Metoda analityczna Przed przystąpieniem do rozwiązania programu liniowego metodą analityczną, należy sprowadzić program do postaci KANONICZNEJ. Model o postaci kanonicznej to taki, w którym wszystkie warunki ograniczające mają postać RÓWNOŚCI. Nierówność typu: a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n b 1 można zastąpić następującym równaniem: Nierówność typu: a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n + x n+1 = b 1 x 1, x 2,, x n, x n+1 0 a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n b 1 można zastąpić następującym równaniem: a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n x n+1 = b 1 x 1, x 2,, x n, x n+1 0 Zmienna X n+1 to zmienna swobodna (dodatkowa, uzupełniająca). Zmienna swobodna wyraża różnicę pomiędzy prawą i lewą stroną nierówności. Innymi słowy mierzy wielkość niewykorzystanych wyrazów wolnych warunków ograniczających. Standardowe zadanie MAKSYMALIZACJI programu liniowego: a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n b 2... a m1 x 1 + a r2 x 2 + + a mn x n b m x 1, x 2,, x n 0 Artur Piątkowski WZ UW Strona 1
F(x 1, x 2,, x n ) = c 1 x 1 + c 2 x 2 + + c n x n MAX można sprowadzić do postaci KANONICZNEJ: a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n + x n+1 = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n + x n+2 = b 2... a m1 x 1 + a r2 x 2 + + a mn x n + x n+m = b m x 1, x 2,, x n, x n+1, x n+2,, x n+m 0 F(x 1, x 2,, x n ) = c 1 x 1 + c 2 x 2 + + c n x n + 0x n+1 + 0x n+2 + + 0x n+m MAX Zmienne swobodne dodajemy również do funkcji celu, jednak nie wpływają one na jej wartość, ponieważ są dodawane ze współczynnikiem zero. Układ w postaci kanonicznej można również przedstawić w postaci macierzowej: Ax = b x 0 cx MAX ZADANIE 1 Firma McCain jest światowym potentatem w branży frytek. W swojej fabryce, która znajduje się w Buriey (stan Idaho), produkuje frytki Golden Longs oraz frytki My Fries Classic. Fabryka zaopatruje się w ziemniaki u dwóch dostawców Pana Andersona oraz Pana Lee. Z jednej tony ziemniaków zakupionych u Pana Andersona można wyprodukować 0,2 t frytek Golden Longs oraz 0,6 t frytek My Fries Classic. Z jednej tony ziemniaków zakupionych u Pana Lee można wyprodukować 0,3 t frytek Golden Longs oraz 0,6 t frytek My Fries Classic. Ze względu na ograniczenia technologiczne nie można produkować więcej, niż 18 ton miesięcznie frytek Golden Longs oraz nie więcej, niż 48 ton miesięcznie frytek My Fries Classic. Przy zakupie ziemniaków od Pana Andersona zysk względny wynosi 5 USD, natomiast od Pana Lee 6 USD. Artur Piątkowski WZ UW Strona 2
Ile ton ziemniaków należy zakupić od Pana Andersona oraz Pana Lee, żeby zmaksymalizować zysk. Do rozwiązania zadania wykorzystać metodę analityczną. Dostawca ziemniaków Rodzaj frytek Pan Anderson Pan Lee Golden Longs 0,2 0,3 My Fries Classic 0,6 0,6 Zmienne decyzyjne x 1 ilość ziemniaków zakupiona u Pana Andersona x 2 ilość ziemniaków zakupiona u Pana Lee Warunki ograniczające 0, 2x 1 + 0, 3x 2 18 0, 6x 1 + 0, 6x 2 48 x 1, x 2 0 Funkcja celu F(x 1, x 2 ) = 5x 1 + 6x 2 MAX Postać KANONICZNA: 0, 2x 1 + 0, 3x 2 + x 3 = 18 0, 6x 1 + 0, 6x 2 + x 4 = 48 x 1, x 2, x 3, x 4 0 F(x 1, x 2, x 3, x 4 ) = 5x 1 + 6x 2 + 0x 3 + 0x 4 MAX X 3,X 4 zmienne swobodne (niewykorzystane moce produkcyjne przy produkcji frytek Golden Longs oraz My Fries Classic). Artur Piątkowski WZ UW Strona 3
Bazowa postać KANONICZNA: 0, 2x 1 + 0, 3x 2 + x 3 + 0x 4 = 18 0, 6x 1 + 0, 6x 2 + 0x 3 + x 4 = 48 x 1, x 2, x 3, x 4 0 Tworzymy macierz A, która jest macierzą współczynników stojących po lewej równań: 0, 2 0, 3 1 0 A = [ 0, 6 0, 6 0 1 ] Powstała macierz o dwóch rzędach m=2 oraz czterech kolumnach n=4.wykorzystując symbol Newtona, który jest funkcją dwóch argumentów całkowitych nieujemnych, można określić wszystkie kombinacje dwuelementowe (m=2) ze zbioru czteroelementowego (n=4). W takim wypadku mamy co najwyżej: ( n m ) = n! m! (n m)! = (4 2 ) = 4! = 6 rozwiązań bazowych 2! 2! Jeżeli n>m, to układ ma nieskończenie wiele rozwiązań, ale skończoną liczbę rozwiązań bazowych. Jeżeli zadanie programowania liniowego ma rozwiązanie optymalne, to ma także rozwiązanie optymalne bazowe. Rozwiązania optymalnego należy szukać wśród rozwiązań bazowych, których liczba jest skończona. Rozwiązania bazowe: x 1, x 2, x 1, x 3, x 1, x 4, x 2, x 3, x 2, x 4, x 3, x 4 Jeżeli baza wynosi x 1, x 2, to w takim wypadku pozostałe zmienne decyzyjne x 3, x 4 są NIEBAZOWE i równają się zero (X n =0). Oznaczmy bazę x 1, x 2 za pomocą macierzy B, która jest częścią macierzy A. 0, 2 0, 3 B = [ 0, 6 0, 6 ] W takim wypadku pozostała część macierzy A to zmienne niebazowe, które równają się zero (zaznaczone na kolor czerwony). 0, 2 0, 3 1 0 A = [ 0, 6 0, 6 0 1 ] Artur Piątkowski WZ UW Strona 4
Pierwsze rozwiązanie bazowe (x 1, x 2 ): 0, 2x 1 + 0, 3x 2 = 18 0, 6x 1 + 0, 6x 2 = 48 x 1 = 60, x 2 = 20 F(x 1, x 2 ) =420 Drugie rozwiązanie bazowe (x 1, x 3 ): 0, 2x 1 + x 3 = 18 0, 6x 1 = 48 x 1 = 80, x 3 = 2 F(x 1, x 3 ) =400 Trzecie rozwiązanie bazowe (x 1, x 4 ): 0, 2x 1 = 18 0, 6x 1 + x 4 = 48 x 1 = 90, x 4 = 6 Rozwiązanie sprzeczne Czwarte rozwiązanie bazowe (x 2, x 3 ): 0, 3x 2 + x 3 = 18 0, 6x 2 = 48 x 2 = 80, x 3 = 6 Rozwiązanie sprzeczne Piąte rozwiązanie bazowe (x 2, x 4 ): 0, 3x 2 = 18 Artur Piątkowski WZ UW Strona 5
0, 6x 2 + x 4 = 48 x 2 = 60, x 4 = 12 F(x 2, x 4 ) =360 Szóste rozwiązanie bazowe (x 3, x 4 ): x 3 = 18 x 4 = 48 F(x 3, x 4 ) =0 Zmienne Zmienne bazowe decyzyjne X 1, X 2 X 1, X 3 X 1, X 4 X 2, X 3 X 2, X 4 X 3, X 4 X 1 60 80 90 0 0 0 X 2 20 0 0 80 60 0 X 3 0 2 0-6 0 18 X 4 0 0-6 0 12 48 Wartość funkcji celu 420 MAX 400 Rozwiązanie sprzeczne Rozwiązanie sprzeczne 360 0 { x 1 = 60 x 2 = 20 F(x 1, x 2 ) = 420 Odp.: W celu maksymalizacji zysku należy zakupić 60 ton ziemniaków od Pana Andersona oraz 20 ton ziemniaków od Pana Lee. Taka kombinacja dostaw zapewni zysk na poziomie 420. Algorytm Simpleks Spośród wielu metod służących do rozwiązywania zadań programowania liniowego do najbardziej rozpowszechnionej należy algorytm simpleks, który został opracowany przez Georgea Danzinga. Algorytm simpleks jest wykorzystywany do rozwiązywania dowolnego Artur Piątkowski WZ UW Strona 6
typu zagadnień programowania liniowego. Istota algorytmu simpleks, podobnie jak metody analitycznej, polega na badaniu kolejnych rozwiązań bazowych programu liniowego w postaci kanonicznej, w taki sposób, że: 1. Należy znaleźć (dowolne) rozwiązanie bazowe programu. 2. Należy sprawdzić, czy znalezione rozwiązanie jest optymalne. 3. Jeżeli dane rozwiązanie nie jest optymalne, należy przejść do następnego, lepszego rozwiązania bazowego. 4. Postępowanie kończy się w momencie odnalezienia rozwiązania optymalnego (nie można go już poprawić). Algorytm simpleks jest procedurą interacyjną (etapową). Wyniki poszczególnych etapów zestawia się w kolejnych tablicach simpleks. Przechodzenie do kolejnych, lepszych rozwiązań bazowych, jest równoznaczne ze zmianą wierzchołków zbioru rozwiązań dopuszczalnych. Algorytm simpleks jest powszechnie wykorzystywany przez pakiety komputerowe, które służą do rozwiązywania modeli programowania liniowego. Rozwiązywanie zadań z wykorzystaniem MS Excel 2010 Do rozwiązywania programów liniowych można wykorzystać dodatek Solver, który znajduje się w arkuszu kalkulacyjnym MS Excel 2010. Dodatek jest domyślnie wyłączony. W celu jego aktywacji należy otworzyć arkusz kalkulacyjny MS Excel 2010, następnie wybrać zakładkę Plik i przejść do Opcji. Artur Piątkowski WZ UW Strona 7
W opcjach programu Excel należy wybrać Dodatki. Wyświetlą się aktywne i nieaktywne dodatki aplikacji. Dodatek Solver jest domyślnie nieaktywny. Należy zaznaczyć go i wybrać opcję Przejdź. Pojawi się okienko Dodatki. Należy zaznaczyć w nim dodatek Solver i wybrać opcję OK. Artur Piątkowski WZ UW Strona 8
Od tego momentu dodatek Solver będzie dostępny w zakładce Dane. Artur Piątkowski WZ UW Strona 9
ZADANIE 2 Farmer z Teksasu prowadzi hodowlę bydła. Racjonalna hodowla wymaga dostarczenia rocznie każdej sztuce bydła trzech składników odżywczych: białka ogólnego, włókien surowych, oraz tłuszczów surowych. Składników odżywczych należy dostarczyć następujące ilości: białko ogólne co najmniej 1000 jednostek, włókno surowe co najmniej 800 jednostek, tłuszcz surowy co najmniej 1150 jednostek, lecz nie więcej niż 1700 jednostek. Składniki te są zawarte w czterech paszach. W poniższej tablicy podano zawartość każdego ze składników w jednym kwintalu pasz oraz ceny zakupu poszczególnych pasz. Tabela 1. Zawartość składników odżywczych w paszach. Rodzaj paszy Zawartość składników odżywczych w paszach Cena zakupu Białko ogólne Włókna surowe Tłuszcze surowe paszy Lactoma HP 50 20 10 180 USD Unipro XP 20 0 30 220 USD Topsan 30 20 10 130 USD Sanolac Rot 0 10 20 150 USD Jakie ilości poszczególnych pasz należy zakupić, aby roczne koszty wyżywienia bydła były możliwie najniższe. Należy wziąć również pod uwagę, że paszy Unipro XP bydło powinno otrzymać rocznie nie mniej niż 20 q, natomiast paszy Lactoma HP 1,5 raza więcej niż paszy Topsan. Ponadto z analizy lokalnego rynku wiadomo, że nie będzie można otrzymać więcej niż 30 q paszy Sanolac Rot. Rozwiązać model z wykorzystaniem dodatku Solver, który znajduje się w arkuszu kalkulacyjnym MS Excel 2010. 1. Czy został wykorzystany cały limit paszy Sanolac Rot? 2. Jak zmieni się rozwiązanie optymalne, jeżeli pasza Lactoma HP podrożeje o 120 USD, pasza Unipro XP podrożeje o 30 USD, pasza Topsan potanieje o 90 USD, natomiast pasza Sanolac Rot potanieje o 100 USD? Czy zmiana cen jest korzystna z ekonomicznego punktu widzenia? 3. Czy optymalne ilości zakupu poszczególnych pasz ulegną zmianie (w stosunku do modelu pierwotnego), jeżeli paszy Unipro XP trzeba będzie dostarczyć nie mniej niż paszy Lactoma HP? Jeżeli tak, to czy ta zmiana jest korzystna z ekonomicznego punktu widzenia? Artur Piątkowski WZ UW Strona 10
Pierwszym etapem jest zapisanie powyższego problemu decyzyjnego za pomocą programu liniowego: Zmienne decyzyjne x 1 wielkość zakupu paszy Lactoma HP x 2 wielkość zakupu paszy Unipro XP x 3 wielkość zakupu paszy Topsan x 4 wielkość zakupu paszy Sanolac Rot Warunki ograniczające 50x 1 + 20x 2 + 30x 3 1 000 20x 1 + 20x 3 + 10x 4 800 10x 1 + 30x 2 + 10x 3 + 20x 4 1150 10x 1 + 30x 2 + 10x 3 + 20x 4 1700 x 2 20 x 1 = 1, 5 x 3 x 4 30 x 1, x 2, x 3, x 4 0 Funkcja celu F(x 1, x 2, x 3, x 4 ) = 180x 1 + 220x 2 + 130x 3 + 150x 4 MIN Następnie należy zaimplementować powyższy program do arkusza kalkulacyjnego MS Excel 2010. Należy przenieść do arkusza poszczególne części programu: zmienne decyzyjne, warunki ograniczające oraz funkcję celu. Najpierw należy wydzielić komórki na szukane zmienne decyzyjne są to komórki B2 : B5. Zostały one zaznaczone na różny odcień koloru pomarańczowego. Artur Piątkowski WZ UW Strona 11
Następnie należy zaimplementować warunki ograniczające. Każdy warunek ograniczający składa się z dwóch stron: lewej i prawej strony. Lewą stronę warunków ograniczających należy umieścić w jednej kolumnie arkusza kalkulacyjnego, wyrazy wolne prawej strony w sąsiedniej kolumnie. Za pomocą formuły należy zapisać wzór ograniczenia, wykorzystując komórki zmiennych decyzyjnych. Po zapisaniu wszystkich warunków ograniczających lewa strona ograniczeń wynosi zero, ponieważ zmienne decyzyjne początkowo nie przyjmują żądnej wartości. Artur Piątkowski WZ UW Strona 12
Ostatnim krokiem jest zapisanie wzoru funkcji celu, wykorzystując komórki zmiennych decyzyjnych. Po zaimplementowaniu modelu do arkusza kalkulacyjnego, należy go rozwiązać z wykorzystaniem dodatku Solver. Artur Piątkowski WZ UW Strona 13
W oknie dodatku Solver należy ustawić cel (komórkę funkcji celu), kryterium funkcji celu (w tym przypadku MIN) oraz zmienne decyzyjne (komórki czterech zmiennych decyzyjnych, które wyrażają wielkości zakupu poszczególnych rodzajów pasz). Następnie należy dodać oddzielnie wszystkie 7 warunków ograniczających. Żeby to zrobić, należy kliknąć w pole dodaj. Następnie należy dodać prawą i lewą stroną warunku ograniczającego oraz zaznaczyć zwrot nierówności. W przypadku równania należy wybrać symbol równości. Artur Piątkowski WZ UW Strona 14
Po dodaniu wszystkich warunków ograniczających powinno pojawić się siedem ograniczeń. Następnie należy zaznaczyć pole Ustaw wartości nieujemne dla zmiennych bez ograniczeń odpowiada ono za warunek trywialny/brzegowy (o nieujemności zmiennych decyzyjnych) oraz wybrać metodą rozwiązania modelu Algorytm Simpleks. Ostatnim krokiem jest wybranie pola ROZWIĄŻ. Artur Piątkowski WZ UW Strona 15
Po rozwiązaniu modelu z wykorzystaniem dodatku Solver zostały wyświetlone wartości zmiennych decyzyjnych (wielkości zakupu poszczególnych pasz), które gwarantują optymalną (minimalną) wielkość funkcji celu. Odp1.: Należy zakupić 21 jednostek paszy Lactoma HP, 20 jednostek paszy Unipro XP, 14 jednostek paszy Topsan oraz 10 jednostek paszy Sanolac Rot, aby roczny koszt wyżywienia bydła był najniższy i wynosił 11500 USD. W celu znaleznienia odpowiedzi na drugie pytanie należy przenanalizowac ostatni warunek ograniczający. Wynika z niego, że nie został wykorzystany cały limit paszy Sanolac Rot. Artur Piątkowski WZ UW Strona 16
Odp2.: Nie został wykorzystany cały limit paszy Sanolac Roc istnieje jeszcze 20 jednostek zapasu tej paszy, które można wykorzystać. W celu zbadania zmian rozwiązania optymalnego, pod wpływem zmiany cen poszczególnych pasz, należy zbudować nową funkcje celu F. Funkcja celu F (x 1, x 2, x 3, x 4 ) = 300x 1 + 250x 2 + 40x 3 + 50x 4 MIN Następnie nową funkcję celu należy zaimplementować do arkusza kalkulacyjnego oraz ustawić nowy cel (nową funkcję celu) w dodatku Solver i rozwiązać model. Odp3.: Zmiana cen pasz spowoduje, że zmienią się ich optymalne wielkości zakupu. Nowa kombinacja optymalnych wielkości zakupu wynosi: 15 jednostek paszy Lactoma HP, 20 jednostek paszy Unipro XP, 10 jednostek paszy Topsan oraz 30 jednostek paszy Sanolac Rot. Przy takich wielkościach zakupu roczny koszt wyżywienia bydła wyniesie 11400 USD. Jest to korzystne z ekonomicznego punktu widzenia, ponieważ funkcja celu zmniejszy się o 100 USD. Artur Piątkowski WZ UW Strona 17
W celu uzyskania odpowiedzi na ostanie pytanie należy dodać ósmy warunek ograniczający, który uwzględnia zależności pomiędzy ilością paszy Unipro XP oraz paszy Lactoma HP. x 2 x 1 Nowy warunek ograniczający należy zaimplementować do arkusza kalkulacyjnego oraz do dodatku Solver. Należy pamiętać, że badamy zależności w stosunku do modelu wyjściowego (w tym celu należy zmienić cel w dodatku Solver z F na F). Po rozwiązaniu modelu uzyskujemy nową wartość funkcji celu oraz nowie wielkości zakupu poszczególnych pasz. Odp4.: Jeżeli paszy Unipro XP trzeba będzie dostarczyć nie mniej niż paszy Lactoma HP, to zmienią się optymalne wielkości zakupu poszczególnych pasz. Będą one wynosiły: 22,5 jednostki paszy Lactoma HP, 22,5 jednostki paszy Unipro XP, 15 jednostek paszy Topsan oraz 5 jednostek paszy Sanolac Rot. Taka kombinacja zakupów zapewni optymalną wielkość funkcji celu na poziomie 11700 USD. Nie jest to korzystne z ekonomicznego punktu widzenia, ponieważ funkcja celu zwiększy się o 200 USD. Artur Piątkowski WZ UW Strona 18
Literatura 1. Guzik B. (2009). Wstęp do badań operacyjnych. Wydawnictwo Uniwersytetu Ekonomicznego, Poznań. 2. Kukuła K. (1999). Badania operacyjne w przykładach i zadaniach. PWN, Warszawa. 3. Lipiec-Zajchowska M. Wspomaganie procesów decyzyjnych. Tom III. Badania Operacyjne, Wyd. C.H. Beck, Warszawa 2003. 4. Radzikowski W. (1994). Badania operacyjne w zarządzaniu. Wydawnictwa Uniwersytetu Warszawskiego, Warszawa. 5. Sikora W. (2008). Badania operacyjne. PWE, Warszawa. Artur Piątkowski WZ UW Strona 19