Zadania o liczbach zespolonych

Zadania o liczbach zespolonych Zadanie 1. Znaleźć takie liczby rzeczywiste a i b, aby zachodzi ly równości: a) a( + i) + b(4 i) 6 i, b) a( + i) + b( + i) 8i, c) a(4 i) + b(1 + i) 7 1i, ( ) a d) i + b +i +i 1, e) a i + b 4 i 1 i 1 + i, f) a i i + b+i i 0. Rozwiazanie. a) Przedstawiamy lewa strone równości w postaci algebraicznej: a(+i)+b(4 i) (a+4b)+(a b) Ponieważ a, b R, wiec z warunku równości liczb zespolonych { a + 4b 6 mamy uk lad równań: a b. Rozwi azujemy go metoda wyznaczników: 4 10 1, b 6 4 0 + 8. b 6 4 18. Zatem nasz uk lad ma dok ladnie jedno rozwiazanie a a 1 oraz b b 1. Odp. a b 1. b) Przedstawmy lewa strone równości w postaci algebraicznej: a( +i)+b( +i) ( a+ b)+(a+b)i, wiec z warunku równości liczb zespolonych mamy { { a + b 0 a + b 0 uk lad równań:, który jest równoważny uk ladowi a + b 8 a + b 8. Z pierwszego równania a b, wiec po podstawieniu do drugiego równania b + b 8, skad b 1 i a b. Odp. a i b 1. c) Obliczamy (4 i) 16 4i + 9i 16 4i 9 7 4i, (1 + i) 1 + i + i 1 + i 1 Teraz zapisujemy lewa strone równości w postaci algebraicznej: a(4 i) +b() a(7 4i)+b i 7a + ( 4a + b) Zatem z warunku równości liczb zespolonych mamy, że 7a 7 i 4a + b 1. Stad a 1 oraz 4 + b 1, czyli b 1 i b 6. Odp. a 1 i b 6. 1 d) Obliczamy i +i ( i)(+i) +i + +i 1, 1 +i i (+i)( i) i + i 1, wi ec nasze równanie możemy zapisać w postaci: a( + i) + b( i) 1, czyli (a + b) + (a b)i 1, skad a+b 1 i a b 0. Zatem b a oraz a+ 9 a 1, sk ad 1 a 1, wiec a oraz b. Odp. a i b. e) Obliczamy: +i i (+i)(+i) ( i)(+i) 6+i+i+i +1 +i 10, 4 i 1 i (4 i)() (1 i)() 4+1i i i 1 + 7+11i 10 ( ), 4 i wiec 1 i (7+11i) 100 49+14i+11i 100 7+14i 100 18+6i. Zatem nasze równanie przybiera postać: a + b 18+6i 1 + Ale 18+6i ( 18+6i)(1 i) ()(1 i) 18+18i+6i 6i 1 +1 18+4i 9 + 7i, wiec nasze równanie przybiera postać: 1 a + b 9+7i 1. Zatem a + b(9 + 7i) 0, czyli (a + 18b) + 4bi 0. Ale a, b R, wiec stad a + 18b 0 i 4b 0, czyli b 0 i a. Odp. a i b 0. f) Obliczamy: a i (a i)(+i) ( i)(+i) i 9b+1bi+6i+10i + (9b 10)+(1b+6)i 10a+6ai 1i 9i + (10a+9)+(6a 1)i b+i 4, i (b+i)(+i) ( i)(+i) 4. Zatem nasze równanie przybiera postać: [(10a + 9) + (6a 1)i] + [(9b 10) + (1b + 6)i] 0. Zatem (10a + 9b 1) + (6a + 1b 9)i 0, skad z tego, że a, b R, { a + b 10a + 9b 1 0 i 6a + 1b 9 0. Mamy zatem uk lad równań: 10a + 9b 1. Po odj eciu od drugiego równania, równania pierwszego pomnożonego przez uzyskamy, że 16b 14, skad b 7 8. Zatem a + 7 8, sk ad a 11 16. Odp. a 11 16 i b 7 8. Zadanie. Przedstaw w postaci algebraicznej nastepuj ace liczby zespolone: a) ( + i) (4 i) + (1 + i) ( + 4i), b) (+i) (7 6i) +i, c) (1 + i) i + +i ()(8 i) 1 4i, d) (+i). Rozwiazanie. a) ( + i) (4 i) + (1 + i) ( + 4i) 8 i + 4i i + + 4i + 6i + 1i 1 1

b) (+i) (7 6i) +i 7 6 c) Mamy, że (1 + i) i i + i + i, +i 1 4i (+i)(1 4i) (1 4i)(1+4i) +8i+i+1i 1 +4 17 + 8 17 d) Mamy, że (+i) 1 +4i 10+11i 17 10 17 + 11 +i 17 Zatem (1 + i) i + 1 4i + i 10 17 + 11 17 i 44 (1 + i)(8 i) 8 i + 4i i 11 + i, ( + i) 4 + 4i + i + 4 Zatem ()(8 i) (1)( 4i) (+4i)( 4i) 44i+69i 9i +4 1+i + Zadanie. Przedstawić w postaci algebraicznej rozwiazania nastepuj acych równań liniowych z jedna niewiadoma z: a) (a bi)z a + bi, b) (a + bi) (1 z) + (a bi) (1 + z) 0, c) (a + bi)z (a + b) + (b a)i, d) (1 i)z (a b) (a + b) Rozwiazanie. a) z a+bi a bi (a+bi) (a bi)(a+bi) a +abi+b i a +b a b a +b + ab a +b b) Mamy, że (a + bi) a +abi+b i a b +abi, (a bi) a abi+b i a b ab Zatem nasze równanie przybiera postać: a b +abi (a b +abi)z +a b abi+(a b abi)z 0, czyli a b +4abiz 0, skad z a b 4abi (a b )( i) 4abi( i) b a 4ab c) Zauważmy, że (a + b) + (b a)i (a + bi) + (b ai) (a + bi) i(a + bi), skad z d) Zauważmy, że (a b) (a + b)i a(1 i) bi(1 i), wiec z a b Zadanie 4. Przedstawić w postaci algebraicznej rozwiazania nastepuj acych uk ladów dwóch równań z dwiema { niewiadomymi: { ( + i)z i( + i)w + 4i (4 i)z + ( + i)w (1 + i) a) ( i)z + ( + i)w (1 + i), b) ( i)z ( + i)w (1 + i), { { ( + i)z + ( i)w 6b a + (a b)i z w i + c) (a, b R), d) z w (1 i)z + ( + i)w a + 9b + (a + b)i ( i) + (), { (1 + i)z + (1 i)w 1 + i e) (1 i)z + (1 + i)w 1 + i. Rozwi azanie. a) Stosujemy metode wyznaczników. 4 + i i i 4 + i (4 + i) ( i) ( i) 16 + 16i + 4i (6 9i i + i ) 16 + 16i 4 (6 11i ) 1 + 16i + 11i 9 + 7 z + 4i i + 6i 4 + i (+4i) (4+i) ( i) (+6i) 0+10i+16i+8i (4+1i 6i 18i ) 0 + 6i 8 (4 + 6i + 18) 1 + 6i 6i 10 + 0 w 4 + i + 4i i + 6i (4+i) (+6i) (+4i) ( i) 8+4i+4i+1i (1 i+1i 4i ) 8 + 8i 1 (1 + 7i + 4) 4 + 8i 19 7i + 1 Zatem z z 10+0i 9+7i 10 9 10 9 ( ) (1 i) 1 9 ( +1i) (1 i) () (1 i) () (1 i) 10 9 +i 6i 1 + 10 9 1+i+6 10 +i i oraz w w 9 9 + 9 1 9 +69i+1i 6i 1 + 1 9 +90i+6 10 40+90i 90 40 90 + 90 90 i 4 9 + 1 9 +1i Odp. z 9 + 9 i oraz w 4 9 + b) Obliczamy wyznacznik g lówny naszego uk ladu: 4 i + i i i (4 i) ( i) ( i) ( + i) 8 1i + 6i + 9 ( 1) [ ( 1)] 17 6i 6 Zatem 6i 0 i z twierdzenia Cramera uk lad nasz posiada dok ladnie jedno rozwi azanie. z + i + i 1 i i ( + i) ( i) ( + i) ( 1 i) 10 1i 10i 1 ( 1) + + i + i + ( 1) 6 Zatem ze wzorów Cramera: z z 6 i 6i i ( 6i) 6i i, czyli z w 4 i + i i 1 i (4 i) ( 1 i) ( + i) ( i) 4 4i + i + ( 1) 10 + i 10i + ( 1) 6 Zatem ze wzorów Cramera: w w 6i 6i 1, czyli w 1.

Odp. Uk lad posiada dok ladnie jedno rozwiazanie: z i, w 1. c) Stosujemy metode wyznaczników. + i i 1 i + i ( + i) ( + i) (1 i) ( i) 6 + i + i + i ( i i + i ) 6 + i 1 ( i 1) + i 1 + i 4 + 8 z 6b a + (a b)i i a + 9b + (a + b)i + i k1 bk a + ai i a + ai + i ( a+ai) (+i) (a+ai) ( i) a ai+6ai+ai (a ai+ai ai ) a+ai a (a+ai+a) a+ai a ai 8a+4a w + i 6b a + (a b)i 1 i a + 9b + (a + b)i k aik1 + i 6b bi 1 i 9b + bi (+i) (9b+bi) (1 i) (6b bi) 18b+6bi+9bi+bi (6b bi 6bi+bi ) 18b+1bi b (6b 9bi b) 1b+1bi b+9bi 1b+4b Zatem z z 8a+4ai 8ai +4ai ai() ai, w w 1b+4bi b() b. Odp. z ai oraz w b. d) Mamy, że 1 i +i ( i)(+i) +i +1 +i + 1 i, 1 1 i ( i) i i ( i)(+i) ( i) +i i Zatem nasz uk lad ma postać: { ( ()(1 i) 1 i 1 +1 1 i 1 1 i, (+i) ( i)(+i) 4+4i+i +1 4+4i 1 + 4 i, () +i 1 i + 1 i)z + ( 1 1 i)w ( + 4. i)z iw Rozwiażemy go metoda wyznaczników: + 1 i 1 1 i + 4 i i i 1 i ( + 4 i)( 1 1 i) i + 1 4 10 i + 10 10 + 10 i 4 10 i 4 10 10 10 i 1 1 i, z 1 1 i i i + i 1 i, w + 1 i + 4 i ( + 1 i) ( + 4 i) 6 + i 6 8 i 10 + 10 i 4 10 i + 4 i Zatem z z 10 i + 1 i 1 1 i i ( i)(1 i) ()(1 i) i i+i 1 +1 4i 1 i oraz w w i i 1 1 i i(1 i) ()(1 i) +i 1 + Odp. z 1 i oraz w 1 + e) Stosujemy metode wyznaczników: 1 + i 1 i 1 i 1 + i (1 + i) (1 i) 1 + i + i (1 i + i ) 4i, z 1 + i 1 i 1 + i 1 + i () ()(1 i) +i (1 i+i i ) 1 (+) 4, w 1 + i 1 + i 1 i 1 + i ()() ()(1 i) ()( i+i) () 4i 4i+4i 4+4 Zatem z z 4 4i 4i 4i i oraz w w 4+4i 4i 4i +4i 4i i + 1 1 + Odp. z i oraz w 1 + Zadanie. Udowodnij tożsamości: a) z 1 + z + z 1 z ( z 1 + z ), b) 1 + z 1 z + z 1 z (1 + z 1 ) (1 + z ), ( 1+z + z z 1 z ) c) z 1 + z z 1 + re(z 1 z ) + z, d) 1 z z z. 1+ z Rozwiazanie. Bedziemy korzystali z tego, że z z z dla dowolnej liczby zespolonej z. a) z 1 + z (z 1 + z )z 1 + z (z 1 + z )(z 1 + z ) z 1 z 1 + z 1 z + z z 1 + z z, z 1 z (z 1 z )z 1 z (z 1 z )(z 1 z ) z 1 z 1 z 1 z z z 1 + z z. Zatem z 1 + z + z 1 z (z 1 z 1 + z z ) ( z 1 + z ), cnd.

b) 1 + z 1 z (1 + z 1 z )1 + z 1 z (1 + z 1 z )(1 + z 1 z) (1 + z 1 z )(1 + z 1 z ) 1 + z 1 z + z 1 z + z 1 z z z 1 + z 1 z + z 1 z + z 1 z, z 1 z (z 1 z )z 1 z (z 1 z )(z 1 z ) z 1 z 1 z 1 z z z 1 +z z. Zatem 1+z 1 z + z 1 z 1+ z 1 + z + z 1 z (1+ z 1 )(1+ z ), cnd. c) Dla dowolnej liczby zespolonej z mamy, że z + z re(z). Ponadto z 1 + z (z 1 + z )z 1 + z (z 1 + z )(z 1 + z ) z 1 z 1 + z 1 z + z z 1 + z z z 1 + z + z 1 z + z 1 z oraz z 1 z z 1 z, wiec z 1 + z z 1 + re(z 1 z ) + z, cnd. d) Mamy, że 1 z (1 z )(1 z ) (1 z )(1 z ) 1 z z + (zz) 1 z z + z 4 oraz z z (z z)(z z) (z z)(z z) zz z z + zz z z z. Zatem 1 z z z 1 z z + z 4 z + z + z 1 z + z 4 (1 z ). Ponadto 1 + z (1 + z )(1 + z ) (1 + z )(1 + z ) 1 + z + z + (zz) 1 + z + z + z 4, wiec 1 + z + z z 1 + z + z + z 4 + z z z 1 + z + z 4 (1 + z ). Stad 1 z z z 1+z + z z (1 z ) (1+ z ) ( 1 z ), 1+ z cnd. Zadanie 6. Rozwiaż równania: a) z z 1 + i, b) z + z + i, c) zz + (z z) + i, d) i(z + z) + i(z z) i, e) z z, f) z + iz 11 + 8 Rozwiazanie. a) Mamy, że z x + yi dla pewnych x, y R. tedy z x + y, wiec nasze równanie przybiera postać: ( x + y x) yi 1 + Stad x + y x 1 oraz y. Zatem y oraz x + 4 x + 1, czyli x + 4 x + x + 1, skad x. Odp. x oraz y. b) Mamy, że z x + yi dla pewnych x, y R. tedy z x + y, wiec nasze równanie przybiera postać: ( x + y + x) + yi + Stad x + y + x oraz y 1. Zatem x + 1 x, czyli x + 1 4 4x + x, skad x 4. Odp. x 4 oraz y 1. c) Mamy, że z x + yi dla pewnych x, y R. tedy zz x + y, z z x + yi (x yi) yi, wie c nasze równanie przybiera postać: (x + y ) + xyi + Zatem x + y oraz xy. Zatem x + xy + y, czyli (x + y), skad x + y lub x + y. Ale xy 1, wiec y x lub y x oraz x( x) 1 lub x( x) 1. Zatem x x+1 0 lub x + x+1 0. Z pierwszego równania otrzymujemy, że x 1 1, x +1 oraz y 1 +1, y 1. Natomiast z drugiego równania otrzymujemy, że x +1, x 4 1, czyli y +1, y 4 1. Odp. z 1 + +1 i lub z +1 + 1 i lub z +1 + +1 i lub z 1 + 1 d) Mamy, że i(z + z) + i(z z) i(z + z + z z) i z. Zatem nasze równanie przybiera postać: i z + i, czyli z +i i Odp. z 1 + ( +i)( i) i( i) i i 1 +i 1 + e) Mamy, że z x+yi dla pewnych x, y R. Zatem z (x+yi) x +xyi+y i x y +xyi oraz z x yi, czyli nasze równanie przybiera postać: (x y ) + xyi x yi, skad x y x oraz xy y. Z drugiego równania (x + 1)y 0, czyli x + 1 0 lub y 0. Jeśli y 0, to z pierwszego równania x x, czyli x 0 lub x 1, skad z 0 lub z 1. Jeśli zaś x + 1 0, to x 1 i z pierwszego równania y x x 1 4 + 1 4, czyli y lub y, wi ec z 1 + i lub z 1 Odp. z 0 lub z 1 lub z 1 + i lub z 1 f) Mamy, że z x+yi dla pewnych x, y R. Zatem z x + y oraz iz i(x+yi) y+x Zatem nasze równanie przybiera postać: ( x + y y) + xi 11 + 8i, skad x + y y 11 oraz x 8. Zatem x 4 oraz 16 + y y 11. Stad 16 + y 11+y, czyli 16+y 11+44y +4y, wiec y + 44y + 11 0. Stad y lub y. Odp. z 4 i lub z 4 4

Zadanie 7. Niech z 1, z, z bed a liczbami zespolonymi takimi, że z 1 z z. Udowodnij, że wtedy z 1 z + z 1 z + z z z 1 + z + z. Rozwiazanie. dowodzie wykorzystamy, że z zz dla dowolnej liczby zespolonej z. Ponieważ z 1 z z, wiec z 1 z 1 z z z z 4. Stad mamy, że z 1 z + z 1 z + z z (z 1 z + z 1 z + z z )(z 1 z + z 1 z + z z ) (z 1 z + z 1 z + z z )(z 1 z + z 1 z + z z ) (z 1 z 1 )(z z ) + (z 1 z 1 )z z + z 1 (z z )z + (z 1 z 1 )z z + (z 1 z 1 )(z z ) + z 1 z (z z ) + (z z )z z 1 + z z 1 (z z ) + (z z )(z z ) 48 + 4(z z + z 1 z + z z + z 1 z + z z 1 + z z 1 ). Ponadto 4 z 1 + z + z 4(z 1 + z + z )(z 1 + z + z ) (z 1 + z + z )(z 1 + z + z ) 4(z 1 z 1 + z 1 z + z 1 z + z z 1 + z z + z z + z z 1 + z z + z z ) 48 + 4(z z + z 1 z + z z + z 1 z + z z 1 + z z 1 ). Zatem z 1 z + z 1 z + z z ( z 1 + z + z ), skad z 1 z + z 1 z + z z z 1 + z + z. Zadanie 8. Przedstawić w postaci algebraicznej pierwiastki kwadratowe z nastepuj acych liczb zespolonych: a) i, b) i, c) 8 + 6i, d) 8 6i, e) 8 + 6i, f) 8 6i, g) + 4i, h) 11 + 60i, i) 1 8i, j) 1 i, k) + Rozwiazanie. a) Szukamy x, y R takich, że (x + yi) Ale (x + yi) (x y ) + xyi, wiec x y 0 oraz xy 1. Z drugiego równania uzyskujemy, że x i y maja ten sam znak, wiec po uwzglednieniu równania pierwszego y x oraz x 1. Zatem x 1, czyli x lub x. Odp. + i oraz b) Szukamy x, y R takich, że (x + yi) Ale (x + yi) (x y ) + xyi, wiec x y 0 oraz xy 1. Z drugiego równania uzyskujemy, że x i y maja różne znaki, wiec po uwzglednieniu równania pierwszego y x oraz x 1. Zatem x 1, czyli x lub x. Odp. i oraz + c) Szukamy x, y R takich, że (x + yi) 8 + 6 Ale (x + yi) (x y ) + xyi, wiec x y 8 oraz xy 6. Zatem xy oraz x y 8. Szukajac rozwiazań tego uk ladu w liczbach ca lkowitych znajdujemy bez trudu, że x i y 1 lub x i y 1. Odp. + i oraz d) Szukamy x, y R takich, że (x+yi) 8 6 Ale (x+yi) (x y )+xyi, wiec x y 8 oraz xy 6. Zatem xy oraz x y 8. Szukajac rozwiazań tego uk ladu w liczbach ca lkowitych znajdujemy bez trudu, że x i y 1 lub x i y 1. Odp. i oraz + e) Szukamy x, y R takich, że (x+yi) 8+6 Ale (x+yi) (x y )+xyi, wiec x y 8 oraz xy 6. Zatem xy oraz x y 8. Szukajac rozwiazań tego uk ladu w liczbach ca lkowitych znajdujemy bez trudu, że x 1 i y lub x 1 i y. Odp. 1 + i oraz 1 f) Szukamy x, y R takich, że (x + yi) 8 6 Ale (x + yi) (x y ) + xyi, wiec x y 8 oraz xy 6. Zatem xy oraz x y 8. Szukajac rozwiazań tego uk ladu w liczbach ca lkowitych znajdujemy bez trudu, że x 1 i y lub x 1 i y. Odp. 1 i oraz 1 + g) Szukamy x, y R takich, że (x + yi) + 4 Ale (x + yi) (x y ) + xyi, wiec x y oraz xy 4. Zatem xy oraz x y. Szukajac rozwiazań tego uk ladu w liczbach ca lkowitych znajdujemy bez trudu, że x i y 1 lub x i y 1. Odp. + i oraz h) Szukamy x, y R takich, że (x + yi) 11 + 60 Ale (x + yi) (x y ) + xyi, wiec x y 11 oraz xy 60. Zatem xy 0 oraz x y 11. Szukajac rozwiazań tego uk ladu w liczbach ca lkowitych znajdujemy bez trudu, że x i y 6 lub x i y 6.

Odp. + 6i oraz 6 i) Szukamy x, y R takich, że (x + yi) 1 8 Ale (x + yi) (x y ) + xyi, wiec x y 1 oraz xy 8. Zatem xy 4 oraz x y 1. Szukajac rozwiazań tego uk ladu w liczbach ca lkowitych znajdujemy bez trudu, że x 1 i y 4 lub x 1 i y 4. Odp. 1 4i oraz 1 + 4 Zadanie 9. ykazać, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a, b wszystkie pierwiastki kwadratowe z liczby zespolonej z a + bi dane sa wzorami: Przy czym a jeśli b 0 i a 0 ω + a i jeśli b 0 i a < 0 a a +b +a + sgn(b) +b a i jeśli b 0 1 jeśli b > 0 sgn(b) 0 jeśli b 0 1 jeśli b < 0. (1) () Rozwiazanie. Dla a 0 i b 0 mamy, że ( a) a a + b Dla a < 0 i b 0 jest a > 0 oraz ( a i) ( a) ( 1) a a + b Dla b 0 mamy, że a + b + a > 0. Oznaczmy a +b +a a +b a x, y sgn(b). tedy x y a +b +a a oraz xy a sgn(b) +b +a a +b a sgn(b) b sgn(b) b b. Zatem (x + yi) (x y ) + xyi a + b Kończy to dowód pierwszej cześci twierdzenia. Zauważmy, że ( ω) ω a + b Jeśli zaś z C jest takie, że z a + bi, to z ω, skad 0 z ω (z ω) (z + ω), wiec z ω lub z ω. Zatem wzór jest udowodniony. Zadanie 10. Przedstawić w postaci algebraicznej pierwiastki kwadratowe z nastepuj acych liczb zespolonych: a) 1 i, b) + i, c) 9, d) 16 Rozwiazanie. Stosujemy wzór (1). a) b < 0, wiec sgn(b) 1. Ponadto a 1, wiec a + b 1 + 4, skad a b 4. Zatem 1 i 6 sqrt Odp. 6 sqrt i oraz 6 + sqrt a +b a a +b +a + sgn(b) b) b > 0, wiec sgn(b) 1. Ponadto a, wiec a + b 4 + 9 1. Zatem a 1+ 1 +b a i + 1+ 1 1+ 1 Odp. + i oraz c) b 0 oraz a 9 < 0, wiec ze wzoru (1) mamy od razu nastepuj ac a Odp. i oraz a +b a i a +b +a + sgn(b) d) a 0 oraz b 16 < 0, wiec sgn(b) 1, a + b 16, czyli a + b 16. Zatem a a +b +a +b + sgn(b) a i 8 8i Odp. i oraz + Zadanie 11. Rozwiazać równania kwadratowe: a) z z + + i 0, b) z + (1 + 4i)z ( + i) 0, c) (4 i)z ( + 11i)z ( + i) 0, d) z + (1 + i)z + i 0, e) z z + 4 + 10i 0, f) z z i 1. 6

Rozwiazanie. a) ( ) 4 1 ( + i) 9 1 4i 4 Szukamy x, y R takich, że (x + yi) 4i, czyli (x y ) + xyi 4 Stad x y oraz xy 4. Zatem xy oraz x y. Poszukujac rozwiazań tego uk ladu równań w liczbach ca lkowitych bez trudu znajdujemy, że np. x 1, y. Zatem jednym z pierwiastków kwadratowych z liczby 4i jest 1 Stad z 1 (1 i) 1 1 + i oraz z +(1 i) 1 b) (1 + 4i) + 4( + i) 1 + 8i 16 + 0 + 4i + 1 Szukamy x, y R takich, że (x + yi) + 1i, czyli (x y ) + xyi + 1 Stad x y oraz xy 1. Zatem xy 6 oraz x y. Poszukujac rozwiazań tego uk ladu równań w liczbach ca lkowitych bez trudu znajdujemy, że np. x, y. Zatem jednym z pierwiastków kwadratowych z liczby + 1i jest + Stad z 1 1 4i (+i) 1 i oraz z 1 4i+(+i) 1 1 c) ( + 11i) + 4(4 i)( + i) 4 + 44i 11 + 80 + 16i 60i + 1. Zatem jednym z pierwiastków kwadratowych z liczby jest Stad z 1 +11i i (4 i) +6i (4 i) 4 i ()(4+i) (4 i)(4+i) 4+i+1i 9 4 + +1i 1 + i oraz z +11i+i (4 i) +16i (4 i) 1+8i 4 i (1+8i)(4+i) (4 i)(4+i) 4+i+i 4 4 + 0+i 4 + 7 d) 4(1 i) 4 i 4(1 + i 1) 8i 0. Zatem z 1 z () 1 1 e) ( ) 4(4+10i) 16 40i 9 40 Szukamy x, y R takich, że (x+yi) 9 40i, czyli (x y )+xyi 9 40 Stad x y 9 oraz xy 40. Zatem xy 0 oraz x y 9. Szukajac rozwiazań tego uk ladu równań w liczbach ca lkowitych bez trudu znajdujemy, że np. x i y 4. Zatem jednym z pierwiastków kwadratowych z liczby 9 40i jest 4 Stad z 1 ( 4i) 1 i oraz z +( 4i) 1 f) Nasze równanie możemy zapisać w postaci (z 1) Ale i (1 + i), wiec z 1 1 1 + i oraz z 1 1 Stad z 1 + i oraz z Zadanie 1. Przedstawić w postaci trygonometrycznej (bez pomocy tablic) nastepuj ace liczby zespolone: a) 1, 1, i, i, b) 1 + i, 1 i, 1 + i, 1 i, c) 1 + i, 1 i, 1 + i, 1 i, d) + i, i, + i, Rozwiazanie. a) 1 1 (cos 0 + i sin 0), 1 1 (cos π + i sin π), i 1 (cos π + i sin π ), i 1 (cos π + i sin π ). b) 1 + i 1 + 1, 1 + i ( 1 + i 1 ), wiec 1 + i (cos π 4 + i sin π 4 ). 1 i (cos π 4 i sin π 4 ), wiec 1 i (cos( π 4 ) + i sin( π 4 )) (cos π + i sin π ). ( 1) (1 i) (cos π +i sin π)(cos( π 4 )+i sin( π 4 )) cos(π π 4 )+i sin(π π 4 ), zatem 1 (cos π 4 + i sin π 4 ). 1 i ( 1) (1 + i) (cos π + i sin π)(cos π 4 + i sin π 4 ) cos(π + π 4 ) + i sin(π + π 4 ), czyli 1 i 1 (cos π 4 + i sin π 4 ). c) 1 + i 1 + ( ) 4, 1 + i ( 1 + i ), wiec cos φ 1 oraz sin φ, skad można wziać φ π, wiec 1 + i (cos π + i sin π ). St ad 1 i (cos π i sin π ) (cos( π )+i sin( π )), wiec 1 i (cos(π π )+i sin(π π )), wiec 1 i (cos π +i sin π ). Dalej, ( 1) (1 i ) (cos π+i sin π)(cos( π )+i sin( π )) cos(π π )+i sin(π π ), czyli (cos π +i sin π ). Ponadto 1 i ( 1) ( ) (cos π+i sin π)(cos π +i sin π ) cos(π + π ) + i sin(π + π ), czyli 1 i (cos 4π + i sin 4π ). d) + i ( ) + 1 4, + i ( sqrt + i 1 ), wiec cos φ oraz sin φ 1, wiec można wziać φ π 6. Zatem +i (cos π 6 +i sin π 6 ). St ad i (cos π 6 i sin π 6 ) (cos( π 6 )+ i sin( π 6 )), czyli i (cos(π π 6 )+i sin(π π 6 )), sk ad ostatecznie i (cos 11π 11π 6 +i sin 6 ). Dalej, +i ( 1) ( i) (cos π +i sin π)(cos( π 6 )+i sin( π 6 )) cos(π π 6 )+i sin(π π 6 )), czyli + i (cos π 6 + i sin π 6 ). końcu i ( 1) ( + i) (cos π + i sin π)(cos π 6 + i sin π 6 ) cos(π + π 6 ) + i sin(π + π 6 )), czyli i (cos 7π 6 + i sin 7π 6 ). 7

ykonać dzia lania, stosujac przedstawienie liczb zespolonych w postaci trygonome- Zadanie 1. trycznej: a) (1 + i) 10, b) (1 + i ( ) 1, c) ) 1996, d) ( ) 1 (1 i) 0 + ( 1 i ) 1 (). 0 Rozwiazanie. a) Na mocy zadania 1 b) mamy, że 1 + i (cos π 4 + i sin π 4 ). Zatem ze wzoru de Moivre a () 10 ( 10π 10π ) 10 (cos 4 +i sin 4 ) (cos(π+ π )+i sin(π+ π )) (cos π +i sin π ) b) Na mocy zadania 1 c) mamy, że 1 + i (cos π + i sin π ). St ad ze wzoru de Moivre a (1 + i ) 1 1 (cos 1π + i sin 1π) 1 (cos π + i sin π) 1 768. ( ) 1996 c) Mamy, że () 1996 (. Ale (cos π ) 1996 4 +i sin π 4 ) oraz (cos π +i sin π ), wiec ze wzoru de Moivre a (1 + i) 1996 ( ) 1996 (cos 499π + i sin 499π) 998 (cos π + i sin π) 998 oraz (1 + i ) 1996 1996 (cos 1996π + i sin 1996π ) 1996 (cos(664π + 4π 4 ) + i sin(664π + 4π )) 1996 (cos 4π + i sin 4π ) 1996 (cos π + i sin π)(cos π + i sin π ) 1996 ( 1) ( 1 + i ). Zatem ( ) 1996 998 1996 (cos π +i sin π ) 1 (cos( π 988 ) + i sin( π 1 )) ( 1 988 + i ) 1 989 989 ) 1 d) Oznaczmy z ( ) 1 (1 i) + ( 1 i 0 () oraz z 0 1 ( (1 i), z 0 ( 1 i (). tedy z w lasności 0 sprzegania liczb zespolonych z 1 z. Zatem z z 1 + z 1 re(z 1 ). Ponadto (1 i) 1 i 1 i, wiec (1 i) 4 ( i) 4i 4 oraz (1 i) 0 ( 4) 10. Z zadania 1 c) mamy, że (cos π +i sin π ), wiec ze wzoru de Moivre a ( ) 1 1 (cos 10π+i sin 10π) 1. Zatem z 1 1. Stad 10 z 64. Zadanie 14. Obliczyć bez pomocy tablic pierwiastki -go stopnia z nastepuj acych liczb zespolonych: a) 1, b) 1, c) i, d) Rozwiazanie. a) Należy wyznaczyć wszystkie liczby zespolone z takie, że z 1, czyli takie, że 0 z 1 (z 1)(z + z + 1). Stad z 1 lub z + z + 1 0. 1 4, i, z 1 1 i, z 1+ i. Odp. 1, 1 + i, 1 i. b) Należy wyznaczyć wszystkie liczby zespolone z takie, że z 1, czyli takie, że 0 z + 1 (z + 1)(z z + 1). Stad z 1 lub z z + 1 0. 1 4, Zatem z 1 1 i z 1+ i. Odp. 1, 1 i, 1 + i. c) Ponieważ i cos π + i sin π, wi ec ze wzorów na pierwiastki n-tego stopnia z liczby zespolonej zapisanej w postaci trygonometrycznej uzyskujemy, że szukane liczby to z k cos π +kπ + i sin π +kπ, k 0, 1,. Zatem z 0 cos π 6 +i sin π 6 + 1 i, z 1 cos π 6 +i sin π 6 + 1 i, z cos π +i sin π ) 1 ) 1 Odp. + 1 i, + 1 i, d) Dla z C mamy, że z i wtedy i tylko wtedy, gdy ( z) Zatem z c) mamy Odp. 1 i, 1 i,, 8