Bardzo leie wprowadzeie do metod zliczaia Ryszard Rębowsi 12 listopada 2016 1 Wstęp Zacziemy od przedstawieia podstawowe metodologii wspomagaące proces zliczaia (MPZ). Poieważ celem tego procesu est stwierdzeie z ilu elemetów słada się day zbiór, u podstaw MPZ musi zaleźć się wymóg potrzeby oreśleia tego zbioru. Przypuśćmy, że potrafimy to zrobić, i iech azywa się o A. Oczywiście możemy założyć, że A. Aby dooać procedury zliczeia musimy zacząć od ustaleia zbioru wartości miary te procedury, według poiże zasady X A A K, (1) gdzie X ozacza ustaloy zbiór, z elemetów tórego sładaą się zbiory typu A, symbol A ozacza wartość procedury MPZ odoszącą się do zbioru A, K ozacza zbiór wszystich możliwych wartości uzysaych w wyiu MPZ. Dale K będziemy azywali zbiorem liczb ardyalych, wyi MPZ A, mocą zbioru A. W taim razie MPZ est sposobem mierzeia zbioru oreślaącym ego moc. Przedźmy teraz do szczegółów. Zacziemy od przedstawieia ostruci liczby ardyale szczególego typu. 2 Poęcie sończoe liczby ardyale Przypuśćmy, że ze zbioru X wybraliśmy dwa iepuste zbiory C i D. Z defiici przymiemy, że są oe rówolicze, co zapiszemy C D, eśli istiee odwzorowaie f : C D, tóre est różowartościowe oraz ego zbiorem wartości est zbiór D. 1 Fat 1 (własości związu rówoliczości) Dla dowolych trzech podzbiorów C, D, E X mamy: 1 Dale o taim odwzorowaiu będziemy mówili, że est biecą. 1
2 POJĘCIE SKOŃCZONEJ LICZBY KARDYNALNEJ 1. C C, co ozacza, że ażdy zbiór est rówoliczy ze sobą (efet tzw. zwrotości); 2. C D D C, co ozacza, że eśli zbiór C est rówoliczy ze zbiorem D, tod musi być rówoliczy z C (efet tzw. symetrii); 3. C D i D E C E, co ozacza, że eśli zbiór C est rówoliczy ze zbiorem D i edocześie D est rówoliczy z E, toapewoc i E są rówolicze (efet tzw. przechodiości). Dowód. Zwrotość est osewecą stwierdzeia, że odwzorowaie idetyczościowe est biecą. Dla dowodu właściwości symetrii wystarczy zauważyć, że ażda bieca est odwracala oraz powstałe odwzorowaie est rówież biecą. Przechodiość z olei wyia z uwagi, że złożeiem bieci est bieca. 2 Ustalmy teraz C X oraz weźmy zbiór złożoy ze wszystich podzbiorów D X, tóre są rówolicze z C. Ozaczaąc te zbiór przez [C] możemy apisać Defiica 1 (lasy abstraci) Przez lasę abstraci zbioru C względem zależości rozumiemy zbiór [C], gdzie [C] {D X : D C}. Z Fatu 1 widzimy, że zachodzi astępuąca własość. 3 Wiose 1 1. C [C], co ozacza, że lasa abstraci dowolego zbioru est zbiorem iepustym. 2. Dla dowolych dwóch podzbiorów C, D X, albo [C] [D], albo [C] [D]. Zatem, eśli dwie lasy różią się chociażby edym elelmetem, to muszą być rozłącze. 2 Szczegóły pozostawiemy Czyteliowi. 3 Czyteli powiie umieć to uzasadić. 2
2 POJĘCIE SKOŃCZONEJ LICZBY KARDYNALNEJ Gotowi esteśmy do podaia ostruci zbioru liczb ardyalych K. Defiica 2 (sończoe liczby ardyale) 4 1. Niech C X będzie tai, że C [{1}], gdzie1 ozacza liczbę aturalą ede. Wtedy symbolem 1 ozaczymy moc zbioru C, czyli C 1 K. Jest to pierwsza ietrywiala liczba ardyala. Dale będziemy ą azywali róto ede. 5 Iogólie, 2. Dla C [{1, 2,...,}], gdzie ozacza liczbę aturalą więszą lub rówą ede, symbolem ozaczymy moc zbioru C, czyli C K. Defiica sończoe liczby ardyale pozwala zdefiiować am zbiór wszystich sończoych liczb ardyalych K, czyli K {0, 1,...,,...}. (2) Defiica 3 Powiemy, że zbiór C X est sończoy, eśli C K. Z defiici rówoliczości, własości związu oraz defiici sończoe liczby ardyale wyiaą astępuące pratycze stwierdzeia. Wiose 2 Niech C będzie dowolym sończoym podzbiorem X. Wtedy albo C est zbiorem pustym, albo istiee liczba aturala, że C {1, 2,...,}, co ozacza, że zbiór C est wartością ciągu dla pewe bieci f. (c 1,c 2,...,c ), gdzie f() c dla 1, 2,...,, Dowód. Wystarczy zauważyć, że C dla pewe sończoe liczby ardyale i sorzystać z wyiów (aich?) tego rozdziału. 4 Istieą tzw. iesończoe liczy ardyale. W tym sesie w matematyce mówi się o różych rodzaach iesończoości. Namiesza z ich reprezetowaa est przez zbiór liczb aturalych. Wtedy piszemy N ℵ o. Ale w przypadu zbioru liczb rzeczywistych mamy uż R N. Dlatego R ℵ o. Piszemy też wtedy R c. poieważ N R oraz zbiory te ie są rówolicze, piszemy też ℵ o < c. Mamy w te sposób uż dwie róże ieso czoości. A est ich o wiele więce! 5 Dla zbioru pustego mamy [ ] { } i z defiici przymuemy, że 0. 3
2 POJĘCIE SKOŃCZONEJ LICZBY KARDYNALNEJ Wiose 2 ilustrue istotę MPZ, czyli zawiso ustawieia wszystich elemetów zbioru w sończoy ciąg. Maąc taie ustawieie, możemy ieao a zasadzie odczytywaia listy obecości dooać listigu tego zbioru. Mówimy wtedy, że est o przeliczaly. Zbiór tai, powiedzmy C X reprezetoway wtedy est przez podzbiór zbioru liczb aturalych {1, 2,..., }, gdzie C. Jedocześie ależy pamiętać, że sończoa liczba ardyala, ao wyi pomiaru mocy zbioru to ie to samo, co odpowiadaąca e liczba aturala, co ilustrue poiższy przyład. Przyład 1 Weźmy astępuące zbiory: {1, 2, 3}, {a, b, c}, { czerwoy, zieloy, iebiesi }, {F, G, H}, gdzie a, b, c reprezetuą azwy abstracyych poęć, F, G, H są podzbiorami aiegoś zbioru. Jase est, że pochodzeie tych zbiorów est róże. Poieważ są rówolicze, pochodzą z te same lasy abstraci, tóra reprezetowaa est przez pierwszy ze zbiorów. Mamy zatem pewą ieedozaczość różym zbiorom odpowiada ich wspóly reprezetat. Ta wspólość staowi istotę defiici mocy zbioru, tóra oreśloa uż est edozaczie, co zapisuemy ao {1, 2, 3} {a, b, c} { czerwoy, zieloy, iebiesi } {F, G, H} 1. Niemie eda dale, o ile ie będzie to prowadziło do ieporozumień, będziemy pisali C, w miesce dotychczasowego sposobu C. Możemy teraz sformułować treść Metodologii Procesu Zliczaia dla zbiorów sończoych. Procedura MPZ polega a: 1. Idetyfiaci obietu, tóry e podlega, czego efetem est pewie zbiór C. 2. Wyazaiu, że C {1, 2,...,} dla pewe liczby aturale. 6 6 Odbywa się to przy zastosowaiu tzw. reguł zliczaia, tórymi zamiemy się dale. 4
3 WYBRANE PRZYKŁADY PROWADZĄCE DO MPZ 3 Wybrae przyłady prowadzące do MPZ Podamy teraz szereg przyładów i sposoby ich rozwiązaia. Uogólieia tych sposobów de facto doprowadzą as do metod używaych w MPZ. Przyład 2 Niech dae będą trzy elemety: a, b, c pewego zbioru X. Należy wyzaczyć liczbę wszystich możliwych uporządowań tych elemetów. Rozwiązaie. Zgodie z MPZ sostruuemy mogość, powiedzmy P, tóre elemetami będą wszystie ciągi długości trzy o różych wyrazach ależących do zbioru {a, b, c}. Poieważ P {(a, b, c), (a, c, b), (b, a, c), (b, c, a), (c, a, b), (c, b, a)}, gdzie ażdy elemet zbioru P reprezetue ie uporządowaie {a, b, c}, P 6. Przyład 3 Nailesposobówzezbioru{a, b, c, d} X moża wybrać trzy-elemetowe podzbiory? Rozwiązaie. Tym razem bierzemy zbiór, tórego elemetami są wspomiae w zagadieiu zbiory. Dale tai zbiór będziemy azywali rodzią zbiorów lub róto rodzią. Ozaczaąc tę rodzię przez C otrzymamy Dlatego C 4. C {{a, b, c}, {a, b, d}, {b, c, d}, {a, c, d}}. Przyład 4 Na ile sposobów ze zbioru {a, b, c} X moża wybrać par uporządowaych? Rozwiązaie. Bierzemy zbiór V, tórego elemetami są wszystie 2 wyrazowe ciągi o wartościach w zbiorze {a, b, c}, czyli V {(a, a), (a, b), (a, c), (b, b), (b, a), (b, c), (c, c), (c, a), (c, b)}. Dlatego V 93 2. Przyład 5 Ile powstaie taich par uporządowaych powstałych z różych elemetów zbioru {a, b, c}? Rozwiązaie. Jeśli W ozacza zbiór wszystich taich par, to dlatego W 6. W V\{(a, a), (b, b), (c, c)}, 5
3 WYBRANE PRZYKŁADY PROWADZĄCE DO MPZ Przyład 6 Niech dla podzbioru sończoego A X, A A 1 A 2 A 1,A 2. Obliczyć moc zbioru A. dla pewych zbiorów Rozwiązaie. Zacziemy od aalizy sytuaci iedy zbiory A 1,A 2 są rozłącze. Ustawmy wszystie elemety obu zbiorów w dwa ciągi, powiedzmy (a 1,a 2,...,a ), gdzie a A 1, (b 1,b 2,...,b m ), gdzie b A 2. Scalamy teraz ta sostruowae ciągi do ciągu postaci (a 1,a 2,...,a,b 1,b 2,...,b m ). Z założeia powstały ciąg słada się z różych wyrazów oraz ze wszystich elemetów zbioru A. Dlatego istiee bieca pomiędzy zbiorami {1, 2,..., m+ } oraz A. Stąd A + m A 1 + A 2. Rozumowaia powyższego ie możemy powtórzyć w przypadu iedy zachodzi warue A 1 A 2. W taie sytuaci zauważmy, że A (A 1 \ A 2 ) (A 1 A 2 ) (A 2 \ A 1 ). Wtedy A est sumą trzech parami rozłączych zbiorów, powiedzmy C 1,C 2,C 3, gdzie C 1 A 1 \ A 2,C 2 A 1 A 2,C 3 A 2 \ A 1. Powtarzaąc rozumowaie przedstawioe wyże, dla trzech parami rozłączych zbiorów możemy apisać A C 1 + C 2 + C 3. Obliczymy pierwszy i ostati sładi powyższe sumy. Zauważmy apierw, że z defiici różicy mogościowe możemy apisać Podobie C 1 A 1 \ (A 1 A 2 ). C 3 A 2 \ (A 1 A 2 ). Ale wtedy A 1 C 1 (A 1 A 2 ),A 2 C 2 (A 1 A 2 ) oraz poieważ występuące po prawych stroach ostatich rówości zbiory są rozłącze, z uzysaego a wstępie rozwiązaia wyiu dostaiemy A 1 C 1 + A 1 A 2, A 2 C 2 + A 1 A 2, 6
3 WYBRANE PRZYKŁADY PROWADZĄCE DO MPZ co ozacza, że Dlatego dostaiemy C 1 A 1 A 1 A 2, C 2 A 2 A 1 A 2. A A 1 A 1 A 2 + A 1 A 2 + A 2 A 1 A 2. Prowadzi to do astępuące oluzi dla dowolych dwóch sończoych podzbiorów A 1,A 2 A 1 A 2 A 1 + A 2 A 1 A 2. Przyład 7 Uogólić ostati wzór a przypade trzech zbiorów. Rozwiązaie. Zastosuemy dwurotie otrzymay wyże wyi. W tym celu zauważmy, że A 1 A 2 A 3 (A 1 A 2 ) A 3. Dlatego A 1 A 2 A 3 A 1 A 2 + A 3 (A 1 A 2 ) A 3. Ale z zasady rozdzielości iloczyu mogościowego względem sumy mamy sąd (A 1 A 2 ) A 3 (A 1 A 3 ) (A 2 A 3 ), (A 1 A 2 ) A 3 A 1 A 3 + A 2 A 3 (A 1 A 3 ) (A 2 A 3 ), czyli (A 1 A 2 ) A 3 A 1 A 3 + A 2 A 3 A 1 A 2 A 3. Dlatego A 1 A 2 A 3 A 1 + A 2 + A 3 A 1 A 2 A 2 A 3 A 1 A 3 + A 1 A 2 A 3. Przyład 8 Wyzaczyć liczbę wszystich podzbiorów zbioru {a, b, c} X. Rozwiązaie. Ozaczmy przez P rodzię złożoą ze wszystich podzbiorów zbioru {a, b, c}. Zauważmy, że możemy apisać P P o P 1 P 2 P 3, gdzie z defiici P ozacza rodzię wszystich elemetowych podzbiorów zbioru {a, b, c}. Z defiici wyia wprost, że rodziy P są parami rozłącze. Korzystaąc z wyiu Przyładu 7 mamy P P o + P 1 + P 2 + P 3. Ale P o { } 1, P 3 {a, b, c} 1, oraz z Przyładu 3, P 1 3, P 2 3. Dlatego P 1+3+3+182 3. 7
3 WYBRANE PRZYKŁADY PROWADZĄCE DO MPZ Przyład 9 Wyzaczyć moc iloczyu artezańsiego dwóch sończoych iepustych zbiorów. Rozwiązaie. Z założeia A A 1 A 2 dla pewych sończoych iepustych podzbiorów zbioru X. Weźmy wszystie elemety zbioru A, czyli pary uporządowae (a i,b ), gdzie a i A 1 dla i 1, 2,..., A 1 oraz b A 2 dla 1, 2,..., A 2 m. Uporządumy te elemety w astępuący sposób: (a 1,b 1 ), (a 1,b 2 ),... (a 1,b m ) (a 2,b 1 ), (a 2,b 2 ),... (a 2,b m )............ (a,b 1 ), (a,b 2 ),... (a,b m ). Dlatego A 1 A 2 m A 1 A 2. Przyład 10 Dla zbioru C {a, b, c} X defiiuemy fucę 1, x C 1 C (x) 0, x {a, b, c}\c. Ta zdefiiowaą fucę azwiemy fucą charaterystyczą zbioru C. Weźmy zbiór F wszystich fuci charaterystyczych. Należy zliczyć te zbiór. Rozwiązaie. Na wstępie zauważmy, że ażde fuci charaterystycze 1 C odpowiada doładie eda fuca f : {a, b, c} {0, 1} i a odwrót. Istotie, dla daego zbioru C, f 1 C ma powyższe własości. Jeśli teraz fuca f oreśloa a {a, b, c} przymue tylo dwie wartości: 0 i 1, to dla zbioru C, gdzie C {x {a, b, c}: f(x) 1} mamy f 1 C. Ozacza to, że zbiory F oraz rodzia P wszystich podzbiorów zbioru {a, b, c} są rówolicze. Z Przyładu 8 wyia, że F 2 3. 8
4 WYBRANE METODY 4 Przegląd wybraych metod zliczaia Ja sygalizowaliśmy wcześie, poażemy teraz aważiesze uogólieia przyładów zaprezetowaych powyże. Więszość z ich moża zalasyfiować do grupy tzw. metod zliczaia. Poażemy też ie zastosowaia tych metod, o tórych do te pory ie wspomialiśmy. 4.1 Zasada addytywości oraz włączaia-wyłączaia Twierdzeie 1 (Zasada Addytywości) Niech X ozacza iepusty zbiór, A rodzię złożoą z sończoych podzbiorów X, taich, że są parami rozłacze, czyli A i A dla i, {1, 2,...,}, i, A i A. Wtedy A 1 A 2... A A i. (3) i1 Dowód. Przebiega podobie a dowód własości podae w Przyładzie 6 (szczegóły pozostawiamy Czyteliowi). Uogólieiem Przyładu 6 i 7 oraz ZA est astępuąca zasada włączaiawyłączaia. Twierdzeie 2 (Zasada Włączaia-Wyłączaia) Przypuśćmy, że A {A 1,A 2,...,A }, gdzie A X sończoe podzbiory. Dla 1, 2,..., iech A ozacza rodzię, tóre elemetami są wszystie - elemetowe podzbiory rodziy A. Zatem A 1 {{A 1 }, {A 2 },...,{A }}, {A 1,A 2 } A 2, {A 1,A 2,A 3 } A 3, itd. Aby wyzaczyć moc sumy wszystich elemetów rodziy A ależy: dodać do siebie moce wszystich iloczyów elemetów rodzi A dla ieparzystych wartości (efet włączaia), odąć od powyższe sumy moce wszystich iloczyów elemetów rodzi A dla parzystych wartości (efet wyłączaia). Na przyład, dla A {A, B, C} mamy: A 1 {{A}, {B}, {C}}, A 2 {{A, B}, {A, C}, {B,C}}, A 3 {{A, B, C}}. 9
4.2 Zasada wielorotego wyboru 4 WYBRANE METODY Wtedy dostaiemy (patrz wyi poday w Przyładzie 7) A B C A + B + C ( A B + A C + B C ) + A B C. }{{}}{{}}{{} efet włączaia efet wyłączaia efet włączaia Dowód tego twierdzeia przebiega podobie a dowód wzoru podaego w Przyładzie 7. Ze względu a ego uciążliwy charater pomiiemy go. W zamia propouemy Czyteliowi apisaie treści te zasady dla przypadu 5. 4.2 Zasada wielorotego wyboru Przypuśćmy, że mamy abstracyy obiet O, tórego strutura zdetermiowaa est przez uporządowaych staów s, gdzie ażdy z ich może przymować oreśloą ilość różych wartości s dla 1, 2,...,. Wartości te dla różych staów mogą być przymowae w sposób od siebie iezależy. Dla zadaych wartości staów obiet reprezetoway est przez ciąg (s 1,s 2,...,s ). Przymiemy, że różym taim ciągom odpowiadaą róże własości obietu. Wtedy, zgodie z zasadą wielorotego wyboru liczba wszystich możliwych wartości ta zdefiiowaego obietu daa est wzorem 7 O 1 2.... (4) Sformułowaa powyże zasada ma wiele zastosowań. Poażemy ila z ich. Ozaczmy przez P zbiór wszystich ciągów długości 1, o różych wyrazach ależących do daego zbioru A X, gdzie A. Dale ażdy elemet p P będziemy azywali -elemetową permutacą zbioru A. Twierdzeie 3 (o mocy zbioru wszystich permutaci) 8 P 1 2.... (5) Co więce wartość ta ie zależy od wyboru zbioru A, oileestomocy. Dowód. Zastosuemy zasadę wielorotego wyboru. W tym celu zdefiiuemy obiet O będzie im ciąg długości A, tórego olee wyrazy roboczo azwiemy staami tego obietu. Niech (s 1,s 2,...,s 1,s ) będzie tym obietem. Jego ofiguraca polegać będzie a tym, że będziemy oleo obsadzali stay dostępymi elemetami zbioru A. Ozacza to, że: sta s 1 obsadzimy a 1 sposobów, po obsadzeiu stau s 1 wybraym elemetem, powiedzmy a 1 A, doobsadzeia stau s 2 będziemy mieli do dyspozyci elemety ze zbioru A \{a 1 }, czyli 2 1, 7 Zasada ta est a tyle ituicya, że zrezygowaliśmy z e formalego dowodu, tóry est uogólieiem rozumowaia podaego w Przyładzie 9. 8 Jest to uogólieie wyiu podaego w Przyładzie 2. 10
4.2 Zasada wielorotego wyboru 4 WYBRANE METODY w przypadu stau s 3, po obsadzeiu stau s 2 elemetem a 2 A, pozostaie am A \{a 1,a 2 }, czyli 3 2, i ogólie, dla stau s i pozostaie am A \{a 1,a 2,...,a i 1 }, czyli i (i 1). W szczególości dla ostaiego stau s, 1. Dlatego liczba wszystich różych ofiguraci ta zdefiiowaego obietu, zgodie z zasadą wielorotego wyboru wyiesie ( 1)...1. Jaseest,żewpowyższym rozumowaiu zbiór A możemy zastąpić dowolym zbiorem rówoliczym, co ończy dowód. Dale potrzeba am będzie astępuąca defiica. Defiica 4 (poęcie sili) Dla ażde ieueme liczby całowite przymiemy 1, 0;! 1 2..., 1. (6) Dlatego tezę Twierdzeia 3 możemy zapisać astępuąco. Wiose 3 P! (7) Rozumowaie wyorzystae w dowodzie Twierdzeia 3, bazuące a zasadzie wielorotego wyboru zastosuemy teraz do przypadu ogólieszego. Dla daego -elemetowego zbioru A X i dla liczby aturale rozważymy zbiór W, elemetami tórego są wszystie różowartościowe ciągi długości owyrazach ależących do zbioru A. Warue różowartościowości ozacza, że. Poadto, wprost z defiici wyia, że W P. Defiica 5 (poęcie wariaci bez powtórzeń) Każdy elelemet zbioru W,dla1 będziemy azywali -elemetową wariacą bez powtórzeń zbioru -elemetowego. Biorąc teraz obiet złożoy z staów i stosuąc zasadę wielorotego wyboru, ta a zrobioo to w dowodzie Twierdzeia 3, możemy sformułować astępuący wyi: W ( 1)... ( ( 1)). (8) Zauważmy, że wyi przedstawioy w (8) moża zapisać astępuąco ( 1)... ( ( 1)) 1 2... ( ) ( ( 1))..., 1 2... ( ) 11
4.2 Zasada wielorotego wyboru 4 WYBRANE METODY czyli z defiici operaci sili! ( 1)... ( ( 1)) ( )!. (9) Twierdzeie 4 (o mocy zbioru wariaci bez powtórzeń) Dla ażdego 1 mamy W! ( )!. (10) Co więce moc zbioru W ie zależy od wyboru zbioru A, o ile wybray zbiór est mu rówoliczy. W sytuaci iedy est dowole, ie możemy wymagać aby zachodziła własość różowartościowości. Należy w taim przypadu brać pod uwagę wszystie ciągi o wyrazach ze zbioru A i długości. Dale zbiór wszystich taich ciągów ozaczymy przez V. Defiica 6 (poęcie wariaci z powtórzeiami) Każdy elemet zbioru V będziemy azywali -elemetową wariacą z powtórzeiami zbioru -elemetowego. Uwaga 1 Dla ażdego 1, W V. Twierdzeie 5 (o mocy zbioru V ) Dla ażdego 1 zachodzi V. (11) Co więce, wyi te est iezależy od realizaci zbioru A, oileestoarówolicza z A. Dowód. Poowie zastosuemy zasadę wielorotego wyboru. Tym razem obiet słada się z staów i ażdy z ich moża obsadzać iezależie (ze względu a możliwość powtórzeń) wszystimi elemetami zbioru A, co ozacza, że zachodzi warue (11). Uwaga 2 Poieważ ażdy elemet zbioru V est fucą postaci f : B A, gdzie B, A, to ozaczaąc przez F(B,A) zbiór wszystich taich fuci, z Twierdzeia 5 mamy F(B,A). (12) 12
4.2 Zasada wielorotego wyboru 4 WYBRANE METODY Zobaczmy a wygląda sytuaca w przypadu, iedy ciąg przymue tylo dwie wartości. Dale założymy, że mamy wtedy do czyieia z astępuącą sytuacą (b 1,b 2,...,b ) F(B,{0, 1}), czyli b {0, 1}. Każdy tai ciąg azwiemy ciągiem biarym. Zatem Uwaga 2 prowadzi as do astępuącego wiosu. Wiose 4 Dla ażdego aturalego moc zbioru wszystich ciągów biarych długości wyosi 2, czyli F(B,{0, 1}) 2. (13) Możemy teraz wrócić do problematyi rozważae w Przyładzie 8 oraz 10. Z Przyładu 10 wiemy, że rodzia potęgowa P(A) oraz zbiór wszystich fuci f : A {0, 1}, czyli F(A, {0, 1}) są rówolicze. Korzystaąc z własości rówoliczości oraz wyiu (13) dostaemy Wiose 5 (o mocy rodziy potęgowe) Dla ażdego -elemetowego zbioru A X mamy P(A) 2 A. (14) W dalsze części poażemy a wyi (14) moża uzysać ią metodą. Napierw uogólimy wyi opisay w Przyładzie 3. Defiica 7 (poęcie ombiaci bez powtórzeń) Niech day będzie -elemetowy zbiór A X oraz liczba całowita ieuema spełiaąca warui 0. Każdy -elemetowy podzbiór zbioru A będziemy azywali -elemetową ombiacą bez powtórzeń -elemetowego zbioru A. Rodzię wszystich taich ombiaci ozaczymy przez C. Udowodimy astępuące twierdzeie. Twierdzeie 6 (o mocy rodziy C ) Dla dowolych liczb całowitych 0, zachodzi rówość W szczególości dla 0 C P W. (15) C!!( )!. (16) Dowód. zauważmy, że dla 0wzór (15) est prawdziwy wtedy z defiici P W 0. Prawdziwy est rówież wzór (16), bowiem C0 { }. Dlatego dale możemy założyć, że 1. Defiiuemy obiet O: 13
4.2 Zasada wielorotego wyboru 4 WYBRANE METODY słada się z dwóch staów, czyli O (s 1,s 2 ), sta s 1 odpowiada za wybór elemetu ze zbioru C, w ramach stau s 2 dochodzi do uporządowaia wybraych elemetów przechowywaych w staie s 1. Z zasady wielorotego wyboru zastosowae do zdefiiowaego ta obietu wyia, że O C P. (17) Ale ażda ofiguraca obietu O powstała w wyiu obsadzeia staów s 1,s 2 est -elemetową wariacą bez powtórzeń zbioru -elemetowego. I a odwrót, taa wariaca powstae w wyiu procesu wyboru podzbioru i ego uporządowaia. Ozacza to, że zbiory O i W są rówolicze, co ończy dowód wzoru (15). Wzór (16) est osewecą poprzediego i Twierdzeia 3 oraz 4. Dale będziemy potrzebowali astępuące defiici. Defiica 8 (Symbol Newtoa-Pascala) Dla ażdego 0 symbolem ( ) ozaczymy moc zbioru C, czyli ( )!!( )!. (18) Jest to tzw. symbol Newtoa-Pascala. Na momet wrócimy do Przyładu 8 i wyiu (14). Niech A X, gdzie A. Zliczymy rodzię P(A) wyorzystuą do tego celu zasadę addytywości. Podobie a w Przyładzie 8, zauważmy, że P(A) A 0 A 1... A, gdzie A ozacza rodzię złożoą ze wszystich -elemetowych podzbiorów zbioru A. Z zasdy addytywości mamy P(A) A 0 + A 1 +...+ A. Z Defiici 7 i Twierdzeia 6 wyia, że A C ( ) dla 0, 1, 2,...,. Dlatego z Wiosu 5 mamy zależość Twierdzeie 7 (o własości symbolu Newtoa-Pascala) Dla dowolego aturalego A ( ) ( ) ( ) P(A) + +...+ 2. (19) 0 1 14
4.3 Ie własości symbolu ( ) 4 WYBRANE METODY 4.3 Ie własości symbolu ( ) Fat 2 Dla dowolych 0 ( ) ( ). (20) Dowód. Wyia z uwagi, że zbiory C, C są rówolicze. 9 Zatem z Defiici 8 mamy (20). Fat 3 Weźmy 1 oraz ciąg symboli: ( ) ( ) ( ) ( ),,,...,, 0 1 2 1 ( ). Zwięszmy wartość o ede i apiszmy odpowiadaący te wartości ciąg symboli: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) +1 +1 +1 +1 +1 +1,,,...,,. 0 1 2 1 +1 Wtedy 1. ( ) ( ) +1 0 0 2. Dla ażdego 1 ( ) +1 ( ) ( ) + 1 ( ) +1 1. +1 ( ) 3. 0 ( ) 2. Dowód. W świetle iterpretaci mogościowe symbolu Newtoa-Pascala, warue pierwszy est oczywisty. Warue trzeci est przepisaiem Twierdzeia 7. Pozostae udowodić warue drugi. Z defiici symbolu Newtoa-Pascala mamy ( ) + 1 ( ) co ończy dowód.! ( 1)!( +1)! +!!( )!!( +1)!( +1 )!,! +!( +1)!( +1)! 9 Czyteli powiie to udowodić. 15
4.3 Ie własości symbolu ( ) 4 WYBRANE METODY Uwaga 3 Powyższe trzy własości bardzo dobrze widocze są a przyładzie tzw. tróąta Pascala, tórego począte przedstawioo poiże. 0: 1: 2: 3: 4: ( 4 0 ( 0 0 ) 1 ( ) ( ) 1 0 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) 2 0 1 2 1 2 2 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 3 0 1 3 1 3 3 2 3 3 3 1 ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 4 1 4 4 2 6 4 3 4 4 4 1 Fat 4 Dla ażdego 1 1 mamy ( ) ( ) ( ) 1 1 +. (21) 1 Dowód. Dowód metodą bezpośredią, czyli poprzez zastosowaie defiici symbolu Newtoa-Pascala pozostawimy Czyteliowi. Poażemy a to moża zrobić za pomocą MPZ. Weźmy zbiór A X, gdziea {a 1,a 2,...,a }. Defiiuemy trzy rodziy podzbiorów zbioru A: A C, A 1 {B A: a 1 B, B }, A 2 {B A: a 1 / B, B }, Weźmy dowoly zbiór B A.Wtedy B, oraz albo a 1 B, albo a 1 / B i a odwrót. Dlatego A A 1 A 2. Wprost z defiici wyia, że rodziy te są rozłącze. Dlatego zasada addytywości dae am rówość A A 1 + A 2. Dale zauważmy, że B A 1 B {a 1 } B, dla pewego B C 1 1, 16
4.3 Ie własości symbolu ( ) 4 WYBRANE METODY co ozacza, że rodziy A 1, C 1 1 są rówolicze. Podobie B A 2 B C 1, co ozacza, że rodziy A 2, C 1 są rówolicze. Ostatie dwa stwierdzeia ończą dowód. 10 Dale będziemy potrzebowali twierdzeia o tzw. dwumiaie Newtoa.Zewzględu a charaterystyę dowodu, twierdzeie to udowodimy w Dodatu. Twierdzeie 8 (o dwumiaie Newtoa) Dla dowolych liczb rzeczywistych a, b, oraz ażde liczby całowite ieueme zachodzi rówość ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (a + b) b + ab 1 + a 2 b 2 +...+ a 1 b + a (22) 0 1 2 1 lub w otaci srócoe (a + b) 0 ( ) a b. (23) Uwaga 4 Wzór dwumiaowy Newtoa est uogólieiem zaych ze szoły tzw. wzorów srócoego możeia. Podstawiaąc w (23) a b 1otrzymuemy zaą z Fatu 3 zależość 0 ( ) 2. Podstawiaąc z olei a 1, b 1 dostaemy oleą własość symbolu Newtoa-Pascala. Fat 5 Dla ażdego aturalego mamy ( ) 0 ( ) + 1 ( ) ( )...+( 1) 0. (24) 2 albo w postaci srócoe ) 0( 1) ( 0. (25) 10 Szczegóły pozostawiamy Czyteliowi. 17
5 DODATEK 5 Dodate Zacziemy od wyaśieia waże metody maące zastosowaie w MPZ zasady iduci matematycze (ZIM). Dale poażemy a za pomocą metody iduci moża udowodić prawdziwość wzoru dwumiaowego Newtoa. 5.1 ZIM Będziemy zamowali się formami zdaiowymi zależymi od argumetu aturalego. Z defiici przymiemy, że Defiica 9 (formy zdaiowe) Przez formę zdaiową argumetu aturalego będziemy rozumieli wypowiedź zależą od liczby aturale, tóra przy e ustaloe wartości podlega oceie w ategoriach prawdy lub fałszu. Doładie, ażde liczbie aturale N o N, gdzie N o { N: o, o N} będzie przyporządowaa wypowiedź ozaczaa przez T (), taa, że eśli weźmiemy m N o, to T (m) będzie prawdą albo fałszem. Wtedy zbiór N o będziemy azywali dziedzią formy zdaiowe i będziemy pisali T (), N o. Przyład 11 Następuące ostruce daą formy zdaiowe: T () : (a + b) 0 ( ) a b, 1, dla daych a, b R, T (): 1+2+...+ 1+, 1, 2 T () : (1+a) 1+a, 1, gdzie a> 1 ustaloa. Dla zadae formy zdaiowe T (), N o bierzemy zdaie No T (). Pytaie brzmi: a udowodić prawdziwość tego zdaia? Jase est, że eśli dla pewego m N o, zdaie T (m) est fałszywe, to rówież zdaie No T () taie est. Z olei, eśli prawdziwe są wszystie zdaia T (m) dla ażdego m N o,to prawdziwe est No T (). Zatem odpowiedź a postawioe pytaie sprowadza się do astępuące westii: w ai sposób wyazać, że mamy iesończeie wiele zdań prawdziwych? Rozwiązaie tego problemu moża uzysać za pomocą oleego twierdzeia. Dale umówimy się, że zapis No T () będzie ozaczał, że zdaie est prawdziwe. Twierdzeie 9 (Zasada Iduci Matematycze) No T () ( ) T ( o ) ( o T () T ( +1). 18
5.1 ZIM 5 DODATEK Dowód. Wystarczy tylo poazać 11 prawdziwość impliaci. Przypuśćmy, że prawdziwe est zdaie T ( o ) ( o T () T ( +1))oraz dla pewego m N o zdaie T (m) est fałszywe. Z założeia musi być: m > o. Weźmy zbiór F {2,.3,...,m o 1}. Z założeia dla ażdego F, zdaie T () musi być fałszywe. W taim razie T ( o ) rówież, co prowadzi do sprzeczości i ończy dowód. Uwaga 5 Występuący w ZIM warue T ( o ) azyway est waruiem iicuącym. Impliacę T () T ( +1)azywamy roiem iducyym. Dowód prawdziwości tego rou sprowadza się do poazaia, że z prawdy wyia prawda. Wtedy poczyioe w taim dowodzie założeie, że zdaie T () est prawdziwe azywamy założeiem iducyym. Natomiast T ( +1) azywamy wtedy tezą iducyą. Wyorzystuąc azewictwo wprowadzoe w powyższe uwadze możemy powiedzieć, że Wiose 6 Przeprowadzeie dowodu metodą ZIM sprowadza się do: 1. wyazaia, że warue iicuący est spełioy, czyli, że est prawdziwy; 2. wyazaia prawdziwości roów iducyych, poprzez poazaie, że założeie iducye impliue prawdziwość tezy iducye. Przyład 12 (dowód metodą ZIM wzoru dwumiaowego) Niech forma zdaiowa T (), o będzie zadaa a iże T (): (a + b) 0 Zdaie T (1) est prawdziwe, bowiem ( ) a b, 1, dla ustaloych a, b R. (a + b) 1 ( ) 1 a + 0 ( ) 1 b. 1 Udowodimy prawdziwość rou iducyego. W tym celu weźmy dowole 1 i załóżmy prawdziwość zdaia T (): (a + b) 11 Czyteli powiie umieć to uzasadić. 0 ( ) a b. 19
5.1 ZIM 5 DODATEK Będzie to asze założeie idycye. Z tego wyprowadzimy prawdziwość zdaia ( ) +1 T ( +1): (a + b) +1 +1 a b +1. Miaowicie (a + b) +1 (a + b) (a + b) 0 zal. id. (a + b) 0 0 ( ) a b 0 ( ) (a + b)a b ( ) ( ) ( ) (a +1 b + a b +1 ) a +1 b + a b +1. 0 0 }{{}}{{} S 1 S 2 Każdą ze sum S 1,S 2 odpowiedio przeształcimy dla S 1 dooamy podstawieia +1i, codaam S 1 +1 i1 S 2 zapiszemy w postaci ( ) a i b (i 1) i 1 S 2 1 i1 ( ) a b +1 + ( ) a i b (i 1) + i 1 ( ) b +1. 0 ( ) a +1. Stąd S 1 + S 2 1 ( ( ) + 1 ( ) ) a b +1 + a +1 + b +1. Ale z Fatu 4 ( ) ( ) ( ) +1 +, 1 dlatego poieważ a +1 + b +1 ( ) +1 +1 a +1 + ( ) +1 0 b +1, otrzymamy ( ) ( ) ( ) +1 +1 +1 (a + b) +1 S 1 + S 2 a b +1 + a +1 + b +1 1 +1 0 +1 0 ( ) +1 a b +1, co ozacza, że zdaie 1 T () T ( +1) est prawdziwe. Zatem a mocy ZIM prawdziwe est zdaie 1 T (), co ończy dowód wzoru dwumiaowego. 20
5.2 Przyłady 5 DODATEK 5.2 Przyłady Przyład 13 Ile wszystich ciągów biarych długości 2 zawiera doładie 0 edye. Rozwiązie. Niech Bi {b (b 1,b 2,...,b ), b defiiuemy zbiór A Bi, {0, 1}}. Dla 0 b A b (b 1,b 2,...,b ) oraz { {1, 2,...,}: b 1. Aby zliczyć zbiór A ależy zauważyć, że est o rówoliczy z C.Istot- ie, ażdy ciąg b A wyzacza edozaczie -elemetowy podzbiór zbioru {1, 2,...,} postaci { 1, 2,..., }, gdzie b i 1, i 1, 2,...,. Na przyład, eśli b (1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1), ( 8, 3), odpowiada mu podzbiór {1, 4, 8} są to umery wyrazów przymuących wartość ede. Dlatego A ( ). Przyład 14 Ile est wszystich ciągów biarych długości 2, w tórych symbol 1 poawia się co amie -razy. Rozwiązie. Niech A ma zaczeie a w przyładzie powyże. Defiiuemy zbiór A w ciągu biarym długości symbol 1 poawia się co amie -razy. Zauważmy, że A A A +1... A, oraz zbiory A są parami rozłącze. Z zasady addytywości i wyiu poprzediego przyładu możemy apisać ( ) A A + A +1 +...+ A. Przyład 15 Ile est liczb 6-cyfrowych, w tórych w zapisie dziesiętym cyfra 0 występue doładie 3 razy, cyfra 5 doładie raz? Rozwiązaie. Weźmy zbiór L 6,gdzie L 6 {l (c 5,c 4,c 3,c 2,c 1,c 0 )c 0 +10c 1 +10 2 c 2 +10 3 c 3 +10 4 c 4 +10 5 c 5, c 5 {1, 2,...,9}, c 0,c 1,c 2,c 3,c 4 {0, 1,...,9}. Dla A L 6 iech l A i1,i 2,i 3 {0,1,2,3,4,} i4 {0,1,2,3,4,5}\{i 1,i 2,i 3 } c i1 c i2 c i3 0,c i4 5 oraz c i / {0, 5} dla i {0, 1, 2, 3, 4, 5}\{i 1,i 2,i 3,i 4 }. Do zliczeia zbioru A posłużymy się zasadą wielorotego wyboru. W tym celu rozważymy obiet złożoy z trzech staów O (s 1,s 2,s 3 ), gdzie: 21
5.2 Przyłady 5 DODATEK 1. s 1 odpowiada za obsadzeie w liczbie l cyfry 0, 2. s 2 cyfry5, 3. s 3 pozostałych cyfr. Z defiici staów mamy: s 1 C5,s 3 2 C3,s 1 3 V7 2. Dlatego A ( ) 5 3 3)( 1 7 2. Przyład 16 Ile est wszystich liczb 8-cyfrowych, w tórych iloczy cyfr w zapisie dziesiętym dae liczbę 12? Rozwiązaie. Niech L 8 ma podobe zaczeie a L 6 w Przyładzie 15. Mamy zliczyć zbiór Warue A {l (c 7,c 6,...,c 1,c o ) L 8 : c 0 c 1... c 7 12}. c 0 c 1... c 7 12, gdzie c 0,c 1,...,c 7 {1, 2,...,9} poprzez swoe rozwiązaie zadae struturę zbioru A. Istotie, ażde rozwiązaie powyższego waruu wyia z fatoryzaci liczby 12 za pomocą liczb ze zbioru {1, 2,...,9}. Mamy oleo: 1. 12 1 2 6, 2. 12 1 3 4, 3. 12 1 2 2 3. Dlatego możemy apisać A A 1 A 2 A 3, gdzie: A 1 ozacza, że w l A cyfry 2, 6 poawiaą się doładie raz, cyfra 1 6 razy, A 2 cyfry3, 4 doładie raz, cyfra 1 6 razy, A 3 cyfra3 doładie raz, cefra 2 dwa razy, cyfra 1 5 razy. Z zasady addytywości dostaemy A A 1 + A 2 + A 3. Pozostae wyzaczyć moce sładiów A 1,A 2,A 3, co możemy zrobić metodą opisaą w powyższym przyładzie. 22
6 ZAKOŃCZENIE 6 Zaończeie Na 22 stroach udało am się zamieścić podstawy metodologii zliczaia zbioru sończoego. Ważym poęciem oazue się być tuta ocepca liczby ardyale bazuąca a zawisu rówoliczości i e osewecach. Na ogół uważa się, że ta tematya est truda, bowiem sięga oa po wszelie dostępe arzędzia wywodzące się z wielu dziedzi matematyi. W azewictwie od iluastu lat przyęła się azwa matematya dysreta. Powszechie zaa Czyteliowi ombiatorya est tylo działem te teorii. Zapraszamy Czytelia do dalszego studiowaia polecaąc dwie podae poiże siążi oraz zamieszczoą w ich bibliografię. 1. Ryszard Rębowsi, Matematya dysreta dla iformatyów, Seria wydawicza PWSZ im. Witeloa w Legicy, Legica 2008, 2. Ryszard Rębowsi, Podstawy metod probabilistyczych i statystyi matematycze, Seria wydawicza PWSZ im. Witeloa w Legicy, Legica 2015. 23