Zestw wzoów mtemtyzy zostł pzygotowy dl potze egzmiu mtulego z mtemtyki oowiązująej od oku 00. Zwie wzoy pzydte do ozwiązi zdń z wszystki dziłów mtemtyki, dltego może służyć zdjąym ie tylko podzs egzmiu, le i w zsie pzygotowń do mtuy. Zestw te zostł opowy w etlej Komisji Egzmiyjej we współpy z powikmi wyższy uzeli oz w kosultji z ekspetmi z okęgowy komisji egzmiyjy. Mmy dzieję, że zestw, któy pzygotowliśmy mtuzystom, spełi swoje zdie i pzyzyi się do egzmiyjy sukesów. Pulikj współfisow pzez UE w m Euopejskiego Fuduszu Społezego. Pulikj jest dystyuow ezpłtie. SPIS TREŚI. Wtość ezwzględ lizy.... Potęgi i piewistki... 3. Logytmy... 4. Sili. Współzyik dwumiowy... 5. Wzó dwumiowy Newto... 6. Wzoy skóoego możei... 3 7. iągi... 3 8. Fukj kwdtow... 4 9. Geometi lityz... 4 0. Plimeti... 6. Steeometi.... Tygoometi... 4 3. Komitoyk... 5 4. Ruek pwdopodoieństw... 5 5. Pmety dy sttystyzy... 6 6. Tli wtośi fukji tygoometyzy... 7
. WRTŚĆ EZWZGLĘN LIZY Wtość ezwzględą lizy zezywistej x defiiujemy wzoem: x dl x 0 x x dl x < 0 Liz x jest to odległość osi lizowej puktu x od puktu 0. W szzególośi: x 0 x x l dowoly liz x, y mmy: x + y x + y x y x + y x y x y Podto, jeśli y 0, to x y x y l dowoly liz oz 0 mmy wuki ówowże: x x + x x lu x +. PTĘGI I PIERWISTKI Nie ędzie lizą łkowitą dodtią. l dowolej lizy defiiujemy jej tą potęgę:... zy Piewistkiem ytmetyzym stopi z lizy 0 zywmy lizę 0 tką, że. W szzególośi, dl dowolej lizy zodzi ówość:. Jeżeli < 0 oz liz jest iepzyst, to ozz lizę < 0 tką, że Piewistki stopi pzysty z liz ujemy ie istieją. *. Nie m, ędą lizmi łkowitymi dodtimi. efiiujemy: 0 dl 0 : oz dl 0 : m m m dl > 0 : m Nie, s ędą dowolymi lizmi zezywistymi. Jeśli > 0 i > 0, to zodzą ówośi: s s + ( ) s s s s ( ) Jeżeli wykłdiki, s są lizmi łkowitymi, to powyższe wzoy oowiązują dl wszystki liz 0 i 0.
3. LGRYTMY Nie > 0 i. Logytmem log lizy > 0 pzy podstwie zywmy wykłdik potęgi, do któej leży podieść podstwę, y otzymć lizę : log Rówowżie: log l dowoly liz x > 0, y > 0 oz zodzą wzoy: x log( x y) log x+ log y log x log x log log x log y y Wzó zmię podstwy logytmu: jeżeli > 0,, > 0, oz > 0, to log log log log x oz lg x ozz log0 x. 4. SILNI. WSPÓŁZYNNIK WUMINWY Silią lizy łkowitej dodtiej zywmy ilozy kolejy liz łkowity od do włązie:!... Podto pzyjmujemy umowę, że 0!. l dowolej lizy łkowitej 0 zodzi związek: +!! + ( ) ( ) * l liz łkowity, k spełijąy wuki 0 k defiiujemy współzyik dwumiowy (symol Newto): k! k k! ( k)! Zodzą ówośi: ( )( )... ( k+ ) k 3... k k k 0 5. WZÓR WUMINWY NEWTN l dowolej lizy łkowitej dodtiej oz dl dowoly liz, mmy: ( )... k k... + + + + + + + 0 k
6. WZRY SKRÓNEG MNŻENI l dowoly liz, : ( ) + + + ( ) 3 3 3 + + 3 + 3 + ( ) + ( ) 3 3 3 3 + 3 l dowolej lizy łkowitej dodtiej oz dowoly liz, zodzi wzó: k k + +... + +... + + W szzególośi: ( )( ) ( )( + ) ( )( + ) ( )( + + ) 3 ( )( + + ) + ( + )( + ) 3 + ( + )( + ) ( )( + +... + ) 3 3 3 3 7. IĄGI iąg ytmetyzy Wzó ty wyz iągu ytmetyzego ( ) o piewszym wyzie i óżiy : + ( ) Wzó sumę S + +... + pozątkowy wyzów iągu ytmetyzego: + ( ) S + Między sąsiedimi wyzmi iągu ytmetyzego zodzi związek: + + dl iąg geometyzy Wzó ty wyz iągu geometyzego ( ) o piewszym wyzie i ilozie q: q dl Wzó sumę S + +... + pozątkowy wyzów iągu geometyzego: q dl q S q dl q Między sąsiedimi wyzmi iągu geometyzego zodzi związek: + dl Poet skłdy Jeżeli kpitł pozątkowy K złożymy lt w ku, w któym opoetowie lokt wyosi p % w skli ozej, to kpitł końowy K wyż się wzoem: p K K + 00 3
8. FUNKJ KWRTW Postć ogól fukji kwdtowej: f ( x) x + x+, 0, x R. Wzó kżdej fukji kwdtowej moż dopowdzić do posti koizej: f ( x) ( x p) Δ + q, gdzie p, q, Δ 4 4 Wykesem fukji kwdtowej jest pol o wiezołku w pukie o współzędy p, q. Rmio poli skieowe są do góy, gdy > 0, do dołu, gdy < 0. ( ) Liz miejs zeowy fukji kwdtowej f ( x) x + x+ (liz piewistków tójmiu kwdtowego, liz zezywisty ozwiązń ówi x + x + 0 ), zleży od wyóżik Δ 4: jeżeli Δ< 0, to fukj kwdtow ie m miejs zeowy (tójmi kwdtowy ie m piewistków zezywisty, ówie kwdtowe ie m ozwiązń zezywisty), jeżeli Δ 0, to fukj kwdtow m dokłdie jedo miejse zeowe (tójmi kwdtowy m jede piewistek podwójy, ówie kwdtowe m dokłdie jedo ozwiązie zezywiste): x x jeżeli Δ> 0, to fukj kwdtow m dw miejs zeowe (tójmi kwdtowy m dw óże piewistki zezywiste, ówie kwdtowe m dw ozwiązi zezywiste): Δ + Δ x x Jeśli Δ 0, to wzó fukji kwdtowej moż dopowdzić do posti ilozyowej: f x x x x x ( ) ( )( ) Wzoy Viéte Jeżeli Δ 0 to x+ x x x 9. GEMETRI NLITYZN diek ługość odik o koń w pukt x, y x, y d jest ( ), ( ) wzoem: y (, ) x y ( ) ( ) x x + y y Współzęde śodk odik : x + x y + y, (, ) x y x 4
Wektoy Współzęde wekto : x x, y y Jeżeli u [ u, u] v v, v u+ v u + v, u + v [ ], [ ] [ ] Post Rówie ogóle postej: x + y + 0, gdzie są wektomi, zś jest lizą, to u u, u [ ] + 0 (tj. współzyiki, ie są ówoześie ówe 0). Jeżeli 0, to post jest ówoległ do osi x; jeżeli 0, to post jest ówoległ do osi y; jeżeli 0, to post pzeodzi pzez pozątek ukłdu współzędy. Jeżeli post ie jest ówoległ do osi y, to m o ówie kieukowe: y x+ Liz to współzyik kieukowy postej: tg Współzyik wyzz osi y pukt, w któym d post ją pzei. y y x+ x Rówie kieukowe postej o współzyiku kieukowym, któ pzeodzi pzez P x, y : pukt ( 0 0) ( ) y x x + y 0 0 Rówie postej, któ pzeodzi pzez dw de pukty ( x, y), ( x, y) ( y y )( x x ) ( y y )( x x ) 0 Post i pukt dległość puktu P ( x, y ) 5 : 0 0 od postej o ówiu x + y + 0 jest d wzoem: x0 + y0 + + P posty wie poste o ówi kieukowy y x + y x + spełiją jede z stępująy wuków: są ówoległe, gdy są postopdłe, gdy twozą kąt osty ϕ i tgϕ +
wie poste o ówi ogóly: x+ y+ x + y + 0 0 są ówoległe, gdy 0 są postopdłe, gdy + 0 twozą kąt osty ϕ i tgϕ + Tójkąt Pole tójkąt o wiezołk ( x, y ), ( x, y ), ( x, y ), jest de wzoem: PΔ ( x x )( y y ) ( y y )( x x ) Śodek iężkośi tójkąt, zyli pukt pzeięi jego śodkowy, m współzęde: x+ x + x y+ y + y, 3 3 Pzeksztłei geometyze pzesuięie o wekto u [, ] pzeksztł pukt ( xy, ) pukt ( x+, y+ ) symeti względem osi x pzeksztł pukt ( xy, ) pukt ( x, y) symeti względem osi y pzeksztł pukt ( x, y) pukt ( x, y) symeti względem puktu (, ) pzeksztł pukt ( x, y) pukt ( x, y) jedokłdość o śodku w pukie ( 0,0 ) i skli s 0 pzeksztł pukt ( x, y) pukt ( sx, sy) Rówie okęgu Rówie okęgu o śodku w pukie S (, ) lu ( ) ( ) x + y x y x y + + 0 gdy i pomieiu > 0 : + > 0 0. PLNIMETRI ey pzystwi tójkątów F E 6
To, że dw tójkąty i EF są pzystjąe ( Δ Δ EF ), możemy stwiedzić podstwie kżdej z stępująy e pzystwi tójkątów: e pzystwi ok ok ok : odpowidjąe soie oki ou tójkątów mją te sme długośi: F, EF E, e pzystwi ok kąt ok : dw oki jedego tójkąt są ówe odpowidjąym im okom dugiego tójkąt oz kąt zwty między tymi okmi jedego tójkąt m tką smą mię jk odpowidjąy mu kąt dugiego tójkąt, p. E, F, EF e pzystwi kąt ok kąt : jede ok jedego tójkąt m tę smą długość, o odpowidjąy mu ok dugiego tójkąt oz miy odpowidjąy soie kątów ou tójkątów, pzyległy do oku, są ówe, p. E, EF, EF ey podoieństw tójkątów F E To, że dw tójkąty i EF są podoe ( Δ ~ Δ EF ), możemy stwiedzić podstwie kżdej z stępująy e podoieństw tójkątów: e podoieństw ok ok ok : długośi oków jedego tójkąt są popojole do odpowiedi długośi oków dugiego tójkąt, p. E F EF e podoieństw ok kąt ok : długośi dwó oków jedego tójkąt są popojole do odpowiedi długośi dwó oków dugiego tójkąt i kąty między tymi pmi oków są pzystjąe, p., EF E F e podoieństw kąt kąt kąt : dw kąty jedego tójkąt są pzystjąe do odpowiedi dwó kątów dugiego tójkąt (wię też i tzeie kąty ou tójkątów są pzystjąe): EF, EF, FE 7
Pzyjmujemy ozzei w tójkąie : γ,, długośi oków, leżąy odpowiedio pzeiwko wiezołków,, p + + owód tójkąt, β, γ miy kątów pzy wiezołk,, β,, wysokośi opuszzoe z wiezołków,, R, pomieie okęgów opisego i wpisego Twiedzeie Pitgos (wz z twiedzeiem odwotym do iego) W tójkąie kąt γ jest posty wtedy i tylko wtedy, gdy +. Związki miowe w tójkąie postokątym Złóżmy, że kąt γ jest posty. Wówzs: γ si os β. β tg tgβ + R p Twiedzeie siusów R si si β siγ Wzoy pole tójkąt PΔ PΔ siγ si β siγ PΔ R si siβ siγ si PΔ p p p p p 4R ( )( )( ) Twiedzeie osiusów + os + osβ + osγ Tójkąt ówoozy długość oku wysokość tójkąt 3 3 P Δ 4 8
Twiedzeie Tles Jeżeli poste ówoległe i pzeiją dwie poste, któe pzeiją się w pukie, to. Twiedzeie odwote do twiedzei Tles Jeżeli poste i pzeiją dwie poste, któe pzeiją się w pukie oz, to poste i są ówoległe. zwookąty E Tpez zwookąt, któy m o jmiej jedą pę oków ówoległy. Wzó pole tpezu: + P ϕ Rówoległook zwookąt, któy m dwie py oków ówoległy. Wzoy pole ówoległooku: P si siϕ Rom zwookąt, któy m dwie py oków ówoległy jedkowej długośi. Wzoy pole omu: P si eltoid zwookąt, któy m oś symetii, zwiejąą jedą z pzekąty. Wzó pole deltoidu: P 9
Koło Wzó pole koł o pomieiu : P π wód koł o pomieiu : π Wyiek koł Wzó pole wyik koł o pomieiu i kąie śodkowym wyżoym w stopi: P π 360 ługość łuku wyik koł o pomieiu i kąie śodkowym wyżoym w stopi: l π 360 Kąty w okęgu Mi kąt wpisego w okąg jest ów połowie miy kąt śodkowego, optego tym smym łuku. Miy kątów wpisy w okąg, opty tym smym łuku, są ówe. Twiedzeie o kąie między styzą i ięiwą y jest okąg o śodku w pukie i jego ięiw. Post jest styz do tego okęgu w pukie. Wtedy, pzy zym wyiemy te z kątów śodkowy, któy jest opty łuku zjdująym się wewątz kąt. 0
Twiedzeie o odik siezej i styzej e są: post pzeiją okąg w pukt i oz post styz do tego okęgu w pukie. Jeżeli poste te pzeiją się w pukie P, to P P P. P kąg opisy zwookąie γ β N zwookąie moż opisć okąg wtedy i tylko wtedy, gdy sumy mi jego pzeiwległy kątów wewętzy są ówe 80 : δ + γ β + δ 80 kąg wpisy w zwookąt d W zwookąt wypukły moż wpisć okąg wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długośi jego pzeiwległy oków są ówe: + + d
. STEREMETRI Twiedzeie o tze posty postopdły k P m l Post k pzeij płszzyzę w pukie P. Post l jest zutem postokątym postej k tę płszzyzę. Post m leży tej płszzyźie i pzeodzi pzez pukt P. Wówzs post m jest postopdł do postej k wtedy i tylko wtedy, gdy jest postopdł do postej l. zzei P pole powiezi łkowitej P pole powiezi podstwy p Postopdłośi P pole powiezi ozej V ojętość H G E F P ( + + ) V gdzie,, są długośimi kwędzi postopdłośiu Gistosłup posty F J E I G H P p V Pp gdzie p jest owodem podstwy gistosłup
stosłup S E V P 3 p gdzie jest wysokośią ostosłup Wle P π P π + ( ) V π gdzie jest pomieiem podstwy, wysokośią wl Stożek S l P π l P π + l ( ) V π 3 gdzie jest pomieiem podstwy, wysokośią, l długośią twoząej stożk Kul P 4π 4 3 V π 3 gdzie jest pomieiem kuli 3
. TRYGNMETRI efiije fukji tygoometyzy y M(x, y) M x Wykesy fukji tygoometyzy y si x os y tg, gdy x 0 x gdzie x + y > 0 jest pomieiem wodząym puktu M y si x y os x y tg x Związki między fukjmi tego smego kąt si + os si tg dl os Niektóe wtośi fukji tygoometyzy π + kπ k łkowite 0 30 45 60 90 π π π π 0 6 4 3 3 si 0 os tg 0 3 3 3 3 0 ie istieje 4
Fukje sumy i óżiy kątów l dowoly kątów, β zodzą ówośi: ( ) ( ) ( ) ( ) si + β sios β + ossi β si β sios β ossi β os + β osos β sisi β os β osos β + sisi β Podto mmy ówośi: tg( ) tg + tgβ tg( ) tg + β β tgβ tg tgβ + tg tgβ któe zodzą zwsze, gdy są okeśloe i miowik pwej stoy ie jest zeem. Fukje podwojoego kąt si sios os os si os si 3. KMINTRYK Wije z powtózeimi Liz sposoów, któe z óży elemetów moż utwozyć iąg, skłdjąy się z k iekoiezie óży wyzów, jest ów k. Wije ez powtózeń Liz sposoów, któe z óży elemetów moż utwozyć iąg, skłdjąy się z k ( k ) óży wyzów, jest ów Pemutje ( )... ( ) k+! ( k) Liz sposoów, któe óży elemetów moż ustwić w iąg, jest ów!. Komije Liz sposoów, któe spośód óży elemetów moż wyć k ( 0 k ) elemetów, jest ów k.! 4. RHUNEK PRWPIEŃSTW Włsośi pwdopodoieństw ( ) P ( Ω ) 0 P dl kżdego zdzei Ω Ω zdzeie pewe P ( ) 0 zdzeie iemożliwe (pusty podzió Ω ) P( ) P( ) gdy Ω P( ) P( ), gdzie ozz zdzeie pzeiwe do zdzei P( ) P( ) + P( ) P( ), dl dowoly zdzeń Ω, P( ) P( ) + P( ), dl dowoly zdzeń Ω, 5
Twiedzeie: Klsyz defiij pwdopodoieństw Nie Ω ędzie skońzoym zioem wszystki zdzeń elemety. Jeżeli wszystkie zdzei jedoelemetowe są jedkowo pwdopodoe, to pwdopodoieństwo zdzei Ω jest ówe P( ) Ω gdzie ozz lizę elemetów ziou, zś Ω lizę elemetów ziou Ω. 5. PRMETRY NYH STTYSTYZNYH Śedi ytmetyz Śedi ytmetyz liz,,..., jest ów: + +... + Śedi wżo Śedi wżo liz,,...,, któym pzypiso odpowiedio dodtie wgi w, w,..., w jest ów: w + w +... + w w + w +... + w Śedi geometyz Śedi geometyz ieujemy liz,,..., jest ów: Medi... Medią upoządkowego w kolejośi iemlejąej ziou dy lizowy 3... jest: dl iepzysty: + (śodkowy wyz iągu) dl pzysty: + (śedi ytmetyz śodkowy wyzów iągu) + Wij i odyleie stddowe Wiją dy lizowy,,..., o śediej ytmetyzej jest liz: ( ) ( ) ( ) + +... + + +... + ( ) σ dyleie stddowe σ jest piewistkiem kwdtowym z wiji. 6
6. TLI WRTŚI FUNKJI TRYGNMETRYZNYH [] si os β tg β [] [] si os β tg β [] 0 0,0000 0,0000 90 46 0,793,0355 44 0,075 0,075 89 47 0,734,074 43 0,0349 0,0349 88 48 0,743,06 4 3 0,053 0,054 87 49 0,7547,504 4 4 0,0698 0,0699 86 50 0,7660,98 40 5 0,087 0,0875 85 5 0,777,349 39 6 0,045 0,05 84 5 0,7880,799 38 7 0,9 0,8 83 53 0,7986,370 37 8 0,39 0,405 8 54 0,8090,3764 36 9 0,564 0,584 8 55 0,89,48 35 0 0,736 0,763 80 56 0,890,486 34 0,908 0,944 79 57 0,8387,5399 33 0,079 0,6 78 58 0,8480,6003 3 3 0,50 0,309 77 59 0,857,6643 3 4 0,49 0,493 76 60 0,8660,73 30 5 0,588 0,679 75 6 0,8746,8040 9 6 0,756 0,867 74 6 0,889,8807 8 7 0,94 0,3057 73 63 0,890,966 7 8 0,3090 0,349 7 64 0,8988,0503 6 9 0,356 0,3443 7 65 0,9063,445 5 0 0,340 0,3640 70 66 0,935,460 4 0,3584 0,3839 69 67 0,905,3559 3 0,3746 0,4040 68 68 0,97,475 3 0,3907 0,445 67 69 0,9336,605 4 0,4067 0,445 66 70 0,9397,7475 0 5 0,46 0,4663 65 7 0,9455,904 9 6 0,4384 0,4877 64 7 0,95 3,0777 8 7 0,4540 0,5095 63 73 0,9563 3,709 7 8 0,4695 0,537 6 74 0,963 3,4874 6 9 0,4848 0,5543 6 75 0,9659 3,73 5 30 0,5000 0,5774 60 76 0,9703 4,008 4 3 0,550 0,6009 59 77 0,9744 4,335 3 3 0,599 0,649 58 78 0,978 4,7046 33 0,5446 0,6494 57 79 0,986 5,446 34 0,559 0,6745 56 80 0,9848 5,673 0 35 0,5736 0,700 55 8 0,9877 6,338 9 36 0,5878 0,765 54 8 0,9903 7,54 8 37 0,608 0,7536 53 83 0,995 8,443 7 38 0,657 0,783 5 84 0,9945 9,544 6 39 0,693 0,8098 5 85 0,996,430 5 40 0,648 0,839 50 86 0,9976 4,3007 4 4 0,656 0,8693 49 87 0,9986 9,08 3 4 0,669 0,9004 48 88 0,9994 8,6363 43 0,680 0,935 47 89 0,9998 57,900 44 0,6947 0,9657 46 90,0000 0 45 0,707,0000 45 7