D N I O P R C Y J N I D C Y Z J Nr 006 Helena GSPRS* NLIZ CZSOWO-KOSZTOW (CPM-COST). LGORYTM MODL OPTYMLIZCYJNY Za omocą rzkładowch sieci obrazującch realizację rzedsięwzięć inwestcjnch zilustrowano działanie algortmu oartego na metodzie ścieżki krtcznej w ujęciu kosztowm oraz rzedstawiono modele otmalizacjne wraz z kolejnmi iteracjami wgenerowanmi rzez komuter. Na odstawie rozbieżności międz otrzmanmi rozwiązaniami wkazano, iż algortm stosowan w analizie czasowo-kosztowej jest oart na nie do końca rawidłowo sformułowanch założeniach. Słowa kluczowe: CPM-COST, metoda ścieżki krtcznej, analiza czasowo-kosztowa, model otmalizacjn, czas graniczn, czas drektwn, liniowa i nieliniowa zależność omiędz czasem a kosztem, czas realizacji rzedsięwzięcia Wstę Już od onad ół wieku znana jest metoda ścieżki krtcznej (CPM Critical Path Method), owstała w koncernie du Pont de Nemours (US) jako efekt rac zesołu różnch secjalistów, którm zlecono oracowanie metod lanowania robót remontowch i rzeglądowch w dużm zakładzie rzemsłu chemicznego. W rzeciwieństwie do metod indeterministcznch, zakładającch działanie w warunkach nieewności, metoda ścieżki krtcznej należ do gru metod deterministcznch, czli takich, które zakładają działanie w warunkach ewności. CPM ozwala wróż- * Katedra adań Oeracjnch, kademia konomiczna w Poznaniu, al. Nieodległości 0, 60-967 Poznań. helenagasars@oczta.onet.l Zob. htt://www.iwankow.s.l/zto/sot/ Do najoularniejszch metod indeterministcznch (robabilistcznch, stochastcznch) należ metoda PRT (Program valuation and Review Technique). PRT traktuje czas trwania oszczególnch cznności jako zmienną losową. Z kolei CPM można stosować wówczas, gd czas te są dokładnie znane. Warto jednak zaznaczć, że metoda PRT, od względem struktur logicznej modelu sieciowego, jest zaliczana do metod analiz sieciowej tu DN (Deterministic nalsis Network), onieważ w trak-
6 H. GSPRS nić w sieci rzedstawiającej harmonogram realizacji rzedsięwzięcia tzw. ścieżki krtczne, które charakterzują się najdłuższm czasem trwania. Od niego z kolei zależ czas otrzebn na wkonanie całej zalanowanej inwestcji. Orócz analiz ilościowej równie ważnm zagadnieniem jest asekt ekonomiczn realizacji rojektu i możliwości modfikacji modelu rzez komresję sieci, wnikającą ze zbt długiego dla inwestora lub odbiorc okresu wkonwania tego rojektu [7, s. 65]. Potrzeba rzsieszenia realizacji rzedsięwzięcia rz jednoczesnm dążeniu do minimalizacji kosztów bezośrednich (związanch z konkretną cznnością) ociąga za sobą konieczność stosowania CPM-COST, czli metod ścieżki krtcznej w ujęciu kosztowm. W metodzie tej zakłada się, iż skróceniu czasu realizacji inwestcji towarzsz wzrost tchże kosztów. W analizie czasowo-kosztowej można rozatrwać nastęujące dwa rzadki [6, s. 55 56]: a) Decdent dąż do minimalizacji czasu realizacji rzedsięwzięcia (T), mając na względzie dostęne środki (K*), które może rzeznaczć na skracanie czasu trwania wbranch cznności: T min, () K K *. () b) Decdent dąż do realizacji inwestcji w czasie nie dłuższm niż zadan czas drektwn (T*), rz czm zamierza to ucznić jak najtaniej: K min, () T T *. () Jest rzeczą oczwistą, iż osiągnięcie jednego z owższch celów wmaga skrócenia czasu trwania cznności, znajdującch się na najdłuższej ścieżce w sieci. Należ jednocześnie amiętać o tm, ab ostateczn czas trwania danego działania bł rznajmniej równ jego czasowi granicznemu 5. cie realizacji rzedsięwzięcia wszstkie cznności rzedstawione w sieci są realizowane. W rzadku stochastcznej struktur logicznej tlko część cznności rzedstawiona w sieci, z określonm rawdoodobieństwem większm od zera, bierze udział w realizacji rzedsięwzięcia [7, s. 56 57]. Przez rzedsięwzięcie rozumie się zorganizowane działanie ludzkie zmierzające do osiągnięcia określonego celu, zawarte w skończonm rzedziale czasu z wróżnionm oczątkiem i końcem oraz zrealizowane rzez skończoną liczbę osób, środków technicznch, energii, materiałów, środków finansowch i informacji [7, s. 56]. Do kosztów bezośrednich należą koszt robocizn, materiałów oraz koszt skrócenia czasu realizacji danej cznności. Orócz kosztów bezośrednich wróżnia się koszt ośrednie, do którch można zaliczć m.in. koszt administracjne, odatki, kar umowne związane z niedotrzmaniem ustalonego terminu wkonania rac. Koszt ośrednie dotczą rzedsięwzięcia jako całości [, s. 5]. Zob. htt://www.netmba.com/oerations/rojet-cost/ 5 Czas graniczn jest definiowan jako najkrótsz możliw ze względów technicznch i technologicznch czas na wkonanie danego działania [5, s. 8].
naliza czasowo-kosztowa... 7 W niniejszej rac rzomniane zostaną założenia algortmu ozwalającego osiągnąć zamierzone cele oraz modele deczjne, dzięki którm możliwe jest uzskanie rozwiązania otmalnego. Nastęnie autorka wkaże, że rozwiązania otrzmane odowiednio za omocą algortmu i modelu otmalizacjnego nie są w rzadku każdego analizowanego rojektu zbieżne. W rac będą brane od uwagę jednie koszt skracania czasu trwania cznności, które należą do kategorii kosztów bezośrednich 6.. Wkorzstanie algortmu CPM-COST do skrócenia czasu realizacji rzedsięwzięcia W analizie czasowo-kosztowej zakłada się, iż w celu rzsieszenia inwestcji oisanej siecią cznności należ wkonać nastęujące kroki:. Wznaczć odsieć krtczną, czli zbiór ścieżek, którch cznności charakterzują się zerowm całkowitm zaasem czasu 7.. Ustalić możliwe wariant (rzekroje) skrócenia czasu trwania wszstkich ścieżek krtcznch o jedną jednostkę. Poszczególne wariant mogą olegać na: a) skróceniu jednej cznności wsólnej dla wszstkich ścieżek krtcznch, b) skróceniu o jednej cznności na każdej najdłuższej ścieżce [, s. 0], c) kombinacji dwóch ierwszch wariantów 8.. Przisać wmienionm rzekrojom łączne koszt skrócenia. Jeżeli skrócenie czasu trwania danej cznności jest technicznie niemożliwe, rzjmuje się, iż koszt związan z jej skróceniem jest równ bardzo dużej liczbie. Zależność czas-koszt dla danej cznności może bć liniowa lub nieliniowa. Pierwsz t zależności wstęuje wówczas, gd koszt skrócenia czasu trwania cznności o każdą kolejną jednostkę jest stał. Koszt ten można wznaczć dzieląc różnicę omiędz kosztem granicznm 9 a kosztem normalnm rzez różnicę omiędz czasem normalnm a czasem granicznm 0. Wsomniana formuła ma sens, gd koszt graniczn jest nie niższ od kosztu normalnego. 6 Jeżeli rozatruje się zarówno koszt bezośrednie, jak i ośrednie, to ostęowanie otmalizacji układu: czas trwania rzedsięwzięcia całkowite koszt realizacji określa się niekied krtonimem MCX (Minimum-Cost editing) [5, s. 78 79]. 7 Całkowit zaas czasu cznności informuje, o ile maksmalnie można oóźnić moment jej rozoczęcia lub wdłużć jej czas trwania, ab czas realizacji całej inwestcji nie uległ zmianie. Jakiekolwiek wdłużenie czasu trwania cznności o zerowm całkowitm zaasie czasu (tzw. cznności krtcznej) owoduje zatem oóźnienie momentu zakończenia całego rzedsięwzięcia. 8 Jeżeli na rzkład sieć krtczna składa się z trzech ścieżek: I, II, III, to można skrócić cznność wsólną dla ścieżek I i III oraz jeszcze jedną cznność, która znajduje się tlko na ścieżce II. 9 Koszt graniczn to koszt, któr towarzsz czasowi granicznemu. 0 Zob. htt://www.netmba.com/oerations/rojet-cost/ i or. [5, s. 87].
8 H. GSPRS. Wbrać najtańsz wariant i skrócić czas trwania wbranch cznności o jedną jednostkę. 5. Srawdzić, cz cel został osiągnięt. Jeżeli nie, rzejść do kroku 6. 6. Srawdzić, cz ojawiła się nowa ścieżka krtczna (bądź nowe ścieżki krtczne). a) Jeżeli tak, wznaczć nową odsieć krtczną i owrócić do kroku. b) Jeżeli nie, owrócić do kroku itd. Ois całego zarezentowanego algortmu komresji sieci można znaleźć m.in. w racach [], [, s. 5 55] i [7, s. 65 66]. utorz tchże rac roonują najierw zestawić cznności krtczne, odać ich gradient kosztów 5 oraz czas graniczne, weliminować z zestawienia te cznności krtczne, dla którch średni gradient kosztów nie istnieje (tzn. normaln czas trwania cznności jest równ czasowi granicznemu), a nastęnie roces skracania rozocząć od cznności krtcznej o najniższm gradiencie kosztów. utorz odkreślają, iż rz skracaniu czasu trwania danej cznności mogą wstąić dwa ograniczenia w ostaci czasu granicznego tej cznności bądź ojawienia się nowej ścieżki krtcznej na skutek całkowitego wkorzstania zaasu czasu cznności niekrtcznej. Zdaniem autorów, gd istnieją w sieci dwie ścieżki krtczne lub więcej, należ skracać czas o tę samą wielkość na wszstkich ścieżkach krtcznch [7, s.66]. Posłużm się rostm rzkładem w celu zilustrowania działania owższego algortmu. Przedsięwzięcie to wmaga wkonania sześciu cznności w kolejności odanej na rs.. Liter oznaczają oszczególne cznności, wartości ich normalne czas trwania (w dniach), a wartości w nawiasach kwadratowch koszt skrócenia danej cznności (w ts. zł) o każd kolejn dzień. Liczba wartości w nich zawartch jest jednocześnie liczbą dni, o którą maksmalnie można skrócić czas trwania rozatrwanej cznności. rak nawiasu kwadratowego rz danm działaniu oznacza, iż jego skrócenie jest technicznie niemożliwe. W nawiasach okrągłch rz węzłach Por. [, s. 5]: ędziem skracać iteracjnie te cznności krtczne, którch skrócenie wmaga najmniejszego kosztu dodatkowego na jednostkę czasu w orównaniu z innmi cznnościami krtcznmi oraz [, s. 5]: Skracając czas tch cznności krtcznch (lub odzbiorów cznności krtcznch), charakterzującch się najmniejszmi kosztami krańcowmi (lub najmniejszą sumą jeśli mam w grafie więcej niż jedną drogę krtczną). Celem może bć uzskanie rozwiązania otmalnego zadania () () lub () (). Por. [5, s. 8]: W trakcie tego ostęowania tworzą się zazwczaj nowe ścieżki krtczne, co może sowodować konieczność zbierania dalszch danch o zależności czas koszt oraz [, s. 50]: Takie ostęowanie ma charakter iteracjn, gdż w trakcie obliczeń mogą owstać w grafie nowe drogi krtczne. Wstąienie nowej ścieżki krtcznej jest bardzo rawdoodobne wówczas, gd rzed skróceniem w sieci znajdował się drogi odkrtczne, czli ciągi cznności niekrtcznch wkazujące nieznaczne zaas czasu. 5 utorz nazwają gradientem kosztu stosunek różnic omiędz kosztem granicznm a kosztem normalnm do różnic omiędz czasem normalnm a czasem granicznm [7, s. 65].
naliza czasowo-kosztowa... 9 odano najwcześniejsze możliwe i najóźniejsze douszczalne moment zajścia zdarzeń. Obliczone na odstawie momentów całkowite zaas czasu cznności rzedstawiono w nawiasach okrągłch obok łuków. (,) D [5] (0) [,] (0) C (0) (6,6) [,,6] (0) 5 (0) [,] 7 [7] (0) (7,7) Rs. Załóżm, że należ ustalić czas trwania oszczególnch cznności, kierując się oniższmi wtcznmi: K min, (5) T 8. (6) Dla normalnch czasów trwania cznności najkrótsz czas realizacji rzedsięwzięcia wnosi 0 dni, rz czm wszstkie ścieżki w sieci (-D-, -C-, -) są krtczne 6. b warunek (6) bł sełnion, sieć owinna zostać dwukrotnie skrócona o jednostkę. Sośród ięciu wariantów ozwalającch skrócić czas trwania każdej ścieżki: (koszt: 7 = 9), D C (koszt: 5 7 = ), C (koszt: 7 = ), D (koszt: 5 = 6), (koszt: = 5), należ wbrać ostatnią kombinację. Po skróceniu czasu trwania cznności i odowiednio do i dni, czas realizacji całego rzedsięwzięcia będzie wnosić 9 dni, a łączn koszt skrócenia będzie równ 5 ts. zł. W związku z faktem, iż rzsieszenie inwestcji nie rzczniło się do owstania nowej ścieżki krtcznej, lista możliwch kombinacji nie zmienia się. Zmianie ulegają jednie niektóre koszt: (koszt: 7 = 9), D C (koszt: 5 7 = ), C (koszt: 7 = ), 6 Został one na rsunku ogrubione.
0 H. GSPRS D (koszt: 5 = 7), (koszt: = 6). Okazuje się, że o raz drugi wariant ostatni jest najbardziej korzstn. Ostatecznie cznność trwać będzie dni, cznność dzień, a całe rzedsięwzięcie zostanie ukończone w ciągu 8 dni (rs. ). Całkowit koszt skrócenia ukształtuje się na oziomie ts. zł. Otrzmane rozwiązanie jest douszczalne, onieważ sełnia warunek (6). Zgodnie z założeniami rzedstawionego algortmu, jest ono również otmalne, gdż rz skracaniu czasu trwania rzedsięwzięcia wbierano zawsze ten wariant, z którm związane bł najniższe koszt. (,) D [5] (0) [,] (0) C (0) (6,6) [6] (8,8) (0) 5 (0) 7 [7] (0) (7,7) Rs. Przedstawion rzkład dotcz minimalizacji kosztu rz zadanm czasie drektwnm. Stosowanie algortmu w rzadku minimalizacji czasu rz zadanm koszcie rzebiega bardzo odobnie. Skracanie należ zakończć wówczas, gd kolejne rzsieszenie wiąże się z rzekroczeniem zadanego kosztu.. Wkorzstanie modelu otmalizacjnego do skrócenia czasu realizacji rzedsięwzięcia W rzadku bardziej rozbudowanch sieci lub/i konieczności rzerowadzenia większej liczb iteracji wgodniej jest osłużć się odowiednio sformułowanm zadaniem rogramowania liniowego. Model minimalizując czas rz zadanm koszcie rzjmuje nastęującą ostać: j min, (7) n... t P = P i, (8), (9)
naliza czasowo-kosztowa... m P = = = 0, (0) k K *, () i, j 0, () {0,}. () W rzadku minimalizacji kosztu rz zadanm czasie należałob rozwiązać zadanie () (0). m P = = k min, ()... P, (5) j t P =, (6) i = 0, (7) n T *, (8) i, j 0, (9) {0,}, (0) k gdzie: i ( j ) moment zaistnienia i-tego ( j-tego) zdarzenia, n liczba zdarzeń, zmienna rzjmie wartość, gd cznność zostanie skrócona o raz -t, P maksmalna liczba jednostek, o którą skrócenie czasu trwania cznności jest możliwe (różnica międz czasem normalnm a czasem granicznm), t czas trwania cznności, m liczba cznności, koszt skrócenia o raz -t cznności rozocznającej się i-tm zdarzeniem i kończącej się zdarzeniem j-tm, K* dostęne środki, T* czas drektwn.
H. GSPRS Model deczjn dla wcześniej omówionego rzkładu wgląda nastęująco: 000 5 000 000 7 000 D D C min 000 000 6, () D D, () 5 5 0 7 0 D D C, () = 0, () 5 8, (5) 0,,, 5, (6) {0,},...,,. (7) Otmalne wartości zmiennch będące rozwiązaniem zadania ( 7) są równe: =, = 7, =, 5 = 8, =, =, =, =. Pozostałe zmienne rzjęł zerowe wartości. Wartość zmiennej 5 sugeruje, iż warunek (6) zadania (5) (6) został sełnion. Po odstawieniu obliczonch wartości zmiennch do funkcji celu okazuje się, że jest ona równa 8 ts. zł. Obserwacja ta daje z jednej stron owód do nieokoju, onieważ otrzman wnik jest zuełnie inn od tego, któr uzskaliśm, stosując wcześniej omówion algortm dla metod ścieżki krtcznej. Z drugiej stron, wartość funkcji celu może decdenta ucieszć, gdż oznacza ona, iż skrócenie czasu realizacji inwestcji do 8 dni może kosztować nie, lecz 8 ts. zł, czli aż o ts. zł mniej! Wrowadzone rzez autorkę modele (7) () i () (0) mają zastosowanie wted, gd koszt skrócenia danej cznności nie są stałe, a zmian ich czasu trwania mają charakter dskretn. W rac [8, s. 7] można znaleźć odowiednie mo-
naliza czasowo-kosztowa... dele uroszczone wkorzstwane w stuacji, gd koszt skrócenia cznności o każdą jej kolejną jednostkę czasu jest taki sam. Wówczas każdej cznności rzisana jest tlko jedna zmienna, której końcowa wartość oznacza liczbę jednostek czasu, o jaką należ skrócić daną cznność. Znikają zatem warunki (8) i (5), a zmienne mogą rzjmować wartości naturalne nierzekraczające zadanego oziomu stanowiącego różnicę międz czasem normalnm a czasem granicznm.. naliza orównawcza algortmu i modelu otmalizacjnego Uzskanie różnch wników ociąga za sobą otrzebę wjaśnienia rzczn zaobserwowanej nierawidłowości. Przomnm, że w metodzie ścieżki krtcznej okazało się, iż w ierwszej i drugiej iteracji należało za każdm razem skrócić czas trwania dwóch tch samch cznności: oraz. Po ierwszm etaie koszt wniósł 5 ts. zł, a o drugim dodatkowe 6 ts. zł. Z kolei wniki wgenerowane rzez komuter na odstawie modelu otmalizacjnego sugerują, iż wstarczło dwukrotnie skrócić cznności i. Pierwsze skrócenie tej ar wiąże się z kosztem wnoszącm ts. zł, a drugie z dodatkowmi 5 ts. zł. Ptanie, jakie się nasuwa, jest oczwiste: Dlaczego algortm nie odsunął takich rozwiązań? Odowiedź brzmi: Ponieważ wariantu nie bło wśród rozatrwanch. Kombinacja jest bardzo interesującm sosobem skrócenia czasu realizacji inwestcji o jednostkę. W wniku skrócenia owższch cznności liczba ścieżek krtcznch zmaleje (rs. )! Pozostaną dwie najdłuższe ścieżki: -D- oraz -. Cznność C rzestanie bć krtczna, onieważ jej całkowit zaas czasu będzie równ. (,) D [5] (0) [] (0) C () (5,5) [,,6] (9,9) (0) 5 (0) [] 7 [7] (0) (7,7) Rs. Wariant nie został wcześniej wmienion, gdż zakłada on skrócenie czasu trwania każdej najdłuższej drogi niekoniecznie o dokładnie jedną jednostkę. Sośród kombinacji skracającch wszstkie ścieżki krtczne rznajmniej raz, wariant ten jest również jedną racjonalną kombinacją. Zauważm bowiem, że rzkładow wariant
H. GSPRS D C także ozwala rzsieszć czas trwania każdej najdłuższej ścieżki o co najmniej jedną jednostkę czasu, lecz zawiera cznność C, której skrócenie jest zbędne, onieważ akceleracja dwóch ozostałch cznności jest zuełnie wstarczająca. Chcąc skrócić rzedsięwzięcie o kolejn dzień, decdent owinien wbrać jeden z nastęującch wariantów: (koszt: 0), (koszt: 5), D (koszt: ), D (koszt: 7), (koszt: ), (koszt: 6). Wbór znów adnie na wariant (rs. ). (,) D [5] (0) (0) C () (,) [,,6] (8,8) (0) 5 (0) 7 [7] (0) (7,7) Rs. Oisan w rozdziale ierwszm algortm wgenerował mniej korzstne rozwiązanie aniżeli model otmalizacjn, onieważ ten ierwsz analizował jednie te wariant, które owodował skrócenie czasu trwania wszstkich ścieżek krtcznch o dokładnie jedną jednostkę. Tmczasem okazuje się, że do list kombinacji należ dołączć wariant, które ozwalają skrócić wszstkie ścieżki krtczne o rznajmniej jedną jednostkę!. Jeszcze jeden aradoks Na zakończenie rzjrzjm się jeszcze jednej stuacji. Załóżm, że lanowane rzedsięwzięcie zostanie zrealizowane o zakończeniu ięciu cznności (rs. 5). Tm razem koszt skrócenia są stałe, a czas graniczne wnoszą odowiednio,,,,. Najkrótsz czas realizacji rzedsięwzięcia rz normalnch czasach trwania cznności wnosi 0 jednostek (n. tgodni), rz czm sieć składa się z jednej ścieżki krtcznej -C-.
naliza czasowo-kosztowa... 5 (5,5) [] () 5 [] (0) C [] (0) (0) [] D 6 [] () (7,7) Rs. 5 Przjmm, iż celem decdenta jest znalezienie rozwiązania sełniającego warunki (8) (9): K min, (8) T 8. (9) Mając na uwadze wnioski wciągnięte w rozdziale, dołączm do list rozatrwanch wariantów ewentualne dodatkowe racjonalne kombinacje zaewniające rzsieszenie inwestcji, lecz niekoniecznie orzez skrócenie wszstkich najdłuższch ścieżek dokładnie raz. W ierwszej iteracji można rzsieszć cznności, C lub. Zgodnie z krokiem decdent wbierze cznność C (rs. 6). (5,5) [] (0) (9,9) 5 [] (0) C (0) (0) [] D 6 [] (0) (6,6) Rs. 6 Nastęnie ustali możliwe wariant skrócenia trzech najdłuższch ścieżek: D (koszt: 6), (koszt: ), C D (koszt: ), (koszt: 5), i skróci czas trwania cznności i (rs. 7).
6 H. GSPRS (,) [] (0) (8,8) [] (0) C () (0) [] D 6 [] (0) (6,6) Rs. 7 Czas realizacji rzedsięwzięcia wniesie wówczas 8 tgodni, a łączn koszt skrócenia będzie równ = 5 j.. W rzadku tego rzkładu moglibśm mieć ewność, że otrzmane rozwiązanie jest otmalne, onieważ lista wariantów do wboru została odowiednio rozszerzona. Rozwiązując jednak oniższe zadanie: min, (0) C D C D 5, () 6 5 6 D C 0 0, () = 0, () 8, (), 0, (5),,, C, D, N (6)
naliza czasowo-kosztowa... 7 okazuje się, że wstarcz najierw skrócić cznność, a w drugiej iteracji cznność (lub odwrotnie), ab sełnić warunek (), rz czm całkowit koszt wniesie jednie = j.. (rs. 8). (,) [] (0) (8,8) [] (0) C [] (0) (0) [] D 6 [] (0) (6,6) Rs. 8. Po raz kolejn oisan algortm nie ozwolił nam wznaczć otmalnego rozwiązania. W rozdziale niniejszej rac zakwestionowano drugi krok oisanego algortmu. Na odstawie drugiego rzkładu można dojść do wniosku, iż krok staje się w ewnch stuacjach również zawodn. Wbór każdorazowo najtańszego wariantu nie musi rowadzić do otimum. Oczwiście, gdb decdentowi zależało na rzsieszeniu inwestcji tlko o jeden tdzień, rozwiązania wgenerowane dla tego rzkładu rzez algortm i model otmalizacjn błb zbieżne. W obu rzadkach należałob skrócić czas trwania cznności C. Podsumowanie. W racach [] [5], [7] rzjmuje się, że rzsieszenie inwestcji owinno nastąić orzez skracanie najdłuższch ścieżek o jedną jednostkę. W oracowaniach zamieszczanch na stronach internetowch rzez osob rowadzące zarówno wkład i ćwiczenia dla studentów z rzedmiotów otmalizacjnch, jak i szkolenia z zakresu zarządzania rojektem (Project Management) można znaleźć nastęujące sformułowania: Jeżeli wstęują dwie lub więcej ścieżek krtcznch w sieci, należ skracać czas o tę samą wielkość na wszstkich ścieżkach krtcznch 7. Okazuje się jednak, że nie dla każdej stuacji deczjnej założenia algortmu ozwalają otrzmać najlesze rozwiązanie. Krok oisanej metod oszukiwania otmalnego lanu należ zatem rzeformułować rzez dodanie jednego istotnego słowa: Ustalić 7 Zob. gnu.univ.gda.l/~jz oraz [, s. 5 55] i [7, s. 66].
8 H. GSPRS możliwe wariant skrócenia czasu trwania wszstkich ścieżek krtcznch o rznajmniej jedną jednostkę.. Niektóre oracowania ddaktczne są zaoatrzone w komentarz o nastęującej bądź zbliżonej treści: Należ zwrócić szczególną uwagę na ścieżkę krtczną i uewnić się, cz o rzsieszeniu inwestcji o jedną jednostkę rozatrwana ścieżka ozostanie krtczna 8. Wniosek ten stanowi niejako otwierdzenie konieczności wboru wariantu nie tlko sośród kombinacji zakładającch skrócenie ścieżek krtcznch o dokładnie jedną jednostkę. Jeżeli decdent ogranicz się jednie do tch ostatnich, rz skracaniu czasu realizacji rzedsięwzięcia o każdą kolejną jednostkę, liczba ścieżek krtcznch będzie co najwżej wzrastać, gdż raz ustalona ścieżka krtczna zachowa swoje zerowe całkowite zaas czasu w każdej iteracji. Jeżeli natomiast do list możliwch kombinacji dołączą wariant skracające najdłuższe ścieżki rznajmniej raz, okaże się, że niektóre drogi krtczne rzestaną bć najdłuższe, onieważ zostaną one skrócone w dwóch miejscach. Modfikacja kroku omówionego algortmu ociąga więc za sobą zmian również w kroku 6.. Przkład drugi omówion w rozdziale czwartm wraźnie okazuje, że krok sugerując wbór najtańszej kombinacji może również rzeszkodzić decdentowi w wznaczeniu lanu otmalnego. Niezwkle istotnm arametrem w zadaniu jest bowiem czas drektwn T*. Jeżeli decdentowi zależ tlko na jednokrotnm skróceniu czasu realizacji rzedsięwzięcia, może on jak najbardziej kierować się rz wborze odowiedniego wariantu krterium minimalizacji kosztu. Jeżeli natomiast decdent zamierza rzsieszć inwestcję o kilka jednostek, owinien on sojrzeć na roblem całościowo, co w rzadku bardzo rozbudowanch sieci może się okazać dość trudne. Owa trudność wnika z faktu, iż analiza czasowo-kosztowa osiada cech charakterstczne dla rogramowania dnamicznego.. Przerowadzone analiz wkazał, że zarówno rz nieliniowej jak i rz liniowej zależności międz czasem trwania danej cznności a kosztem związanm z jego skróceniem wniki generowane rzez algortm i model otmalizacjn niekied są różne, rz czm ten drugi zawsze zaewnia uzskanie rozwiązania otmalnego. 5. Zauważm, że sieci, na odstawie którch wkazano, iż stosowanie algortmu może bć zawodne, mają dość secficzną strukturę: zawierają ścieżkę krtczną (odkrtczną) osiadającą cznności wsólne arami z innmi ścieżkami krtcznmi (odkrtcznmi). Wkorzstane modele sieciowe, z uwagi na liczbę cznności i zależności międz nimi można jednak uznać za bardzo roste. W raktce natomiast struktura rzedsięwzięcia może się okazać znacznie bardziej złożona. Wówczas ustalenie wszstkich możliwch kombinacji zgodnie z założeniami algortmu zabiera więcej czasu. Zwiększa się również rzko rzeoczenia niektórch wariantów, w tm najbardziej ołacalnej kombinacji. Co więcej, stosowanie omówionego algortmu komlikuje się, gd różnica międz normalnm czasem realizacji rzedsięwzięcia 8 Zob. htt://www.netmba.com/oerations/rojet-cost/
naliza czasowo-kosztowa... 9 a czasem drektwnm jest duża, onieważ o każdej iteracji należ na nowo ustalić odsieć krtczną wraz ze zbiorem kombinacji. Skoro algortm nie gwarantuje uzskania rozwiązania otmalnego, każdej kolejnej iteracji może więc towarzszć coraz większe odchlenie międz wnikiem otrzmanm a otmalnm! Duża złożoność czasowa metod, która na dodatek może nie dorowadzić do najleszego możliwego rozwiązania, tm bardziej ozwala autorce zakwestionować sens jej stosowania. 6. b można bło CPM-COST nazwać algortmem, metoda owinna mieć jasno określone krterium stou i osiągać rozwiązanie sełniające to krterium o skończonej liczbie kroków. Niedoskonałość zarezentowanego algortmu wnika z faktu, iż każdą kolejną iterację traktuje jako odrębne zadanie. Sreczowanie założeń oisanch w rozdziale ierwszm srawi, że staną się one uniwersalne. Możliwe będzie wówczas otrzmanie takich samch wników niezależnie od rzjętego sosobu rozwiązwania roblemu, a osob nadzorujące realizację rzedsięwzięcia inwestcjnego będą mogł wznaczć jeszcze mniej kosztown lan jego wcześniejszego zakończenia. ibliografia [] LDOWSKI S., Metod sieciowe w lanowaniu i organizacji rac, PW, Warszawa 970. [] GDYMIN O., Metod otmalizacji w lanowaniu sieciowm, PWN, Warszawa 97. [] GRUCZ., OGONK K., TROCKI M., Zarządzanie rojektami, PW, Warszawa 00. [] GUZIK. (red.), konometria i badania oeracjne, MD 5,, Poznań 999. [5] IDŹKIWICZ.Z., PRT. Metod analiz sieciowej, PWN, Warszawa 967. [6] IGNSIK., Teoria grafów i lanowanie sieciowe, PW, Warszawa 98. [7] JĘDRZJCZYK Z., KUKUŁ K., SKRZYPK J., WLKOSZ., adania oeracjne w rzkładach i zadaniach, PWN, Warszawa 996. [8] TRZSKLIK T., Wrowadzenie do badań oeracjnch z komuterem, PW, Warszawa 00. Time-cost analsis (CPM-COST). lgorithm versus otimization model The author of this aer analses eamles of network diagrams resenting different rojects. The target consists in comressing the roject schedule to a time desired and minimizing direct costs. On the basis of these case studies the author shows how both, i.e., ) the algorithm based on the critical ath method with a time-cost analsis and ) the otimization models, generate each iteration to finall determine the best solution. However, the results obtained are different. In this connection, the stes of the algorithm are demonstrated in order to roof that some of its assumtions are not entirel defined in a roer wa. It turns out that the roject accelerating ) b shortening each critical ath b eactl one unit and ) b selecting the cheaest combination of critical activities, ma not necessaril lead to the otimal solution. t the end of the aer two modified assumtions are roosed. Ke words: CPM-COST, critical ath method, time-cost analsis, otimization model, crash time, desirable time, linear and non-linear relationshi between time and cost, roject duration