Wprowadzenie do metod numerycznych Wykład 8 Całkowanie numeryczne

Transkrypt

1 Wprowadzenie do metod numerycznych Wykład 8 Całkowanie numeryczne Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych Katedra Informatyki Stosowanej

2 Spis treści 1 Na czym polega całkowanie numeryczne 2 Całkowanie analityczne 3 4 Gaussa dla skończonego przedziału dla nieskończonego przedziału 5

3 Spis treści 1 Na czym polega całkowanie numeryczne 2 Całkowanie analityczne 3 4 Gaussa dla skończonego przedziału dla nieskończonego przedziału 5

4 Spis treści 1 Na czym polega całkowanie numeryczne 2 Całkowanie analityczne 3 4 Gaussa dla skończonego przedziału dla nieskończonego przedziału 5

5 Spis treści 1 Na czym polega całkowanie numeryczne 2 Całkowanie analityczne 3 4 Gaussa dla skończonego przedziału dla nieskończonego przedziału 5

6 Spis treści 1 Na czym polega całkowanie numeryczne 2 Całkowanie analityczne 3 4 Gaussa dla skończonego przedziału dla nieskończonego przedziału 5

7 Literatura 1 Baron B., Piątek Ł., Metody numeryczne w C++ Builder, Helion, Gliwice, Fortuna Z., Macukow B., Wąsowski J., Metody numeryczne, WNT, Warszawa, Kosma Z., Metody numeryczne dla zastosowań inżynierskich, Politechnika Radomska, Radom, Povstenko J., Wprowadzenie do metod numerycznych, Akademicka Oficyna Wydawnicza Exit, Warszawa, Ralston A., Wstęp do analizy numerycznej, PWN, Warszawa, Kącki E., Małolepszy A., Romanowicz A., Metody numeryczne dla inżynierów, Wyższa Szkoła Informatyki w Łodzi, Łódź, Vetterling W.T., Teukolsky S.A., Press W.H., Flannery B.P., Numerical Recipes, Cambridge University Press, Wikipedia

8 Całkowanie analityczne Na czym polega całkowanie numeryczne liniowe Metody numeryczne stosujemy do obliczania całek oznaczonych, w naszym przypadku z funkcji rzeczywistych jednej zmiennej, gdy trudno lub całkiem niemożliwe jest policzenie całki w sposób analityczny lub gdy znane są wartości funkcji podcałkowej tylko w niektórych punktach, zwanych węzłami. Definicja całki Niech [a, b] f (x) funkcja rzeczywista. Dokonujemy podziału odcinka [a, b] i tworzymy sumę a = x 0 < x 1 <... < x n+1 = b S n = n (x i+1 x i )f (c i ) (1) i=0 gdzie c i [x i, x j+1 ] są dowolnymi punktami pośrednimi.

9 Całkowanie analityczne Na czym polega całkowanie numeryczne Definicja całki c.d. Jeżeli ciąg {S n} dla n jest zbieżny do tej samej granicy S przy każdym podziale odcinka [a, b] takim, że max x i+1 x i 0 niezależnie od wyboru punktów c i, to 0 i n funkcję f (x) nazywamy całkowalną w przedziale [a, b], a granice ciągu S (1) b nazywamy całką oznaczoną Riemanna funkcji f (x) i oznaczamy f (x) dx. a liniowe Jeśli F (x) funkcja pierwotna funkcji f (x) (czyli F (x) = f (x)), to b a f (x) dx = F (b) F (a) (2)

10 Całkowanie analityczne Całkowanie analityczne Podstawowe całki nieoznaczone x n dx = x n+1 dx, (n 1) ; dx = ln x n + 1 x e x dx = e x ; a x dx = ax, (a > 0, a 1) ln a sin x dx = cos x ; cos x dx = sin x Całkowanie przez części df (x) g(x) dx = f (x)g(x) dx Całkowanie przez podstawienie f (x) dx = f (g(y))g (y) dy f (x) dg(x) dx dx (3)

11 Całkowanie analityczne Metoda prostokątów 2 1 0h 1h 2h 3h 4h 5h 6h Rys. 1: Metoda prostokątów

12 Całkowanie analityczne Metoda prostokątów Metoda prostokątów to prawdopodobnie najprostsza metoda całkowania numerycznego, jest znana jako metoda punktu środkowego (midpoint rule): x n+h x n f (x) dx h f (x n + h) (4) Jeśli funkcja f (x) zmienia się w niewielkim stopniu na przedziale (x n, x n + h), reguła taka da dobre przybliżenie całki.

13 Całkowanie analityczne Metoda trapezów 2 1 0h 1h 2h 3h 4h 5h 6h Rys. 2: Metoda trapezów

14 Całkowanie analityczne Metoda trapezów Metoda trapezów polega na zastąpieniu pola pomiędzy linią zdefiniowaną przez funkcję f (x) o osią Ox układem trapezów, czyli krzywą f (x) aproksymujemy pewną linią łamaną. Przedział całkowania (a, b) dzielimy przy tym na n równych części o długościach: h = b a. Punktami granicznymi odcinków powstałych w wyniku tego h podziału są wówczas: x i = a + (i 1)h, i = 1,..., n + 1. Pole figury złożonej z takich trapezów wynosi S n = y 1 + y 2 2 h + y 2 + y 3 2 h yn + y n+1 2 h = gdzie y i = f (x i ) wartości funkcji w punktach podziału. ( y1 2 + y y n + y ) n+1 2

15 Całkowanie analityczne Metoda trapezów Stąd otrzymujemy wzór przybliżony w metodzie trapezów: b a f (x) dx h Oszacowanie błędu tej metody wynosi ( y1 2 + y y n + y ) n+1 = h 2 2 b R n = f (x) dx S n (b a)3 M 12n 2 a n (f (x i ) + f (x i+1 )) i=1, M = max [a,b] f

16 Całkowanie analityczne Metoda parabol 2 1 0h 1h 2h 3h 4h 5h 6h Rys. 3: Metoda parabol

17 Całkowanie analityczne Metoda parabol (Simpsona) W metodzie Simpsona dzielimy przedział całkowania na parzystą liczbę podprzedziałów, tzn. h = b a 2n a całkowanie przeprowadzamy dla trzech kolejnych punktów wielomianu lagrange a: x i +2h x i f (x) dx h 3 (f i + 4f i+1 + f i+2 ) skąd dla całego przedziału (a, b) otrzymujemy: b a f (x) dx h 3 [f 0 + 4(f 1 + f f 2n 1 ) + 2(f 2 + f f 2n 2 )]

18 Całkowanie analityczne Gaussa Na czym polega całkowanie numeryczne liniowe Przybliżona wartość całki n m Q(f ) = A ik f (i 1) (x ik ) (5) k=0 i=1 gdzie: A ik współczynniki kwadratury liniowej, x ik węzły kwadratury. Definicja b Mówimy, że kwadratura jest rzędu r, gdy w(x) dx = Q(w) dla wszystkich a wielomianów w(x) stopnia mniejszego od r, natomiast istnieje taki wielomian w(x) b stopnia r, że w(x) dx Q(w) a

19 Spis treści Całkowanie analityczne Gaussa 1 Na czym polega całkowanie numeryczne 2 Całkowanie analityczne 3 4 Gaussa dla skończonego przedziału dla nieskończonego przedziału 5

20 Całkowanie analityczne Gaussa (całkowanie) Newtona-Cotesa polega na zastąpieniu funkcji podcałkowej wielomianem interpolacyjnym Lagrange a zdefiniowanym na węzłach równoodległych co generuje x k = a + k h ; k = 0, 1,..., n; h = b a n n f (x) = f (x k ) gdzie t [0, n]. k=0 j = 0 j k t j k j + hn+1 f (n+1)(ξ) p n (t) (n + 1)!

21 Całkowanie analityczne Gaussa Całkując stronami otrzymujemy b a f (x) dx = n H j f (x j ) + E (6) j=1 gdzie H k = h n 0 j = 0 j k t j k j dt, błąd kwadratury, p n (t) = n (t j) j=0 E = hn+2 (n+1)! n p n (t)f (n+1) (ξ(t)) dt 0

22 Całkowanie analityczne Gaussa Twierdzenie Rząd kwadratury wynosi co najmniej n + 1 wtedy i tylko wtedy, gdy kwadraturą jest kwadratura Newtona-Cotesa. Twierdzenie Rolle a (o wartości średniej) Niech f : [a, b] R będzie funkcją ciągłą. Jeżeli f jest różniczkowana w każdym punkcie odcinka (a, b) oraz f (b) = f (a), to istnieje taki punkt c (a, b), że f (c) = 0. Wniosek Niech f : [a, b] R będzie funkcją ciągłą. Jeżeli f jest różniczkowalna we wszystkich punktach odcinka (a, b) oraz f (x) 0 dla każdego z nich, to wtedy f (a) f (b).

23 Całkowanie analityczne Gaussa 1. Przykład zastosowania Twierdzenia (wzór trapezów) Jeżeli n = 1, to x 0 = a, x 1 = b, h = b a, to 1 H 0 = h 0 t dt = h, H 1 = h i jeśli f C 2 [a, b] z twierdzenia o wartości średniej E = 1 2! h3 gdzie ξ (a, b), co daje 1 Otrzymany wynik to wzór trapezów. 0 0 t dt = 1 2 h, (t 0)(t 1)f (2) (ξ(t))dt = h3 12 f (2) (ξ), (7) Q(f ) = b a (f (a) + f (b)). (8) 2

24 Całkowanie analityczne Gaussa 2. Przykład zastosowania Twierdzenia (wzór Simpsona) Jeżeli n = 2, to x 0 = a, x 1 = a + h = a + b, x 2 = b, h = b a 2 2, to 2 H 0 = h 0 (t 1)(t 2) (0 1)(0 2) dt = h, H 1 = h 0 (t 0)(t 2) (1 0)(1 2) dt = 4 3 h, czyli 2 (t 0)(t 1) H 2 = h (2 0)(2 1) dt = 1 3 h, 0 Q(f ) = b a 6 [ ( )] a + b f (a) + 4f + f (b) 2 Otrzymany wynik to wzór parabol (wzór Simpsona). (9)

25 Spis treści Całkowanie analityczne Gaussa 1 Na czym polega całkowanie numeryczne 2 Całkowanie analityczne 3 4 Gaussa dla skończonego przedziału dla nieskończonego przedziału 5

26 Gaussa Całkowanie analityczne Gaussa Sformułowanie metody Metoda pozwala na obliczanie całek z funkcją wagową p(x) b a p(x)f (x)dx dla n + 1 węzłów rozłożonych niekoniecznie równomiernie, ale takich, że x i x j dla i j. Założenie: przedział [a, b] jest skończony. Zadanie: tak dobrać rozkład węzłów i współczynniki wielomianu interpolacyjnego, by rząd kwadratury był jak najwyższy.

27 Gaussa Całkowanie analityczne Gaussa Właściwości wielomianów ortogonalnych Niech ciąg wielomianów (P n (x)) P 0 (x),..., P N (x),... (10) będzie ciągiem wielomianów ortogonalnych na odcinku [a, b] z wagą p(x), czyli (P r, P s ) = b p(x)p r P s dx = 0 dla r s a

28 Gaussa Całkowanie analityczne Gaussa Właściwości wielomianów ortogonalnych Wtedy Wielomiany ortogonalne (10) mają tylko pierwiastki rzeczywiste jednokrotne leżące na przedziale (a, b) Nie istnieje kwadratura postaci S(f ) = N A k f (x k ), (11) k=0 gdzie A k = b p(x)φ k (x)dx (12) a p(x) funkcja wagowa, a

29 Gaussa Całkowanie analityczne Gaussa Właściwości wielomianów ortogonalnych c.d. Φ k (x) = (x x 0)... (x x k 1 )(x x k+1 )... (x x N ) (x k x 0 )... (x k x k 1 )(x k x k+1 )... (x k x N ) rzędu wyższego niż 2(N + 1). Kwadratura (11) o współczynnikach A k określonych wzorem (12) jest rzędu 2(N + 1) wtedy i tylko wtedy, gdy x k są pierwiastkami wielomianu P N+1 z ciągu (10). Wszystkie współczynniki A k w kwadraturach Gaussa są dodatnie. Gaussa zależą od wyboru funkcji wagowej!

30 Gaussa Całkowanie analityczne Gaussa dla skończonego przedziału Kwadraturę najwyższego rzędu z wagą p(x) = 1 nazywamy kwadraturą Gaussa-Legendre a. Niech [a, b] = [ 1, 1]. Dla wagi p(x) = 1 ciąg wielomianów ortogonalnych tworzą wielomiany Legendre a Współczynniki i błąd kwadratury: d n P n (x) = 1 2 n n! dx n (x 2 1) n (13) 2 A k = (N + 2)P N+2 (x k )P N+1 (x k), E(f ) = 22N+3 ((N + 1)!) 4 (2N + 3)((@N + 2)!) 3 gdzie x k sa zerami wielomianu P N+1 (x). (14)

31 Gaussa Całkowanie analityczne Gaussa dla skończonego przedziału Dla innego przedziału stosujemy transformację przedziału i zmianę zmiennej całkowania t = a + b 2 ( a + b gdzie g(x) = f 2 + b a 2 x, b a + b a ) 2 x. f (t)dt = b a g(x)dx Gaussa-Jacobiego: p(x) = (1 x) α (1 x) β, gdzie α, β > 1, [a, b] = [ 1, 1] Gaussa-Czebyszewa: p(x) = (1 x 2 ) 1/2, gdy przedział dowolny, to sprowadzamy do [ 1, 1].

32 Gaussa Całkowanie analityczne Gaussa dla nieskończonego przedziału 1. Przedział jednostronnie nieskończony [0, ] Waga p(x) = e x, a dla niej jako ciąg wielomianów ortogonalnych na [0, ] wielomiany Laguerre a L n (x) = ( 1) n e x d n Przyjęta waga zapewnia zbieżność. Mamy A k = dx n (x n e x ) (15) ((N + 1)!) 2 ((N + 1)!)2, E(f ) = L N+1 (x k )L N+2 (x k ) (2N + 2)! f (2N+2) (η) (16) gdzie x k zera wielomianu Laguerre a L N+1 (x), η (0, ).

33 Gaussa Całkowanie analityczne Gaussa dla nieskończonego przedziału 1. Przedział jednostronnie nieskończony [0, ] c.d. Wzór przybliżonego całkowania (kwadratura Gaussa-Laguerre a) 0 e x f (x)dx S(f ) = N A k f (x k ) (17) k=0

34 Gaussa Całkowanie analityczne Gaussa dla nieskończonego przedziału 2. Przedział obustronnie nieskończony [, ] Waga p(x) = e x 2, a dla niej jako ciąg wielomianów ortogonalnych na [, ] wielomiany Hermite a H n (x) = ( 1) n e x 2 d n Przyjęta waga zapewnia zbieżność. Mamy dx n e x 2 (18) A k = 2 N+2 (N + 1)! H N+1 (x k)h N+2 (x k ), E(f ) = ((N + 1)!)2 π 2 N+1 (2N + 2)! f (2N+2) (η) (19) gdzie x k zera wielomianu Hermite a H N+1 (x), η (, ).

35 Gaussa Całkowanie analityczne Gaussa dla nieskończonego przedziału 1. Przedział obustronnie nieskończony [, ] c.d. Wzór przybliżonego całkowania (kwadratura Gaussa-Hermite a) e x 2 N f (x)dx S(f ) = A k f (x k ) (20) k=0

36 Całkowanie analityczne Całka podwójna b d a c f (x, y)dydx (21) Przy pomocy dowolnej kwadratury obliczamy funkcję d n 1 F (x) = f (x, y)dy = H j f (x, y) + E[f (x, y)] (22) c j=0

37 Koniec? :-( Całkowanie analityczne Koniec wykładu 8