BADANIE STABILNOŚCI LINIOWYCH UKŁADÓW AUTOMATYKI

Oprcowł: dr iż Michł Chłędowki Ćw S-III BADANIE STABILNOŚCI LINIOWYCH UKŁADÓW AUTOMATYKI Cel ćwiczei Celem ćwiczei jet zpozie ię z problemem tbilości liiowych UAR poprzez: pozie mtemtyczeo wruku tbilości liiowych UAR pozie i prktycze ztoowie lityczeo kryterium tbilości Hurwitz pozie i prktycze wykorzytie czętotliwościoweo kryterium Nyquit Zdie do wykoi Przedmiotem bdń dl wzytkich zepołów relizujących ćwiczeie będzie jedowymirowy liiowy UAR o typowej trukturze przedtwioej ry (ptrz rówież rys-i) Ry Schemt ukłdu utomtyczej reulcji podlejąceo bdiu tbilości Główe etpy relizcji ćwiczei: Kżdy zepół relizujący ćwiczeie m z zdie przyjąć włe trmitcje przejści dl bdeo ukłdu: G EW () G OB () i G UP () Nleży dobrć je zodie ze ztuką iżyierką (p uwzlędijąc oólie obowiązujące zleceie przy projektowiu UAR mówiące o tym że bezwłdość (tł czow) ukłdu pomiroweo powi być co jmiej dzieięciokrotie miejz od jmiejzej tłej czowej obiektu reulcji) orz tk by rówie chrkterytycze ukłdu było czwrteo topi ukłd był ttyczy Reultor przyjąć jko czło proporcjoly o wpółczyiku proporcjolości k R

Przykłd G ( ) R k R G EW ( ) G OB ( ) ( )( ) G UP ( ) Dl tk zdefiioweo UAR leży określić zkre wrtości k R dl których ukłd będzie tbily W tym celu leży wykorzytć litycze kryterium tbilości Hurwitz (ptrz: Podtwy teoretycze) Wyik obliczeń: wrtości krytycze k R kr prowdzjące ukłd ricę tbilości W zczeólości może to być jede krytyczy wpółczyik wzmociei Wykorzytując prorm CODAS ryowć wykrey chrkterytyk kokowych ukłdu dl trzech wrtości k R k R < k R kr - ukłd tbily k R k R kr - ukłd ricy tbilości k R > k R kr - ukłd ietbily Wykorzytując prorm CODAS ryowć chrkterytyki czętotliwościowe pozwljące potwierdzić wyiki pkt przy pomocy obydwóch pozych form kryterium Nyquit Wyzczyć zp modułu i zp fzy ukłdu dl k R tooweo w pkt dl któreo ukłd był tbily PODSTAWY TEORETYCZNE Oceijąc włości projektoweo ukłdu utomtyczej reulcji zzwyczj rozpoczymy od prwdzei jeo tbilości lbowiem jet to wruek bolutie koieczy kżdeo UAR Stbilość jet cechą ukłdu polejącą powrciu do tu rówowi tłej po utiu dziłi zkłócei które wytrąciło ukłd z teo tu Stbilość moż oceić bdjąc ruch wobody ukłdu tz jeo zchowie pod wpływem wruków początkowych Złóżmy że ukłd w pewym przedzile czu oprócz wielkości zdej w zd wpływ rówież ył zkłócei z(t) W wyiku tych oddziływń t ukłdu w chwili ( ) tt chrkteryzują wrtości y y y wielkości wyjściowej i jej pochodych po czie Złóżmy dlej że w chwili t ył zkłócjący zik Dlze zchowie ukłdu jet ( ) ztem uwrukowe wielkością zdą w zd i wrukmi początkowymi y y y przy czym wedłu zdy uperpozycji wpływ tych dwóch wielkości w ukłdch liiowych jet iezleży W jlepzym przypdku kłdow wobod wielkości wyjściowej wywoł wrukmi początkowymi zik Tki ukłd zywmy ymptotyczie tbilym

Byw że wobod kłdow dążyć będzie do kończoej wrtości utloej dl czu t dążąceo do iekończoości lub ocyluje z mplitudą dążącą do kończoej wrtości Tki ukłd zywmy eutrlie tbilym Może ię zdrzyć że wobod kłdow wielkości wyjściowej rt w poób ieoriczoy lub zczy ocylowć z rtjącą do iekończoości mplitudą Tki ukłd zywmy ietbilym Ry Przebiei przejściowe: ) w ukłdch tbilych b) w ukłdch ietbilych Wruki i kryteri tbilości Jeżeli liiowy lub zlieryzowy ukłd zmkięty opiy jet z pomocą liioweo rówi różiczkoweo d y dt b m d y dt m m d w d b m m dt dt dy dt w m y b dw dt b w l d z cl c l l dt l d z l dt c dz dt c z dzie: yy(t) ww(t) zz(t) odpowiedio: wielkość wyjściow wrtość zd i zkłóceie lub odchyłki tych wielkości od ich wrtości utloych y o w o z o ; - o b m m- b b o c l c l- c c o tłe wpółczyiki m < i l < ()

lub odpowidjących mu trmitcji opertorowych G ( ) w G ( ) z y( ) b b m m m m w( ) y( ) z( ) c l l l l c b b c co o o o () () to tbilość ukłdu zleży od pierwitków rówi chrkterytyczeo teo ukłdu defiioweo jko miowik trmitcji ztępczej ukłdu przyrówy do zer () o Zuwżmy że wpółczyiki rówi () więc i pierwitki teo rówi zleżą tylko od prmetrów ukłdu czyli od włości i prmetrów elemetów kłdowych orz ich wzjemeo połączei Koieczym i dotteczym wrukiem tbilości ymptotyczej ukłdu jet by pierwitki rówi chrkterytyczeo ukłdu zmkięteo miły ujeme części rzeczywite ( ) Re < () Wruek te odoi ię zrówo do przypdków kiedy pierwitki ą rzeczywite jk rówież do pierwitków zepoloych i wielokrotych Jeżeli chociż jede z pierwitków rówi () m część rzeczywitą dodtią to ukłd jet ietbily Jeżeli rówie () m pierwitki w lewej półpłzczyźie (czyli ujeme) orz jedokrote oi liczb urojoych (p jede pierwitek zerowy lub prę pierwitków urojoych przężoych) to w ukłdzie będą wytępowć dri o tłej mplitudzie określoej wrukmi początkowymi Ukłd jet wówcz ricy tbilości ściśle mówiąc ie jet tbily ymptotyczie Jeżeli pierwitki zerowe ą wielokrote to przebie y(t) oddl ię od początkoweo tu rówowi ukłd jet oczywiście ietbily Tk więc wruek () będziemy uwżli z oóly mtemtyczy wruek tbilości liiowych ukłdów utomtyki Potrzeb ściślejzeo rozróżiei rodzjów tbilości wytępuje w ukłdch ieliiowych My zś rozwżjąc ukłdy liiowe będziemy utożmić tbilość ze tbilością ymptotyczą W oprciu o wruek () oprcowo kryteri tbilości: litycze i czętotliwościowe Typowym przedtwicielem kryteriów lityczych jet kryterium Hurwitz zś kryteriów czętotliwościowych kryterium Nyquit Obydw opizemy dokłdiej k

Kryterium Hurwitz Aby wzytkie pierwitki rówi chrkterytyczeo () miły części rzeczywite ujeme muzą być pełioe tępujące wruki: wzytkie wpółczyiki rówi () muzą itieć i być więkze od zer (wruek koieczy le ie dotteczy): > > > > (6) podwyzcziki i od i do i wyzczik łóweo Hurwitz muzą być więkze od zer Wyzczik łówy utworzoy ze wpółczyików rówi () m wierzy i kolum zpiych tępująco: ; 6 7 (7) Podwyzcziki tworzy ię wedłu tępujących reuł 6 7 Jeżeli któryś ze wpółczyików rówi chrkterytyczeo jet ujemy lub rówy zeru lbo któryś z podwyzczików jet ujemy lub rówy zeru to ukłd jet ietbily W przypdku zczeólym kiedy któryś z podwyzczików jet rówy zeru rówie () m między iymi pierwitki czyto urojoe i w przebieu czowym y(t) wytąpią dri o tłej mplitudzie (ukłd zjduje ię ricy tbilości ricę tbilości zliczmy do obzru ietbileo) W przypdku ietbilości kryterium Hurwitz ie pozwl określić ile pierwitków rówi chrkterytyczeo m dodtią część rzeczywitą czyli ile pierwitków puje tbilość jk rówież brk jet odpowiedzi pytie jk dleko ukłd zjduje ię od ricy tbilości

Przykłd Trmitcj ztępcz ukłdu m potć ) ( G z Zbdć tbilość ukłdu toując kryterium Hurwitz Rozwiązie Rówie chrkterytycze ukłdu m wpółczyiki: Wzytkie itieją i ą dodtie pierwzy wruek Hurwitz pełioy Wyzczik łówy m potć Sprwdzjąc drui wruek Hurwitz bdmy podwyzcziki i dzie i - Gdy leży prwdzić czy wyzcziki orz ą więkze od zer? 8 > 7 > 6 6 > Poiewż wzytkie wpółczyiki i wzytkie podwyzcziki ą więkze od zer to bdy ukłd jet tbily

Przykłd Trmitcj otwrteo ukłdu tbilizcji irokopowej m potć K Go ( ) ( T ξ T ) Wypdkowy wpółczyik wzmociei ukłdu otwrteo K [ek - ] tł czow irokopu T [ek] Dl zwiękzei obzrów tbilej prcy ukłdu wprowdzoy zotł dodtkowy zereowy czło korekcyjy o trmitcji G K ( ) τ dzie τ [ek] Nleży określić: przed korekcją: ) dl jkich wrtości wpółczyik tłumiei ukłd będzie tbily; b) jki jet wruek tbilości ukłdu; po korekcji: c) tbilość ukłdu dl τ (pozotłe prmetry bez zmi); d) wruek tbilości ukłdu Rozwiązie Trmitcj ukłdu zmkięteo przed korekcją m potć G ( ) z G( ) G ( ) K ( T ξ T ) K ( T ξ T ) K ξ T T A ztem rówie chrkterytycze przyjmie potć K T ξ T K Z pierwzeo wruku Hurwitz wyik że T ξ i K muzą być więkze od Z druieo wruku Hurwitz (dl rówi trzecieo topi te wruek to > ) możemy zpić: T K ξ T T K > ξ > Z dotychczowej lizy ukłdu wyik że przy T orz K dl zpewiei tbilości koiecze jet zpewieie wpółczyikowi ξ wrtości więkzej od Przedtwieie druieo wruku Hurwitz w zmodyfikowej formie pozwoli przedtwić oóly wruek tbilości rozptryweo ukłdu ξ K < T

Spełieie tej ierówości zpewi tbilość bdeo ukłdu przed modyfikcją Zwróćmy uwę fkt że przy tych dych liczbowych prmetrów T i K τ mui być więkze od Po wprowdzeiu korekcji trmitcj ztępcz ukłdu zmkięteo przyjmie potć: K( τ ) ( ) * G( ) G ( ) T ξ T K K( τ ) Gz ( ) G ( ) ( ) K( ) G τ K ( T ξ T ) K( τ ) ( T ξ T ) Rówie chrkterytycze zmodyfikoweo ukłdu zpizemy w potci: T ξ T ( Kτ ) K Oprócz poprzedich wruków: T ξ K mją być więkze od zer obecie z pierwzeo wruku Hurwitz dochodzi jezcze jede wruek: (Kτ ) > ; tąd τ > K Poprzedio te wruek ie wytępowł lbowiem przy był wpółczyik rówy Aby odpowiedzieć pytie zde w pukcie c) leży prwdzić drui wruek Hurwitz dl ξ Otrzymmy ξ T ( Kτ ) T K ( ) () Kryterium Nyquit Kryterium Nyquit m duże zczeie prktycze Wykorzytuje bowiem chrkterytykę czętotliwościową ukłdu otwrteo którą moż wyzczyć zrówo lityczie jk i doświdczlie Dlteo iekoieczie muimy zć prmetry liczbowe bdeo ukłdu wytrcz doświdczlie zrejetrow chrkterytyk czętotliwościow Specyfik kryterium Nyquit: tbilość ukłdu zmkięteo określ ię podtwie chrkterytyki czętotliwościowej ukłdu otwrteo Określie ukłdu otwrteo Ukłd otwrty (ry b) otrzymujemy przecijąc łówą pętlę przężei zwroteo (ry ) i trktując z wielkość wyjściową ył y * podwy do umtor w ukłdzie zmkiętym Ry Schemt blokowy ukłdu: ) zmkięteo b) otwrteo

Pełe formułowie kryterium Nyquit obejmuje dw przypdki dy: ukłd otwrty jet tbily ukłd otwrty jet ietbily Drui przypdek to zczy bdie tbilości ukłdu zmkięteo metodą Nyquit wtedy kiedy ukłd otwrty jet ietbily rzdko m zczeie prktycze Wyme jet bowiem w tym przypdku utleie ilości bieuów ukłdu otwrteo leżących w prwej półpłzczyźie (ilości dodtich pierwitków ukłdu otwrteo) Moż to utlić jedyie drodze lityczej więc trzeb zć trmitcję ukłdu otwrteo Ale w tkim przypdku lizę tbilości ukłdu zmkięteo wyodiej jet przeprowdzić wykorzytując kryteri litycze Tutj zjmiemy ię jwżiejzym z prktyczeo puktu widzei przypdkiem dy ukłd otwrty jet tbily tj dy wzytkie bieuy trmitcji G () ukłdu otwrteo leżą w lewej półpłzczyźie zmieej zepoloej Kryterium Nyquit moż wówcz jkrócej formułowć tępująco: Ukłd zmkięty jet tbily jeżeli chrkterytyk mplitudowo-fzow G (jω ) ukłdu otwrteo ie obejmuje puktu (- j) Iterpretcj rficz kryterium Nyquit przedtwio jet ry W przypdku złożoeo kztłtu krzywych G (jω ) wyodie jet ię połuiwć wyikjącą bezpośredio z podeo kryterium tzw reułą lewej troy któr mówi że ukłd zmkięty jet tbily wtedy kiedy pukt (- j) zjduje ię w obzrze leżącym po lewej troie chrkterytyki G (jω ) idąc w troę roących ω (ry b) Ry Iterpretcj rficz kryterium tbilości Nyquit przy tbilych ukłdch otwrtych: b) reuł lewej troy Kryterium Nyquit moż rówież toowć do bdi tbilości ukłdów ttyczych których ukłdy otwrte zwierją człoy cłkujące (bieuy zerowe) Moduł trmitcji widmowej tkich ukłdów otwrtych dąży do iekończoości przy ω Moż wykzć [] że hodorf wektor G (jω ) leży wówcz uzupełić łukiem o dotteczie dużym promieiu R zczyjąc od dodtiej półoi rzeczywitych

Tkie uzupełieie ułtwi toowie kryterium Przykłdy toowi kryterium Nyquit do ukłdów ttyczych ilutruje ry Ry Kryterium Nyquit dl ukłdów ttyczych: ) ttyzm pierwzeo rzędu (jede czło cłkujący) b) ttyzm druieo rzędu Kryterium Nyquit moż rówież toowć połuując ię wzytkimi iymi potcimi chrkterytyk czętotliwościowych ukłdu otwrteo Njczęściej wykorzytuje ię chrkterytyki lorytmicze Lorytmicze kryterium Nyuit Rozwżmy dw ukłdy otwrte których chrkterytyki mplitudowo-fzowe przedtwioo ry 6 Ukłd będzie po zmkięciu tbily tomit ukłd b ietbily Z kryterium Nyquit [] wyik bezpośredio tępujący wruek tbilości: dzie x jet pulcją dl której G ( jω ) (8) x < r G ( jω ) 8 (9) x Jeżeli chrkterytyk czętotliwościow ukłdu otwrteo pod jet w potci lorytmiczych chrkterytyk mplitudowej L i fzowej to wruek (8) moż ztąpić rówowżym wrukiem L( ω ) lo G ( jω ) < () x x Dl protych ukłdów utomtyki o chrkterytykch czętotliwościowych typu przedtwioeo ry kryterium tbilości moż formułowć tępująco: Zmkięty ukłd utomtyczej reulcji jet tbily wówcz dy lorytmicz chrkterytyk mplitudow ukłdu otwrteo m wrtość ujemą przy pulcji odpowidjącej przeuięciu fzowemu 8 o Grficz ilutrcj lorytmiczeo kryterium Nyquit dl ukłdów ttyczych przedtwio jet ry 6

Ry 6 Njprotz iterpretcj lorytmiczeo kryterium Nyquit z zzczeiem zpu modułu i fzy: ) ukłd tbily b) ukłd ietbily Brdziej oól defiicj lorytmiczeo kryterium Nyquit uwzlędijąc przypdki kiedy ukłd otwrty jet ietbily formułow jet tępująco: Po to by ukłd zmkięty był tbily koiecze i wytrczjące jet by dl pulcji dl których chrkterytyk mplitudow L ukłdu otwrteo jet dodti różic pomiędzy ilością dodtich i ujemych przejść chrkterytyki fzowej przez liię 8-8 wyoił l/ dzie l ilość dodtich pierwitków rówi chrkterytyczeo ukłdu otwrteo Przejście przez liię 8-8 z dołu do óry uwż ię z dodtie zś z óry w dół z ujeme Grficzą ilutrcję tej defiicji przedtwi ry 7 Zp tbilości Przy projektowiu UAR dąży ię do zpewiei pewej odlełości puktu prcy ukłdu od ricy tbilości Wymie to podyktowe jet tępującymi przełkmi: ) rówi pozczeólych człoów UAR ą oół idelizowe i ie odzwierciedlją dokłdie ich włściwości b) podcz lieryzcji ieliiowych rówń wprowdz ię dodtkowe błędy c) prmetry używych elemetów podwe ą z pewą dokłdością

d) prmetry tych mych elemetów chrkteryzują ię rozrzutmi e) w trkcie ekplotcji prmetry człoów UAR uleją zmiom (trzeie zużycie ) Ry 7 Ilutrcj oólej defiicji lorytmiczeo kryterium tbilości UAR Wpływ w/w czyików może powodowć że poprwie zprojektowy UAR w prktyce może okzć ię ietbilym od początku ekplotcji lub po toukowo krótkim jej okreie Podto odpowiedi zp tbilości wymy jet ze wzlędu jkość prcy ukłdu (ptrz ćw ) Ilościowe określeie zpu tbilości zleży od tooweo do ytezy kryterium W prktyce iżyierkiej jczęściej korzyt ię z kryterium Nyquit określjąc odlełość chrkterytyki mplitudowo-fzowej od puktu o wpółrzędych (- j) Odlełość tę ocei ię przy pomocy dwóch pojęć: zpu fzy i zpu modułu L Zp fzy określ wrtość zmiy rumetu trmitcji widmowej ukłdu otwrteo przy iezmieym wzmocieiu któr doprowdziłby ukłd zmkięty do ricy tbilości Zp modułu L określ krotość o jką muiłoby wzroąć wzmocieie przy iezmieym rumecie ukłdu otwrteo by ukłd zmkięty zlzł ię ricy tbilości Zp fzy podje ię zwze w topich Zp modułu L w przypdku operowi chrkterytykmi lorytmiczymi podje ię w decybelch [db] w przypdku operowi liiową chrkterytyką mplitudowo-fzową zp wzmociei k

podje ię w jedotkch bezwymirowych Omwie pojęci przedtwioe ą ry 8 Ry 8 Zp fzy i zp modułu: ) chrkterytyce -f b) chrkterytykch lorytmiczych mplitudowej i fzowej Pomiędzy zpem modułu L i zpem wzmociei k itieje zleżość L lk () [ db ] Wrtości L i ą częto rzuce projekttowi dyż zpewiją oe określoy chrkter przebieów dymiczych w ukłdzie podto moż trktowć je jko zp bezpieczeńtw wrtujący tbilość wet przy pewych zmich prmetrów ukłdu Wrtości L i leży rozptrywć idywidulie zleżie od rodzju ukłdu i jeo wruków prcy; jko przecięte moż przyjąć: o o L 6 db ϕ 6 Przykłd Zdjętą doświdczlie chrkterytykę mplitudowo-fzową tbileo ukłdu otwrteo przedtwioo ry 9 Wyzczyć zp fzy zp wzmociei k i zp modułu L ukłdu zmkięteo Rozwiązie Z chrkterytyki przedtwioej ry 9 określmy zp fzy w tępujący poób:

Ry 9 Chrkterytyk -f tbileo ukłdu otwrteo (wyzczo doświdczlie) ryujemy łuk okręu o środku w pukcie ( ) i promieiu rówym do przecięci z chrkterytyką -f ukłdu otwrteo przez pukt przecięci łuku z chrkterytyką -f i przez początek ukłdu wpółrzędych prowdzimy półprotą kąt ϕ jki tworzy t półprot z ujemą półoią rzeczywitych jet zpem fzy W zym przykłdzie zmierzoy zp fzy ϕ Zp wzmociei k wyzczmy mierząc odciek d (ry 9) wykreie chrkterytyki -f ukłdu otwrteo (d ) i obliczjąc k d 7 o Zp modułu obliczmy podtwie wzoru () L lok lo 6[ db] Przykłd Wyjśić tbilość ukłdu zmkięteo któreo trmitcj ukłdu otwrteo m potć: K G o ( ) T T T T ( )( )( )( )

dzie: K T T 6 T T [] Rozwiązie Z rówi chrkterytyczeo ukłdu otwrteo ( T )( T )( T )( T ) wyik że jet o tbily lbowiem wzytkie cztery pierwitki ą rzeczywite i ujeme: -8-66 - - Dl prwdzei tbilości ukłdu zmkięteo wytrczy ztem ztoowć jprotzą defiicję lorytmiczeo kryterium tbilości Nryujemy lorytmicze chrkterytyki: mplitudową i fzową Wykorzytując do teo celu prorm Mtlb otrzymmy wykrey tych chrkterytyk zodie z ry Chrkterytyk mplitudow prokymow odcikmi protych Gi db - L - - ω ω ω ω Frequecy (rd/ec) Phe de -9-8 ϕ -7 - Frequecy (rd/ec) Ry Chrkterytyki lorytmicze ukłdu z przykłdu Lorytmicze chrkterytyki bdeo ukłdu moż ryowć rówież w poób przybliżoy W tym celu leży obliczyć poziom pierwzeo odcik: lo k lo 6 [db] orz czętotliwości przęjące: /T 8 /T 67 / T /T Obliczei te pozwlją ryowć przybliżoą chrkterytykę mplitudową (ry ) Jk wyik z ryuku rozbieżości pomiędzy dokłdą i przybliżoą chrkterytyką ą toukowo iewielkie i ie mją wpływu wyik bdi

tbilości Z przebieu chrkterytyk wyik jedozczie że ukłd zmkięty będzie tbily wyzczoe w poób przybliżoy zpy fzy i modułu wyozą odpowiedio: o ϕ [ ] L [ db]