Tematy zadań określonych jako rozmaite 1. Siedem ciekawych zadań 1. Oblicz długość pasa w przekładni pasowej, mając dane długości promieni kół: 40cm i 10cm, oraz odległość środków tych kół równą 60 cm.. Dana jest funkcja f określona wzorem f(x) = x + x + 1. Wyznacz wszystkie wielomiany, dla których zachodzi warunek f wielomiany, dla których zachodzi warunek ( g(x) ) 4x + 6x + 3 = dla każdego x R. 5 1 3. Wyprowadź podawany w tablicach matematycznych wzór: sin18 o = (zadanie 4 o rozwiąż nie korzystając ze wzorów na wartości funkcji trygonometrycznych kąta 36 ). km 4. W pewnej chwili awionetka lecąca na zachód z prędkością 360 przelatuje h dokładnie nad autobusem, jadącym po płaskiej drodze na południowy zachód z km prędkością 90. Awionetka leci na wysokości km. Jaka będzie odległość między h awionetką i autobusem po upływie 30 sekund? Wynik podaj z dokładnością do d 1m. 5. Wykaż, że funkcja homograficzna dana wzorem ax + b f(x) =, gdzie ad bc 0, c 0 jest różnowartościowa. cx + d Udowodnij, że funkcja odwrotna do funkcji homograficznej, jest też funkcją homograficzną. 6. Bok kwadratu ABCD ma długość a. Wierzchołek A połączono ze środkami E i F odpowiednio boków BC i CD. Wykaż, że odcinki AE i AF dzielą przekątną BD na trzy odcinki równej długości. 7. W walcu, którego promień podstawy ma długość r, umieszczono stożek. Stożek jest tak położony, ze osie obu brył są prostopadłe, wierzchołek stożka należy do pobocznicy walca, zaś podstawa stożka ma po jednym punkcie wspólnym z podstawami walca i dwa punkty wspólne z pobocznicą walca (rysunek). Oblicz objętości walca i stożka, wiedząc, że długość średnicy podstawy stożka jest równa długości jego tworzącej.. Dziesięć różnych zadań 1. W trójkącie ABC wysokość CD i środkowa CE dzielą kąt ACB na trzy równe części. Wyznaczyć miarę tego kąta.
. Znaleźć zbiór środków wszystkich okręgów przechodzących przez punkt P = (3,) i stycznych do osi OX. log 3 x log 3 x 3. Rozwiąż nierówność x + x > 1. 4. W kwadracie zawarty jest prostokąt o bokach odpowiednio równoległych do przekątnych kwadratu. Wykaż, że pole prostokąta nie jest większe od połowy pola kwadratu. 5. W trapezie ABCD łączymy środek M ramienia AB z końcami ramienia CD. Wykazać, że pole powstałego trójkąta CMD jest połową pola trapezu. 3 n n + 6. Ustal, dla jakich naturalnych n, wyrażenie jest liczbą całkowitą. n 1 7. Boki trójkąta prostokątnego tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy 10cm. W trójkąt wpisujemy trzy jednakowe koła styczne parami do siebie, każde jest styczne do dłuższej przyprostokątnej, pierwsze jest również styczne do krótszej przyprostokątnej, a trzecie jest również styczne do przeciwprostokątnej. Oblicz długość promieni tych kół. 8. Wyznaczyć liczby wymierne a i b spełniające warunek: a + b = 6 + 11. 9. Rowerzysta przebył p drogę AB = 60km jadąc za stałą prędkością. W drodze powrotnej po godzinie jazdy z taką samą prędkością, zatrzymał się na 0 minut, a pozostałą część km drogi odbył z prędkością zwiększoną o 4. Okazało się, że droga w obie strony h trwała tyle samo czasu. Z jaką prędkością rowerzysta jechał z A do B? 4 10. Znaleźć taką zależność między p i q, aby równanie x + px + q = 0 miało cztery pierwiastki tworzące ciąg arytmetyczny. 3. 0 różnych zadań 1. Znajdź wszystkie pary liczb całkowitych spełniających układ równań: x + y = 6 x y + 3 = 5. Wyznacz liczbę rozwiązań równania x + 3x + 1 = k w zależności od parametru k. n n 10 + 4 3. Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej n, liczba postaci jest całkowita. 6 4. Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej n zachodzi nierówność: log 1 + log + log 3 +... + logn + log(n + 1) log1 + log + log 3 +... + logn > n + 1 n 5. Dane są długości boków b i c trójkąta ABC. Znajdź długość trzeciego boku, jeżeli kąt leżący naprzeciw tego boku jest dwa razy większy od kąta leżącego naprzeciw boku b. 6. W urnie znajduje się n kul białych, n kul czarnych i 3n kul zielonych. Losujemy 3 kule. Co jest większe: : prawdopodobieństwo, że wszystkie kule będą tego samego koloru, czy też prawdopodobieństwo, że każda kula będzie innego koloru? 7. Rozwiązać równanie: tg (x + y) + ctg (x + y) = 1 x x 8. Na pewnej drodze przednie koło wozu zrobiło 480 obrotów, a tylne, którego obwód jest o 60cm większy, tylko 360 obrotów. Oblicz obwód każdego koła i długość przebytej drogi. 9. Udowodnij, że przekątne trapezu o bokach a,b,b,b są dwusiecznymi kątów przy boku a.
x + 4 10. Narysuj wykres funkcji: y = + x 3 x + 4 11. Do dwóch okręgów o promieniach cm i 9cm poprowadzono wspólną styczną przecinającą odcinek łączący środki okręgów. Wiedząc, że odległość środków okręgów wynosi cm, oblicz długość odcinka stycznej zawartego między punktami styczności. 1. Obwód prostokąta wynosi 80 cm.. Dwusieczna jednego z kątów dzieli obwód na dwie części różniące się o 0 cm. Oblicz pole prostokąta. 13. Udowodnij, że w trójkącie równobocznym suma odległości dowolnego punktu wewnętrznego tego trójkąta od boków trójkąta jest wielkością stałą. 14. Wykazać, że w trójkącie prostokątnym równoramiennym suma odległości dowolnego punktu przeciwprostokątnej od obydwu przyprostokątnych jest równa długości jednej przyprostokątnej. 15. Średnia wieku drużyny piłkarskiej (11 osób) wynosi lata. Jeden z piłkarzy otrzymał czerwoną kartkę i zszedł z boiska. Średnia wieku pozostałych zawodników wynosi teraz 1 lat. Ile lat miał piłkarz, który otrzymał czerwoną kartkę? 16. Piła ma 60 cm długości i równe ząbki będące trójkątami równoramiennymi. Wysokość każdego z ząbków jest równa jego podstawy. 3 Jaką drogę przejdzie mrówka maszerując po ostrzach kolejnych ząbków piły? 17. W trójkącie równoramiennym dany jest kąt α przy podstawie. Obliczyć stosunek pola koła opisanego na tym trójkącie do pola tego trójkąta. 3 18. Dla jakich wartości m funkcja f (x) = mx (m + )x ma ekstremum w punkcie x 0 = 1? Wyznaczyć to ekstremum. sin x 1 19. Wyznaczyć dziedzinę funkcji f(x) = cosx 1 0. W prawidłowym graniastosłupie trójkątnym, krawędź podstawy równa się a, zaś kosinus kąta między przekątnymi ścian bocznych, wychodzącymi ze wspólnego wierzchołka jest równy 19. Obliczyć objętość graniastosłupa. 0 4. 30 różnych zadań 1. Ramię trójkąta równoramiennego jest dwa razy dłuższe od jego podstawy. Obliczyć stosunek pola koła wpisanego w ten trójkąt do pola trójkąta.. Napisać równanie okręgu o promieniu r = 3, przechodzącego przez punkt A = (4,) wiedząc, że środek tego okręgu należy do prostej x y = 0. 3. Obliczyć cosinus kąta, pod jakim ze środka podstawy sześcianu o krawędzi a widać jego przekątną. Dla jakich wartości m reszta z dzielenia wielomianu 3 x x + mx przez dwumian x jest mniejsza lub równa 6? m 3 4. Dla jakich wartości m reszta z dzielenia ia wielomianu x x + mx przez m dwumian x jest mniejsza lub równa 6? 5. Ze zbioru liczb { 1,,3,...,0} losujemy jedną liczbę. Zbadaj niezależność zdarzeń: A wylosowana liczba jest parzysta, B - wylosowana liczba jest podzielna przez 3.
6. Dane są punkty A = (0,3) i B = (, 1). Na prostej y = x wyznaczyć taki punkt C, aby kąt ABC był prosty i obliczyć pole trójkąta ABC. 7. Napisać równanie okręgu o promieniu 5 i stycznego do prostej x + y 1 = 0, wiedząc, że jego środek leży na osi OY. 3 sin x sin x sin x 1 8. Rozwiązać równanie + + +... =. 4 8 3 9. Podstawą ostrosłupa jest trójkąt równoboczny ABC o boku a, a spodkiem wysokości poprowadzonej z wierzchołka W jest punkt A. Wiedząc, że kąt BWC na ścianie ostrosłupa wynosi 45 0, oblicz wysokość ostrosłupa. 10. Z urny zawierającej 3 kule białe i 4 kule czarne losowo wybieramy bez zwracania dwie kule, a następnie dokładamy do urny kulę białą. Obliczyć prawdopodobieństwo, że po tym postępowaniu losowo wybrana z urny kula okaże się biała. 11. Dane są dwa wektory: AB = [1,0] i AC = [ k,]. π Dla jakich wartości k kąt BAC wynosi? 3 1. Wyznacz zbiór wartości funkcji f(x) = sin x cos x 13. Wykaż, że trójkąt o wierzchołkach A = (,1), B = (5,4), C = (0,3) jest rozwartokątny, a następnie oblicz jego pole. 14. W trójkącie równoramiennym ABC, w którym AB =, BC = AC = 6, poprowadzono środkową AD. Oblicz promień okręgu opisanego na trójkącie ABD. 15. W trójkącie równoramiennym ABC dane są:,. Obliczyć odległość środków okręgów: wpisanego w ten trójkąt i opisanego na tym trójkącie. 16. Jeden kran napełnia basen w ciągu 10 godzin. Każdy z dwu pozostałych kranów dwa razy szybciej. W jakim czasie napełni się basen, gdy otworzy się wszystkie trzy krany? 17. Rozwiązać równanie: ( )( ). 18. Narysuj wykres funkcji: ( ) 19. Rozwiązać równanie wiedząc, że kwadrat różnicy pierwiastków równa się 5. 0. Wyznaczyć resztę z dzielenia wielomianu ( ) przez wielomian ( ). 1. Wykazać, że równanie o współczynnikach nieparzystych nie ma pierwiastków całkowitych.. Dla jakich liczb naturalnych n równanie ma dokładnie dwa pierwiastki rzeczywiste? 3. Dana jest funkcja ( ).. Wyznacz wartości parametrów a i b wiedząc, że dla wszystkich liczb rzeczywistych x spełnione jest równanie: ( ) ( ). 4. W trójkącie prostokątnym przeciwprostokątna ma długość 13cm, a jedna z przyprostokątnych jest o 7cm dłuższa od drugiej. Oblicz długość wysokości tego trójkąta opuszczonej na przeciwprostokątną. 5. Znajdź największą wartość iloczynu sin,, jeżeli i β są s to miary kątów ostrych pewnego trójkąta prostokątnego. 6. Oblicz miarę kąta ostrego między prostymi. 7. Kontrola techniczna w zakładzie produkcyjnym odrzuca partię wyrobów złożoną ze 100 sztuk, jeżeli wśród losowo wybranych z tej partii 4 sztuk znajduje się co najmniej
jedna wadliwa. a. Obliczyć prawdopodobieństwo odrzucenia partii zawierającej 10 sztuk wadliwych. 8. Wyznacz współrzędne punktu symetrycznego do punktu (-1,3) względem prostej. 9. Wyznacz taką liczbę c, by proste styczne do paraboli o równaniu w punktach przecięcia z osią OX były prostopadłe. 30. W trójkącie równoramiennym o długości podstawy a i wysokościach h oraz H,,, zachodzi związek.. Oblicz sinus kąta przy podstawie trójkąta. 5. 5 różnych zadań 1. W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź boczna ma długość a i jest nachylona do płaszczyzny p podstawy pod kątem α. Przy ustalonym a, wyraź objętość tego ostrosłupa jako funkcję zmiennej α.. Ile rozwiązań ma równanie:? 3. Losowo rzucono osiem monet. Oblicz prawdopodobieństwo, że wypadło więcej reszek niż orłów. 4. Oblicz obwód czworokąta opisanego na okręgu o promieniu długości r, jeżeli pole czworokąta wynosi P. 5. Zaznacz w układzie współrzędnych zbiór: (, ): 1 6. Niech A i B będą niezależnymi zdarzeniami losowymi takimi, że z prawdopodobieństwem em zachodzą jednocześnie i z prawdopodobieństwem żadne em z nich nie zachodzi. Oblicz ( ) ( ). 7. Objętość prostopadłościanu jest równa 16, pole powierzchni całkowitej wynosi 5, a długości jego krawędzi tworzą ciąg geometryczny. Oblicz długość przekątnej tego prostopadłościanu. 8. Fabryka zamierzała w ciągu pewnego czasu wyprodukować 10 samochodów. Po wykonaniu połowy zamówienia usprawniono produkcję tak, że fabryka wytwarzała dziennie o jeden samochód więcej i zamówienie wykonała o 5 dni wcześniej. W ciągu ilu dni fabryka zamierzała wyprodukować te samochody? 9. Pole trójkąta (rys. poniżej) spełnia równość: ( ). Oblicz. 10. Jaki warunek spełniają parametry b i c, jeżeli trójmian ( ) ma dwa pierwiastki i takie, że? 11. Wyznacz zbiór wartości funkcji ( ), 1. W schemacie 4 prób Bernoulliego prawdopodobieństwo uzyskania co najmniej jednego sukcesu wynosi. Oblicz prawdopodobieństwo sukcesu w jednej próbie. 13. Pan Pieniążek otworzył w banku konto z wpłatą 100zł i postanowił, że będzie na swoje konto wpłacał dodatkowo po upływie każdego kwartału kwotę 100zł. Bank
oferuje stałe roczne oprocentowanie 4% i kapitalizuje odsetki co kwartał. Oblicz oszczędności pana Pieniążka na koniec czwartego roku (w zaokrągleniu do złotego). 14. Czworokąt ABCD jest rombem. Wysokość DE ( ) dzieli bok AB na odcinki o długościach:,,. Oblicz długość dłuższej przekątnej rombu 15. Dla jakich wartości parametru, funkcja ( ) ma wartość najmniejszą równą zero? 16. Rzucamy dwa razy kostką. Niech A oznacza zdarzenie losowe polegające na tym, że w wyniku pierwszego rzutu otrzymano nieparzystą liczbę oczek, B w wyniku drugiego rzutu otrzymano więcej oczek, niż w wyniku pierwszego. Oblicz ( / ). 17. Trójkąt prostokątny ma pole, a promień koła opisanego na trójkącie ma długość,.oblicz długości boków tego trójkąta. 18. Stożek o objętości przecięto płaszczyzną równoległą do podstawy stożka, odcinając stożek o objętości.. Oblicz stosunek wysokości danego stożka i stożka odciętego. 19. Wiadomo, że wielomian ( ) jest podzielny przez dwumian ( ).. Oblicz resztę z dzielenia tego wielomianu przez dwumian ( ). 0. Funkcja ( ) ma ekstremum lokalne w punkcie.. Sprawdź, czy jest to maksimum, czy minimum lokalne. Sprawdź, czy funkcja posiada inne ekstrema jeśli tak, wyznacz je. 1. Prawdopodobieństwo, że lipcowy dzień będzie słoneczny w Kołobrzegu jest równe. Oblicz prawdopodobieństwo 10 słonecznych dni podczas 14-dniowego pobytu w Kołobrzegu w miesiącu lipcu.. W trójkącie prostokątnym długości boków tworzą ciąg arytmetyczny rosnący. Udowodnij, że różnica tego ciągu jest równa promieniowi okręgu wpisanego w ten trójkąt. 3. Oblicz miejsca zerowe funkcji: ( ) ( ) 4. Rozłóż na czynniki stopnia pierwszego i drugiego wielomian ( ) 5. W trójkącie równoramiennym suma długości ramienia i wysokości prostopadłej do podstawy jest równa 1, a miara kąta przy podstawie jest równa. Oblicz pole trójkąta. 6. 18 zadań z planimetrii 1. Podstawa trójkąta ma długość 60cm, wysokość 1cm, a środkowa poprowadzona do podstawy 13cm. Oblicz długości boków trójkąta.. Na bokach równoramiennego trójkąta prostokątnego o przyprostokątnej długości 10cm zbudowano kwadraty na zewnątrz boków. Środki tych kwadratów połączono odcinkami. Oblicz pole otrzymanego trójkąta. ta. 3. Podstawa trójkąta jest podzielona przez wysokość na części równe 36cm i 14cm. Prosta poprowadzona prostopadle do podstawy dzieli pole danego trójkąta na połowy. Na jakie części prosta ta dzieli podstawę trójkąta? 4. Oblicz pole trójkąta równoramiennego, jeżeli j jego podstawa wynosi 1cm, a wysokość opuszczona na podstawę jest równa odcinkowi łączącemu środek podstawy ze środkiem ramienia. 5. Podstawy trapezu mają długości a, b. Wyznacz długość odcinka równoległego do podstaw i dzielącego pole trapezu na połowy 6. Wyznacz pole trójkąta, którego boki są równe 7cm i 9cm, a środkowa trzeciego boku wynosi 6cm.
7. W trójkącie dane są dwa boki b i c, oraz jego pole.. Oblicz długość trzeciego boku. 8. Z punktu leżącego na zewnątrz okręgu poprowadzono dwie sieczne. Odcinek wewnętrzny pierwszej siecznej równa się 47cm, a zewnętrzny 9cm. Odcinek wewnętrzny drugiej siecznej jest o 7cm dłuższy od jej odcinka zewnętrznego. Wyznacz długość cięciwy wyznaczonej przez drugą sieczną. 9. Boki trójkąta są równe,,.. Dwa z nich (a i b) są styczne do okręgu, którego środek leży na trzecim boku. Oblicz promień tego okręgu. 10. W trójkącie prostokątnym na większej przyprostokątnej, jako na średnicy opisano półokrąg. Wyznacz długość półokręgu, jeżeli mniejsza przyprostokątna jest równa 30cm, a cięciwa łącząca wierzchołek kąta prostego z punktem przecięcia przeciwprostokątnej z półokręgiem jest równa 4cm. 11. Przez punkt okręgu poprowadzono dwie cięciwy o długościach 6cm i 8cm. Jeżeli połączymy ich końce, to otrzymamy trójkąt o polu 4cm. Wyznacz promień okręgu. 1. Oblicz pole koła wpisanego w trójkąt prostokątny, jeżeli wysokość opuszczona na przeciwprostokątną dzieli ją na odcinki równe 5,6cm i 14,4cm. 13. Na okręgu o promieniu r opisano trapez prostokątny, którego najmniejszy bok jest równy. Wyznacz pole trapezu. 14. W trójkąt równoboczny o boku a wpisano trzy jednakowe okręgi styczne jeden do drugiego. Każdy z nich przylega poza tym do dwóch boków danego trójkąta. Wyznacz promienie tych okręgów. 15. W trójkąt wpisano okrąg o promieniu 4cm. Jeden z boków trójkąta został podzielony przez punkt styczności okręgu na dwie części równe 6cm i 8cm. Wyznacz długości dwóch pozostałych boków trójkąta. 16. Prostopadła opuszczona z wierzchołka kąta przy podstawie trójkąta równoramiennego na przeciwległe ramię dzieli je w stosunku : licząc od wierzchołka. Sprawdź, czy kąt przy wierzchołku spełnia nierówność:. 17. W wycinek kołowy o promieniu i kącie rozwarcia wpisano koło. Oblicz promień tego koła. 18. Punkt leżący wewnątrz kąta jest odległy o a i b od jego ramion. Oblicz odległość tego punktu od wierzchołka kąta