znajdziemy przynajmniej jeden element a X, taki»e ϕ(a) jest zdaniem prawdziwym. fakt ten zapisujemy ϕ(x). Symbol x X nazywamy kwantykatorem szczegóªowym, a x nazywamy zmienn (zwi - zan ) kwantykatora. Je±li {x X : ϕ(x)} = X, to zdanie ϕ(x) jest prawdziwe bez wzgl du na to jaki element zbioru X we¹miemy. Tak sytuacj zapiszemy ϕ(x), symbol nazywamy kwantykatorem ogólnym, a x x X zmienn (zwi zan ) kwantykatora. Cz sto stosowane s inne oznaczenia kwantykatorów: dla szczegóªowego oraz dla ogólnego. 1.2 Kwantykatory jako funktory zdaniotwórcze Podobie«stwo symboli i, oraz i nie jest przypadkowe. Aby to wyja±ni, przypomnijmy,»e oznacza alternatyw, a koniunkcj. Alternatyw nazywamy funktor zdaniotwórczy zmiennych p 1, p 2,..., p n, który przeksztaªca te zdania w zdanie p 1, lub p 2, lub..., lub p n. Otrzymane zdanie jest prawdziwe, je±li cho jedno ze zda«skªadowych (przeksztaªcanych) jest prawdziwe. Koniunkcj nazywamy funktor zdaniotwórczy n-zmiennych p 1, p 2,..., p n, który przeksztaªca te zdania w zdanie p 1 i p 2 i... i p n. Otrzymane zdanie jest prawdziwe, je±li wszystkie zdania skªadowe (przeksztaªcane) s prawdziwe. Uogólnimy teraz poj cie funktor zdaniotwórczy. Mianowicie, funktorem zdaniotwórczym nazywamy sposób przeksztaªcania pewnej ilo±ci (tak»e niesko«czonej lub nieprzeliczalnej) w jedno zdanie. W dalszym ci gu wykªadu b dziemy stosowa ju» tylko t denicj funktora zdaniotwórczego.

6 Wst p do matematyki wspóªczesnej wykªad Przypu± my teraz,»e X = {x 1, x 2, x 3, x 4 }, a varphi(x) jest pewn form zdaniow okre±lon na zbiorze X. Je±li cho jedno ze zda«ϕ(x 1 ), ϕ(x 2 ), ϕ(x 3 ), ϕ(x 4 ) jest prawdziwe, to prawdziwe jest te» zdanie ϕ(x 1 ) ϕ(x 2 ) ϕ(x 3 ) ϕ(x 4 ), czyli alternatywa tych zda«. Zatem mamy,»e x X ϕ(x). Podobnie, je»eli wszystkie cztery zdania ϕ(x 1 ), ϕ(x 2 ), ϕ(x 3 ), ϕ(x 4 ) s prawdziwe, to prawdziwa jest te» koniunkcja ϕ(x 1 ) ϕ(x 2 ) ϕ(x 3 ) ϕ(x 4 ). Zatem x X ϕ(x). Zauwa»my,»e je±li X jest zbiorem sko«czonym, to kwantykator szczegóªowy jest alternatyw, a kwantykator ogólny jest koniunkcj. 1.3 Prawa rachunku funkcyjnego Prawem rachunku funkcyjnego nazywamy tautologi zda«, w których wyst puj kwantykatory. Podamy najpierw, jaki jest zwi zek mi dzy zdaniem z kwantykatorem a zbiorem utworzonym przez form zdaniow. Niech ϕ(x) b dzie form zdaniow okre±lon na zbiorze X. Zdanie x X ϕ(x) jest prawdziwe {x X : ϕ(x)} = X (1.1) Zdanie x X ϕ(x) jest faªszywe {x X : ϕ(x)} X (1.2) Zdanie x X ϕ(x) jest prawdziwe {x X : ϕ(x)} (1.3) Zdanie x X ϕ(x) jest faªszywe {x X : ϕ(x)} = (1.4) Przyjmijmy jeszcze jedn konwencj. Poniewa» zapis x {x X:ψ(x)} ϕ(x) jest dosy kªopotliwy, upraszczamy go pisz c ϕ(x) i mówimy o zmiennej ograniczonej form zdaniow ψ(x). Na przykªad piszemy x 0 x2 > ψ(x) 0. W tym przypadku ψ(x) : x 0 oraz ϕ(x) : x 2 > 0. Podobnie deniujemy kwantykator szczegóªowy o zmiennej ograniczonej form zdaniow. Kwantykatory o zmiennej ograniczonej mo»na zamieni na,,zwykªe kwantykatory.

Wst p do matematyki wspóªczesnej wykªad 7 1.1 Twierdzenie. Dla dowolnych form zdaniowych ϕ(x) oraz ψ(x) okre±lonych na przestrzeni X zachodz nast puj ce równowa»no±ci (i) ϕ(x) (ψ(x) ϕ(x)), ψ(x) x X (ii) ϕ(x) (ψ(x) ϕ(x)). ψ(x) x X Wªasno± (i) nazywamy prawem kwantykatora ogólnego. Natomiast (ii), prawem zamiany kwantykatora szczegóªowego. Zanim przyst pimy do dowodu, podamy nast puj cy lemat, który zostaª udowodniony na wykªadzie z teorii zbiorów i kombinatoryki na I roku. 1.2 Lemat. (O zwi zkach funktorów.) Niech ϕ(x) i ψ(x) b d formami zdaniowymi okre±lonymi na zbiorze X. Zachodz nast puj ce wªasno±ci: (i) {x X : ϕ(x)} = {x X : ϕ(x)}, (ii) {x X : ϕ(x) ψ(x)} = {x X : ϕ(x)} {x X : ψ(x)}, (iii) {x X : ϕ(x) ψ(x)} = {x X : ϕ(x)} {x X : ψ(x)}, (iv) {x X : ψ(x) ϕ(x)} = {x X : ψ(x)} {x X : ϕ(x)}, (v) {x {x X : ψ(x)} : ϕ(x)} = {x X : ϕ(x)} {x X : ψ(x)}. Mo»emy teraz przyst pi do dowodu twierdzenia 1.1. Dowód. Aby udowodni cz ± (i), zauwa»my,»e zapis ϕ(x) oznacza ψ(x) zgodnie z 1.1 {x {x X : ψ(x)} : ϕ(x)} = {x X : ψ(x)}, co po uwzgl dnieniu lematu 1.2(v), daje nam {x X : ϕ(x)} {x X : ψ(x)} = {x X : ψ(x)}. (1.5) Z drugiej strony, zapis (ψ(x) ϕ(x)) oznacza x X {x X : ψ(x) ϕ(x)} = X. Stosuj c tym razem punkt (iv) lematu 1.2, otrzymujemy {x X : ψ(x)} {x X : ϕ(x)} = X (1.6)

8 Wst p do matematyki wspóªczesnej wykªad Równowa»no± równo±ci 1.5 oraz 1.6 wynika z równowa»no±ci A B = A A B = X. Uwaga ta ko«czy dowód cz ±ci (i) twierdzenia. Dla dowodu cz ±ci (ii) wystarczy zauwa»y,»e {x {x X : ψ(x)} : ϕ(x)} = {x X : ψ(x) ϕ(x)}. Poniewa» oba te zbiory s niepuste, wi c na podstawie 1.3 mamy» dan równowazno±. Zmienne, które wyst puj pod kwantykatorem nazywamy zwi zanymi. Je±li w formie zdaniowej za tym kwantykatorem s jeszcze inne zmienne, to nazywamy je wolnymi. Innymi sªowy, je±li wyra»enie z kwantykatorem jest form zdaniow, to zmienne tej formy zdaniowej nazywamy wolnymi. Forma zdaniowe, w których wyst puj tylko zmienne wolne mo»emy wyª cza lub wª cza pod kwantykator. Dla przykªadu rozwa»my form zdaniow (x m m N). x R Forma m N nie zale»y od x (m jest zmienn woln ) i dlatego mo»emy wyª czy j przed kwantykator. Nasza forma wygl da wówczas nast puj co: m N x R x m. 1.3 Twierdzenie. (Prawa wª czania i wyª czania.) Dla form zdaniowych ϕ(x) oraz ψ, przy czym ta ostatnia nie zale»y od zmiennej x, zachodz nast puj ce wªasno±ci: (i) x X (ϕ(x) ψ) ψ x X ϕ(x), (ii) x X (ϕ(x) ψ) ψ x X ϕ(x), (iii) x X (ϕ(x) ψ) ψ x X ϕ(x), (iv) x X (ϕ(x) ψ) ψ x X ϕ(x), (v) x X (ψ ϕ(x)) ψ x X ϕ(x), (vi) x X (ψ ϕ(x)) ψ x X ϕ(x).

Wst p do matematyki wspóªczesnej wykªad 9 (vii) (ϕ(x) ψ) ϕ(x) ψ, x X x X (viii) (ϕ(x) ψ) ϕ(x) ψ. x X x X Zauwa»my,»e w dowodzie tego twierdzenia nie mo»emy u»y zbiorów, gdy» zapis {x X : ψ(y)} nie ma sensu z uwagi na to,»e formie zdaniowej nie mo»na przypisa warto±ci logicznej. Dowód. Udowodnimy tu wªasno±ci (i) oraz (vi), a reszt pozostawimy Czytelnikowi do samodzielnego pokazania. Zaªó»my,»e (ϕ(x) ψ. Zachodzi to wtedy i tylko wtedy, zdanie ϕ(x) ψ jest prawdziwe bez wzgl du x X na podstawione warto±ci zmiennych zarówno zwi zanych jak i wolnych. Je- ±li zdanie ϕ(a) jest prawdziwe dla ka»dej warto±ci a X, to zachodzi te» ψ ϕ(x). Zaªó»my wi c,»e zdanie ϕ(a) jest faªszywe dla przynaj- x X mniej jednej warto±ci a X. Aby zatem zdanie ϕ(a) ψ byªo prawdziwe bez wzgl du na warto±ci ewentualnych zmiennych wolnych, forma ψ musi by zdaniem prawdziwym po podstawieniu za zmienne dowolnych warto±ci z dziedziny. Ale wówczas ka»de zdanie w alternatywie z nim b dzie prawdziwe, w szczególno±ci zdanie ψ x X ϕ(x). Zaªó»my teraz,»e ψ ϕ(x), czyli»e jest to zdanie prawdziwe po x X podstawieniu za zmienne formy ψ dowolnych warto±ci z jej dziedziny. Zatem ψ staje si w ka»dym przypadku zdaniem prawdziwym, lub ϕ(x) jest x X zdaniem prawdziwym, czyli ϕ(x) staje si zdaniem prawdziwym w ka»dym przypadku. Oznacza to,»e (ϕ(x) ψ). x X W celu pokazania (vi) zaªó»my najpierw,»e (ψ ϕ(x)). Zatem x X zawsze si znajdzie taki element a X,»e dla dowolnych warto±ci zmiennych formy ψ zdanie ψ ϕ(a) jest prawdziwe. Nie mo»e wi c si zdarzy sytuacja, w której zdanie powstaªe z formy ψ jest prawdziwe i nie jeste±my w stanie znale¹ takiego a X,»eby zdanie ϕ(a) byªo prawdziwe. Czyli je±li ψ staje si zdaniem prawdziwym, to ϕ(x). St d ψ ϕ(x). x X x X W drug stron, zaªó»my»e implikacja ψ ϕ(x) jest prawdziwa x X dla dowolnych warto±ci zmiennych formy ψ. Nie mo»e wi c zdarzy si sytuacja,»e ψ staje si zawsze zdaniem prawdziwym, a nie jest mo»liwe znalezienie a X, takiego»e ϕ(a) jest zdaniem prawdziwym. Zatem zachodzi (ψ ϕ(x)). x X

10 Wst p do matematyki wspóªczesnej wykªad Je±li forma zdaniowa ϕ(x) jest prawdziwa dla dowolnej warto±ci x X, to na pewno znajdziemy w X taki element y,»e zdanie ϕ(y) jest prawdziwe. Podobnie, je±li {x X : ϕ(x)} = X, to zbiór ten jest niepusty (wykluczamy tu patologiczny przypadek X = ), zatem ϕ(x). I wreszcie, x X je±li wiemy,»e φ(y) jest zdaniem prawdziwym, to znajdziemy w X taki element a,»e φ(a) jest zdaniem prawdziwym. Te trzy prawie oczywiste prawa sformuªujemy poni»ej. 1.4 Twierdzenie. Zaªó»my,»e y X, a ϕ(x) jest form zdaniow okre±lon na X. Wtedy (i) ϕ(x) ϕ(y) (wyszczególnianie), x X (ii) x X ϕ(x) x X ϕ(x), (iii) ϕ(y) ϕ(x) (wskazywanie). x X Zauwa»my,»e je±li nie prawd jest,»e dla dowolnego x X co± zachodzi, to znaczy to,»e w X jest element, dla którego to co± nie zachodzi. Podobnie, je±li nie jest prawd,»e w X mo»emy znale¹ element, dla którego zachodzi jaka± wªasno±, to oznacza to,»e w X takiego elementu nie ma, czyli dla dowolnego x X prawdziwe jest zaprzeczenie naszej wªasno±ci. 1.5 Twierdzenie. (Prawa de Morgana.) Je±li ϕ(x) jest form zdaniow okre±lon na przestrzeni X, to zachodz nast puj ce prawa ) (i) ( x X ϕ(x) φ(x), x X ) (ii) ( x X φ(x) x X φ(x). Dowód. Udowodnimy tylko ) (i), poniewa» dowód drugiego punktu jest podobny. ( x X ϕ(x) zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy ϕ(x) jest x X zdaniem faªszywym, czyli {x X : ϕ(x)} = X. Oznacza to tyle samo, co {x X : ϕ(x)}. Zgodnie z lematem 1.2 oraz z 1.3 otrzymujemy równowa»no± ostatniego zdania z ϕ(x). x X Je±li pod kwantykatorem mamy dwie formy zdaniowe, które zale» od zmiennej zwi zanej, to czasami mo»na dla ka»dej formy tworzy osobny kwantykator. Je»eli spójniki zda«s zgodne ze znakami kwantykatorów, mo»emy to zawsze robi.

Wst p do matematyki wspóªczesnej wykªad 11 1.6 Twierdzenie. (Prawa rozdzielno±ci.) Dla dowolnych form zdaniowych ϕ(x) i ψ(x) okre±lonych na X zachodz nast puj ce wªasno±ci (i) x X (ϕ(x) ψ(x)) x X ϕ(x) x X ψ(x) (prawo rozdzielno±ci kwantykatora ogólnego wzgl dem koniunkcji), (ii) x X (ϕ(x) ψ(x)) x X ϕ(x) x X ψ(x) (prawo rozdzielno±ci kwantykatora szczegóªowego wzgl dem alternatywy). Dowód. Dla odmiany udowodnimy wªasno± (ii), a pierwsz wlasno± pozostawimy Czytelnikowi. Mamy (ϕ(x) ψ(x)) {x X : ϕ(x) ψ(x)} x X {x X : ϕ(x)} {x X : ψ(x)} {x X : ϕ(x)} {x X : ψ(x)} x X ϕ(x) x X ψ(x). Je»eli symbole spójników nie s zgodne ze znakami kwantykatorów, mamy tylko implikacje. 1.7 Twierdzenie. Dla dowolnych form zdaniowych ϕ(x) i ψ(x) okre±lonych na X zachodz nast puj ce wªasno±ci: (i) ϕ(x) ψ(x) (ϕ(x) ψ(x)), x X x X x X (ii) x X (ϕ(x) ψ(x)) x X ϕ(x) x X ψ(x). Zauwa»my najpierw,»e implikacje przeciwne nie zawsze s prawdziwe. Niech X = R, ϕ(x) oznacza x 0, a ψ(x) oznacza x < 0. Wtedy zdanie ϕ(x) ψ(x) jest prawdziwe dla ka»dej warto±ci zmiennej x, poniewa» dowolna liczba rzeczywista jest nieujemna b d¹ ujemna. Zatem zdanie (ϕ(x) ψ(x)) x X jest prawdziwe. Jednak»e zdania x 0 oraz x < 0 s faªszywe, x X x X

12 Wst p do matematyki wspóªczesnej wykªad wi c i ich alternatywa jest faªszywa. Niech teraz X = Z, ϕ(x) oznacza 2 x, a ψ(x) niech oznacza 2 x. Wtedy prawdziwe s zdania ϕ(x) oraz x X ψ(x). Zatem ich koniunkcja te» jest prawdziwa. Ale zdanie ϕ(x) ψ(x) x X jest faªszywe dla ka»dej warto±ci zmiennej x, wi c nie jest prawd,»e istnieje x Z taki,»e φ(x) ψ(x). Dowód. Poka»emy teraz tylko wªasno± (i). Mamy ψ(x) {x X : ϕ(x)} = X {x X : ψ(x)} = X x X ϕ(x) x X {x X : ϕ(x)} {x X : ψ(x)} = X {x X : ϕ(x) ψ(x)} = X x X (ϕ(x) ψ(x)). Skorzystali±my tu najpierw z 1.1, nast pnie z wªasno±ci A = X B = X A B = X, potem z lematu 1.2(iii) i na ko«cu ponownie z 1.1. W analizie matematycznej kwantykatory wyst puj cz sto seriami. Zdarza si,»e musimy zmienia ich kolejno±. Nie zawsze jest to mo»liwe. 1.8 Twierdzenie. (Prawa przestawiania kwantykatorów.) Dla dowolnej formy zdaniowej ϕ(x, y) okre±lonej na X Y nast puj ce wyra»enia s prawami rachunku funkcyjnego (i) ϕ(x, y) ϕ(x, y), x X y Y y Y x X (ii) ϕ(x, y) ϕ(x, y), x X y Y y Y x X (iii) ϕ(x, y) ϕ(x, y). x X y Y y Y x X Zauwa»my,»e je»eli mamy ϕ(x, y), to oznacza to,»e najpierw x X y Y znajdujemy,,uniwersalny x, który,,pasuje do ka»dego y. Natomiast, je±li mamy ϕ(x, y), to tym razem oznacza to,»e x mo»emy dobiera y Y x X dla ka»dego y. W szczególno±ci ka»dy y mo»e mie swój,,indywidualny x. Dla przykªadu, niech ϕ(x, y) oznacza form x + y = 0 okre±lon na Q Q. Wtedy dla dowolnego y mo»emy dobra ±ci±le zale»ny od niego x (dokªadnie

Wst p do matematyki wspóªczesnej wykªad 13 równy y) taki,»e x + y = 0. Nie mo»na jednak znale¹,,uniwersalnego x, czyli takiego,»e jaki by nie byª y, to x + y = 0. Zapis cz sto upraszczamy pisz c, a je±li X = Y, x X y Y x X,y Y to idziemy nawet dalej, pisz c. Uproszczenie to jest uzasadnione x,y X przez punkt (ii) ostatniego twierdzenia. kwantykatorem szczegóªowym. Dowód. Aby udowodni (i) zauwa»my,»e { x X : y Y ϕ(x, y) Podobnie upraszczamy zapisy z }. Istnieje wi c a X, takie»e ϕ(a, y). St d mamy natychmiast,»e y Y {y Y : ϕ(a, y)}. Znajdziemy zatem b Y, takie»e ϕ(a, b). Korzystaj c dwukrotnie z twierdzenia 1.4(iii) otrzymujemy y Y x X ϕ(x, y). Podobnie udowadniamy implikacj w drug stron. Dla dowodu (ii) skorzystamy z pierwszej cz ±ci dowodu i praw de Morgana. Mamy ( ϕ(x, y) ) ϕ(x, y) x X y Y x X y Y ( ( )) ϕ(x, y) y Y x X ( x X y Y ( y Y x X y Y ϕ(x, y) ϕ(x, y) ϕ(x, y). x X ) )

14 Wst p do matematyki wspóªczesnej wykªad Udowodnimy teraz ostatni cz ± twierdzenia. W tym celu rozwa»my wyra»enie ϕ(x, y). Znajdziemy wi c a X, taki»e ϕ(a, y). x X y Y y Y Zatem {y Y : ϕ(a, y)} = Y. Skorzystamy teraz ze wskazania ϕ(a, y) ϕ(x, y), x X z którego wynika inkluzja { Y = {y Y : ϕ(a, y)} y Y : } ϕ(x, y). x X Ale to oznacza,»e zbiór z prawej strony jest równy Y, czyli ϕ(x, y). y Y x X

Rozdziaª 2 Algebra zbiorów Zajmiemy si teraz gªównie dziaªaniami uogólnionymi, tj. sum, przekrojem i produktem zbiorów. Na pocz tek przypomnimy podstawowe poj cia i prawa rachunku zbiorów. 2.1 Sko«czony rachunek zbiorów Poj ciami pierwotnymi teorii mnogo±ci s zbiór i element zbioru. Zbiór, który nie ma elementów nazywamy pustym i oznaczamy go. Je»eli ka»dy element zbioru A jest te» elementem zbioru B, to mówimy,»e A jest podzbiorem zbioru B lub B jest nadzbiorem zbioru A i piszemy A B. W szczególno±ci zbiór pusty jest podzbiorem ka»dego zbioru. Relacja okre±lona na zbiorach jest przechodnia i antysymetryczna, tzn. (1) je»eli A B i B C, to A C oraz (2) je±li A B i B A, to A = B. Przez sum zbiorów A i B rozumiemy zbiór A B, który skªada si ze wszystkich elementów zbioru A oraz wszystkich elementów zbioru B. Suma zbiorów jest dziaªaniem ª cznym, przemiennym oraz ma element neutralny, którym jest. Dodatkowo jeszcze zachodzi wªasno± idempotencji, czyli A A = A. B dziemy dalej korzysta z nast puj cych wªasno±ci: (i) A A B; (ii) je±li A C i B D, to A B C D; (iii) je±li A C i B C, to A B C; (iv) A B A B = B. 15

16 Wst p do matematyki wspóªczesnej wykªad Przekrojem zbiorów A i B nazywamy zbiór A B, który skªada si ze wszystkich elementów nale» cych jednocze±nie do zbioru A i zbioru B. Przekrój zbiorów jest dziaªaniem ª cznym, przemiennym. Dodatkowo zachodzi wªasno± idempotencji, czyli A A = A oraz wªasno± A =. B dziemy dalej korzysta z nast puj cych wªasno±ci: (i) A B A; (ii) je±li C A i D B, to C D A B; (iii) je±li C A i C B, to C A B; (iv) A B A B = A. Zachodz te» prawa rozdzielno±ci sumy wzgl dem przekroju oraz rozdzielno±ci przekroju wzgl dem sumy. Zbiór zªo»ony z tych i tylko tych elementów zbioru A, które nie sa elementami zbioru B, nazywamy ró»nic zbiorów A i B oraz oznaczamy A \ B. Podamy kilka wªasno±ci ró»nicy zbiorów, z których b dziemy pó¹niej korzysta. (i) A \ B A; (ii) je±li C D, to A \ D A \ C; (iii) je±li A B, to A \ C B \ C; (iv) A B A \ B =. Prac z ró»nic zbiorów uªatwia poj cie dopeªnienie zbioru. Dokªadnie, je±li dany jest ustalony zbiór X zwany przestrzeni oraz A X, to dopeªnieniem zbioru A do przestrzeni X nazywamy zbiór X \ A i oznaczamy A. Wprost z denicji dopeªnienia oraz ró»nicy wynikaj nast puj ce wªasno±ci. (i) A \ B = A B ; (ii) X =, = X, (A ) = A; (iii) A B B A ; (iv) A = B A = B ; (v) A A = X, A A = ;

Wst p do matematyki wspóªczesnej wykªad 17 (vi) (A B) = A B, (A B) = A B ; (vii) A B A B = A B = X. Wªasno± (vi) nazywamy prawami de Morgana dla zbiorów. 2.2 Rodziny indeksowane Ustalimy teraz,»e mamy dan przestrze«x. Zbiór wszystkich podzbiorów X oznaczamy 2 X i nazywamy zbiorem pot gowym. Zatem, je±li A 2 X, to elementami A s zbiory. Termin,,zbiór zbiorów nie jest zbyt por czny i dlatego zast pujemy go terminem rodzina zbiorów. W szczególno±ci, jest pust rodzin zbiorów, a 2 X jest rodzin wszystkich zbiorów przestrzeni X. Aby si odnie± do pewnego elementu rodziny A, musimy jako± nazwa wszystkie elementy tej rodziny. U»yjemy do tego jakiego± zbioru T, który nazwiemy zbiorem indeksów. Dowoln funkcj z T do 2 X nazywamy rodzin indeksowan podzbiorów przestrzeni X. Rodzin indeksowan zapisujemy {A t } t T, co oznacza»e indeksowi t przyporz dkowany jest zbiór A t. Rodzina indeksowana nie musi by funkcj ró»nowarto±ciow, tj. mo»e si zdarzy,»e dla s, t T, s t mamy A t = A s. W zasadzie nie ma»adnych ogranicze«, co do wyboru zbioru indeksów. Cz sto jednak wybór ten jest w jaki± sposób narzucony przez rodzin, któr mamy indeksowa. Na przykªad, je±li mamy do czynienia z rodzin {(0, 1), (0, 2), (0, 3),... }, to najlepszym zbiorem indeksów jest tu zbiór liczb naturalnych. Mo»emy zapisa nasz rodzin indeksowan {(0, n)} n N. Czasami zbiór indeksów jest w pewien sposób ograniczany. Mianowicie, je±li mamy rodzin {A t } t Q, gdzie A t = [ 1, 0), to zbiór A t 0 nie jest okre±lony, zatem zbiór indeksów jest ograniczony do Q \ {0}. Dla prostoty jednak piszemy Q. Zauwa»my jeszcze,»e dla indeksów ujemnych, liczba z lewej strony przedziaªu jest wi ksza od tej z prawej strony przedziaªu. W tego rodzaju przypadkach zapis [ 1, 0) rozumiemy jako przedziaª ( ] 0, 1 t t.

18 Wst p do matematyki wspóªczesnej wykªad 2.3 Sumy i przekroje uogólnione Niech X b dzie przestrzeni i niech A 2 X. Zbiór wszystkich elementów, które nale» do przynajmniej jednego ze zbiorów rodziny A nazywamy sum uogólnion rodziny A i oznaczamy A lub A A A. Je±li {A t} t T jest rodzin indeksowan, to sum uogólnion tej rodziny oznaczamy t T A t. W zale»no±ci od zbioru indeksów mo»na nieco zmieni oznaczenie, np. je±li T = N, to zwykle piszemy n=1 A n. Zauwa»my,»e suma uogólniona jest w istocie uogólnieniem sumy dwóch zbiorów. Uogólnieniem dziaªania przekroju dwóch zbiorów jest przekrój uogólniony rodziny A, czyli zbiór tych elementów ze zbiorów rodziny A, które nale» do wszystkich zbiorów tej rodziny. Przekroje uogólnione oznaczamy A, A A A, lub t T A t, je±li mamy do czynienia z rodzin indeksowan. Zaªó»my,»e {A t } t T jest rodzin indeksowan podzbiorów przestrzeni X. Reguªy przynalezno±ci do sumy lub przekroju uogólnionego tej rodziny wygladaj nast puj co: x t T x t T A t A t x A t, t T x A t, t T x / A t x / A t, t T t T x / A t x / A t. t T t T Dla przykªadu rozwa»my rodzin {A n } n N, gdzie A n = ( 1 n, n n+1). Mamy x n=1 A n n N x A n n N x n N ( 1 ) n, n n + 1 1 n < x < n n + 1. Z uwagi na kwantykator, interesuje nas najmniejsza warto± wyra»enia z lewej strony ostatniej nierówno±ci oraz najwi ksza warto± wyra»enia z prawej strony. Zauwa»my,»e 1 przyjmuje najmniejsz warto± 1 dla n = 1, n n natomiast nie przyjmuje najwi kszej warto±ci, ale ( n n+1 n+1) jest ci giem rosn cym i jego wyrazy d» do 1, gdy n. Dlatego n=1 A n = ( 1, 1).

Wst p do matematyki wspóªczesnej wykªad 19 W podobny sposób wyznaczamy przekrój uogólniony. x n=1 A n n N x A n n N x n N ( 1 ) n, n n + 1 1 n < x < n n + 1. Tym razem interesuje nas najwi ksza warto± wyra»enia 1 i najmniejsza n wyra»enia ( ) n n+1. S to odpowiednio 0 oraz 1, przy czym s to elementy 2 ka»dego zbioru z rodziny A n, zatem nale» one doprzekroju. W rezultacie, n=1 = [ ] 0, 1 2. 2.4 Podstawowe wªasno±ci sum i przekrojów uogólnionych Twierdzenia algebry zbiorów s analogiczne do praw logiki matematycznej. Podobnie, twierdzenia o wªasno±ciach sum i szeregów uogólnionych s analogiczne do odpowiednich twierdze«rachunku funkcyjnego. Seri twierdze«zaczniemy od czterech wªasno±ci, które mówi o dziaªaniach na dwóch zbiorach, z których jeden jest sum lub przekrojem uogólnionym pewnej rodziny zbiorów. 2.1 Twierdzenie. Dla dowolnej rodziny indeksowanej {A t } t T podzbiorów przestrzeni X oraz dowolnego zbioru B X zachodz nast puj ce wªasno±ci: (i) B t T A t = t T (A t B), (ii) B t T A t = t T (A t B), (iii) B t T A t = t T (A t B), (iv) B t T A t = t T (A t B).

20 Wst p do matematyki wspóªczesnej wykªad Dowód. Poniewa» cztery dowody s mocno do siebie podobne, ograniczymy si do podania jednego z nich. x B t T A t x B x t T A t x B t T x A t t T(x A t x B) x t T(A t B). Skorzystali±my tutaj z praw wª czania i wyªaczania (twierdzenie 1.3). Je±li zbiór B tak»e jes rodzin indeksowan, równo±ci nie zawsze zachodz. 2.2 Twierdzenie. Niech {A t } t T oraz {B t } t T b d rodzinami indeksowanymi podzbiorów przestrzeni X. Prawdziwe s nast puj ce wªasno±ci: (i) t T (A t B t ) = t T A t t T B t, (ii) t T (A t B t ) = t T A t t T B t, (iii) t T (A t B t ) t T A t t T B t, (iv) t T (A t B t ) t T A t t T B t, Poka»emy najpierw,»e inkluzje we wªasno±ciach (iii) oraz (iv) mog by wªa±ciwe. Istotnie, niech x = R, T = N, A n = ( ; n) 1 i niech Bn = [ 1, ). n Wówczas A n B n = R oraz A n B n =. Zatem oraz A n B n = (, 1) (0, ) = (0, 1) n=1 n=1 = (A n B n ), n=1

Wst p do matematyki wspóªczesnej wykªad 21 A n B n = (, 0) [1, ) = n=1 n=1 Przyst pimy teraz do dowodu twierdzenia. R = (A n B n ). Dowód. Poka»emy tylko (i) i (iii), poniewa» dowody pozostaªych dwóch wªasno±ci s analogiczne. Mamy n=1 x t T (A t B t ) t T x A t B t t T x A t x B t x A t x B t t T t T x A t B t. t T t T Skorzystali±my tu z prawa rozdzielno±ci kwantykatora szczególnego wzgl dem alternatywy (twierdzenie 1.6). Dla dowodu (iii), skorzystamy z twierdzenia 1.7. x t T (A t B t ) t T x A t B t t T x A t x B t x A t x B t t T t T x A t B t. t T t T Dowód nast pnego twierdzenia jest oczywisty. 2.3 Twierdzenie. Dla dowolnych dwóch rodzin indeksowanych {A t } t T oraz {B t } t T podzbiorów przestrzeni X zachodz inkluzje t T A t t T B t oraz t T A t t T B t o ile A t B t dla ka»dego t T.

22 Wst p do matematyki wspóªczesnej wykªad Na zako«czenie podamy jeszcze prawa de Morgana dla sum i przekrojów uogólnionych. Dowody tych praw oparte s na prawach de Morgana dla kwantykatorów. 2.4 Twierdzenie. Dla dowolnej rodziny indeksowanej {A t } t T podzbiorów przestrzeni X zachodzi ( t T A ) t = t T A t oraz ( t T A ) t = t T A t. 2.5 Rodziny podwójnie indeksowane Je»eli zbiór indeksów jest produktem dwóch zbiorów T i S, to mówimy»e rodzina { A (t,s) jest podwójnie indeksowana. Šatwiej jest w tym wy- }(t,s) T S. Podobnie mo»na zdeniowa rodziny potrójnie, po- padku pisa {A ts } t T s S czwórnie itd. indeksowane. Je±li T = S = R, to rodzina {(t, s)} t R oznacza s R zbiór wszystkich otwartych odcinków na prostej. Adoptujemy tu dodatkowe oznaczenia: (a, a) = oraz (a, b) = (b, a). 2.5 Twierdzenie. Je±li {A ts } t T s S (i) t T (ii) t T (iii) t T s S A ts = s S s S A ts = s S s S A ts s S t T A ts, t T A ts, t T A ts. jest rodzin podwójnie indeksowan, to Dowód wynika bezpo±rednio z twierdzenia 1.8. Ograniczymy si tutaj do podania kontrprzykªadu na to,»e implikacja w (iii) nie mo»e by odwrócona. W tym celu rozwa»my rodzin podwójnie indeksowan {(t, s]} t R. Mamy: s R s] = t T s S(t, = t T oraz s] = s S t T(t, R = R. s S

Wst p do matematyki wspóªczesnej wykªad 23 2.6 Sumy i przekroje uogólnione a obrazy i przeciwobrazy zbiorów. W podrozdziale tym podamy uzupeªniaj ce wiadomo±ci odno±nie obrazów i przeciwobrazów zbiorów wyznaczonych przez funkcj. Przypomimy najpierw denicje. Obrazem zbioru A wyznaczonym przez funkcj f : X Y nazywamy zbiór f(a) skªadaj cy si z tych wszystkich warto±ci f(x), dla których x A. Symbolicznie, f(a) = {f(x) : x A} { lub f(a) = y Y : x A y = f(x) }. Korzystaj c z wªasno±ci kwantykatorów mamy: y f(a) x A y = f(x) x X (x A y = f(x)) oraz y / f(a) x A y f(x) x X (x / A y f(x)). Zauwa»my,»e je±li zbiory A oraz X s rozª czne, to f(a) =. Przeciwobrazem zbioru A wyznaczonym przez funkcj f nazywamy zbiór f 1 (A) skªadaj cy si z tych wszystkich argumentów x X, których warto±ci nale» do zbioru A. Mamy zatem f 1 (A) = {x X : f(x) A} oraz x f 1 (A) f(x) A. Je±li zbiór A jest rozª czny z przeciwdziedzin funkcji f, to f 1 (A) =. 2.6 Twierdzenie. Zaªó»my,»e f : X Y, a {A t } t T jest pewn rodzin indeksowan. Zachodz nast puj ce wªasno±ci: (i) f ( t T A ) t = t T f(a t),

24 Wst p do matematyki wspóªczesnej wykªad (ii) f ( 1 t T A ) t = t T f(a t), (iii) f ( 1 t T A ) t = t T f(a t), (iv) f ( t T A ) t t T f(a t). Zanim przyst pimy do dowodu, zauwa»ymy»e inkluzja w (iv) mo»e by wªa±ciwa. Istotnie, je±li T = {1, 2}, A 1 = ( 1, 0), A 2 = (0, 1), f : R R jest okre±lona wzorem f(x) = x 2, to f(a 1 A 2 ) = f( ) =, ale f(a 1 ) f(a 2 ) = (0, 1). Dowód. W celu pokazania (i), we¹my dowolny element y f ( t T A t). Skorzystamy tu z mo»liwo±ci przestawienia dwóch kwantykatorów szczegó- ªowych. Mamy: ( ) ( y f A t x ) A t y = f(x) t T t T t T x X x X t T (x A t y = f(x)) (x A t y = f(x)) x X t T x f(a t ) x t T f(a t ). Poniewa» kwantykatora szczegóªowego i ogólnego nie mo»na dowolnie przestawia, wi c podobne rozumowanie zastosowane dla dowodu (iv) daje tylko implikacj (twierdzenie 1.8). Zatem mamy tylko inkluzj. Dowody (ii) i (iii) s znacznie ªatwiejsze. ( ) x f 1 A t f(x) A t t T t T f(x) A t t T x f 1 (A t ) t T x f 1 (A t ), t T

Wst p do matematyki wspóªczesnej wykªad 25 st d (ii). Dowód (iii) jest podobny. Inkluzja w (iv) staje si równo±ci, je±li poczynimy odpowiednie zaªo»enia. 2.7 Twierdzenie. Je±li funkcja f : X Y jest ró»nowarto±ciowa oraz {A t } t T jest rodzin indeksowan, to f ( t T A ) t = t T f(a t). Dowód. Wobec poprzedniego twierdzenia, wystarczy pokaza,»e ( ) f A t f(a t ). t T t T Niech zatem y t T f(a t). Oznacza to,»e t T x X x A t f(x) = y. Zatem w ka»dym zbiorze A t znajdziemy element x odpowiadaj cy indeksowi t i taki,»e f(x) = y. Ale poniewa» f jest ró»nowarto±ciowa, wi c warto± y nie mo»e by przyjmowana dla wiecej ni» jednego argumentu. Zatem wybrany x jest taki sam dla ka»dego t. Zatem x A t f(x) = y, x X t T a to oznacza,»e y f ( t T A t).

Rozdziaª 3 Produkty, relacje i funkcje Rozdziaª ten zaczniemy od denicji produktu kartezja«skiego sko«czonej liczby zbiorów, a zako«czymy denicj produktu uogólnionego. Po drodze rozwa»ymy podzbiory produktów sko«czonych, czyli relacje oraz podamy de- nicje funkcji jednej i wielu zmiennych. 3.1 Produkty sko«czonej liczby zbiorów Par uporz dkowan (a, b) nazywamy zbiór {{a}, {a, b}}. Dokonuj c prostego porównania zbiorów zauwa»amy,»e para uporz dkowana (a, b) jest równa parze (b, a) wtedy i tylko wtedy, gdy a = b, oraz (a, b) = (x, y) a = x b = y. Element a pary uporz dkowanej (a, b) nazywamy poprzednikiem lub pierwszym elementem, natomiast b nazywamy nast pnikiem lub drugim elementem. Zbiór A B wszystkich par uporz dkowanych (a, b), gdzie a A oraz b B nazywamy produktem lub iloczynem kartezja«skim zbiorów A i B. Korzystaj c z zasady indukcji matematycznej zdeniujemy n-k uporz dkowan. Dowolny zbiór, którego jedynym elementem jest zbiór jednoelementowy nazywamy jedynk uporz dkowan. Dwójk uporz dkowan nazywamy par uporz dkowan. Zaªó»my,»e zdeniowali±my ju» (n 1)-k (n > 1) uporz dkowan (a 1, a 2,..., a n 1 ), któr jest zbiór A. n-k uporz dkowan (a 1, a 2,..., a n 1, a n ) nazywamy zbiór A {{a 1, a 2,..., a n }}. Z 26

Wst p do matematyki wspóªczesnej wykªad 27 podanej denicji oraz z zasady indukcji matematycznej wynika,»e n (a 1, a 2,..., a n ) = (x 1, x 2,..., x n ) a i = x i. Element a 1 nazywamy pierwszym, a a n ostatnim elementem n-ki uporz dkowanej (a 1, a 2,..., a n ). Zbiór A 1 A 2 A n wszystkich n-ek uporz dkowanych (a 1, a 2,..., a n ), gdzie a i A i dla i {1, 2,..., n} nazywamy produktem lub iloczynem kartezja«skim n zbiorów. Zauwa»my,»e produktu trzech zbiorów A B C nie nale»y myli z produktem dwóch zbiorów A (B C). Zauwa»my te»,»e produkt jednego zbioru mo»emy uto»samia z tym»e zbiorem. Dowolny podzbiór produktu n zbiorów nazywamy relacj n-czªonow. okre±lon w tym produkcie. W szczególno±ci, dowolny podzbiór zbioru A nazywamy relacj jednoczªonow. Je»eli A 1 = A 2 = = A n = A, to piszemy A n zamiast A } A {{ A }. O relacji n-czªonowej okre±lonej w n razy zbiorze A n mówimy,»e jest ona okre±lona w A. Dziedzin relacji n-czªonowej ρ (dla n > 1) okre±lonej w A 1 A 2 A n nazywamy relacj (n 1)-czªonow D ρ okre±lon w A 1 A 2 A n 1, która speªnia warunek (a 1,a 2,...,a n 1 ) D ρ i=1 a A n (a 1, a 2,..., a n 1, a) ρ. Przeciwdziedzin relacji n-czªonowej ρ (gdzie n > 1) okre±lonej w zbiorze A 1 A 2 A n nazywamy relacj jednoczªonow P ρ okre±lon w A n (czyli podzbiór A n ), która speªnia warunek (a 1, a 2,..., a n 1, a) ρ. (a 1,a 2,...,a n 1 ) D ρ a A n Relacj (n+1)-czªonow f okre±lon w A 1 A 2 A n B nazywamy funkcj n zmiennych, je»eli speªniony jest nast puj cy warunek: (a 1, a 2,..., a n, b), (a 1, a 2,..., a n, b ) f b = b. Mówimy wówczas,»e funkcja f jest okre±lona w A 1 A 2 A n i ma warto±ci w B. Dziedzin i przeciwdziedzin funkcji deniujemy jako dziedzin i, odpowiednio, przeciwdziedzin relacji f. Piszemy te» f : D f B i mówimy,»e funkcja f dziaªa lub jest funkcj z D f do B.

28 Wst p do matematyki wspóªczesnej wykªad 3.2 Pewne wªasno±ci relacji dwuczªonowych Najcz ±ciej u»ywanymi relacjami s wªa±nie relacje dwuczªonowe i dlatego wªa±nie im po±wi cimy najwi cej miejsca. Dla uproszczenia b dziemy je nazywa po prostu relacjami. Tak»e dla uproszczenia, b dziemy stosowa zapis xρy zamiast (x, y) ρ. Niech ρ X Y. Dla ustalonych elementów x X, y Y, okre±lmy zbiory ρ(x) = {y Y : xρy} ρ 1 (y) = {x X : xρy}. Zbiór ρ(x) nazywamy zbiorem warto±ci relacji ρ w punkcie x. Za pomoc zbiorów ρ(x) oraz ρ 1 (y) mo»emy zdeniowa dziedzin i przeciwdziedzin relacji ρ: D ρ = {x X : ρ(x) } P ρ = { y Y : ρ 1 (y) }. Mo»emy te» zdeniwa obraz i przeciwobraz zbioru wyznaczony przez relacj. W tym celu, zaªó»my,»e A X, B Y, ρ X Y. Obrazem zbioru A wyznaczonym przez relacj ρ nazywamy zbiór ρ(a) = x A ρ(x). Przeciwobrazem zbioru B wyznaczonym przez relacj ρ nazywamy zbiór ρ 1 (B) = y B ρ(y). 3.1 Przykªad. Rozwa»my relacj ρ okre±lon w R wzorem xρy x2 2 2 + y2 3 2 = 1. Z prostych rachunków wynika {{ 3 ρ(x) = 2 4 x2, 2 } 3 4 x 2 gdy x [ 2, 2] gdy x / [ 2, 2] {{ } ρ 1 2 (y) = 3 9 y2, 3 2 9 y 2 gdy x [ 3, 3] gdy x / [ 3, 3] Niech teraz (a, b) [0, 2]. Wówczas ( ρ((a, b)) = 3 4 b2, 3 ) 4 a 2 2 2 ( 3 4 a2, 2 3 ) 4 b 2 2

Wst p do matematyki wspóªczesnej wykªad 29 Przypomnimy,»e funkcj nazywamy tak relacj ρ,»e dla ka»dego x X zbiór ρ(x) jest jednoelementowy. Zauwa»my,»e denicje obrazu i przeciwobrazu zbioru wyznaczonego przez relacj s zgodne z denicjami obrazu i przeciwobrazu zbioru wyznaczonego przez funkcj. Przypu± my,»e f jest funkcj z X do Y. f jest ró»nowarto±ciowa, je- ±li f 1 (y) jest zbiorem pustym lub jednoelementowym dla dowolnego y Y. Ró»nowarto±ciowo± funkcji pozwala nam zdeniowa funkcj odwrotn. Wymóg ten nie jest konieczny w przypadku relacji. Je±li ρ X Y, to relacj ρ 1 Y X okre±lon wzorem ρ 1 = {(y, x) Y X : (x, y) ρ} nazywamy odwrotn do ρ. Zatem ka»da funkcja ma relacj odwrotn. Niech ρ X Y, σ Y Z. Zªo»eniem lub superpozycj relacji ρ i σ nazywamy relacj σ ρ X Z okre±lon wzorem { } σ ρ = (x, z) X Z : y Y (x, y) ρ (y, z) σ. Je±li relacje σ i ρ s funkcjami, to powy»sza denicja pokrywa si z denicj zªo»enia funkcji z jednym wyj tkiem: nie zastanawiamy si tu, czy D σ P ρ. W ka»dym razie, zªo»enie dwóch relacji jest zbiorem pustym wtedy i tylko wtedy, gdy D σ oraz P ρ s rozª czne. Zauwa»my,»e tak»e i przy skªadaniu funkcji, najwa»niejsze jest, aby odpowiednie dziedzina i przeciwdziedzina nie byªy zbiorami rozª cznymi. Zajmiemy si teraz relacjami w zbiorze X. Dziaªanie skªadania relacji nie jest przemienne, ale jest ª czne i ma element neutralny. Poka»emy to w nast puj cych twierdzeniach i przykªadach. 3.2 Przykªad. Rozwa»my relacje ρ, σ okre±lone w R wzorami xρy x2 4 + y2 9 = 1 xσy x2 y 2 = 1. Wyznaczymy jeszcze dziedziny i przeciwdziedziny obu relacji. Mamy D ρ = [ 2, 2], P ρ = [ 3, 3], D σ = (, 1] [1, ), P σ = R. Aby znale¹ zªo»enie σ ρ, zapiszmy yσz y 2 z 2 = 1.

30 Wst p do matematyki wspóªczesnej wykªad Znajdujemy y w równaniu okre±laj cym relacj ρ i podstawiamy go w miejsce y w σ. Mamy y = ± 3 2 4 x2 i po podstawieniu otrzymujemy relacj xτz x2 ( 2 8 3 ) 2 + z2 ( 8 ) 2 = 1. (3.1) Musimy jeszcze wskaza dziedzin zªo»enia, czyli wyznaczy zbiór [ ρ 1 (P ρ D σ ) = ρ 1 ([ 3, 1] [1, 3]) = 2 8 3, 2 ] 8. 3 Poniewa» zbiór ten pokrywa si z dziedzin relacji τ, wi c relacja σ ρ jest okre±lona w R wzorem 3.1. Wyznaczymy teraz zªo»enie ρ σ. Post puj c podobnie mamy xτz ( x2 ) 2 + ( z2 ) 2 = 1. (3.2) 5 Tym razem jednak dziedzina zªo»enia, czyli zbiór ρ 1 (P ρ D σ ) nie pokrywa si z dziedzin relacji z 3.2. Zatem ρ σjest okre±lona w 3 8 2 ([ ] [ 5, 1 1, ]) 5 R wzorem 3.2. 3.3 Twierdzenie. Przypu± my,»e relacje ρ, σ, τ s okre±lone w zbiorze X. Wówczas ρ (σ τ) = (ρ σ) τ. Dowód. Zgodnie z denicj zªo»enia oraz prawami przestawiania kwantykatorów i wª czania pod kwantykator, mamy (x, y) ρ (σ τ) z (x(σ τ)z zρy)

Wst p do matematyki wspóªczesnej wykªad 31 z t t t (xτt tσz zρy) t (xτt tσz zρy) z ( xτt (tσz zρy) z (xτt tρ σy) ) (x, y) (ρ σ) τ. Wobec dowolno±ci pary (x, y) dostajemy tez. Okre±lmy relacj = X wzorem x y x = y. Relacj t nazywamy przek tn zbioru X. Dla dowolnej relacji ρ okre±lonej w X zachodzi ρ = ρ = ρ. Zatem jest elementem neutralnym dziaªania skªadania relacji. Zwró my jeszcze uwag na to,»e ρ 1 nie jest zazwyczaj elementem odwrotnym do ρ wzgl dem dziaªania skªadania relacji. Istotnie, je±li ρ = X X, to ρ 1 = X X oraz ρ ρ 1 = X X. Na zako«czenie zdeniujemy jeszcze najcz ±ciej u»ywane typy relacji za pomoc dziaªania skªadania relacji. Relacja ρ jest zwrotna ρ, przeciwzwrotna ρ =, symetryczna ρ = ρ 1, przeciwsymetryczna ρ ρ 1 =, antysymetryczna ρ ρ 1, przechodnia ρ ρ ρ, spójna ρ ρ 1 = X X. 3.3 Produkty uogólnione Produktem lub iloczynem kartezja«skim zbiorów rodziny {A t } t T nazywamy zbiór wszystkich funkcji f : T t T A t, które speªniaja warunek f(t) A t. t T

32 Wst p do matematyki wspóªczesnej wykªad Zbiór ten oznaczamy t T A t. Je±li A t = A dla dowolnego t T, to piszemy A T zamiast t T A. Je»eli cho jeden ze zbiorów A t jest pusty, to produkt te» jest zbiorem pustym. Je±li T jest zbiorem n-elementowym, to dowoln funkcj okre±lon na T mo»emy uto»samia z n-k uporz dkowan. Zatem n t=1 A t = A 1 A 2 A n.

Rozdziaª 4 Zbiory liczbowe Liczby naturalne stanowi podstaw arytmetyki. Jest to najprostszy zbiór liczbowy. Podamy tu aksjomatyczne uj cie zbioru liczb naturalnych oraz wprowadzimy na nim dziaªania dodawania i odejmowania. W oparciu o zasad abstrakcji, skonstruujemy nast pnie zbiory liczb caªkowitych i wymiernych. 4.1 Aksjomatyka zbioru liczb naturalnych Poj ciami pierwotnymi w teorii liczb naturalnych s zbiór, liczba, liczba 1 lub jedynka oraz bycie nast pnikiem. O ile trzy pierwsze poj cia s raczej zrozumiaªe, o tyle zrozumienie ostatniego mo»e przysporzy problemu. Intuicyjny sens sformuªowania,,liczba m jest nast pnikiem liczby n jest taki,»e liczba m jest liczb naturaln, która nast puje (wyst puje, jest) bezpo- ±rednio po n. Oznacza to wi c swego rodzaju relacj okre±lon na pewnym zbiorze liczb. Podamy teraz aksjomatyk liczb naturalnych. N1 Istnieje jedynka, która jest liczb. N2 Jedynka nie jest nast pnikiem»adnej liczby. N3 Dla ka»dej liczby n istnieje dokªadnie jedna liczba m, która jest nast pnikiem n. N4 Je»eli m jest nast pnikiem liczby n oraz m jest nast pnikiem liczby k, to n = k. 33

34 Wst p do matematyki wspóªczesnej wykªad N5 Je»eli A jest zbiorem skªadaj cym si z liczb, który speªnia aksjomaty N1N4, takim»e 1 0 jedynka nale»y do A; 2 0 dla ka»dej liczby n, je±li n nale»y do A, a m jest nast pnikiem n, to m równie» nale»y do A, to ka»da liczba nale»y do A. Ostatni z aksjomatów nazywamy zasad indukcji matematycznej. Ka»dy zbiór, speªniaj cy wszystkie pi aksjomatów, nazywamy zbiorem liczb naturalnych. Oczywi±cie, dobrze nam znany zbiór {1, 2, 3,... } jest zbiorem speªniaj cym N1N5, czyli jest zbiorem liczb naturalnych. Ale tak»e zbiory {0, 1, 2, 3,... } oraz {0, 2, 4, 6,... } s zbiorami liczb naturalnych. Aksjomat N1 jest aksjomatem istnienia, tj. mówi on,»e zbiór liczb naturalnych nie jest pusty. Drugi aksjomat mówi,»e jedynka jest,,pierwsz liczb, tzn. od niej zaczyna si zbiór. Pierwsze dwa aksjomaty nie wykluczaj mo»liwo±ci,»e istniej liczby ró»ne od jedynki, które nie s nast pnikami. Aksjomat N3 wyklucza mo»liwo± istnienia dwóch i wi cej nast pników tej samej liczby oraz stwierdza,»e nast pnik istnieje dla ka»dej liczby. W nast pstwie stwierdzamy,»e zbiór liczb naturalnych ma niesko«czenie wiele elementów. Ten oraz nast pny aksjomat wykluczaj mo»liwo±ci,,rozgaª zie«. Zatem zbiór liczb naturalnych stanowi liczby uªo»one w jednej linii. Istnienie innej linii jest, z kolei wykluczone przez aksjomat N5, poniewa» ka»da taka linia speªniaªaby aksjomaty N1N4 oraz punkty 1 0 i 2 0 sksjomatu N5. Ale nie zawieraªaby ona caªego zbioru. Aksjomat N5 wyra»a w j zyku matematycznym takie rozumowanie: je»eli 1 A, to nast pnik 1, czyli 2 jest elementem A. St d dalej 3 A, 4 A i tak dalej. Nie mo»emy jednat powtarza tego rozumowania niesko«czenie wiele razy. St d zasada indukcji. Pomimo tego,»e wiele zbiorów speªnia aksjomaty N1N5, w dalszym ci gu wykªadu, przez zbiór liczb naturalnych b dziemy rozumieli zbiór oznaczaj c go N. {1, 2, 3, 4, 5,... },

Wst p do matematyki wspóªczesnej wykªad 35 4.2 Dodawanie i mno»enie liczb naturalnych W oparciu o aksjomatyk liczb naturalnych, deniujemy dziaªania dodawania i mno»enia. I tak, je±li przez n oznaczymy nast pnik n, to sum liczb n i 1 nazywamy liczb n + 1 = n. Aby zdeniowa sum liczb n oraz m, przypu± my,»e suma n + m zostaªa ju» zdeniowana. Na podstawie zasady indukcji matematycznej, dodawanie jest zdeniowane dla ka»dych dwóch liczb naturalnych. Deniujemy n + m jako nast pnik n + m. Tak wi c n + 2 = n + 1 = (n + 1) = (n ). Poka»emy,»e dodawanie jest ª czne i przemienne. W tym celu skorzystamy z aksjomatu N5. Niech wi c dla dowolnego n oraz dowolnego m, zbiór C b dzie zbiorem tych liczb naturalnych k, które speªniaj warunek (n + m) + k = n + (m + k). Poka»emy,»e 1 C. Istotnie, z denicji dodawania otrzymujemy (n + m) + 1 = (n + m) = n + m = n + (m + 1). Zaªó»my teraz,»e k C, czyli (n + m) + k = n + (m + k) i rozwa»ymy (n + m) + k. Mamy (n + m) + k = (n + m) + (k + 1) z denicji dodawania = ((n + m) + k) + 1 z pokazanego ju» = (n + (m + k)) + 1 z zaªo»enia = n + ((m + k) + 1) z pokazanego ju» = n + (m + (k + 1)) z pokazanego ju» = n + (m + k ). z denicji dodawania Na mocy zasady indukcji matematycznej stwierdzamy,»e C jest równy caªemu zbiorowi liczb naturalnych, czyli dodawanie jest ª czne. Aby pokaza przemienno± dodawania, przypu± my,»e n jest dowoln liczb naturaln oraz A jest takim zbiorem,»e dla dowolnej liczby m nale» cej do A zachodzi przemienno± dodawania, tj. n + m = m + n. Aby pokaza,»e 1 + n = n + 1, czyli»e 1 A, ponownie skorzystamy z zasady indukcji. Rozwa»my wi c zbiór B tych liczb naturalnych, dla których 1 + n = n + 1. Poniewa» 1 + 1 = 1 + 1, wi c przypu± my,»e 1 + n = n + 1 i poka»emy,»e 1 + n = n + 1. Istotnie, z denicji dodawania oraz z zaªo»enia mamy 1 + n = (1 + n) = (n + 1) = (n ). Z drugiej strony, z denicji dodawania mamy n + 1 = (n ). Zatem 1 + n = n + 1. Zatem zbiór B jest równy caªemu zbiorowi liczb naturalnych.

36 Wst p do matematyki wspóªczesnej wykªad Zaªó»my teraz,»e m A, czyli n + m = m + n i poka»emy,»e n + m = m + n. Istotnie, n + m = n + (m + 1) z denicji dodawania = (n + m) + 1 z ª czno±ci dodawania = (m + n) + 1 z zaªo»enia = m + (n + 1) z ª czno±ci dodawania = m + (1 + n) z udowodnionego ju» = (m + 1) + n z ª czno±ci = m + n z denicji dodawania. Zatem na mocy aksjomatu N5, dodawanie jest przemienne w zbiorze liczb naturalnych. Zdeniujemy teraz iloczyn dwóch liczb naturalnych. n 1 = n dla dowolnej liczby n N (4.1) n m = (n m) + n dla dowolnych liczb n, m N (4.2) Jak zwykle, kropk oznaczaj c mno»enie b dziemy pomija w sytuacjach, które nie prowadz do nieporozumie«. Poka»emy,»e mno»enie jest rozdzielne wzgl dem dodawania, czyli (n + m)k = nk + mk. Aby tego dokona, poka»emy»e (n + m) 1 = n 1 + m 1 oraz»e z (n + m)k = nk + mk wynika (n + m)k = nk + mk. I tak, (n + m) 1 = n + m = n 1 + m 1. Rozwa»my teraz (n + m)k = nk + mk. Mamy (n + m)k = (n + m)k + (n + m) z denicji mno»enia = (nk + mk) + (n + m) z zaªo»enia = (nk + n) + (mk + m) z przemienno±ci i ª czno±ci dodawania = nk + mk. z denicji mno»enia Aby pokaza przemienno± mno»enia, poka»emy najpierw przez indukcj,»e mno»enie przez jeden jest przemienne. faktycznie, pierwszy punkt aksjomatu N5 jest trywialny. Zaªó»my wi c,»e n 1 = 1n. Mamy 1n = 1n + 1 = n 1 + 1 = n + 1 = n = n 1.

Wst p do matematyki wspóªczesnej wykªad 37 Aby zako«czy dowód faktu,»e mno»enie jest przemienne, zaªó»my,»e nm = mn i poka»emy,»e m n = nm. Mamy m n = (m + 1)n = mn + n = nm + n = nm. Podobnie pokazuje si,»e dziaªanie mno»enia jest ª czne. U»ywaj c dodawania, mo»emy zdeniowa relacj mniejszo±ci w zbiorze liczb naturalnych: m < n istnieje k N, taka»e m + k = n. Za pomoc dodawania, mno»enia i relacji mniejszo±ci mo»emy zdeniowa dalsze poj cia, którymi operuje si w arytmetyce liczb naturalnych. 4.3 Zasada minimum Aksjomat N5 warto jest przeformuªowa, aby przyj ª bardziej funkcjonaln form : Zasada indukcji matematycznej (ZIM). Przypu± my,»e T (n) jest zdaniem dotycz cym liczby naturalnej n. Je»eli 1 0 T (1) jest zdaniem prawdziwym, 2 0 z prawdziwo±ci zda«t (k), dla k < n wynika prawdziwo± zdania T (n), to zdanie T (n) jest prawdziwe dla ka»dej liczby naturalnej. Powy»sza zasada jest równowa»na nast puj cej zasadzie, która jest równie ch tnie stosowana. Zasada minimum (ZM). W ka»dym niepustym podzbiorze liczb naturalnych istnieje liczba najmniejsza. ZIM ZM: Zaªó»my,»e A jest niepustym zbiorem liczb naturalnych, w którym nie ma liczby najmniejszej. Zdeniujemy B jako zbiór tych wszystkich liczb naturalnych n, które nie nale» do zbioru A. Zauwa»my,»e 1 B, bo w przeciwnym wypadku, 1 byªaby elementem zbioru A i najmniejsz liczb w tym zbiorze. Przypu± my wi c,»e dla k < n zachodzi k B. Gdyby n nale»aªa do A, to byªaby najmniejsz liczb w tym zbiorze, zatem n B. Zatem, na mocy ZIM, B = N. ZM ZIM: Zaªó»my,»e T (n) jest zdaniem dotycz cym liczby naturalnej n. Przypu± my,»e dla T (n) speªnione s warunki 1 0 i 2 0 zasady indukcji

38 Wst p do matematyki wspóªczesnej wykªad matematycznej. Przypu± my te»,»e zbiór A tych liczb naturalnych, dla których T (n) nie jest prawdziwe jest ró»ny od pustego, chocia» 1 A. Na mocy zasady minimum mamy,»e w A istnieje liczba najmniejsza m. Zatem dla k < m, zdanie T (k) jest prawdziwe, a st d wynika,»e zdanie T (m) jest prawdziwe, co jest sprzeczne wobec przynale»no±ci m do A. 4.4 Konstrukcja liczb caªkowitych. Aby skonstruowa zbiór liczb caªkowitych, wprowadzimy na zbiorze N N nast puj c relacj : (n 1, n 2 ) (m 1, m 2 ) m 1 + n 2 = m 2 + n 1 (4.3) Poka»emy,»e 4.3 jest relacj równowa»no±ci. Jest to relacja zwrotna, poniewa» n 1 +n 2 = n 2 +n 1. Poniewa» z m 1 +n 2 = m 2 +n 1 wynika n 1 +m 2 = n 2 +m 1, wi c jest te» relacj symetryczn. Przypu± my,»e (n 1, n 2 ) (m 1, m 2 ) oraz (m 1, m 2 ) (k 1, k 2 ). Zatem m 1 + n 2 = m 2 + n 1 k 1 + m 2 = k 2 + m 1. Dodaj c stronami otrzymujemy k 1 +n 2 +(m 1 +m 2 ) = k 2 +n 1 +(m 1 +m 2 ). St d wynika,»e (n 1, n 2 ) (k 1, k 2 ), czyli relacja 4.3 jest relacj równowa»no±ci. Relacja ta dzieli zbiór N N na klasy abstrakcji. Klasy te nazywamy liczbami caªkowitymi. Wprowad¹my specjalne oznaczenia dla tych klas abstrakcji. Zauwa»my,»e je±li m > n oraz n + k = m, to do klasy [ (m, n) ] nale» tylko takie pary (x, y), dla których x = y + k. Istotnie, (m, n) (x, y) x + n = y + m x + n = y + n + k x = y + k. Klas abstrakcji [ (m, n) ], gdzie m = n+k oznaczymy k i uto»samimy z liczb naturaln k. Šatwo jest zauwa»y,»e wszystkie klasy [ (m, n) ], dla których m > n stanowi zbiór liczb naturalnych, tj. speªniaj aksjomaty N1N5. Klas abstrakcji [ (n, n) ] oznaczymy 0, a klasy [ (m, n) ], gdzie n > m oraz n = m + k oznaczymy k.

Wst p do matematyki wspóªczesnej wykªad 39 Na tak zdeniowanym zbiorze liczb caªkowitych, zdeniujemy dziaªania dodawania i mno»enia: [ (m1, n 1 ) ] + [ (m 2, n 2 ) ] = [ (m 1 + m 2, n 1 + n 2 ) ] [ (m1, n 1 ) ] [(m 2, n 2 ) ] = [ (m 1 m 2 + n 1 n 2, m 1 n 2 + n 1 m 2 ) ] Poka»emy,»e zdeniowane dziaªania dodawania i mno»enia s dobrze okre±lone, tj. wynik nie zale»y od wyboru reprezentanta klasy. Zaªó»my wi c,»e (m 1, n 1 ) (m 1, n 1) oraz (m 2, n 2 ) (m 2, n 2). Wówczas [ (m1, n 1 ) ] + [ (m 2, n 2 ) ] = [ (m 1 + m 2, n 1 + n 2 ) ] oraz [ (m 1, n 1) ] + [ (m 2, n 2) ] = [ (m 1 + m 2, n 1 + n 2) ] Mamy co po dodaniu stronami daje n 1 + m 1 = m 1 + n 1 m 2 + n 2 = n 2 + m 2, m 1 + m 2 + n 1 + n 2 = n 1 + n 2 + m 1 + m 2. Zatem [ (m 1 + m 2, n 1 + n 2 ) ] = [ (m 1 + m 2, n 1 + n 2) ]. Wykonuj c nieco bardziej skomplikowane operacje, mo»na pokaza,»e mno»enie te» jest dobrze okre±lone. Mo»na pokaza,»e dziaªanie dodawania jest ª czne, przemienne, ma element neutralny 0, oraz ka»da liczba caªkowita ma liczb przeciwn, co pozwala na zdeniowanie odejmowania. Dziaªanie mno»enia natomiast, jest ª czne, przemienne, rozdzielne wzgl dem dodawania oraz posiada element neutralny 1. 4.5 Konstrukcja liczb wymiernych. Oznaczmy przez Z zbiór liczb caªkowitych i przyjmijmy Z = Z \ {0}. Okre- ±limy w zbiorze Z Z nast puj c relacj : (m 1, m 2 ) (n 1, n 2 ) m 1 n 2 = m 2 n 1 (4.4)

40 Wst p do matematyki wspóªczesnej wykªad Poka»emy,»e jest to relacja równowa»no±ci. Zauwa»my,»e zwrotno± i symetryczno± jest oczywista. Zaªó»my wi c,»e (m 1, m 2 ) (n 1, n 2 ) oraz (n 1, n 2 ) (k 1, k 2 ), czyli m 1 n 2 = m 2 n 1 n 1 k 2 = n 2 k 1. Mno» c te równania stronami otrzymujemy m 1 n 1 n 2 k 2 = m 2 n 1 n 2 k 1 (4.5) Poniewa» n 2 0, wi c m 1 n 1 k 2 = m 2 n 1 k 1. Je±li n 1 0, to 4.5 przyjmuje posta m 1 k 2 = m 2 k 1, czyli (m 1, m 2 ) (k 1, k 2 ). W przeciwnym wypadku, tak»e k 1 = m 1 = 0. A to oznacza,»e 0 = m 1 k 2 = m 2 k 1 = 0, wi c (m 1, m 2 ) (k 1, k 2 ). Zatem relacja 4.4 jest relacj równowa»no±ci. Klasy równowa»no±ci relacji 4.4 nazywamy liczbami wymiernymi. Klas [ (m, n) ] oznaczamy m n. Na zbiorze liczb wymiernych deniujemy dziaªania dodawania i mno»enia w nast puj cy sposób [ (m1, n 1 ) ] + [ (m 2, n 2 ) ] = [ (m 1 n 2 + m 2 n 1, n 1 n 2 ) ] [ (m1, n 1 ) ] [(m 2, n 2 ) ] = [ (m 1 m 2, n 1 n 2 ) ] Dziaªania dodawania i mno»enia s dobrze okre±lone, tzn. wyniki tych dzia- ªa«nie zale» od wyboru reprezentantów klas abstrakcji. Mo»na pokaza,»e dziaªanie dodawania jest ª czne, przemienne, ma element neutralny 0, oraz ka»da liczba wymierna ma liczb przeciwn, co pozwala na zdeniowanie odejmowania. Dziaªanie mno»enia natomiast, jest ª czne, przemienne, rozdzielne wzgl dem dodawania, posiada element neutralny 1 oraz ka»da liczba wymierna z wyj tkiem 0 ma liczb odwrotn, co pozwala na zdeniowanie dzielenia.