MATEMATYKA Zakres podstawowy

Transkrypt

1 Wiedzy teoretycznej Podstawowych umiejętności MATEMATYKA Zakres podstawowy Testy sprawdzające znajomość: Testy zostały opracowane przez nauczycieli gdańskich szkół średnich: Kaminiecką Annę Kasprzak Annę Malottki Agatę Niebudę Teresę Pochyluk Ewę Zajfert Katarzynę pod kierunkiem doradcy metodycznego Teresy Niebudy Gdańsk 2005r.

2 Materiały dydaktyczne pomocne w sprawdzaniu stopnia opanowania przez uczniów wiedzy teoretycznej i praktycznej z matematyki w zakresie podstawowym dla szkół średnich Wychodząc naprzeciw wymogom egzaminacyjnym, standard I: uczeń wie, zna i rozumie, zostały opracowane niekonwencjonalne testy sprawdzające znajomość teorii z poszczególnych działów matematyki i zharmonizowane z nimi sprawdziany kluczowych umiejętności. Materiały te mogą wykorzystać uczniowie w celu powtórzenia danego działu matematyki oraz nauczyciele w celu sprawdzenia stopnia opanowania wiadomości i podstawowych umiejętności, bez których niemożliwe jest rozwiązywanie zadań o wyższym standardzie wymagań. Materiały te konkretyzują wymagania dotyczące wiedzy teoretycznej co jest dla ucznia przygotowującego się do egzaminu maturalnego bardzo ważne i znacznie lepsze od polecenia nauczyciela np.: powtórzcie wszystko o funkcji liniowej, nauczyciel ma możliwość szybkiego sprawdzenia stopnia opanowania wiedzy teoretycznej i jej prostego zastosowania w zadaniach. Testy maja nową interesującą formę. Stanowią bardzo dobrą bazę do rozwiązywania trudniejszych zadań. 2

3 Spis treści: Kompensum wiedzy z podstaw logiki matematycznej...4 Sprawdzian umiejętności z podstaw logiki matematycznej...5 Kompensum wiedzy z elementów kombinatoryki...6 Sprawdzian umiejętności z elementów kombinatoryki...7 Kompensum wiedzy z rachunku prawdopodobieństwa...8 Sprawdzian umiejętności z prawdopodobieństwa...9 Kompensum wiedzy o funkcji...10 Sprawdzian umiejętności dotyczących funkcji...11 Kompensum wiedzy o funkcji liniowej...12 Sprawdzian umiejętności z funkcji liniowej...13 Kompensum wiedzy o prostych na płaszczyźnie...14 Sprawdzian umiejętności o prostych na płaszczyźnie...15 Kompensum wiedzy o funkcji kwadratowej...16 Sprawdzian umiejętności dotyczących funkcji kwadratowej...17 Kompensum wiedzy o wielomianach...18 Sprawdzian umiejętności z wielomianów...19 Kompensum wiedzy o funkcji wymiernej...20 Sprawdzian umiejętności z funkcji wymiernej...21 Kompensum wiedzy o ciągach...22 Sprawdzian umiejętności dotyczących ciągów...23 Kompensum wiedzy z trygonometrii...24 Sprawdzian umiejętności z trygonometrii...26 Kompensum wiedzy z planimetrii...27 Sprawdzian umiejętności z planimetrii...30 Kompensum wiedzy ze stereometrii...33 Sprawdzian wiadomości ze stereometrii

4 Kompensum wiedzy z podstaw logiki matematycznej 1. Zdaniem w sensie logiki nazywamy wyrażenie, któremu można jednoznacznie przyporządkować jedną z dwóch wartości logicznych...(1) lub...(0). 2. Formą zdaniową nazywamy wyrażenie, w którym występują...i które zmienia się w zdanie... (prawdziwe lub fałszywe ), gdy za zmienne podstawimy wartości lub nazwy przedmiotów. 3. Dziedziną formy zdaniowej nazywamy , czyli zaprzeczenie zdania p nazywamy zdanie nieprawda, że p, co zapisujemy zdań nazywamy zdanie złożone z dwóch zdań połączonych spójnikiem i, co dla zdań p i q zapisujemy Alternatywą zdań p i q nazywamy zdanie złożone z dwóch zdań połączonych spójnikiem... i zapisujemy zdań o poprzedniku p i następniku q nazywamy zdanie złożone postaci: jeżeli p to q, co zapisujemy: Równoważnością zdań p i q nazywamy zdanie złożone ze zdań p i q, połączonych zwrotem..., co zapisujemy : Twierdzeniem w matematyce nazywamy każde zdanie, którego... została udowodniona. Jeżeli ma ono postać implikacji Z T, to Z nazywamy... a T nazywamy.... 4

5 Sprawdzian umiejętności z podstaw logiki matematycznej 1. Określ, czy podane wyrażenie jest zdaniem w sensie logiki. a) Czy lubisz słodycze? b) Liczby 10 i 12 są liczbami parzystymi. 2 c) x 1 = 0 d) Teriery są łagodnymi psami. e) x + 2 > 3 2. Określ wartość logiczną zdań: a) Nieprawda, że 6 jest liczbą nieparzystą. b) Liczby 5 i 2 są dzielnikami liczby 60. c) 5 jest liczbą naturalną. d) Liczba 2 1 jest odwrotnością liczby 2. e) Przekątna kwadratu jest krótsza od jego boku. f) Suma kątów wewnętrznych trójkąta jest równa Określ dziedziny form zdaniowych: a) 2x 3 = 4 b) c) 1 < 2 x 1 2x 4 0. x Utwórz negację zdań i oceń ich wartość logiczną a) Prostokąt ma oś symetrii. b) = 4. c) ~ (2 8 = 16). d) Kąt półpełny ma miarę Uzupełnij tabelę: p q ~ p ~ q p q p q p q p q Dane jest twierdzenie : Jeżeli w trójkącie suma kwadratów długości dwóch jego boków jest równa kwadratowi długości trzeciego boku, to trójkąt jest prostokątny. a) Napisz twierdzenie odwrotne. b) Oceń wartość logiczną twierdzenia prostego i odwrotnego. c) Wskaż założenie i tezę. 5

6 Kompensum wiedzy z elementów kombinatoryki 1. Symbol n! czytamy...jest on określony dla n... I tak 0! =..., 1! =...n! = Symbol Newtona to...=..., gdzie.n...,k...i n...k 3. Permutacją n-elementową utworzoną ze zbioru n elementowego nazywamy każdy...utworzony z elementów tego zbioru. Poglądowo: permutować to ustawiać wszystkie elementy zbioru w... Liczbę permutacji oznaczamy symbolem...i liczymy ze wzoru Kombinacją k elementową utworzoną ze zbioru n elementowego nazywamy każdy...utworzony z elementów tego zbioru. Poglądowo: tworzyć kombinacje k elementowe to wybierać ze zbioru po k elementów i nie zwracać uwagi na ich... Liczbę kombinacji oznaczamy symbolem...i liczymy ze wzoru Wariacją bez powtórzeń k elementową utworzoną ze zbioru n elementowego nazywamy każdy... k elementowy utworzony z elementów tego zbioru. Poglądowo: tworzyć wariacje bez powtórzeń to wybierać ze zbioru po k elementów i ustawiać je w... Liczbę wariacji bez powtórzeń oznaczamy symbolem...i liczymy ze wzoru Wariacją z powtórzeniami k elementową utworzoną ze zbioru n elementowego nazywamy każdy...k elementowy utworzony z elementów tego zbioru z tym, że każdy element można wybrać nawet k razy. Poglądowo: tworzyć wariacje z powtórzeniami k elementowe,to wybierać ze zbioru po k elementów (można wybierać ten sam element nawet k razy.) i ustawiać je... Liczbę wariacji z powtórzeniami oznaczamy symbolem...i liczymy ze wzoru... 6

7 Sprawdzian umiejętności z elementów kombinatoryki 1. Oblicz wartości wyrażeń: a) 3! 0! b) 7 8! 6 8! c) 10! 8! 2. Oblicz: 7 a) 4 n b) 1 n c) n n d) 0 n e) n 1 3. Dany jest zbiór {a,b, c}.wypisz wszystkie: Permutacje Kombinacje 2 elementowe Wariacje bez powtórzeń 3 elementowe Wariacje z powtórzeniami 3 elementowe 4. Dany jest zbiór 1,2,3,4,5,6. Oblicz, ile jest a) permutacji elementów tego zbioru b) kombinacji 3 elementowych c) wariacji bez powtórzeń 3 elementowych d) wariacji z powtórzeniami 3 elementowych 7

8 Kompensum wiedzy z rachunku prawdopodobieństwa 1. Skończony zbiór zdarzeń elementarnych (wyników doświadczenia) nazywamy...i oznaczamy symbolem... Liczbę elementów tego zbioru nazywamy... i oznaczamy symbolem Każdy z wyników doświadczenia losowego nazywamy Jeżeli w doświadczeniu losowym wszystkie zdarzenia elementarne są jednakowo prawdopodobne i jest ich n, to prawdopodobieństwo każdego zdarzenia elementarnego wynosi Zdarzeniem losowym nazywamy... i oznaczamy symbolem Jeżeli w doświadczeniu losowym wszystkie zdarzenia elementarne są jednakowo prawdopodobne, to prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia zawartego w zdarzeniu pewnym opisującym to doświadczenie jest równe... Zapisujemy je wzorem Zdarzenie elementarne sprzyja sumie zdarzeń A i B wtedy i tylko wtedy, gdy sprzyja zdarzeniu A...sprzyja zdarzeniu B. Zapis symboliczny Zdarzenie elementarne sprzyja iloczynowi zdarzeń A i B wtedy i tylko wtedy, gdy sprzyja zdarzeniu A...sprzyja zdarzeniu B. Zapis symboliczny Zdarzenie elementarne sprzyja różnicy zdarzeń A i B wtedy i tylko wtedy, gdy sprzyja zdarzeniu A...nie sprzyja zdarzeniu B. Zapis symboliczny Zdarzenie elementarne sprzyja zdarzeniu przeciwnemu do zdarzenia A wtedy i tylko wtedy, gdy sprzyja zdarzeniu...nie sprzyja zdarzeniu... Zapis symboliczny P(A B) = P(A)...P(B)...P(A B), P(A ) = Maksymalna wartość prawdopodobieństwa wynosi..., minimalna wartość prawdopodobieństwa wynosi... 8

9 Sprawdzian umiejętności z prawdopodobieństwa 1. Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie symetryczną monetą. a) Wypisz zbiór zdarzeń elementarnych opisujących to doświadczenie. b) Podaj moc zdarzenia pewnego. c) Ile wynosi prawdopodobieństwo każdego zdarzenia elementarnego? d) Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia reszka wypadła co najwyżej raz. 2. Doświadczenie losowe polega na trzykrotnym rzucie symetryczną monetą. a) Wypisz zbiór zdarzeń elementarnych opisujących to doświadczenie. b) Podaj moc zdarzenia pewnego. c) Ile wynosi prawdopodobieństwo każdego zdarzenia elementarnego? d) Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia reszka wypadła co najwyżej raz. 3. Doświadczenie losowe polega na rzucie symetryczną kostką. a) Wypisz zbiór zdarzeń elementarnych opisujących to doświadczenie. b) Podaj moc zdarzenia pewnego. c) Ile wynosi prawdopodobieństwo każdego zdarzenia elementarnego? 4. Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie symetryczną kostką. a) Wypisz zbiór zdarzeń elementarnych opisujących to doświadczenie. d) Podaj moc zdarzenia pewnego. e) Ile wynosi prawdopodobieństwo każdego zdarzenia elementarnego? 5. Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie symetryczną kostką. Niech A będzie zdarzeniem polegającym na tym, że na pierwszej kostce wypadła liczba pierwsza, a B zdarzeniem polegającym na tym, że suma oczek na obu kostkach jest mniejsza od sześciu. Oblicz prawdopodobieństwo sumy zdarzeń A i B. 6. Doświadczenie losowe polega na wylosowaniu jednej karty z talii 52 kartowej. Niech A oznacza zdarzenie polegające na tym, że wylosowano kartę starszą od waleta. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia do niego przeciwnego. 9

10 Kompensum wiedzy o funkcji 1. Funkcję f, która odwzorowuje zbiór X w zbiór Y, nazywamy każdemu elementowi x X elementu y Y. Zbiór nazywamy dziedziną funkcji f, a jego elementy... funkcji f. 2. Wartość argumentu x, dla którego f ( x) = 0, to Zbiór tych elementów zbioru Y, które zostały przyporządkowane elementom dziedziny to Funkcję f : X R nazywamy. jeśli dla dowolnych x 1, x 2 X zachodzi x < x f x ) < f ( ). 1 2 ( 1 x2 5. Funkcję f : X R nazywamy. jeśli dla dowolnych x 1, x 2 X zachodzi x < x f x ) > f ( ). 1 2 ( 1 x2 6. Funkcję f : X R nazywamy stałą, jeśli. 7. Aby otrzymać wykres funkcji y = f ( x p) + q, należy przesunąć wykres funkcji. o... jednostek w prawo i o... jednostek do góry. 8. Wykres funkcji y = f (x) otrzymujemy z wykresu funkcji y = f (x) dokonując odbicia symetrycznego tego wykresu względem. 9. Wykres funkcji y = f ( x) otrzymujemy z wykresu funkcji y = f (x) dokonując odbicia symetrycznego tego wykresu względem. 10

11 Sprawdzian umiejętności dotyczących funkcji 1. Na rysunku przedstawiono wykres funkcji f. Korzystając z wykresu, podaj: a) Dziedzinę funkcji f b) Zbiór wartości funkcji f c) Miejsca zerowe funkcji f d) Przedziały, w których funkcja f jest rosnąca e) Zbiór argumentów, dla których funkcja f przyjmuje wartości dodatnie 2. Określ dziedziny funkcji: x + 6 x + 2 x 4 x 3 1 x 1 a) f ( x) = 3 4x b) f ( x) = c) f ( x) = + x 3. Podaj współrzędne punktów, w których wykres funkcji współrzędnych. 4 1 y = x 2 przecina osie układu Dla jakiej wartości a, wykres funkcji a = x 2 5 y przechodzi przez punkt = ( 3,1) A? Zapisz wzór funkcji, której wykres otrzymasz w wyniku przesunięcia wykresu funkcji y = x a) o 3 jednostki w dół b) o 2 jednostki w prawo c) o 1 jednostkę w lewo i 4 jednostki w górę 6. Na rysunku przedstawiono wykres funkcji f. Narysuj wykresy funkcji g ( x) = f ( x) 1 oraz ( x) = f ( x 2) h. 11

12 Kompensum wiedzy o funkcji liniowej 1. Jest to funkcja postaci...współczynniki noszą nazwę... i są równe Liczba miejsc zerowych zależy od... w następujący sposób: a)... ilustracja graficzna b)... ilustracja graficzna c)... ilustracja graficzna 3. Jeżeli...jest stałe i...jest zmienne to wykresy takich funkcji tworzą ilustracja graficzna 4. Jeżeli...jest stałe i...jest zmienne to wykresy takich funkcji tworzą ilustracja graficzna 5. Jest to funkcja rosnąca... Jest to funkcja malejąca... Jest to funkcja stała... 12

13 Sprawdzian umiejętności z funkcji liniowej 1. Wykresem funkcji liniowej f ( x) = 3x 4 jest..., która przecina oś OY w punkcie... i jest nachylona do osi OX pod kątem... Jej miejsce zerowe wynosi... Prosta do niej równoległa i przechodząca przez punkt ( 3, 2) ma równanie... Funkcja, która nie ma miejsc zerowych i przecina wykres funkcji f(x) w punkcie (0, 4) ma wzór... Funkcja o miejscu zerowym 2, której wykres przecina oś OX pod kątem 135 ma wzór Funkcja f(x) = (m 2 1) x + m 1 ma a) jedno miejsce zerowe... b) nie ma miejsc zerowych... c) ma nieskończenie wiele miejsc zerowych Funkcja f(x) = (a 2 1) x + 3 jest a) rosnąca... b) malejąca... c) stała Funkcja f(x) = 5x + a 3 ma miejsce zerowe większe od 1 dla Sporządź wykres funkcji i opisz jej własności f(x) = x +1 13

14 Kompensum wiedzy o prostych na płaszczyźnie 1. Każda prosta na płaszczyźnie ma równanie kierunkowe...albo Każda prosta na płaszczyźnie ma równanie ogólne...gdzie Dwie proste na płaszczyźnie są równoległe Dwie proste na płaszczyźnie są prostopadłe Jeżeli punkt należy do prostej to Układem równań stopnia pierwszego z dwiema niewiadomymi nazywamy układ postaci 7. Jeżeli posiada on jedno rozwiązanie to nazywamy go... a jego równania... Obrazem graficznym takiego układu są... Główny wyznacznik takiego układu jest Jeżeli posiada on nieskończenie wiele rozwiązań to nazywamy go... a jego równania... Obrazem graficznym takiego układu są... Wyznaczniki takiego układu spełniają warunki Jeżeli układ nie posiada rozwiązania to nazywamy go... a jego równania... Obrazem graficznym takiego układu są... Wyznaczniki takiego układu spełniają warunki... 14

15 Sprawdzian umiejętności o prostych na płaszczyźnie 1. Rozwiąż graficznie układ równań x y = 2 x + y 4 = 0 2. W każdym zadaniu podaj nazwę układu równań, nazwę równań tego układu i napisz, co jest jego obrazem graficznym oraz rozwiąż metodą 13x 19y = 2 5x 7y = 2 a) wyznacznikową b) przeciwnych współczynników 11x + 13y = 5 10x + 14y = 5 c) podstawiania 8x + 2y = 4 16x 4y = 8 3. Obwód prostokąta wynosi 54 cm. Jeżeli dłuższy bok zwiększymy o 1, a krótszy zmniejszymy o 1, to pole zmniejszymy o 4 cm 2. Oblicz długości boków prostokąta. 15

16 Kompensum wiedzy o funkcji kwadratowej 1. Postać ogólna funkcji kwadratowej to., gdzie.. Wykresem tej funkcji jest. W postaci kanonicznej p i q to współrzędne wierzchołka. 2. Jeżeli to wartość największą funkcja osiąga dla. równą.. Jeżeli to wartość największą funkcja osiąga dla. równą.. 3. Gdy. funkcja maleje dla x (, xw ) a rośnie dla... Gdy. funkcja rośnie dla x, x ) a maleje dla... ( w 4. Liczba miejsc zerowych zależy od w następujący sposób: Jeśli.. to postać iloczynowa funkcji jest: Jeśli.. to postać iloczynowa funkcji jest: Jeśli.. to postać iloczynowa funkcji jest: 6. Na podstawie danego wykresu funkcji kwadratowej ustal znaki parametrów: a x 1 0 x 2.0 x w 0 y w 0 16

17 Sprawdzian umiejętności dotyczących funkcji kwadratowej 2 1. Wykresem funkcji kwadratowej y = x 5x + 4 jest, która przecina oś OY w punkcie i rzędna wierzchołka równa się. Zbiorem wartości jest Miejscami zerowymi są.. Funkcja jest: - rosnąca w przedziale.. - malejąca w przedziale Funkcja osiąga wartość.. równą. Funkcja przyjmuje wartości dodatnie dla, a wartości ujemne dla 2 2. Funkcja f ( x) = (2m 1) x + 2x 7 osiąga wartość największą dla m.., a wartość najmniejszą dla m Dla argumentów.. funkcja f ( x) = x + 6x 18 przyjmuje nieujemne wartości Rozwiązaniem równania 5x 2 2 = 0 są.. 5. Napisz przykład wzoru funkcji, jeśli wykresem jest parabola, która przecina oś OX w punktach o odciętych 1 i Uzupełnij tabelkę: Postać ogólna a b c p q Postać kanoniczna x 1 x 2 x 0 Postać iloczynowa f(x)=3x 2 9x+6 f(x) = (x+2)(x+1) f(x) = (x 3)

18 Kompensum wiedzy o wielomianach 1. Wielomianem stopnia n tego jednej zmiennej rzeczywistej x nazywamy funkcję postaci..., gdzie., liczby a n, a n-1,, a 1, a 0 nazywamy.. 2. Wielomian stopnia zerowego to inaczej funkcja.... Wielomian stopnia pierwszego to inaczej funkcja.. Wielomian stopnia drugiego to inaczej funkcja Wielomian to suma jednomianów. Wielomian można przedstawić w postaci iloczynu stosując a) wzory.... b) wyłączając z całości. c) stosując metodę i wyłączania... d) twierdzenie. 4. Wielomiany W(x) = a n x n + a n-1 x n a 1 x + a 0 i P(x) = b n x n + b n-1 x n b 1 x + b o są równe wtedy i tylko wtedy, gdy... i gdy. 5. Pierwiastek wielomianu to taka liczba..., że Aby rozwiązać równanie wielomianowe o stopniu n > 2 należy wielomian... a następnie każdy z..przyrównać do.. 7. Aby rozwiązać nierówność wielomianową o stopniu > 2 należy wielomian... a następnie... 18

19 Sprawdzian umiejętności z wielomianów 1. W (x) = x 5 + 3x 2 2x +7 jest wielomianem stopnia jego współczynniki wynoszą a 5 =, a 4 =, a 3 =, a 2 =, a 1 =, a 0 = 2. W(x) = 0,5 jest wielomianem stopnia..inaczej jest to funkcja..... W(x) = 3x 8 jest wielomianem stopnia..inaczej jest to funkcja... W(x) = 3x 2 4x + 12 jest wielomianem stopnia..inaczej jest to funkcja Postać iloczynowa wielomianu to: a) po zastosowaniu wzoru skróconego mnożenia x 6 + 2x 3 +1 = (2x + 1) 2 x 4 = (.) (..) x 3 1 = (.) ( ) b) po wyciagnięciu wspólnego czynnika przed nawias 4x 5 + 8x 4 x 3 = c) po zastosowaniu metody grupowania i wyłączania wspólnego czynnika przed nawias 3x 3 + 5x 2 12x 20 = (.) (.) = (.)....( ) = (..) (..) d) po zastosowaniu twierdzenia Bezoute a x 3 + x 2 =.. 4. Wielomiany W (x ) = ax 3 + ( b )x 2 + c i P(x ) = 2x 3 + 5x 2 7 są równe wtedy i tylko wtedy, gdy i..i.. czyli a =.. i b =...i c =. lub a =...i b =.. i c = 5. Rozwiąż równanie 2x x 3 24x 2 = 0 6. Rozwiąż nierówność 3x 3 + 5x 2 12x 20 > 0 19

20 Kompensum wiedzy o funkcji wymiernej 1. Wyrażeniem wymiernym zmiennej x nazywamy wyrażenie postaci, gdzie Wykresem funkcji a y =, a >0 jest.., x której gałęzie wykresu leżą w ćwiartce układu współrzędnych a) Funkcja ta nie posiada. b) Dziedziną funkcji jest zbiór D =... c) Zbiorem wartości funkcji jest zbiór Y =.... d) Funkcja maleje w e) y > 0 dla. f) y < 0 dla.. 3. Wykresem funkcji a y =, a <0 jest.., x której gałęzie wykresu leżą w ćwiartce układu współrzędnych a) Funkcja ta nie posiada b) Dziedziną funkcji jest zbiór D =... c) Zbiorem wartości funkcji jest zbiór Y =.... d) Funkcja rośnie w e) y > 0 dla. f) y < 0 dla.. a 4. Aby narysować wykres funkcji y = q, należy wykres funkcji x + p o. jednostek w....i.... jednostek Funkcję postaci a y = przesunąć x ax + b f ( x) = nazywamy funkcją.., dziedziną tej funkcji jest cx + d zbiór D =., a wykresem jest Równaniem wymiernym nazywamy wyrażenie postaci....., gdzie 7. Nierównością wymierną nazywamy wyrażenie postaci..., gdzie... 20

21 1. Dziedziną wyrażenia Sprawdzian umiejętności z funkcji wymiernej 5 + x ( x 1)( x + 3) jest zbiór D = Funkcja, której dziedziną jest zbiór D= R \ ma np. postać Sporządź wykres funkcji y = i opisz jej własności x wykres własności 3 4. Jeżeli wykres funkcji y = przesuniemy o 2 jednostki w prawo i 3 jednostki w dół, to otrzymamy x funkcję postaci mającą wykres: 5. Różnicą wyrażeń 2 x 3 i 4 x jest wyrażenie. x Jeśli wyrażenie 2 x 25 x + 2 postać.. jest dzielną, a wyrażenie x 2 x 5 + 7x + 10 jest dzielnikiem, to ich iloraz ma 7. Rozwiązaniem równania 3x = x 1 7 x x 2 1 jest. x 4 8. Zbiorem rozwiązań nierówności 0 2x + 7 jest. 21

22 Kompensum wiedzy o ciągach 1. Ciąg liczbowy to funkcja określona na Monotoniczność ciągu określamy badając... jeśli... to ciąg jest malejący, jeśli...to ciąg jest rosnący, jeśli.. to ciąg jest stały. 3. Ciągiem arytmetycznym nazywamy ciąg Wzór ogólny ciągu arytmetycznego ma postać..., gdzie Ciąg arytmetyczny jest rosnący dla..., malejący dla..., stały dla Wyraz a n jest... wyrazów sąsiednich, co zapisujemy wzorem Suma n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego wyraża się wzorem: Ciągiem geometrycznym nazywamy ciąg Wzór ogólny ciągu geometrycznego ma postać..., gdzie Suma n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego równa się...dla... oraz... dla Monotoniczność ciągu geometrycznego : Jeśli... to ciąg geometryczny jest stały. Jeśli... i... lub... i... to ciąg geometryczny jest malejący Jeśli... i... lub... i... to ciąg geometryczny jest rosnący. 12. Ciąg liczbowy naprzemienny to ciąg który... 22

23 Sprawdzian umiejętności dotyczących ciągów 1. Suma dziesięciu początkowych wyrazów ciągu 1, 3, 5, jest równa. a wyraz a 27 =.. 3n Dany jest ciąg (a n ) o wyrazie ogólnym a n =, dla n N +. Sprawdź czy jego wyrazy a 7, a 21, a 24 n + 2 w podanej kolejności tworzą trzywyrazowy ciąg arytmetyczny. 3. Dla x =. ciąg 4, x + 1, 25 jest ciągiem geometrycznym. 4. Zbadaj monotoniczność ciągu określonego wzorem a 4 2 n = n Przykładem ciągu geometrycznego rosnącego, w którym pierwszy wyraz jest liczbą dodatnią może być Przykładem ciągu geometrycznego malejącego, w którym pierwszy wyraz jest liczbą ujemną może być Ciąg. nie jest ani rosnący ani malejący. 6. Suma wyrazów ciągu 10 4, 12, 36,..., 4 3 jest równa.. 23

24 Kompensum wiedzy z trygonometrii 1. Sinusem kąta ostrego w trójkącie prostokątnym nazywamy Tangensem kąta ostrego w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek......do Uzupełnij: r = OP α sinα =... cosα =... tgα =... ctgα = Radian jest jednostką Sinusoida, to wykres funkcji określonej wzorem..., która ma następujący wykres y 6. x = kπ k C są miejscami zerowymi funkcji... oraz... π 7. x = + kπ k C są miejscami zerowymi funkcji... oraz Okresem zasadniczym funkcji y = cos x jest..., natomiast funkcji y = ctg x jest Funkcja y = sin x osiąga wartość największą... dla... oraz najmniejszą... dla Funkcja y = tg x jest określona dla... natomiast y = ctg x jest określona dla... 24

25 11. W przedziale ( 0, ) 90 funkcja y = sin x przyjmuje wartości..., a funkcja y = cos x wartości..., funkcja y = tg x wartości... oraz funkcja 12. Uzupełnij wzory: y = ctg x wartości... sin 2 α +... = 1... tg α = cosα tg α ctgα = ctg α =... 25

26 Sprawdzian umiejętności z trygonometrii 0 1. Janek widzi czubek drzewa odległego o d = 60 m pod kątem α = 28. Oczy Janka znajdują się 1,6 m nad ziemią. Oblicz wysokość drzewa z dokładnością do 0,1 m. Skorzystaj z podanej tabeli wartości funkcji trygonometrycznych kąta. 0 sin 28 0, cos 28 0, tg 28 0, ctg 28 1, Oblicz wartości funkcji trygonometrycznych kąta nachylenia wykresu funkcji y = x do osi x a) Zapisz w radianach kąty: 6, 90, 210, 530. b) Zapisz w stopniach kąty: π 3π 1 rad, rad, rad, 6 π rad Dany jest wykres funkcji y = sin x. Sporządź wykres tej funkcji. a) Odczytaj z wykresu, dla jakich x 0,2π funkcja przyjmuje wartości większe niż 3. 2 b) Sporządź wykres funkcji y = sin x + 2 i odczytaj zbiór wartości otrzymanej funkcji. c) Sporządź wykres funkcji y = 3sin x i odczytaj zbiór wartości otrzymanej funkcji a) Zbuduj kąt α wiedząc, że sinα = α ( 90 0, ) b) Oblicz wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych danego kąta α. 6. Uzasadnij tożsamości: tg α cosα = cosα, 1 ctg α = tgα 2 cosα cos α 4 26

27 Kompensum wiedzy z planimetrii 1. Z każdego wierzchołka wielokąta o n bokach wychodzi... przekątnych. 2. Liczba wszystkich przekątnych n-kąta wypukłego wyraża się wzorem. 3. Suma miar kątów wewnętrznych wielokąta o n wierzchołkach jest równa.. 4. Wielokąt foremny to taki wielokąt, w którym Każdy kąt wewnętrzny sześciokąta foremnego ma miarę. 6. Kąty przyległe to takie kąty, które mają... i suma ich miar wynosi Kwadrat to czworokąt, w którym Prostokąt to czworokąt, w którym 9. Romb, to czworokąt, w którym Równoległobok to czworokąt, w którym 11. Suma miar kątów kolejnych równoległoboku wynosi Trapez to czworokąt, w którym 13. W każdym rombie przekątne Jeśli przekątne rombu są tej samej długości, to ten romb jest Wierzchołek kata środkowego jest Kat wpisany w okrąg i oparty na jego średnicy jest Jeżeli trójkąt jest wpisany w okrąg i jest prostokątny, to jeden z jego boków jest 18. Jeśli dwa kąty wpisane w dany okrąg mają te same miary, to Jeżeli dwa kąty wpisane są oparte na łukach uzupełniających się do okręgu, to Miara kąta wpisanego w dany okrąg jest dwa razy mniejsza od miary kąta 21. Prosta prostopadła do odcinka i przechodząca przez jego środek nazywa się. 22. Dwusieczna kąta, to Wysokością trójkąta nazywamy odcinek, który Środkową trójkąta nazywamy odcinek, który. 27

28 25. Punkt przecięcia się środkowych trójkąta nazywamy Środek ciężkości trójkąta dzieli każdą jego... w stosunku licząc od Środek okręgu wpisanego w trójkąt leży w przecięciu Środek okręgu opisanego na trójkącie leży w przecięciu Środek okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym leży Jeżeli promień okręgu opisanego na trójkącie jest równy dwie trzecie jego dowolnej wysokości, to ten trójkąt. 31. W wielokąt można wpisać okrąg, jeżeli 32. Wspólny punkt wszystkich symetralnych wielokąta jest W trójkącie równobocznym wysokości, środkowe, symetralne boków, dwusieczne kątów przecinają się Jeżeli wielokąt jest foremny, to środek okręgu wpisanego w ten wielokąt jest również środkiem Pole trójkąta równobocznego o boku długości a wyraża się wzorem Wysokość trójkąta równobocznego o boku długości a wyraża się wzorem 37. Pole rombu możemy wyrazić przy pomocy wzorów: a)., b). c), d). 38. Jeżeli czworokąt wypukły o bokach długości a, b, c, d i kątach o miarach α, β, γ,δ, a) jest wpisany w okrąg, to. b) jest opisany na okręgu, to 39. Długość łuku l to pewien ułamek długości okręgu o promieniu r i wyraża się wzorem l = α Pole wycinka koła o promieniu r wyraża się wzorem P = α Prosta przechodząca przez środki dwóch okręgów stycznych przechodzi także przez Odległość między środkami okręgów stycznych jest równa lub promieni tych okręgów. 28

29 43. Jeżeli z pewnego punktu A poza okręgiem poprowadzimy styczne do okręgu, to odcinki łączące punkt A z punktami styczności 44. Styczna do okręgu jest prostopadła do. 45. Jeżeli dwie proste równoległe przecinają oba ramiona danego kąta, to odcinki wyznaczone przez te proste na jednym z ramion kąta są, do... odcinków na drugim ramieniu tego kąta. 46. Jeżeli dwa kąty jednego trójkąta są równe odpowiednim kątom drugiego trójkąta, to Jeżeli długości dwóch boków jednego trójkąta są i kąty między tymi bokami w obu trójkątach są.., to trójkąty te są podobne. 48. Jeżeli długości boków jednego trójkąta są.. długości. boków drugiego trójkąta, to te trójkąty są podobne. 49. Stosunek obwodów figur podobnych jest równy Stosunek pól figur podobnych jest równy... 29

30 Sprawdzian umiejętności z planimetrii 1. W ośmiokącie foremnym: a) Liczba przekątnych wynosi.. b) Suma miar kątów wewnętrznych wynosi 2. Wielokąt, w którym liczba przekątnych : a) jest równa liczbie boków ma boków b) jest dwa razy większa od liczby boków ma.boków c) jest o połowę mniejsza ob. Liczby boków ma boków d) pole trójkąta BCD wynosi.., jeśli długość AD = Oblicz miary kątów oznaczonych literami, przyjmując, że proste a i b na rysunku są równoległe. 3. Jeżeli miara każdego kąta wewnętrznego wynosi: a) 150 0, to ma boków b) 300 0, to ma boków c) 108 0, to ma.boków 4. Dany jest sześciokąt foremny o boku 6 cm. Narysuj na rysunku najdłuższą przekątną i najkrótszą. a) najdłuższa ma długość.. b) najkrótsza ma długość.. c) zaznacz kąt wewnętrzny wielokąta i oznacz literą w d) zaznacz kąt zewnętrzny wielokąta i oznacz iterą z 29 a b α =.., 130 β=.., γ= F E D 9. Pogrupuj na diagramie czworokąty: kwadraty, prostokąty, romby, równoległoboki, trapezy. Czworokąty A 6 C B 5. Suma miar kątów zewnętrznych: a) trójkąta wynosi.. b) czworokąta wynosi. c) n-kąta wynosi 6. W trójkącie prostokątnym ABC, w którym 0 0 α = 32, γ = 90 z wierzchołka kąta prostego poprowadzono wysokość, środkową i dwusieczną: a) kąt pomiędzy środkową i dwusieczną wynosi b) kąt pomiędzy dwusieczną i wysokością wynosi.. 7. Środkowe trójkąta równobocznego ABC przecinają się w punkcie D: a) długość AD =, jeśli długość AB = 5 b) odległość punktu D od prostej BC wynosi.., jeśli długość BC = 10 c) odległość punktu D od boku AB wynosi, jeśli długość DC = Oblicz pola figur: D C 45 3 A E P rombu =. B P równol. =.. 30

31 11. W rombie o obwodzie 20 jedna z przekątnych jest dwa razy krótsza od drugiej. Pole tego rombu wynosi Pole trapezu prostokątnego wynosi 40 cm 2. Bok prostopadły do obu podstaw jest krótszy od jednej z nich o 2 cm, a od drugiej o 4 cm. Obwód tego trapezu wynosi 13. Trapez równoramienny o długości ramienia c jest opisany na okręgu o promieniu r. Pole tego trapezu jest równe 14. Z kawałka materiału o kształcie i wymiarach czworokąta ABCD wycięto okrągłą serwetkę o promieniu 3 dm. Niewykorzystana część materiału stanowi.. procent całego materiału. C D 6,3dm A O 3 dm 10dm 15. Podaj miarę kątów: x =, y =... B 19. Dany jest wycinek koła o promieniu r 1 = 6 cm., Jeżeli wiadomo, że koło wpisane w ten wycinek ma promień r 2 = 2 cm, to pole danego wycinka jest równe 20. Cięciwa AB dzieli obwód pewnego koła w stosunku 3:5. Ta sama cięciwa dzieli pole tego koła w stosunku. 21. Długość okręgu wpisanego w kwadrat o przekątnej długości d wynosi Długość okręgu opisanego na kwadracie o obwodzie p wynosi Oblicz długość okręgu wpisanego w sześciokąt o polu 12 cm 2 i obwodzie 14 cm. 24. Dany jest okrąg o(o, r ). Cięciwa odległa od środka tego okręgu o 1 dzieli ten okrąg na łuki, r 2 które mają długości 25. Wycinek pewnego koła ma pole S. Długość łuku tego wycinka wynosi l. Z podanych informacji wynika, że promień koła, z którego wycięto opisany wycinek ma długość Obwód wycinka pewnego koła wynosi 6 cm, jego pole 2 cm 2. a) długość promienia tego koła jest równa.. b) długość łuku wycinka jest równa.. A O X B C B A 30 Y C 27. Oblicz pola zaznaczonych obszarów: a) 16. Długość wysokości pewnego trójkąta równobocznego wynosi 6 3. Z tego wynika, że bok tego trójkąta ma długość. P F = b) 17. Stosunek promienia koła wpisanego do promienia koła opisanego na sześciokącie foremnym wynosi Pole wycinka koła o promieniu r = 6 cm i kącie środkowym 1 α = π 15 R wynosi.. P F =. 31

32 31. Pole pewnego trójkąta jest równe 100 cm 2. Pole trójkąta podobnego do niego w skali 3:5 wynosi.. c) R R R 32. Długości boków pewnego prostokąta są równe 2 cm i 3 cm. Pole prostokąta do niego podobnego jest równe 54cm 2. Długości boków tego prostokąta są odpowiednio równe. 33. Obwody trzech wielokątów podobnych pozostają w stosunkach 2:3:4. Suma pól tych wielokątów jest równa 290. Pole każdego z nich jest odpowiednio równe 34. Stosunek obwodów dwóch wielokątów P F =. d) podobnych jest równy 9 7. Stosunek pól tych figur wynosi Stosunek pól figur podobnych jest równy. 25 Stosunek obwodów tych figur wynosi Pola dwóch trójkątów podobnych są równe 270 cm 2 i 360 cm 2. Promień okręgu opisanego pierwszym trójkącie jest równy 60 cm. Z tych informacji wynika, że promień okręgu opisanego na drugim trójkącie jest równy.. P F = 28. Dane są trójkąty ABC i A B C o bokach: AB = 7, AC = 5, BC = 3 i A B = 21, A C = 15, B C = 9 Te trójkąty są podobne w skali. 29. Dane są trójkąty ABC i A B C o bokach: AB = 10, AC = 12, BC = 6 i A B = 5, A C = 6, B C = 2 Te trójkąty. podobne. 30. Trójkąt o bokach 7 21,, jest podobny do trójkąta o bokach 36, 81, a. Z tej informacji wynika, że wartość parametru a jest równa 37. Dwa zewnętrznie styczne okręgi są styczne do ramion pewnego kąta. Odległości ich środków od wierzchołka kąta wynoszą odpowiednio 7 i 12. Z podanych informacji wynika, że promienie tych okręgów mają długości odpowiednio równe. 38. Wierzchołki trójkąta prostokątnego leżą na okręgu o promieniu r. Jeden z kątów ma miarę a) obwód tego trójkąta wynosi.. b) pole tego trójkąta stanowi..procent danego koła 39. W trójkącie równoramiennym kąt pomiędzy ramionami wynosi 30 0, a podstawa ma długość 2: a) promień okręgu opisanego na tym trójkącie r = b) odległość środka tego okręgu od podstawy d = 40. Koło o promieniu r = 5 cm toczy się po prostej. Jeśli wykona 10 obrotów, to pokona odległość równą.. 32

33 Kompensum wiedzy ze stereometrii 1. Obracając kwadrat dokoła jego osi symetrii otrzymamy Stożek to Graniastosłup prosty to Ostrosłupem prostym nazywamy Narysowana siatka jest siatką a) wielościanu zwanego... b) bryły zwanej... a a a a a a a a a a a 6. Pewien graniastosłup ma 11 ścian. Liczba jego krawędzi wynosi Na rysunku ostrosłupa prawidłowego czworokątnego przedstaw kąt nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy oraz kąt nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy. 8. Na rysunku graniastosłupa prawidłowego trójkątnego przedstaw jego przekrój płaszczyzną zawierającą jedną z krawędzi podstawy dolnej i środek skośnej do niej krawędzi bocznej. 33

34 1. Na sześcianie opisano kulę o średnicy d. Sprawdzian wiadomości ze stereometrii Stosunek objętości kuli do objętości sześcianu wynosi Z wierzchołka stożka o tworzącej l widać jego średnicę pod kątem 120. Objętość i pole powierzchni stożka wynosi Pole powierzchni bocznej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równe 260 cm 2 a pole powierzchni całkowitej 360 cm 2. Objętość tego ostrosłupa ma wartość Jaka jest największa objętość walca który można wyciąć z prostopadłościanu o rozmiarach ? 5. Wał ochronny ma przekrój w kształcie trapezu równoramiennego, którego górna podstawa jest równa 5 m, a ramiona o długości 6 m są nachylone do poziomu pod kątem 60. Dolna szerokość wału wynosi... Ile m 3 ziemi potrzeba do usypania takiego wału o długości 1 km? 34