Całka potrójna Całka potrójna po prostopadłoscianie Rozważmy prostopadłościan = {(x, y, z) R 2 : a x b, c y d, p z q}, gdzie a, b, c, d, p, q R, oraz funkcję trzech zmiennych f : R ograniczoną w tym prostopadłościanie. rostopadłościan dzielimy na n prostopadłościanów i o wymiarach x i, y i, z i, dla i {1, 2,..., n}, które mają rozłączne wnętrza. odział ten oznaczmy symbolem n. W każdym z prostopadłościanów i wybierzmy dowolnie punkt A i = (x i, y i, z i ), następnie wyznaczmy wartość funkcji f w tych punktach i rozważmy sumę postaci S n = n f (x i, y i, z i ) x i y i z i. (1) i=1 Sumę tę nazywamy sumą całkową funkcji f po prostopadłoscianie. Liczbę Dla każdego i {1, 2,..., n} niech d i oznacza długość przekątnej prostopadłościanu i, wtedy d i = ( x i ) 2 + ( y i ) 2 + ( z i ) 2. δ n = max {d 1, d 2,..., d n } nazywamy średnicą podziału n prostopadłościanu. Rozważmy następnie ciąg podziałów ( n ) n N prostopadłościanu. Ciąg taki nazywamy ciągiem normalnym podziałów, jeżeli odpowiadający mu ciąg średnic (δ n ) n N dąży do zera, tj. lim δ n = 0. n Jeżeli dla każdego normalnego ciągu podziałów prostopadłościanu ciąg sum całkowych (S n ) n N jest zbieżny do tej samej granicy właściwej, niezależnej od wyboru punktów pośrednich A i, to tę granicę nazywamy całką potrójną funkcji f po prostopadłościanie i oznaczamy symbolem f (x, y, z) dv lub f (x, y, z) dxdydz. (2) Jeżeli całka (2) istnieje, to mówimy, że funkcja f jest całkowalna po prostopadłościanie. Zwróćmy uwagę, że całka (2) oznacza granicę wspólną dla wszystkich ciągów sum całkowych, które można otrzymać, rozpatrując różne ciągi normalne podziałów prostopadłoscianu i niezależnie od nich wybierając na różne sposoby punkty A i. Inaczej mówiąc, istnienie całki (2) zapewnia to, że
każde dwie sumy całkowe (1) różnią się od siebie dowolnie mało, jeżeli tylko średnice podziałów, dla których zostały one utworzone, są dostatecznie małe. Fakt 1. (O całkowalności funkcji ciągłej) Jeżeli f jest ciągłą funkcją określoną na prostopadłościanie, to jest na nim całkowalna. Twierdzenie 1. (O liniowości całki) Jeżeli funkcje f i g są całkowalne po prostopadłościanie, to 1. (f (x, y, z) + g (x, y, z)) dv = f (x, y, z) dv + g (x, y, z) dv, 2. (f (x, y, z) g (x, y, z)) dv = f (x, y, z) dv g (x, y, z) dv, 3. (c f (x, y, z)) dv = c f (x, y, z) dv, gdzie c R. Twierdzenie 2. (O addytywności względem obszaru całkowania) Jeżeli funkcja f jest całkowalna po prostopadłościanie, to dla dowolnego podziału tego prostopadłościanu na prostopadłościany 1 i 2 o rozłącznych wnętrzach zachodzi równość f (x, y, z) dv = f (x, y, z) dv + f (x, y, z) dv. 1 2 Twierdzenie 3. (O zamianie całki potrójnej na całki iterowane) Jeżeli funkcja f jest ciągła na prostopadłościanie = [a, b] [c, d] [p, q], to q d b f (x, y, z) dv = f (x, y, z) dx dy dz. p c a waga 1. owyższe twierdzenie będzie prawdziwe także wtedy, gdy po prawej stronie równości napiszemy dowolną inną całkę iterowaną (w tym przypadku jest sześć rodzajów całek iterowanych). Twierdzenie 4. (Całka potrójna z funkcji o rozdzielonych zmiennych) Jeżeli f jest funkcją o rozdzielonych zmiennych, czyli f(x, y, z) = g(x)h(y)k(z), gdzie funkcje g, h i k są ciągłe odpowiednio na przedziałach [a, b], [c, d] i [p, q], to b d q f (x, y, z) dv = g (x) dx h (y) dy k (z) dz. [a,b] [c,d] [p,q] a c p
Całka potrójna po obszarze normalnym Niech R 3 będzie obszarem ograniczonym, dowolnym prostopadłościanem zawierającym obszar i niech f : R będzie funkcją ograniczoną. Rozważmy funkcję f : R określoną wzorem { f (x, y, z), (x, y, z) f (x, y, z) = 0, (x, y, z) \. Całkę potrójną funkcji f po obszarze definiujemy wzorem f (x, y, z) dv = f (x, y, z) dv, o ile całka po prawej stronie znaku równości istnieje. Mówimy wtedy, że funkcja f jest całkowalna na obszarze. Obszar domknięty nazywamy obszarem normalnym względem płaszczyzny xoy, jeżeli można go zapisać w postaci = {(x, y, z) : (x, y) D xy, g(x, y) z h(x, y)}, gdzie D xy jest obszarem regularnym na płaszczyźnie xoy, a funkcje g i h są ciągłe na D xy, przy czym g(x, y) < h(x, y), dla (x, y) należących do wnętrza obszaru D xy. Obszar domknięty nazywamy obszarem normalnym względem płaszczyzny xoz, jeżeli można go zapisać w postaci = {(x, y, z) : (x, z) D xz, p(x, z) y q(x, z)}, gdzie D xz jest obszarem regularnym na płaszczyźnie xoz, a funkcje p i q są ciągłe na D xz, przy czym p(x, z) < q(x, z), dla (x, z) należących do wnętrza obszaru D xz. Obszar domknięty nazywamy obszarem normalnym względem płaszczyzny yoz, jeżeli można go zapisać w postaci = {(x, y, z) : (y, z) D yz, r(y, z) x s(y, z)}, gdzie D yz jest obszarem regularnym na płaszczyźnie yoz, a funkcje r i s są ciągłe na D yz, przy czym r(y, z) < s(y, z), dla (y, z) należących do wnętrza obszaru D yz.
waga 2. Jeżeli jest obszarem normalnym względem płaszczyzny xoy, to D xy jest rzutem obszaru na tę płaszczyznę. Analogiczna uwaga jest prawdziwa również w pozostałych dwóch przypadkach. Twierdzenie 5. (Całki iterowane po obszarach normalnych) Jeżeli funkcja f jest ciągła na obszarze domkniętym = {(x, y, z) : (x, y) D, g(x, y) z h(x, y)}, normalnym względem płaszczyzny xoy, gdzie funkcje g i h są ciągłe na obszarze regularnym D, to h(x,y) f (x, y, z) dv = f (x, y, z) dz d. D g(x,y) waga 3. rawdziwe są także analogiczne wzory z całkami iterowanymi po obszarach normalnych względem pozostałych płaszczyzn układu. waga 4. Jeżeli obszar normalny względem płaszczyzny xoy można zapisać w postaci to zachodzi równość = {(x, y, z) : a x b, c(x) y d(x), g(x, y) z h(x, y)}, f (x, y, z) dv = b a d(x) c(x) h(x,y) g(x,y) f (x, y, z) dz dy dx. Całka potrójna po obszarze regularnym Obszarem regularnym w przestrzeni nazywamy sumę skończonej liczby obszarów normalnych względem płaszczyzn układu o parami rozłącznych wnętrzach. Twierdzenie 6. (Całka po obszarze regularnym w przestrzeni) Niech obszar regularny R 3 będzie sumą obszarów normalnych 1, 2,..., n R 3 o parami rozłącznych wnętrzach oraz niech funkcja f będzie całkowalna na. Wtedy f (x, y, z) dv = f (x, y, z) dv + f (x, y, z) dv +... + f (x, y, z) dv. 1 2 n waga 5. Całki po obszarach regularnych mają te same własności co całki po prostopadłościanach (liniowość, addytywność względem obszaru całkowania).
Wartość średnia funkcji na obszarze Wartością średnią funkcji f na obszarze R 3 nazywamy liczbę def f śr = 1 f (x, y, z) dv gdzie oznacza objętość obszaru. Twierdzenie 7. (O wartości średniej dla całek potrójnych) Jeżeli funkcja f jest ciągła na obszarze normalnym, to w tym obszarze istnieje taki punkt (x 0, y 0, z 0 ), że f śr = f(x 0, y 0, z 0 ). Zamiana zmiennych w całkach potrójnych Wspólrzędne walcowe ołożenie punktu w przestrzeni R 3 można opisać trójką liczb (α, r, h), gdzie: α - oznacza miarę kąta między rzutem promienia wodzącego punktu na płaszczyznę xoy, a dodatnią częścią osi Ox, czyli 0 α < 2π, r - oznacza odległość rzutu punktu na płaszczyznę xoy od początku układu współrzędnych, czyli 0 r <, h - oznacza odległość (dodatnią dla z > 0 i ujemną dla z < 0) punktu od płaszczyzny xoy, czyli < h <. Trójkę liczb (α, r, h) nazywamy współrzędnymi walcowymi punktu przestrzeni. Fakt 1. (Zależność między współrzędnymi walcowymi i kartezjańskimi) Współrzędne kartezjańskie (x, y, z) punktu przestrzeni danego we współrzędnych walcowych (α, r, h) określone są wzorami W : x = r cos α, y = r sin α, z = h. waga 6. rzekształcenie W, które punktowi (α, r, h) przyporządkowuje punkt (x, y, z) określony powyższymi wzorami, nazywamy przekształceniem walcowym. rzekształcenie walcowe W jest klasy C 1 i ma jakobian r sin α cos α 0 J(α, r, h) = r cos α sin α 0 0 0 1 = r sin2 α r cos 2 α = r.
Twierdzenie 8. (Współrzędne walcowe w całce potrójnej) Niech 1. obszar Ω we współrzędnych walcowych będzie obszarem normalnym, 2. funkcja f będzie ciągła w obszarze, który jest obrazem obszaru Ω przy przekształceniu walcowym, tzn. = W(Ω). Wtedy f (x, y, z) dv = f (r cos α, r sin α, h) r dhdrdα. Ω waga 7. Jeżeli we współrzędnych walcowych obszar Ω ma postać Ω = {(α, r, h) : β α γ, a(α) r b(α), c(α, r) h d(α, r)}, gdzie funkcje a i b są ciągłe na przedziale [β, γ] [0, 2π], a funkcje c i d są ciągłe na obszarze {(α, r) : β α γ, a(α) r b(α)}, to γ b(α) d(α,r) f (r cos α, r sin α, h) r dhdrdα = f (r cos α, r sin α, h) r dh dr dα. Ω β a(α) c(α,r) Współrzędne walcowe stosujemy głównie wtedy, gdy obszar całkowania jest ograniczony fragmentami powierzchni walców, sfer, stożków lub płaszczyzn. Wspólrzędne sferyczne ołożenie punktu w przestrzeni R 3 można opisać trójką liczb (α, β, r), gdzie: α - oznacza miarę kąta między rzutem promienia wodzącego punktu na płaszczyznę xoy, a dodatnią częścią osi Ox, czyli 0 α < 2π, β - oznacza miarę kąta między wektorem wodzącym punkrtu, a płaszczyzną xoy, czyli π 2 β π 2, r - oznacza odległość punktu od początku układu współrzędnych, czyli 0 r <. Trójkę liczb (α, β, r) nazywamy współrzędnymi sferycznymi punktu przestrzeni. waga 8. Współrzędne sferyczne (α, β, r) punktów położonych na powierzchni Ziemi są odpowiednio długością i szerokością geograficzną, a r jest promieniem Ziemi.
Fakt 2. (Zależność między współrzędnymi sferycznymi i kartezjańskimi) Współrzędne kartezjańskie (x, y, z) punktu przestrzeni danego we współrzędnych sferycznych (α, β, r) określone są wzorami S : x = r cos α cos β, y = r sin α cos β, z = r sin β. waga 9. rzekształcenie S, które punktowi (α, β, r) przyporządkowuje punkt (x, y, z) określony powyższymi wzorami, nazywamy przekształceniem sferycznym. rzekształcenie sferyczne S jest klasy C 1 i ma jakobian r sin α cos β r cos α sin β cos α cos β J(α, β, r) = r cos α cos β r sin α sin β sin α cos β 0 r cos β sin β = r2 cos β. Twierdzenie 9. (Współrzędne sferyczne w całce potrójnej) Niech 1. obszar Ω we współrzędnych sferycznych będzie obszarem normalnym, 2. funkcja f będzie ciągła w obszarze, który jest obrazem obszaru Ω przy przekształceniu sferycznym, tzn. = S(Ω). Wtedy f (x, y, z) dv = f (r cos α cos β, r sin α cos β, r sin β) r 2 cos β drdβdα. Ω waga 10. Jeżeli we współrzędnych sferycznych obszar Ω ma postać Ω = {(α, β, r) : ϕ α φ, a(α) β b(α), c(α, β) r d(α, β)}, gdzie funkcje a i b są ciągłe na przedziale [ϕ, φ] [0, 2π], a funkcje c i d są ciągłe na obszarze {(α, β) : ϕ α φ, a(α) β b(α)}, to f (r cos α cos β, r sin α cos β, r sin β) r 2 cos β drdβdα = = φ ϕ Ω b(α) a(α) d(α,β) c(α,β) f (r cos α cos β, r sin α cos β, r sin β) r 2 cos β dr dβ dα. Współrzędne sferyczne stosujemy głównie do opisu obszarów całkowania, które są ograniczone fragmentami sfer, stożków lub płaszczyzn.
Zastosowania całki potrójnej Całkę potrójną można zastosować między innymi w geometrii, do obliczenia objętości bryły. A mianowicie, objętość obszaru R 3 wyraża się wzorem: = dv. Całka potrójna ma ogromne zastosowanie w fizyce między innymi przy wyznaczaniu masy bryły, momentów statycznych, momentów bezwładności, natężenia pola elektrycznego, energii potencjalnej, czy energii kinetycznej. Więcej informacji na ten temat można znaleźć dla przykładu w książce: Marian Gewert, Zbigniew Skoczylas, Analiza matematyczna 2. Definicje, twierdzenia, wzory. Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2000.