Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14
|
|
- Sławomir Michałowski
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, /14
2 Zbiory przeliczalne Przyjmujemy, że = {0, 1, 2, 3, n-1} dla n>0 oraz = przy n=0. Zbiór skończony to zbiór bijektywny z pewnym zbiorem postaci. Zbiór nieskończony to zbiór, który nie jest skończony. Rozważając skończony zbiór n-elementowy X często używamy notacji ukrywającej w sobie bijekcję postaci. Liczba elementów skończonego zbioru X to jedyna liczba naturalna n taka, że istnieje bijekcja z w X. Liczbę te oznaczamy przez X. Oczywiście. Lemat: Zbiór X jest nieskończony wtedy i tylko wtedy, gdy nie istnieje injekcja z w X. Na przykład zbiór liczb rzeczywistych jest nieskończony.
3 Zbiór przeliczalny to zbiór skończony lub bijektywny z. Wnioski: Zbiór pusty jest przeliczalny, bo jest skończony, Zbiór liczb parzystych jest przeliczalny, bo jest bijekcją Zbiór liczb całkowitych jest przeliczalny, bo jest bijekcją z w. Zbiór liczb wymiernych jest przeliczalny, bo
4 Paradoks Hilberta (paradoks Grand Hotelu, paradoksu hotelu Hilberta) Wyobraźmy sobie, że jesteśmy portierem w Grand Hotelu, w którym jest nieskończona liczba pokoi. Wszystkie pokoje są już zajęte, gdy przychodzi do nas kolejny klient chcący wynająć pokój Na szczęście nasz hotel ma nieskończoną liczbę pokoi więc możemy wykonać sprytny trik: klienta z pokoju numer 1 przekwaterujemy do pokoju nr 2, tego z pokoju nr 2 do pokoju nr 3 itd W ten sposób wszyscy nasi wcześniejsi klienci mają gdzie mieszkać, a my mamy wolny pokój nr 1, do którego możemy zakwaterować naszego nowego gościa. Tak więc mimo że hotel był pełen, znalazło się miejsce dla nowego klienta...
5 Zasady zliczania ZASADA DODAWANIA Dla skończonych i rozłącznych zbiorów A i B mamy Dla zbiorów skończonych i parami rozłącznych mamy
6 ZASADA WŁĄCZANIA I WYŁĄCZANIA Dla zbiorów skończonych zachodzi (*) W szczególności,, o ile tylko A, B są skończone.
7 Dowód (*): Ponieważ trzy zbiory i są parami rozłączne i sumują się do, to na mocy zasady dodawania mamy: i stąd
8 ZASADA MNOŻENIA Jeżeli mamy wybrać dwa różne obiekty: pierwszy spośród m obiektów, a drugi spośród n obiektów, to liczba możliwych wyborów jest równa mn. Zasada ta mówi, że dla skończonych zbiorów X, Y mamy X Y = X Y. Przypomnijmy, że iloczyn kartezjański zbiorów X, Y to zbiór A zatem liczba par (x, y) Postać ogólniejsza: Jeżeli A 1, A 2, A n są zbiorami skończonymi to A 1 A 2 A n = A 1 A 2 A n. [Dowód przez indukcję]
9 Przykład Rozważ turniej rycerski między bractwem czerwonych a bractwem niebieskich. Bractwo czerwonych ma 12 rycerzy, bractwo niebieskich 15. Ile różnych indywidualnych pojedynków może być stoczonych, jeśli rycerze z tego samego bractwa nigdy ze sobą nie walczą? Niech C i N będą zbiorami rycerzy, odpowiednio z bractwa czerwonych i z bractwa niebieskich, każdy pojedynek może być interpretowany jako uporządkowana para, gdzie,. Zatem liczba pojedynków to liczność zbioru C N, więc C N = C N = = 180.
10 ZLICZANIE PODZBIORÓW Dla dowolnego, skończonego zbioru X zachodzi Współczynnik dwumianowy to liczba k-elementowych podzbiorów zbioru n-elementowego, tzn.. Wyrażenie czytamy n po k.
11 ZLICZANIE FUNKCJI Liczba funkcji Zbiór funkcji postaci oznaczamy przez. Dla skończonych zbiorów X, Y mamy: Dowód: zbiór funkcji z X w Y jest równoliczny z otrzymujemy, a z Zasady Mnożenia Y Y Y = Y Y Y = n m = Y X m m
12 Liczba injekcji Liczba injekcji ze zbioru skończonego X (k-elementowego) w zbiór skończony Y (n-elementowy) wynosi: Y! / ( Y - X )! = n! / (n-k)! = n(n-1) (n-k+1) = n k (dolna potęga krocząca) Liczba bijekcji Liczba bijekcji pomiędzy skończonymi zbiorami X i Y, gdzie = n wynosi n n = n!.
13 Przykłady 1. Trzech kolegów: Bartek, Paweł i Piotrek spotkali się w pubie tuż po zdanym egzaminie z matematyki dyskretnej. Okazało się, że jest pięć marek piwa do wyboru. Na ile sposobów mogą oni wypić pierwszą kolejkę? Każdy wybór marki piwa przez wszystkie 3 osoby możemy interpretować jako funkcję ze zbioru w pięcioelementowy zbiór marek piwa. A więc istnieje sposobów spożycia pierwszej kolejki. I tyleż sposobów dla każdej następnej. 2. Kod PIN jest kodem autoryzującym właściciela karty bankomatowej. Składa się on z cyfr dziesiętnych. Ile jest różnych kodów PIN? Każdy kod PIN to funkcja z czteroelementowego zbioru pozycji w dziesięcioelementowy zbiór cyfr. Kodów PIN jest dokładnie
14 3. Ile jest PIN-ów, czyli 4-elementowych słów złożonych z cyfr dziesiętnych takich, że żadna cyfra się nie powtarza? Każdy PIN z niepowtarzającymi się cyframi to injekcja z 4-elementowego zbioru pozycji w -elementowy zbiór cyfr. Zatem jest ich dokładnie.
15 4. Na kurs tańca uczęszcza pięciu chłopaków i pięć dziewcząt. Większość kroków tanecznych ćwiczy się parami. Dla urozmaicenia pary często się zmieniają. Na ile sposobów może być wykonany jeden taniec? Niech będzie zbiorem chłopaków, a zbiorem dziewcząt. Matematycznym modelem doboru par do tańca jest bijekcja. Zatem możliwych wyborów jest tyle samo co bijekcji pomiędzy 5-elementowymi zbiorami, czyli.
16 1 ZASADA SZUFLADKOWA DIRICHLETA (1ZSD) Jeśli n obiektów jest rozmieszczonych w m szufladach i n > m > 0, to istnieje szuflada z przynajmniej dwoma obiektami. 2 ZASADA SZUFLADKOWA DIRICHLETA (2ZSD) Jeśli n obiektów jest rozmieszczonych w m szufladach i n > m > 0, to co najmniej jedna szuflada ma n/m lub więcej elementów oraz co najmniej jedna szuflada ma n/m lub mniej elementów. Ta postać zasady mówi, że w zbiorze danych wszystkie wartości nie mogą leżeć równocześnie powyżej średniej ani równocześnie poniżej średniej. Wniosek z 2ZSD Jeżeli dana jest funkcja f: X Y, gdzie X =n, Y =m, to istnieją y 1, y 2 takie, że f -1 (y 1 ) n/m oraz f -1 (y 2 ) n/m.
17 Dowód 2ZSD Zakładam, że każdy z podzbiorów ma mniej niż n/m elementów, czyli co najwyżej n/m 1 elementów. Wtedy cały zbiór ma ich co najwyżej m ( n/m 1), czyli n m ( n/m 1), czyli n/m +1 n/m. Ale to jest sprzeczne z oczywistą własnością, że x + 1 > x. Proszę ją udowodnić. Dowód drugiej części przebiega analogicznie. Proszę go wykonać. Dowód 1ZSD Przy n > m > 0 wartość n/m jest 2.
18 3 ZASADA SZUFLADKOWA DIRICHLETA (3ZSD) Jeśli n obiektów rozmieszczonych jest w m szufladach i n>mr, dla pewnego naturalnego r, to istnieje szufladka z co najmniej r+1 obiektami. Wniosek z 3ZSD Jeżeli dana jest funkcja f: X Y, gdzie X =n, Y =m, oraz n>mr, dla pewnego naturalnego r, to co najmniej jeden ze zbiorów f --1 (y) ma więcej niż r elementów. Dowód 3ZSD Z 2ZSD co najmniej jedna szuflada ma n/m lub więcej elementów oraz n>mr, dla pewnego naturalnego r. Zatem n/m > r. Czyli szuflada ta ma co najmniej r+1 elementów.
19 4 ZASADA SZUFLADKOWA DIRICHLETA (UZSD) Niech X 1, X 2, X m będą podzbiorami n-elementowego zbioru X. Każdy element z X należy do co najmniej t spośród zbiorów X i. Wtedy średnia arytmetyczna liczb elementów zbiorów X i wynosi co najmniej tn/m. Dowód 4ZSD Niech P = {(x, i): x X i }. Zbiór P można rozpisać na dwa sposoby: jako suma zbiorów po i=1 m i jako suma zbiorów po x X. P = {(x, 1): x X 1 } {(x, 2): x X 2 } {(x, m): x X m } i wtedy P = Σ X i. i=1 m P = Σ{(x, i): x X i } i wtedy P tn. x X Zatem średnia arytmetyczna (1/m) Σ X i tn/m. i=1 m
20 Przykład Wśród mieszkańców Krakowa co najmniej dwie osoby mają tę samą liczbę włosów na głowie. Dowód: Rzeczywiście, liczba włosów na głowie człowieka nie przekracza, natomiast liczba mieszkańców Krakowa przekracza. Weźmy szufladek ponumerowanych kolejnymi liczbami naturalnymi od do i wkładajmy do szufladki o danym numerze osoby, które mają taką liczbę włosów na głowie, jak numer szufladki. Ponieważ osób jest, a szufladek, z Zasady Szufladkowej wynika, że w jednej szufladce muszą znaleźć się co najmniej dwie osoby.
21 Przykład W grupie osób muszą być co najmniej dwie, które urodziły się w tym samym miesiącu. Dowód: Weźmy szufladek z nazwami miesięcy i wkładajmy do nich osoby, które urodziły się w danym miesiącu. Ponieważ osób jest, a szufladek, w jednej z nich muszą być co najmniej dwie osoby. Przykład Pewna grupa osób wita się podając sobie ręce. Nikt nie wita się z samym sobą i żadna para osób nie wita się podwójnie (czyli można przywitać co najwyżej n-1 osób). Czy muszą być dwie osoby, które witały taką samą liczbę osób?
22 Dowód: Gdy jest n osób, to każda z nich przywita 0 lub 1 lub 2 lub... n-1 osób. Utwórzmy więc n szuflad z etykietami i umieśćmy osobę w szufladzie o etykiecie k, jeśli witała się z dokładnie k osobami. Skoro jest n osób i n szuflad, to... niewiele z tego wynika. Ale... niewiele wynika tylko jeśli wszystkie szuflady będą zajęte, a tak jest w przypadku, gdy również dwa konkretne pudełka o etykietach 0 i n-1 są zajęte. Tyle, że nie jest to możliwe - nie może być osoby, która przywitała wszystkie pozostałe i równocześnie takiej osoby, która nie przywitała nikogo. A zatem n osób zajęło co najwyżej n-1 szuflad, więc w jednej z nich są co najmniej dwie osoby - takie, które przywitały tę samą liczbę osób.
23 Przykład Wybierzmy dowolnie różnych liczb naturalnych spośród. Pokażemy, że w zbiorze można wybrać dwa rozłączne podzbiory, dające tę samą sumę. Dowód: Szuflady poetykietujmy liczbami reprezentującymi możliwe sumy liczb w co najwyżej 10-cio elementowych podzbiorach zbioru {1, 2, 100}. Ponieważ największa możliwa taka suma to =955, to mamy 955 szuflad z etykietami:. Z drugiej strony -cio elementowy zbiór ma podzbiory, więc muszą być dwa różne podzbiory zbioru o tej samej sumie, a te dwa podzbiory nie muszą być rozłączne, ale jeśli z obu z nich usuniemy wspólne liczby, to pozostałe dalej będą dawać takie same sumy, a powstałe zbiory będą już rozłączne.
24 Przykład Jeżeli na 3 półkach znajduje się 11 książek, to na jednej z nich musi być nie więcej niż 3 książki a na innej nie mniej niż 4 książki. 4 Przykład Niech A będzie 9-cio elementowym podzbiorem {1, 2, 30}. Należy pokazać, że w zbiorze A istnieją dwa różne podzbiory 4-elementowe o tej samej sumie elementów. 9 Po pierwsze, w zbiorze A mamy =126 różnych podzbiorów 4-elementowych. Po drugie, najmniejsza suma wynosi =10. Po trzecie, największa =114. Możliwych jest więc =105 różnych sum. Ponumerujmy szuflady tymi sumami. Na mocy 2ZSD co najmniej jedna szuflada musi mieć co najmniej 126 elementów, czyli co najmniej elementy.
25 Przykład W kwadracie o boku 2 umieścimy 5 punktów. Co najmniej dwa z nich są oddalone o nie więcej niż 2. Dzielimy nasz kwadrat na cztery kwadraty o bokach 1 i przekątnych 2. Zgodnie z 1ZSD jeden z tych kwadratów musi zawierać dwa punkty, więc ich odległość nie jest większa od przekątnej kwadratu. Przykład Z grupy 21 posłów każdy uczestniczy w co najmniej dwóch komisjach śledczych. Powołano 7 komisji. Z 4ZSD średnia liczebność komisji wynosi co najmniej 2 21/7 = 6.
26 Przykład Jeśli 83 jabłka umieszczono w 9 skrzynkach, to jedna ze skrzynek zawiera co najmniej 10 jabłek, bo 83/9 = 10. Istnieje również skrzynka, która zawiera co najwyżej 83/9 = 9 jabłek. Jeśli dwie skrzynki są puste to któraś ze skrzynek ma co najmniej 12 jabłek. Z 2ZSD jabłka są rozmieszczone w 7 skrzynkach, więc istnieje skrzynka, która ma co najmniej 83/7 =12 jabłek.
27 Przykład Ile co najwyżej razy można rzucić parą kostek bez otrzymywania dwukrotnie tej samej sumy oczek? Szuflada oznacza wszystkie wyniki dające tę samą sumę oczek. Takich szuflad będzie od 2 do 12, czyli 11. Tylko ciąg po jednym elemencie z każdej szuflady daje zadany wynik. Dwunasty rzut trafi do jednej z szuflad, które już wystąpiły w ciągu.
28 Przykład Wykazać, że jeśli 10 liczb naturalnych daje w sumie 101, to są wśród nich 3 liczby, których suma wynosi co najmniej 31. I sposób Ponumerujmy te liczby jako a 1, a 2, a 10. Następnie wypiszmy 3 rzędy: a 1, a 2, a 8, a 9, a 10 a 2, a 3, a 9, a 10, a 1 a 3, a 4, a 10, a 1, a 2 Suma tych 30 liczb wynosi 303. Jedna z 10 kolumn musi mieć sumę równą co najmniej 303/100 (czyli 31). II sposób Podzielmy 10 liczb na 5 par. Jedna z tych par musi mieć sumę co najmniej 21. Oznaczmy ją przez s. Z pozostałych 8 liczb jedna musi być równa co najmniej 1/8 ich sumy. Wtedy s+ 8 1 (101-s) = 8 7 s =
29 Generowanie podzbiorów Weźmy n-elementowy zbiór X={x 1, x 2 x n }. Każdemu podzbiorowi Y X przyporządkujemy ciąg binarny b 0 b 1 b n-1 określony następująco: b i 0 : = 1: x x i+ 1 i+ 1 Y Y Otrzymujemy wtedy wzajemnie jednoznaczną odpowiedniość pomiędzy elementami P(X) a ciągami binarnymi długości n, czyli liczbami binarnymi z przedziału [0, 2 n 1] postaci b i 2 i oznaczanymi dalej przez [b n-1 b 0 ]. i = 0 n-1 Ciąg binarny stanowi wygodną reprezentację maszynową podzbioru X, a kolejne liczby binarne określą wszystkie podzbiory zbioru X.
30 W wielu sytuacjach zależy nam, by kolejny generowany podzbiór niewielu różnił się od poprzedniego. W tym celu zamiast kolejnych liczb binarnych generuje się kolejne liczby tzw. kodu Greya. Kod ten powstaje w wyniku zastosowania następującej obserwacji: Jeżeli ciąg C 1, C 2, C m zawiera wszystkie 2 k ciągi binarne długości k, przy czym C i różni się od C i+1 na dokładnie jednej pozycji (i=1, 2 m-1), to ciąg postaci C 1 0, C 2 0, C m 0, C m 1, C m-1 1, C 1 1 zawiera wszystkie ciągi binarne długości k+1 oraz każde dwa sąsiednie ciągi binarne różnią się na dokładnie jednej pozycji. Przykład dla k=4 0000, 1000, 1100, 0100, 0110, 1110, 1010, 0010, 1100, 1011, 1111, 0111, 0101, 1101, 1001, 0001.
31 ZBIÓR Z POWTÓRZENIAMI A=B wtw gdy mają te same elementy w tych samych krotnościach. A B wtw jeśli każdy element z A występuje w B (krotność każdego elementu w A jest nie większa od krotności tego elementu w B). Niech X zawiera elementy x 1, x 2, x n, odpowiednio o krotnościach k 1, k 2, k n. Licznością zbioru X nazwiemy sumę krotności, czyli X = k 1 + k k n. Każdemu podzbiorowi A X odpowiada jednoznacznie ciąg (m 1, m n ), gdzie 0 m 1 k 1, 0 m n k n. Wniosek: wszystkich podzbiorów torby X jest (k 1 +1)(k 2 +1) (k n +1). Generowanie podzbiorów można przeprowadzić w sposób podobny do tego opartego na kodzie Greya.
Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, A/14
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2019 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 9A/14 Zasada Dirichleta 1 ZASADA SZUFLADKOWA DIRICHLETA (1ZSD) Jeśli n obiektów jest rozmieszczonych w m szufladach i n > m > 0, to
Bardziej szczegółowoZadania. SiOD Cwiczenie 1 ;
1. Niech A będzie zbiorem liczb naturalnych podzielnych przez 6 B zbiorem liczb naturalnych podzielnych przez 2 C będzie zbiorem liczb naturalnych podzielnych przez 5 Wyznaczyć zbiory A B, A C, C B, A
Bardziej szczegółowo1. Rozwiązać układ równań { x 2 = 2y 1
Dzień Dziecka z Matematyką Tomasz Szymczyk Piotrków Trybunalski, 4 czerwca 013 r. Układy równań szkice rozwiązań 1. Rozwiązać układ równań { x = y 1 y = x 1. Wyznaczając z pierwszego równania zmienną y,
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2017 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 9/14 Zasada Dirichleta 1 ZASADA SZUFLADKOWA DIRICHLETA (1ZSD) Jeśli n obiektów jest rozmieszczonych w m szufladach i n > m > 0, to
Bardziej szczegółowoTemat: Funkcje. Własności ogólne. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 1
Temat: Funkcje. Własności ogólne A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 1 Kody kolorów: pojęcie zwraca uwagę * materiał nieobowiązkowy A n n a R a
Bardziej szczegółowo14.Rozwiązywanie zadań tekstowych wykorzystujących równania i nierówności kwadratowe.
Matematyka 4/ 4.Rozwiązywanie zadań tekstowych wykorzystujących równania i nierówności kwadratowe. I. Przypomnij sobie:. Wiadomości z poprzedniej lekcji... Że przy rozwiązywaniu zadań tekstowych wykorzystujących
Bardziej szczegółowoOpis programu do wizualizacji algorytmów z zakresu arytmetyki komputerowej
Opis programu do wizualizacji algorytmów z zakresu arytmetyki komputerowej 3.1 Informacje ogólne Program WAAK 1.0 służy do wizualizacji algorytmów arytmetyki komputerowej. Oczywiście istnieje wiele narzędzi
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2013 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 8/15 Zbiory przeliczalne Przyjmujemy, że = {0, 1, 2, 3, n 1} dla n>0 oraz = przy n=0. Zbiór skończony to zbiór bijektywny z pewnym
Bardziej szczegółowoO ROZWIĄZYWANIU ZADAŃ Z RACHUNKU
Materiał współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego. O ROZWIĄZYWANIU ZADAŃ Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA Autor: Edward Stachowski Materiały konferencyjne
Bardziej szczegółowoOgólna charakterystyka kontraktów terminowych
Jesteś tu: Bossa.pl Kurs giełdowy - Część 10 Ogólna charakterystyka kontraktów terminowych Kontrakt terminowy jest umową pomiędzy dwiema stronami, z których jedna zobowiązuje się do nabycia a druga do
Bardziej szczegółowoRozdział 6. Pakowanie plecaka. 6.1 Postawienie problemu
Rozdział 6 Pakowanie plecaka 6.1 Postawienie problemu Jak zauważyliśmy, szyfry oparte na rachunku macierzowym nie są przerażająco trudne do złamania. Zdecydowanie trudniejszy jest kryptosystem oparty na
Bardziej szczegółowoMetoda LBL (ang. Layer by Layer, pol. Warstwa Po Warstwie). Jest ona metodą najprostszą.
Metoda LBL (ang. Layer by Layer, pol. Warstwa Po Warstwie). Jest ona metodą najprostszą. Po pierwsze - notacja - trzymasz swoją kostkę w rękach? Widzisz ścianki, którymi można ruszać? Notacja to oznaczenie
Bardziej szczegółowo2.Prawo zachowania masy
2.Prawo zachowania masy Zdefiniujmy najpierw pewne podstawowe pojęcia: Układ - obszar przestrzeni o określonych granicach Ośrodek ciągły - obszar przestrzeni którego rozmiary charakterystyczne są wystarczająco
Bardziej szczegółowoPodstawowe pojęcia: Populacja. Populacja skończona zawiera skończoną liczbę jednostek statystycznych
Podstawowe pojęcia: Badanie statystyczne - zespół czynności zmierzających do uzyskania za pomocą metod statystycznych informacji charakteryzujących interesującą nas zbiorowość (populację generalną) Populacja
Bardziej szczegółowoRegulamin szkolnego konkursu matematycznego dla uczniów klasy II i III: Mały Matematyk
Marzena Kococik Olga Kuśmierczyk Szkoła Podstawowa im. Marii Konopnickiej w Krzemieniewicach Regulamin szkolnego konkursu matematycznego dla uczniów klasy II i III: Mały Matematyk Konkursy wyzwalają aktywność
Bardziej szczegółowoKOMBINATORYKA I RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA
KOMBINATORYKA I RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA Ile róŝnych liczb trzycyfrowych podzielnych przez moŝna zapisać za pomocą cyfr :,,,4, Na ile sposobów moŝna ustawić na półce sześć ksiąŝek tak, aby dwie wybrane
Bardziej szczegółowoPodstawowe działania w rachunku macierzowym
Podstawowe działania w rachunku macierzowym Marcin Detka Katedra Informatyki Stosowanej Kielce, Wrzesień 2004 1 MACIERZE 1 1 Macierze Macierz prostokątną A o wymiarach m n (m wierszy w n kolumnach) definiujemy:
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /10
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2018 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 6/10 Zasada Dirichleta 1 ZASADA SZUFLADKOWA DIRICHLETA (1ZSD) Jeśli n obiektów jest rozmieszczonych w m szufladach i n > m > 0, to
Bardziej szczegółowoNUMER IDENTYFIKATORA:
Społeczne Liceum Ogólnokształcące z Maturą Międzynarodową im. Ingmara Bergmana IB WORLD SCHOOL 53 ul. Raszyńska, 0-06 Warszawa, tel./fax 668 54 5 www.ib.bednarska.edu.pl / e-mail: liceum.ib@rasz.edu.pl
Bardziej szczegółowoKONSPEKT LEKCJI MATEMATYKI. Z WYKORZYSTANIEM METOD AKTYWIZUJĄCYCH w klasie I gimnazjum. TEMAT: Działania łączne na liczbach wymiernych
KONSPEKT LEKCJI MATEMATYKI Z WYKORZYSTANIEM METOD AKTYWIZUJĄCYCH w klasie I gimnazjum TEMAT: Działania łączne na liczbach wymiernych Cele lekcji: Cel ogólny: - utrwalenie wiadomościiumiejętności z działu
Bardziej szczegółowoFunkcja. x X! y Y : x, y f. f : X Y f x = y f : x y. Funkcja o dziedzinie X i przeciwdziedzinie Y to dowolna relacja f XxY taka, że: Notacje:
Funkcja Funkcja o dziedzinie X i przeciwdziedzinie Y to dowolna relacja f XxY taka, że: Notacje: x X! y Y : x, y f f : X Y f x = y f : x y Przykłady f: N N, f(n) = 2n f: N R, f(n) = n/2 f: N {13}, f(n)
Bardziej szczegółowoWykład 1 Tomasz Żak Instytut Matematyki i Informatyki C-11, pok. 313, www.im.pwr.wroc.pl/ zak
Wykład 1 Tomasz Żak Instytut Matematyki i Informatyki C-11, pok. 313, www.im.pwr.wroc.pl/ zak Zasady zaliczenia Zajęcia są obowiązkowe, wolno opuścić 4 godziny. W semestrze 2 kolokwia po 50 punktów. Rozwiązywanie
Bardziej szczegółowoDE-WZP.261.11.2015.JJ.3 Warszawa, 2015-06-15
DE-WZP.261.11.2015.JJ.3 Warszawa, 2015-06-15 Wykonawcy ubiegający się o udzielenie zamówienia Dotyczy: postępowania prowadzonego w trybie przetargu nieograniczonego na Usługę druku książek, nr postępowania
Bardziej szczegółowoREGULAMIN TURNIEJU SPORTOWEJ GRY KARCIANEJ KANASTA W RAMACH I OGÓLNOPOLSKIEGO FESTIWALU GIER UMYSŁOWYCH 55+ GORZÓW WLKP. 2013 R.
REGULAMIN TURNIEJU SPORTOWEJ GRY KARCIANEJ KANASTA W RAMACH I OGÓLNOPOLSKIEGO FESTIWALU GIER UMYSŁOWYCH 55+ GORZÓW WLKP. 2013 R. Termin: 13 kwietnia 2013 r. godz. 10:45 15:45 Miejsce: WiMBP im. Zbigniewa
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI
Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. MMA 016 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL miejsce na naklejkę dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY DATA: 9
Bardziej szczegółowoZapisy na kursy B i C
Instytut Psychologii Uniwersytetu Gdańskiego Zapisy na kursy B i C rok akademicki 2016 / 2017 procedura i terminarz Gdańsk, 2016 Tok studiów w Instytucie Psychologii UG Poziomy nauczania i ścieżki specjalizacyjne
Bardziej szczegółowoHarmonogramowanie projektów Zarządzanie czasem
Harmonogramowanie projektów Zarządzanie czasem Zarządzanie czasem TOMASZ ŁUKASZEWSKI INSTYTUT INFORMATYKI W ZARZĄDZANIU Zarządzanie czasem w projekcie /49 Czas w zarządzaniu projektami 1. Pojęcie zarządzania
Bardziej szczegółowoZadanie 1. Liczba szkód w każdym z trzech kolejnych lat dla pewnego ubezpieczonego ma rozkład równomierny:
Matematyka ubezpieczeń majątkowych 5.2.2008 r. Zadanie. Liczba szkód w każdym z trzech kolejnych lat dla pewnego ubezpieczonego ma rozkład równomierny: Pr ( N = k) = 0 dla k = 0,, K, 9. Liczby szkód w
Bardziej szczegółowoPODSTAWY METROLOGII ĆWICZENIE 4 PRZETWORNIKI AC/CA Międzywydziałowa Szkoła Inżynierii Biomedycznej 2009/2010 SEMESTR 3
PODSTAWY METROLOGII ĆWICZENIE 4 PRZETWORNIKI AC/CA Międzywydziałowa Szkoła Inżynierii Biomedycznej 29/2 SEMESTR 3 Rozwiązania zadań nie były w żaden sposób konsultowane z żadnym wiarygodnym źródłem informacji!!!
Bardziej szczegółowoOFERTA WYKŁADÓW, WARSZTATÓW I LABORATORIÓW DLA UCZNIÓW KLAS IV- VI SZKÓŁ PODSTAWOWYCH, GIMNAZJALNYCH I ŚREDNICH
OFERTA WYKŁADÓW, WARSZTATÓW I LABORATORIÓW DLA UCZNIÓW KLAS IV- VI SZKÓŁ PODSTAWOWYCH, GIMNAZJALNYCH I ŚREDNICH Strona 1 z 9 SPIS ZAJĘĆ WRAZ Z NAZWISKAMI WYKŁADOWCÓW dr hab. Mieczysław Kula Poznaj swój
Bardziej szczegółowoJak korzystać z Group Tracks w programie Cubase na przykładzie EWQLSO Platinum (Pro)
Jak korzystać z Group Tracks w programie Cubase na przykładzie EWQLSO Platinum (Pro) Uwaga: Ten tutorial tworzony był z programem Cubase 4 Studio, ale równie dobrze odnosi się do wcześniejszych wersji,
Bardziej szczegółowoPRAWA ZACHOWANIA. Podstawowe terminy. Cia a tworz ce uk ad mechaniczny oddzia ywuj mi dzy sob i z cia ami nie nale cymi do uk adu za pomoc
PRAWA ZACHOWANIA Podstawowe terminy Cia a tworz ce uk ad mechaniczny oddzia ywuj mi dzy sob i z cia ami nie nale cymi do uk adu za pomoc a) si wewn trznych - si dzia aj cych na dane cia o ze strony innych
Bardziej szczegółowoBADANIE UMIEJĘTNOŚCI UCZNIÓW W TRZECIEJ KLASIE GIMNAZJUM CZĘŚĆ MATEMATYCZNO-PRZYRODNICZA
BADANIE UMIEJĘTNOŚCI UCZNIÓW W TRZECIEJ KLASIE GIMNAZJUM CZĘŚĆ MATEMATYCZNO-RZYRODNICZA MATEMATYKA TEST 4 Zadanie 1 Dane są punkty A = ( 1, 1) oraz B = (3, 2). Jaką długość ma odcinek AB? Wybierz odpowiedź
Bardziej szczegółowo'()(*+,-./01(23/*4*567/8/23/*98:)2(!."/+)012+3$%-4#"4"$5012#-4#"4-6017%*,4.!"#$!"#%&"!!!"#$%&"#'()%*+,-+
'()(*+,-./01(23/*4*567/8/23/*98:)2(!."/+)012+3$%-4#"4"$5012#-4#"4-6017%*,4.!"#$!"#%&"!!!"#$%&"#'()%*+,-+ Ucze interpretuje i tworzy teksty o charakterze matematycznym, u ywa j zyka matematycznego do opisu
Bardziej szczegółowoZintegrowane Systemy Zarządzania Biblioteką SOWA1 i SOWA2 SKONTRUM
Zintegrowane Systemy Zarządzania Biblioteką SOWA1 i SOWA2 SKONTRUM PROGRAM INWENTARYZACJI Poznań 2011 Spis treści 1. WSTĘP...4 2. SPIS INWENTARZA (EWIDENCJA)...5 3. STAŁE UBYTKI...7 4. INTERPRETACJA ZAŁĄCZNIKÓW
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA 4 INSTYTUT MEDICUS FUNKCJA KWADRATOWA. Kurs przygotowawczy na studia medyczne. Rok szkolny 2010/2011. tel. 0501 38 39 55 www.medicus.edu.
INSTYTUT MEDICUS Kurs przygotowawczy na studia medyczne Rok szkolny 00/0 tel. 050 38 39 55 www.medicus.edu.pl MATEMATYKA 4 FUNKCJA KWADRATOWA Funkcją kwadratową lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję
Bardziej szczegółowoXIII KONKURS MATEMATYCZNY
XIII KONKURS MTMTYZNY L UZNIÓW SZKÓŁ POSTWOWYH organizowany przez XIII Liceum Ogólnokształcace w Szczecinie FINŁ - 19 lutego 2013 Test poniższy zawiera 25 zadań. Za poprawne rozwiązanie każdego zadania
Bardziej szczegółowoCzas pracy 170 minut
ORGANIZATOR WSPÓŁORGANIZATOR PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MARZEC ROK 013 POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 170 minut Instrukcja dla piszącego 1. Sprawdź, czy arkusz zawiera 16 stron.. W zadaniach od
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI CZERWIEC 2012 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY
Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 010 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN
Bardziej szczegółowoASD - ćwiczenia III. Dowodzenie poprawności programów iteracyjnych. Nieformalnie o poprawności programów:
ASD - ćwiczenia III Dowodzenie poprawności programów iteracyjnych Nieformalnie o poprawności programów: poprawność częściowa jeżeli program zakończy działanie dla danych wejściowych spełniających założony
Bardziej szczegółowoBioinformatyka Laboratorium, 30h. Michał Bereta mbereta@pk.edu.pl www.michalbereta.pl
Bioinformatyka Laboratorium, 30h Michał Bereta mbereta@pk.edu.pl www.michalbereta.pl 1 Filogenetyka molekularna wykorzystuje informację zawartą w sekwencjach aminokwasów lub nukleotydów do kontrukcji drzew
Bardziej szczegółowoPIZZA FIESTA. CO MOŻNA ZOBACZYĆ NA KOSTCE? Składniki ( ryba, papryka, pieczarki, salami, ser)
22705 PIZZA FIESTA Kto poradzi sobie pierwszy ze złożeniem składników na pizze? Zwycięzcą jest gracz, który jako pierwszy zapełni dwie karty pizzy. Zawartość: -4 kawałki pizzy -6 kawałków ryby -6 kawałków
Bardziej szczegółowoSCRIBA JUNIOR SCRIBA JUNIOR I
INSTRUKCJA SCRIBA JUNIOR Wprowadzenie: Scriba junior to dwie gry słowne, w których mogą uczestniczyć dzieci młodsze i starsze. Pierwsza z nich - Scriba junior I (z klaunem) - skierowana jest przede wszystkim
Bardziej szczegółowoElementy cyfrowe i układy logiczne
Elementy cyfrowe i układy logiczne Wykład Legenda Zezwolenie Dekoder, koder Demultiplekser, multiplekser 2 Operacja zezwolenia Przykład: zamodelować podsystem elektroniczny samochodu do sterowania urządzeniami:
Bardziej szczegółowoWYŚCIG ORTOGRAFICZNY INSTRUKCJA. gra edukacyjna dla 2-3 osób rekomendowany wiek: od lat 7
INSTRUKCJA WYŚCIG ORTOGRAFICZNY gra edukacyjna dla 2-3 osób rekomendowany wiek: od lat 7 zawartość pudełka: 1) tabliczki z obrazkami - 32 szt. 2) pionek - 1 szt. 3) plansza 4) kostka 5) żetony - 30 szt.
Bardziej szczegółowoPolitechnika Warszawska Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych ul. Koszykowa 75, 00-662 Warszawa
Zamawiający: Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych Politechniki Warszawskiej 00-662 Warszawa, ul. Koszykowa 75 Przedmiot zamówienia: Produkcja Interaktywnej gry matematycznej Nr postępowania: WMiNI-39/44/AM/13
Bardziej szczegółowoInstalacja. Zawartość. Wyszukiwarka. Instalacja... 1. Konfiguracja... 2. Uruchomienie i praca z raportem... 4. Metody wyszukiwania...
Zawartość Instalacja... 1 Konfiguracja... 2 Uruchomienie i praca z raportem... 4 Metody wyszukiwania... 6 Prezentacja wyników... 7 Wycenianie... 9 Wstęp Narzędzie ściśle współpracujące z raportem: Moduł
Bardziej szczegółowoKONKURSY MATEMATYCZNE. Treść zadań
KONKURSY MATEMATYCZNE Treść zadań Wskazówka: w każdym zadaniu należy wskazać JEDNĄ dobrą odpowiedź. Zadanie 1 Wlewamy 1000 litrów wody do rurki w najwyższym punkcie systemu rurek jak na rysunku. Zakładamy,
Bardziej szczegółowoKurs z matematyki - zadania
Kurs z matematyki - zadania Miara łukowa kąta Zadanie Miary kątów wyrażone w stopniach zapisać w radianach: a) 0, b) 80, c) 90, d), e) 0, f) 0, g) 0, h), i) 0, j) 70, k), l) 80, m) 080, n), o) 0 Zadanie
Bardziej szczegółowoWarszawska Giełda Towarowa S.A.
KONTRAKT FUTURES Poprzez kontrakt futures rozumiemy umowę zawartą pomiędzy dwoma stronami transakcji. Jedna z nich zobowiązuje się do kupna, a przeciwna do sprzedaży, w ściśle określonym terminie w przyszłości
Bardziej szczegółowoKOMISJA NADZORU FINANSOWEGO
KOMISJA NADZORU FINANSOWEGO PLAC POWSTAŃ CÓW WARSZAWY 1, 00-950 WARSZAWA WNIOSEK O ZATWIERDZENIE ANEKSU DO PROSPEKTU EMISYJNEGO zatwierdzonego w dniu 6 marca 2008 r. decyzją nr DEM/410/4/26/08 (Na podstawie
Bardziej szczegółowoTEORIA GIER W EKONOMII WYKŁAD 1: GRY W POSTACI EKSTENSYWNEJ I NORMALNEJ
TEORIA GIER W EKONOMII WYKŁAD : GRY W POSTACI EKSTENSYWNEJ I NORMALNEJ dr Robert Kowalczyk Katedra Analizy Nieliniowej Wydział Matematyki i Informatyki UŁ Schemat gry. Początek gry. 2. Ciąg kolejnych posunięć
Bardziej szczegółowoWarunki Oferty PrOmOcyjnej usługi z ulgą
Warunki Oferty PrOmOcyjnej usługi z ulgą 1. 1. Opis Oferty 1.1. Oferta Usługi z ulgą (dalej Oferta ), dostępna będzie w okresie od 16.12.2015 r. do odwołania, jednak nie dłużej niż do dnia 31.03.2016 r.
Bardziej szczegółowoI. Zakładanie nowego konta użytkownika.
I. Zakładanie nowego konta użytkownika. 1. Należy wybrać przycisk załóż konto na stronie głównej. 2. Następnie wypełnić wszystkie pola formularza rejestracyjnego oraz zaznaczyć akceptację regulaminu w
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 8. Postacie obrazów na różnych etapach procesu przetwarzania
WYKŁAD 8 Reprezentacja obrazu Elementy edycji (tworzenia) obrazu Postacie obrazów na różnych etapach procesu przetwarzania Klasy obrazów Klasa 1: Obrazy o pełnej skali stopni jasności, typowe parametry:
Bardziej szczegółowo12. 1. REGUŁA MNOśENIA I REGUŁA DODAWANIA
2.. REGUŁA MNOśENIA I REGUŁA DODAWANIA Zasada mnoŝenia: JeŜeli wybór polega na podjęciu kolejno k decyzji, przy czym pierwszą z nich moŝna podjąć na n sposobów, drugą na n 2 sposobów,..., n tą na n k sposobów,
Bardziej szczegółowoKomentarz technik ochrony fizycznej osób i mienia 515[01]-01 Czerwiec 2009
Strona 1 z 19 Strona 2 z 19 Strona 3 z 19 Strona 4 z 19 Strona 5 z 19 Strona 6 z 19 Strona 7 z 19 W pracy egzaminacyjnej oceniane były elementy: I. Tytuł pracy egzaminacyjnej II. Założenia do projektu
Bardziej szczegółowoMATERIAŁY DIAGNOSTYCZNE Z MATEMATYKI
MATERIAŁY DIAGNOSTYCZNE Z MATEMATYKI LUTY 01 POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 170 minut Instrukcja dla zdającego 1. Sprawdź, czy arkusz zawiera strony (zadania 1 ).. Arkusz zawiera 4 zadania zamknięte i 9
Bardziej szczegółowoSpis treści. Dokument pochodzi ze strony www.gwo.pl LICZBY NATURALNE I UŁAMKI
Spis treści LICZBY NATURALNE I UŁAMKI Działania na liczbach naturalnych i ułamkach dziesiętnych... 3 Potęgowanie liczb.. 8 Przykłady pierwiastków 12 Działania na ułamkach zwykłych... 13 Ułamki zwykłe i
Bardziej szczegółowoJak wytresować swojego psa? Częs ć 1. Niezbędny sprzęt przy szkoleniu psa oraz procesy uczenia
Jak wytresować swojego psa? Częs ć 1 Niezbędny sprzęt przy szkoleniu psa oraz procesy uczenia Niezbędny sprzęt przy szkoleniu psa oraz proćesy uczenia Problemy wynikające z zachowań psów często nie są
Bardziej szczegółowoPrzygotowały: Magdalena Golińska Ewa Karaś
Przygotowały: Magdalena Golińska Ewa Karaś Druk: Drukarnia VIVA Copyright by Infornext.pl ISBN: 978-83-61722-03-8 Wydane przez Infornext Sp. z o.o. ul. Okopowa 58/72 01 042 Warszawa www.wieszjak.pl Od
Bardziej szczegółowoINSTRUKCJE WEJŚCIA I WYJŚCIA
INSTRUKCJE WEJŚCIA I WYJŚCIA Zadanie nr 1 Napisz algorytm za pomocą a i schematów blokowych. Algorytm ma wczytywać z klawiatury wartości dwóch liczb, obliczać sumę tych liczb i wyświetlać jej wartość na
Bardziej szczegółowoINSTRUKCJA DO PROGRAMU LICZARKA 2000 v 2.56
INSTRUKCJA DO PROGRAMU LICZARKA 2000 v 2.56 Program Liczarka 2000 służy do archiwizowania i drukowania rozliczeń z przeprowadzonych transakcji pieniężnych. INSTALACJA PROGRAMU Program instalujemy na komputerze
Bardziej szczegółowoFed musi zwiększać dług
Fed musi zwiększać dług Autor: Chris Martenson Źródło: mises.org Tłumaczenie: Paweł Misztal Fed robi, co tylko może w celu doprowadzenia do wzrostu kredytu (to znaczy długu), abyśmy mogli powrócić do tego,
Bardziej szczegółowoRozliczenia z NFZ. Ogólne założenia. Spis treści
Rozliczenia z NFZ Spis treści 1 Ogólne założenia 2 Generacja raportu statystycznego 3 Wczytywanie raportu zwrotnego 4 Szablony rachunków 4.1 Wczytanie szablonów 4.2 Wygenerowanie dokumentów rozliczenia
Bardziej szczegółowoUmowa o pracę zawarta na czas nieokreślony
Umowa o pracę zawarta na czas nieokreślony Uwagi ogólne Definicja umowy Umowa o pracę stanowi dokument stwierdzający zatrudnienie w ramach stosunku pracy. Według ustawowej definicji jest to zgodne oświadczenie
Bardziej szczegółowoDwa do nieskończoności DominikKWIETNIAK,Kraków
Jest to zapis odczytu wygłoszonego na XXXVIII Szkole Matematyki Poglądowej, Nieskończoność, styczeń 2007, i nagrodzonego Medalem Filca. Rys. 1. Wykres przekształcenia namiotowego T. Rys. 2. Odczytanie
Bardziej szczegółowoStrategia rozwoju kariery zawodowej - Twój scenariusz (program nagrania).
Strategia rozwoju kariery zawodowej - Twój scenariusz (program nagrania). W momencie gdy jesteś studentem lub świeżym absolwentem to znajdujesz się w dobrym momencie, aby rozpocząć planowanie swojej ścieżki
Bardziej szczegółowoUCHWAŁ A SENATU RZECZYPOSPOLITEJ POLSKIEJ. z dnia 18 października 2012 r. w sprawie ustawy o zmianie ustawy o podatku dochodowym od osób fizycznych
UCHWAŁ A SENATU RZECZYPOSPOLITEJ POLSKIEJ z dnia 18 października 2012 r. w sprawie ustawy o zmianie ustawy o podatku dochodowym od osób fizycznych Senat, po rozpatrzeniu uchwalonej przez Sejm na posiedzeniu
Bardziej szczegółowoLogika I. Wykład 2. Działania na zbiorach
Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 2. Działania na zbiorach 1 Suma zbiorów Niech A i B będą dowolnymi zbiorami. Definicja 2.1. (suma zbiorów) Suma zbiorów
Bardziej szczegółowo40. Międzynarodowa Olimpiada Fizyczna Meksyk, 12-19 lipca 2009 r. ZADANIE TEORETYCZNE 2 CHŁODZENIE LASEROWE I MELASA OPTYCZNA
ZADANIE TEORETYCZNE 2 CHŁODZENIE LASEROWE I MELASA OPTYCZNA Celem tego zadania jest podanie prostej teorii, która tłumaczy tak zwane chłodzenie laserowe i zjawisko melasy optycznej. Chodzi tu o chłodzenia
Bardziej szczegółowoGEO-SYSTEM Sp. z o.o. GEO-RCiWN Rejestr Cen i Wartości Nieruchomości Podręcznik dla uŝytkowników modułu wyszukiwania danych Warszawa 2007
GEO-SYSTEM Sp. z o.o. 02-732 Warszawa, ul. Podbipięty 34 m. 7, tel./fax 847-35-80, 853-31-15 http:\\www.geo-system.com.pl e-mail:geo-system@geo-system.com.pl GEO-RCiWN Rejestr Cen i Wartości Nieruchomości
Bardziej szczegółowoINSTRUKCJA TESTOWANIA USŁUG NA PLATFORMIE ELA-ENT
Załącznik nr 1 Siedlce-Warszawa, dn. 16.06.2009 r. Opracowanie: Marek Faderewski (marekf@ipipan.waw.pl) Dariusz Mikułowski (darek@ii3.ap.siedlce.pl) INSTRUKCJA TESTOWANIA USŁUG NA PLATFORMIE ELA-ENT Przed
Bardziej szczegółowoBiuletyn techniczny Mechanizmy wyliczania raportów. w programie CDN Firma++ Copyright 2007 COMARCH SA
Biuletyn techniczny Mechanizmy wyliczania raportów w programie CDN Firma++ Copyright 2007 COMARCH SA Spis treści SPIS TREŚCI... 2 1 WPROWADZENIE... 3 2 ZESTAWIENIE WG SERII TRANSAKCJE, FAKTURY, ZESTAWIENIE
Bardziej szczegółowoWarunki formalne dotyczące udziału w projekcie
Witaj. Interesuje Cię udział w projekcie Trener w rolach głównych. Zapraszamy więc do prześledzenia dokumentu, który pozwoli Ci znaleźć odpowiedź na pytanie, czy możesz wziąć w nim udział. Tym samym znajdziesz
Bardziej szczegółowoK P K P R K P R D K P R D W
KLASA III TECHNIKUM POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY PROPOZYCJA POZIOMÓW WYMAGAŃ Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i
Bardziej szczegółowoWojewódzki Konkurs Przedmiotowy z Matematyki dla uczniów gimnazjów województwa śląskiego w roku szkolnym 2012/2013
Wojewódzki Konkurs Przedmiotowy z Matematyki dla uczniów gimnazjów województwa śląskiego w roku szkolnym 2012/2013 KOD UCZNIA Etap: Data: Czas pracy: wojewódzki 4 marca 2013 r. 120 minut Informacje dla
Bardziej szczegółowoZmiany w wersji 1.18 programu VinCent Office.
Zmiany w wersji 1.18 programu VinCent Office. Zmiana w sposobie wykonania aktualizacji programu. Od wersji 1.18 przy instalowaniu kolejnej wersji programu konieczne jest uzyskanie klucza aktywacyjnego.
Bardziej szczegółowoCzas pracy 170 minut
ORGANIZATOR WSPÓŁORGANIZATOR PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI DLA UCZNIÓW LICEUM MARZEC ROK 015 POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 170 minut Instrukcja dla piszącego 1. Sprawdź, czy arkusz zawiera 16 stron..
Bardziej szczegółowoLogowanie do systemu Faktura elektroniczna
Logowanie do systemu Faktura elektroniczna Dostęp do Systemu Faktury Elektronicznej możliwy jest poprzez kliknięcie odnośnika Moja faktura w prawym górnym rogu strony www.wist.com.pl, a następnie przycisku
Bardziej szczegółowo1 Przedmiot Umowy 1. Przedmiotem umowy jest sukcesywna dostawa: publikacji książkowych i nutowych wydanych przez. (dalej zwanych: Publikacjami).
WZÓR UMOWY ANALOGICZNY dla CZĘŚCI 1-10 UMOWA o wykonanie zamówienia publicznego zawarta w dniu.. w Krakowie pomiędzy: Polskim Wydawnictwem Muzycznym z siedzibą w Krakowie 31-111, al. Krasińskiego 11a wpisanym
Bardziej szczegółowoProgram Google AdSense w Smaker.pl
Smaker.pl Program Google AdSense w Smaker.pl Pytania i odpowiedzi dotyczące programu Google AdSense Spis treści Czym jest AdSense... 2 Zasady działania AdSense?... 2 Jak AdSense działa w Smakerze?... 3
Bardziej szczegółowoDokonamy analizy mającej na celu pokazanie czy płeć jest istotnym czynnikiem
Analiza I Potrzebujesz pomocy? Wypełnij formularz Dokonamy analizy mającej na celu pokazanie czy płeć jest istotnym czynnikiem różnicującym oglądalność w TV meczów piłkarskich. W tym celu zastosujemy test
Bardziej szczegółowoSPRAWDZIANY Z MATEMATYKI
SPRAWDZIANY Z MATEMATYKI dla klasy III gimnazjum dostosowane do programu Matematyka z Plusem opracowała mgr Marzena Mazur LICZBY I WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE Grupa I Zad.1. Zapisz w jak najprostszej postaci
Bardziej szczegółowoOGÓLNODOSTĘPNE IFORMACJE O WYNIKACH EGZAMINÓW I EFEKTYWNOŚCI NAUCZANIA W GIMNAZJACH przykłady ich wykorzystania i interpretowania
Teresa Kutajczyk, WBiA OKE w Gdańsku Okręgowa Komisja Egzaminacyjna w Gdańsku OGÓLNODOSTĘPNE IFORMACJE O WYNIKACH EGZAMINÓW I EFEKTYWNOŚCI NAUCZANIA W GIMNAZJACH przykłady ich wykorzystania i interpretowania
Bardziej szczegółowoWyznaczanie współczynnika sprężystości sprężyn i ich układów
Ćwiczenie 63 Wyznaczanie współczynnika sprężystości sprężyn i ich układów 63.1. Zasada ćwiczenia W ćwiczeniu określa się współczynnik sprężystości pojedynczych sprężyn i ich układów, mierząc wydłużenie
Bardziej szczegółowoKURS GEOMETRIA ANALITYCZNA
KURS GEOMETRIA ANALITYCZNA Lekcja 1 Działania na wektorach bez układu współrzędnych. ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko jedna jest prawdziwa). Pytanie
Bardziej szczegółowoProjekty uchwał na Zwyczajne Walne Zgromadzenie Akcjonariuszy zwołane na dzień 10 maja 2016 r.
Projekty uchwał na Zwyczajne Walne Zgromadzenie Akcjonariuszy zwołane na dzień 10 maja 2016 r. Uchwała nr.. Zwyczajnego Walnego Zgromadzenia Akcjonariuszy OEX Spółka Akcyjna z siedzibą w Poznaniu z dnia
Bardziej szczegółowoOrganizacja produkcji
Formy organizacji Organizacja Stacjonarna forma organizacji Niepotokowe formy organizacji Potokowe formy organizacji Gniazdowa forma organizacji Formy organizacji W zaleŝności od okoliczności to... zadanie
Bardziej szczegółowoSPRAWDZIAN W KLASIE SZÓSTEJ SZKOŁY PODSTAWOWEJ OD ROKU SZKOLNEGO 2014/2015
Centralna Komisja Egzaminacyjna ul. J. Lewartowskiego 6, 00-190 Warszawa www.cke.edu.pl sekret.cke@cke.edu.pl SPRAWDZIAN W KLASIE SZÓSTEJ SZKOŁY PODSTAWOWEJ OD ROKU SZKOLNEGO 2014/2015 Cześć! W kwietniu
Bardziej szczegółowoObjaśnienia do Wieloletniej Prognozy Finansowej na lata 2011-2017
Załącznik Nr 2 do uchwały Nr V/33/11 Rady Gminy Wilczyn z dnia 21 lutego 2011 r. w sprawie uchwalenia Wieloletniej Prognozy Finansowej na lata 2011-2017 Objaśnienia do Wieloletniej Prognozy Finansowej
Bardziej szczegółowoRoczne zeznanie podatkowe 2015
skatteetaten.no Informacje dla pracowników zagranicznych Roczne zeznanie podatkowe 2015 W niniejszej broszurze znajdziesz skrócony opis tych pozycji w zeznaniu podatkowym, które dotyczą pracowników zagranicznych
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna 2015/2016
Statystyka matematyczna 2015/2016 nazwa przedmiotu SYLABUS B. Informacje szczegółowe Elementy składowe Opis sylabusu Nazwa przedmiotu Statystyka matematyczna Kod przedmiotu 0600-FS2-2SM Nazwa jednostki
Bardziej szczegółowoPrzypomnienie najważniejszych pojęć z baz danych. Co to jest baza danych?
Przypomnienie najważniejszych pojęć z baz danych. Co to jest baza danych? 1 Podstawowe pojęcia: 2 3 4 5 Dana (ang.data) najmniejsza, elementarna jednostka informacji o obiekcie będąca przedmiotem przetwarzania
Bardziej szczegółowoPAKIET MathCad - Część III
Opracowanie: Anna Kluźniak / Jadwiga Matla Ćw3.mcd 1/12 Katedra Informatyki Stosowanej - Studium Podstaw Informatyki PAKIET MathCad - Część III RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ 1. Równania z jedną niewiadomą MathCad
Bardziej szczegółowoSpecyfikacja techniczna banerów Flash
Specyfikacja techniczna banerów Flash Po stworzeniu własnego banera reklamowego należy dodać kilka elementów umożliwiających integrację z systemem wyświetlającym i śledzącym reklamy na stronie www. Specyfikacje
Bardziej szczegółowoWójt Gminy Bobrowniki ul. Nieszawska 10 87-617 Bobrowniki WNIOSEK O PRZYZNANIE STYPENDIUM SZKOLNEGO W ROKU SZKOLNYM 2010/2011
Nr wniosku.../... Bobrowniki, dnia... Wójt Gminy Bobrowniki ul. Nieszawska 10 87-617 Bobrowniki WNIOSEK O PRZYZNANIE STYPENDIUM SZKOLNEGO W ROKU SZKOLNYM 2010/2011 1. Dane osobowe WNIOSKODAWCY Nazwisko
Bardziej szczegółowoWOJEWÓDZKI KONKURS FIZYCZNY
Kod ucznia Liczba punktów: Zad. 1- Zad. 2- Zad. 3- Zad.4- Zad.5- R A Z E M : pkt. WOJEWÓDZKI KONKURS FIZYCZNY DLA UCZNIÓW GIMNAZJUM W ROKU SZKOLNYM 2013/2014 STOPIEŃ WOJEWÓDZKI 13. 03. 2014 R. 1. Zestaw
Bardziej szczegółowoNiniejszy ebook jest własnością prywatną.
Niniejszy ebook jest własnością prywatną. Niniejsza publikacja, ani żadna jej część, nie może być kopiowana, ani w jakikolwiek inny sposób reprodukowana, powielana, ani odczytywana w środkach publicznego
Bardziej szczegółowo