PRZYKŁADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY POZIOM PODSTAWOWY ROZWIĄZANIA ZADAŃ Zestaw P3 Odpowiedzi do zadań zamkniętych Numer zadania 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17 18 19 0 Odpowiedź A B B C C D C B B C B A D D C D A C A A Przykładowe rozwiązania zadań otwartych Zadanie 1 ( pkt) Rozwiąż nierówność 3x 8x 3 > + Obliczam pierwiastki trójmianu kwadratowego: 3x 8x 3 > 0 = 100 = 10 8 10 1 8 + 10 x1 = = lub x = = 3 6 3 6 1 x, 3, 3 Podaję rozwiązanie nierówności: ( ) Zadanie ( pkt) Rozwiąż równanie x 3 18x = 0 Zapisuję równanie 3 x 18x = 0 w postaci x ( x 9) = 0, a następnie przekształcam je do postaci: x ( x 3)( x + 3) = 0 Równanie ma trzy rozwiązania: x = 0, x = 3, x = 3
Zadanie 3 ( pkt) Wyznacz równanie prostej przechodzącej przez początek układu współrzędnych i przez środek okręgu o równaniu x + y x + 4y 5 = 0 Zapisuję równanie + + 4 5 = 0 w postaci ( x 1) + ( y + ) = 10 x y x y Odczytuję środek okręgu: S = ( 1, ) Równanie prostej przechodzącej przez początek układu współrzędnych ma postać: y Prosta ma przechodzić również przez środek okręgu, czyli punkt S = ( 1, ) = ax Zatem równanie szukanej prostej ma postać: y = x Zadanie 4 ( pkt) Wyznacz wartość największą i najmniejszą funkcji kwadratowej f ( x) = x 5x + 3 w przedziale 1, Sprawdzam, czy pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli należy do przedziału 1, : x w b 5 = = 1, a 4 Obliczam wartość funkcji dla 5 x w = : 4 5 1 f = 4 8 Obliczam wartości funkcji na krańcach przedziału 1, f = 1 : f ( 1 ) = 10, ( ) 5 1 f = 4 8 1 = to najmniejsza wartość funkcji ( x) = x 5x + 3 f ( ) 10 to największa wartość funkcji ( x) = x 5x + 3 f w przedziale 1,, f w przedziale 1,
Zadanie 5 ( pkt) Wykaż, że jeśli k i n są liczbami naturalnymi oraz 1 k n, to k( n k + ) n 1 Doprowadzam nierówność k( n k + ) n z niewiadomą k : k n k + 1 ( ) n kn k k n + 0 ( ) k + k n + n 1 0 Obliczam wyróżnik trójmianu kwadratowego: ( n 1) 4 ( 1) ( n) = + = + + n n 1 4n ( ) = n n + = n 1 1 Dla każdego n ( 1) 0 n 1 ( n 1) n, stąd = n 1 n 1+ n 1 k1 = = n lub k = = 1 Wtedy nierówność ma postać: k n k 1 0 ( )( ) ( k )( n k ) 1 0 1 do postaci nierówności kwadratowej Dla każdego k i dla każdego n przy założeniu (1 k n ), k 1 0 i n k 0 Stąd dla każdego k i dla każdego n przy założeniu (1 k n k 1 n k 0 ), ( )( )
Zadanie 6 ( pkt) Punkty D i E dzielą bok BC trójkąta ABC na trzy równe części (zobacz rysunek) Wykaż, że pole trójkąta ADE jest trzy razy mniejsze od pola trójkąta ABC C E D A B Zaznaczam wysokość AF trójkąta poprowadzoną z wierzchołka A C F E D A B 1 1 1 Otrzymuję: P ABC = BC AF = 3 DE AF = 3 DE AF = 3P Zatem pole trójkąta ADE jest trzy razy mniejsze od pola trójkąta ABC ADE
Zadanie 7 ( pkt) Kąt α jest ostry i 8 cosα = Oblicz 17 tg α + 1 Przekształcam wyrażenie tg α + 1 : α α α cos α cos α cos α cosα sin sin + cos 1 1 tg α + 1 = + 1 = = = Obliczam wartość wyrażenia: 1 1 17 tg α + 1 = = = cosα 8 8 17 Zadanie 8 ( pkt) Sprawdź, czy czworokąt ABCD, gdzie A = ( 3, 1), B = ( 53, ), C = ( 54,4), D = (,3) jest równoległobokiem Odpowiedź uzasadnij Obliczam długości odcinków AB i DC oraz odcinków AD i BC: ( ) ( ) AB = 53+ 3 + + 1 = 56 + 1 ( ) ( ) DC = 54 + + 4 3 = 56 + 1 ( ) ( ) AD = + 3 + 3+ 1 = 17 ( ) ( ) BC = 54 53 + 4 + = 37 Czworokąt ABCD nie jest równoległobokiem, ponieważ AD BC
Zadanie 9 (5 pkt), jest arytmetyczny i + b + c = 33 Oblicz a, b i c Ciąg ( a b, c) a Ciąg (, b + 3, c + 13) a jest geometryczny Wykorzystuję własności ciągu arytmetycznego i zapisuję: b = a + r i c = a + r Wykorzystuję własności ciągu arytmetycznego i geometrycznego i zapisuję układ równań wynikający z warunków zadania: a + b + c = 33 ( b + 3) = a( c + 13) Podstawiam b = a + r i c = a + r a + a + r + a + r = 33 ( a + r + 3) = a( a + r + 13) Z pierwszego równania otrzymuję: a = 11 r Następnie przekształcam układ równań do równania z jedną niewiadomą r : 11 r 4 + r = ( )( ) 196 Po kolejnych przekształceniach otrzymuję równanie postaci: r + 13r 68 = 0 Rozwiązując równanie otrzymuję dwa rozwiązania: r = 17 lub r = 4 Zatem mamy dwie wartości liczby a: a = 8 dla r = 17 lub a = 7 dla r = 4 a = 8 Stąd otrzymuję dwie trójki liczb, które spełniają warunki zadania: b = 11 c = 6 lub a = 7 b = 11 c = 15
Zadanie 30 (4 pkt) Punkty A = ( 9, 3) i ( 5, 5) B = są wierzchołkami trójkąta prostokątnego ABC, w którym AB jest przeciwprostokątną Wyznacz współrzędne wierzchołka C wiedząc, że leży on na osi Ox Współrzędne punktu C, leżącego na osi Ox zapisuję w postaci: C ( x,0) = Wyznaczam długość przyprostokątnych AC i BC oraz długość przeciwprostokątnej AB trójkąta ABC: AC BC AB = ( x + 9) + 9 = ( x 5) + 5 = 60 Stosuję twierdzenia Pitagorasa w trójkącie ABC: z jedną niewiadomą: ( + 9) + 9 + ( x 5) + 5 = 60 x Doprowadzam równanie ( + 9) + 9 + ( x 5) + 5 = 60 AB = AC + BC i zapisuję równanie x do postaci x + 4x 60 = 0 Rozwiązuję równanie i otrzymuję x 1 = 10 lub x = 6 Podaję współrzędne obu punktów C: C = ( 10, 0) lub = ( 6, 0) C
Zadanie 31 (5 pkt) Za wynajęcie autobusu na wycieczkę uczniowie klasy IA mieli zapłacić 1800 złotych Ponieważ 4 uczniów zrezygnowało z tej wycieczki, każdy z pozostałych uczniów zapłacił o 15 zł więcej Oblicz, ilu uczniów jest w klasie IA Wprowadzam oznaczenia: x planowana liczba uczniów, y jednostkowy koszt wynajęcia autokaru przy liczbie uczniów równej x Zapisuję zależność między liczbą uczniów i jednostkowym kosztem wynajęcia autokaru: x y = 1800 Zapisuję układ równań z niewiadomymi x oraz y: x y = 1800 x 4 y + 15 = 1800 ( )( ) Przekształcam układ równań do równania z jedną niewiadomą: 1800 ( x 4) + 15 = 1800 x Po przekształceniach powyższe równanie przyjmuje postać: x 4x 480 = 0 Rozwiązuję równanie i otrzymuję dwa rozwiązania: x = 0 lub x = 4 Odrzucam rozwiązanie x = 0, które nie spełnia warunków zadania Podaję odpowiedź: W klasie IA jest 4 uczniów