Prosty oscylator harmoniczny

Ruch drgający i falowy Siła harmoniczna, drgania swobodne Ruch, który powtarza się w regularnych odstępach czasu, nazywamy ruchem okresowym. Przemieszczenie cząstki w ruchu periodycznym można zawsze wyrazić za pomocą funkcji sinus lub cosinus (tzw. funkcji harmonicznych). Siłą harmoniczną (sprężystości) nazywamy siłę działającą na ciało proporcjonalną do przesunięcia tego ciała od początku układu i skierowaną ku początkowi układu Dla przesunięcia wzdłuż osi x, siła sprężystości jest dana równaniem x - wychyleniem (przesunięciem) ciała od położenia równowagi k- współczynnik sprężystości Ciało o masie m przymocowane do sprężyny, mogące poruszać się bez tarcia po poziomej powierzchni. Takie drgania, gdy siła sprężystości jest zarazem siłą wypadkową nazywamy drganiami swobodnymi. Prosty oscylator harmoniczny Jeżeli sprężyna zostanie rozciągnięta tak, aby masa m znalazła się w chwili t = 0 w położeniu x = A, a następnie zostanie zwolniona, to położenie masy w funkcji czasu może być dane równaniem Funkcja x(t) opisuje zarazem wychylenie ciała z położenia równowagi. Zgodnie z drugą zasadą dynamiki Newtona 1

Żeby obliczyć przyspieszenie a obliczamy odpowiednie pochodne otrzymujemy Rozwiązanie równania ruchu oscylatora harmonicznego, dla Ogólne rozwiązanie równania ruchu oscylatora harmonicznego Stała A amplituda - opisuje maksymalne wychylenie φ - faza początkowa ωt + φ - faza drgań Stałe A i φ są wyznaczone przez warunki początkowe. 2

Przykład dla φ = π/2: Równania opisują kolejno położenie x(t), prędkość v(t) i przyspieszenie a(t) w funkcji czasu. Wykres zależności x(t), v(t), a(t) dla prostego ruchu harmonicznego wychylenie z położenia równowagi x(t) oraz przyspieszenie a(t) osiągają równocześnie maksymalne wartości zwroty wektorów x(t) i a(t) są przeciwne prędkość v(t) jest przesunięta w fazie (względem położenia) o π/2 co odzwierciedla fakt, że prędkość osiąga maksimum przy przechodzeniu oscylującej masy przez położenie równowagi, a jest zerowa przy maksymalnym wychyleniu gdy ciało zawraca. Odpowiednie maksymalne wartości położenia, prędkości i przyspieszenia wynoszą Wartości funkcji sinus i cosinus powtarzają się gdy kąt zmienia się o 2π. Oznacza to, że funkcje x(t) v(t) i a(t) przyjmują taką samą wartość po czasie t = 2π/ω. Ten czas jest więc okresem ruchu Okres drgań harmonicznych T jest niezależny od amplitudy drgań A. Ta właściwość drgań harmonicznych została wykorzystana w konstrukcji zegara wahadłowego. 3

Wahadło proste Wahadło proste (matematyczne) jest to wyidealizowane ciało o masie punktowej, zawieszone na cienkiej, nieważkiej, nierozciągliwej nici. Kiedy ciało wytrącimy z równowagi to zaczyna się ono wahać w płaszczyźnie poziomej pod wpływem siły ciężkości. Jest to ruch okresowy. Znajdźmy okres T tego ruchu. wahadło o długości l i masie m, odchylone o kąt θ od pionu. Na masę m działa siła grawitacji mg i naprężenia nici N. Siłę mg rozkładamy na składową radialną (normalną) i styczną. Składowa normalna jest równoważona przez naciąg nici N. Natomiast składowa styczna przywraca równowagę układu i sprowadza masę m do położenia równowagi. Składowa ta ma wartość Zwróćmy uwagę, że to nie jest, w myśl podanej definicji, siła harmoniczna bo jest proporcjonalna do sinusa wychylenia (sinθ), a nie do wychylenia θ. Jeżeli jednak kąt θ jest mały (np. 5 ) to sinθ jest bardzo bliski θ (różnica 0.1%). Przemieszczenie x wzdłuż łuku wynosi (z miary łukowej kąta). Przyjmując zatem, że sinθ θ otrzymujemy Dla małych kątów wychylenia: Okres wahadła prostego nie zależy od amplitudy i od masy wahadła. 4

Energia ruchu harmonicznego prostego Energią potencjalną sprężyny rozciągniętej o x wynosi Jeżeli sprężyna zostanie rozciągnięta tak aby masa m znalazła się w chwili t = 0 w położeniu x = A, to energia potencjalna układu jest zarazem energią całkowitą (energia kinetyczna E k = 0). Jeżeli puścimy sprężynę to jej energia potencjalna będzie zamieniać się w energię kinetyczną masy m. Przy założeniu, że nie ma tarcia ani innych sił oporu, zgodnie z zasadą zachowania energii suma energii kinetycznej i potencjalnej musi się równać energii całkowitej w dowolnej chwili ruchu Korzystając z wyrażeń na x(t) i v(t) oraz pamiętając, że mω 2 = k otrzymujemy 5

Przykład Spróbujmy teraz obliczyć jaki jest stosunek energii potencjalnej do energii kinetycznej ciała wykonującego drgania harmoniczne, gdy znajduje się ono w połowie drogi między położeniem początkowym, a położeniem równowagi. Dla danego wychylenia ciała x = A/2 możemy korzystając ze wzoru (12.19) wyliczyć energię potencjalną Ponieważ energia całkowita E więc podstawiając obliczoną wartość energii potencjalnej otrzymujemy energię kinetyczną Stąd Widać, że dla x = A/2 energia kinetyczna jest trzykrotnie większa od potencjalnej. 6

Oscylator harmoniczny tłumiony W przypadku drgań mechanicznych siłą hamującą ruch cząstki są tak zwane opory ruchu. Siła oporu ma zwrot przeciwny do prędkości i w najprostszej postaci jest wprost proporcjonalna do prędkości F op ~ v Jeżeli oprócz siły sprężystości uwzględnimy siłę hamującą to równanie opisujące ruch oscylatora harmonicznego przyjmie teraz postać Oznaczając lub stałą czasową o wymiarze czasu częstość drgań nietłumionych czyli częstość własną Równanie opisujące ruch przyjmie postać Szukamy rozwiązania tego równania w postaci drgań okresowo zmiennych tłumionych na przykład - czynnik oscylacyjny opisujący drgania -czynnik tłumiący opisujący zmniejszanie się amplitudy drgań. Współczynnik tłumienia: określa wielkość tłumienia Warunek na częstość drgań tłumionych 7

Opór zmniejsza zarówno amplitudę jak i częstość drgań, czyli powoduje spowolnienie ruchu. Wykres ruchu harmonicznego tłumionego w zależności od czasu jest pokazany na rysunku: Zależność przemieszczenia od czasu w ruchu harmonicznym tłumionym. Linie przerywane ilustrują wykładnicze tłumienie amplitudy tego ruchu gdy - słabe tłumienie. gdy siła tłumiąca jest bardzo duża (ruch pełzający). Dzieje się tak na przykład gdy ruch odbywa się w bardzo gęstym ośrodku. gdy. Mówimy wtedy o tłumieniu krytycznym. 8

Drgania wymuszone oscylatora harmonicznego W ruchu harmonicznym tłumionym amplituda, a co za tym idzie i energia drgań maleje z czasem do zera. Jeżeli chcemy podtrzymać drgania to musimy działać odpowiednią siłą zewnętrzną F(t) przyłożoną do oscylatora. Siłę taką nazywamy siłą wymuszającą. W przypadku drgań harmonicznych zewnętrzna siła wymuszająca jest siłą okresowo zmienną postaci Siła wymuszająca działa przez cały czas i nie należy jej mylić z krótkotrwałymi impulsami takimi jakie na przykład stosujemy gdy chcemy podtrzymać wahania huśtawki popychając raz na jakiś czas. Jeżeli uwzględnimy siłę wymuszającą to zgodnie z drugą zasadą dynamiki lub Po podstawieniu wyrażenia na siłę wymuszającą (12.34) i wprowadzeniu nowych stałych otrzymujemy równanie analogiczne dla ruchu tłumionego Ponownie ω 0 jest częstością własną układu, to jest częstością drgań swobodnych gdy nie działa siła zewnętrzna i nie ma tarcia ani innych sił oporu, a τ stałą czasową związaną ze współczynnikiem tłumienia β relacją. Zauważmy ponadto, że układ jest zasilany z częstością ω różną od częstości własnej ω 0. W takiej sytuacji Drgania (wymuszone) odbywają się z częstością siły zewnętrznej, a nie z częstością własną. 9

W równaniu mamy dwie wielkości okresowo zmienne: położenie x(t) oraz siłę wymuszającą F(t). W najogólniejszym przypadku suma (złożenie) dwóch funkcji okresowych daje w wyniku też funkcję okresową: Rys. 12.7. Złożenie dwóch funkcji okresowych Szukamy więc rozwiązania równania w postaci otrzymujemy rozwiązanie w postaci: 10

Rezonans Zauważmy, że chociaż drgania odbywają się z częstością w siły wymuszającej to amplituda i faza zależą od relacji pomiędzy częstością wymuszającą ω, a częstością własną ω 0. W szczególności gdy częstość siły wymuszającej osiągnie odpowiednią częstotliwość, to amplituda drgań może wzrosnąć gwałtownie nawet przy niewielkiej wartości siły wymuszającej. To zjawisko nazywamy rezonansem. Wykres przedstawiający rezonansowy wzrost amplitudy drgań w funkcji częstości siły wymuszającej pokazany jest na rysunku poniżej dla różnych wartości współczynnika tłumienia β. Krzywe rezonansu dla różnych wartości współczynnika tłumienia β (β 0 <β 1 <β 2 <β 3 <β 4 ) Liniami przerywanymi zaznaczono częstości rezonansowe to jest wartości częstości siły wymuszającej, dla której amplituda drgań jest maksymalna. Odpowiadająca jej amplituda nazywana jest amplitudą rezonansową. Częstość rezonansową ω r i amplitudę rezonansową A r możemy obliczyć z warunku na maksimum amplitudy drgań. Funkcja A(ω) osiąga maksimum dla częstości rezonansowej ω r Podstawiając tę wartość do wzoru na amplitudę otrzymujemy wyrażenie na amplitudę rezonansową A r 11

Dla drgań swobodnych, nietłumionych (β 0) częstość rezonansowa ω r jest równa częstości drgań swobodnych ω 0, a amplituda rezonansowa A r A. W miarę wzrostu tłumienia wartość amplitudy rezonansowej A r maleje, a częstość rezonansowa przesuwa się w stronę częstości mniejszych od ω 0. Dla bardzo dużego tłumienia rezonans nie występuje, maksymalna amplituda występuje dla częstości bliskiej zeru. Dla drgań swobodnych, dla których ω r = ω 0 przesunięcie fazowe pomiędzy siłą, a wychyleniem, jest równe φ = π/2. Oznacza to, że siła wymuszająca nie jest zgodna w fazie z wychyleniem. Skutki rezonansu mogą być zarówno pozytywne jak i negatywne. Z jednej strony staramy się wyeliminować przenoszenie drgań na przykład z silnika na elementy nadwozia w samochodzie, a z drugiej strony działanie odbiorników radiowych i telewizyjnych jest możliwe dzięki wykorzystaniu rezonansu elektrycznego. Dostrajając odbiornik do częstości nadajnika spełniamy właśnie warunek rezonansu. 12

Składanie drgań harmonicznych Nakładania się dwu drgań harmonicznych zachodzących zarówno wzdłuż prostych równoległych jak i prostych prostopadłych. Składanie drgań równoległych Rozpatrzymy ruch punktu materialnego wynikający ze złożenia dwu drgań harmonicznych równoległych (zachodzących wzdłuż jednej prostej) opisanych równaniami Drgania te odbywają się z jednakową częstością ω, ale są przesunięte w fazie (różnią się fazami) o φ. Podobnie jak dla ruchu postępowego czy obrotowego również dla drgań obowiązuje zasada niezależności ruchów. To, że drgania odbywają się niezależnie oznacza, że przemieszczenie punktu materialnego jest po prostu sumą przemieszczeń składowych. Ta zasada dodawania przemieszczeń nosi nazwę superpozycji drgań. Wychylenie wypadkowe jest więc równe gdzie Złożenie drgań harmonicznych równoległych o jednakowej częstości daję w wyniku oscylacje harmoniczne o takiej samej częstości. Amplituda wypadkowa osiąga maksimum dla drgań składowych o zgodnych fazach (różnica faz φ 0 = 0), natomiast minimum gdy różnica faz φ 0 = π (fazy przeciwne). 13

Składanie drgań prostopadłych Rozpatrzmy teraz złożenie dwu drgań harmonicznych zachodzących na płaszczyźnie wzdłuż kierunków prostopadłych względem siebie Punkt materialny wykonujący drgania złożone porusza się po krzywej leżącej na płaszczyźnie xy, a jego położenie jest dane w dowolnej chwili powyższym równaniem. Przykładowe krzywe odpowiadające drganiom o jednakowych częstościach ω 1 = ω 2, dla różnych wartości amplitud A 1 i A 2 oraz różnych wartości przesunięcia fazowego φ są pokazane na rysunku poniżej. Złożenie drgań prostopadłych o jednakowych częstościach 14

Złożenie drgań prostopadłych o różnych częstościach daje w wyniku bardziej skomplikowany ruch. Na rysunku pokazane są przykładowe krzywe (tak zwane krzywe Lissajous) będące wynikiem złożenia takich drgań. Sytuacja pokazana na tym rysunku odpowiada składaniu drgań o jednakowych amplitudach. Złożenie drgań prostopadłych o różnych częstościach i jednakowych amplitudach Obraz drgań złożonych można otrzymać w prosty sposób za pomocą oscyloskopu. Wiązki elektronów w lampie oscyloskopowej są odchylane przez dwa zmienne, prostopadłe pola elektryczne. Na ekranie oscyloskopu obserwujemy więc obraz odpowiadający złożeniu drgań wiązki elektronów wywołany przez te zmienne pola elektryczne, których amplitudy, częstości fazy możemy regulować. 15

Fale mechaniczne w ośrodkach sprężystych Jeżeli wychylimy jakiś fragment ośrodka sprężystego z jego położenia równowagi to w następstwie będzie on wykonywał drgania wokół tego położenia. Te drgania, dzięki właściwościom sprężystym ośrodka, są przekazywane na kolejne części ośrodka, które zaczynają drgać. W ten sposób zaburzenie przechodzi przez cały ośrodek. Ruchem falowym nazywamy rozchodzenie się zaburzenia w ośrodku. Sam ośrodek nie przesuwa się, a jedynie jego elementy wykonują drgania. (np. fale na powierzchni wody: przedmioty pływające na powierzchni wody wykonują ruch drgający w rytm fal natomiast same fale rozchodzą się ruchem jednostajnym). Fala dobiegając do danego punktu ośrodka wprawia go w ruch drgający przekazując mu energię, która jest dostarczana przez źródło drgań. Energia fal to energia kinetyczna i potencjalna cząstek ośrodka. Za pomocą fal można przekazywać energię na duże odległości przy czym cechą charakterystyczną jest to, że fale przenoszą energię poprzez ośrodek dzięki przesuwaniu się zaburzenia w ośrodku, a nie dzięki ruchowi postępowemu samego ośrodka. Jak wynika z powyższego, do rozchodzenia się fal mechanicznych potrzebny jest ośrodek. To właściwości sprężyste ośrodka decydują o prędkości rozchodzenia się fali. Fale powstające w ośrodkach sprężystych (np. fale dźwiękowe) nazywamy falami mechanicznym. 16

Rodzaje fal Ze względu na kierunek drgań cząstek ośrodka względem kierunku rozchodzenia się fale dzielimy na fale podłużne i fale poprzeczne. Fala podłużna Fala jest podłużna gdy kierunek drgań cząstek ośrodka jest równoległy do kierunku rozchodzenia się fali i zarazem kierunku transportu energii. Przykładem są tu fale dźwiękowe w powietrzu czy też drgania naprzemiennie ściskanej i rozciąganej sprężyny. Fala jest poprzeczna gdy kierunek drgań cząstek ośrodka jest prostopadły do kierunku rozchodzenia się fali i zarazem kierunku transportu energii (Przykładem mogą tu być drgania struny) 17

Możemy również dokonać podziału ze względu na rodzaj zaburzenia. Ważnymi przykładami są impuls falowy i fala harmoniczna. Impuls falowy powstaje gdy źródłem jest jednorazowe zaburzenie w ośrodku: na przykład gdy wrzucimy kamień do wody lub gdy jednorazowo odchylimy w bok koniec napiętej liny. Fala harmoniczna powstaje gdy źródło wykonuje drgania harmoniczne: na przykład gdy cyklicznie wychylamy koniec napiętej liny Ze względu na kształt powierzchni falowej możemy wyróżnić fale płaskie i fale kuliste. W przypadku fal płaskich zaburzenie rozchodzi się w jednym kierunku, a powierzchnie falowe są płaszczyznami prostopadłymi do kierunku ruchu fali tak jak na rysunku poniżej. Dla fal kulistych zaburzenie rozchodzi się ze źródła we wszystkich kierunkach, a powierzchnie falowe są sferami jak na rysunku poniżej. 18

Rozchodzenie się fal w przestrzeni Rozważmy rozchodzenie się impulsu falowego (fali) wzdłuż długiego naprężonego sznura w kierunku x. W chwili t = 0 kształt sznura jest opisany funkcją gdzie y jest poprzecznym wychyleniem sznura w jego punkcie x. W czasie t impuls falowy (fala) poruszający się z prędkością v przesuwa się o odcinek równy vt wzdłuż sznura to jest wzdłuż osi x, bez zmiany kształtu. Zatem po czasie t równanie opisujące kształt sznura ma postać Równanie opisujące falę biegnącą w kierunku ujemnym osi x (w lewo) będzie miało postać Dowolna funkcja zmiennej x vt lub x + vt opisuje falę biegnącą odpowiednio w prawo lub lewo, jednak do opisania rzeczywistej sytuacji musimy dokładnie określić postać funkcji f. Dlatego teraz zajmiemy się falą o szczególnym kształcie. Rozważać będziemy poprzeczną falę harmoniczną postaci która przedstawia przenoszenie się drgań harmonicznych w kierunku x. 19

Stała A (opisująca maksymalne wychylenie) jest amplitudą, faza. Gdy mówimy o wybranej części fali to tym samym mówimy o określonej fazie. Fala harmoniczna wartość wychylenia poprzecznego y jest taka sama w punktach o współrzędnych x, x + λ, x + 2λ, x + 3λ, itd. Oznacza to, że te punkty mają taką samą fazę. Wielkość λ nazywamy długością fali. Reprezentuje ona odległość między punktami o tej samej fazie na przykład między dwoma grzbietami (maksimami) Czas, w którym fala przebiega odległość równą λ nazywamy okresem T stąd W danej chwili t taka sama faza jest w punktach x, x + λ, x + 2λ, itd., oraz, że w danym miejscu x faza powtarza się w chwilach t, t + T, t + 2T, itd. 20

Często równanie fali bieżącej wyraża się poprzez dwie inne wielkości: liczbę falową k i częstość kołową ω ( lub częstotliwość f), które są zdefiniowane jako Wówczas dla prędkość fali v możemy wyrazić jako Prędkość rozchodzenia się fal, równanie falowe Jeżeli chcemy zmierzyć prędkość fali v to śledzimy jak przemieszcza się w czasie wybrana część fali czyli określona faza. Dlatego prędkość fali określa się jako prędkość fazową. Dla wybranej fazy fali w prawo sprowadza się to do warunku poruszającej się Różniczkując to równanie względem czasu otrzymujemy czyli Tak wyraża się prędkość fazowa fali. 21

W przypadku gdy zaburzenie falowe jest złożeniem fal sinusoidalnych o różnych częstotliwościach to prędkość przenoszenia energii (prędkość fali modulowanej) może być inna niż prędkości fal składowych. Taką prędkość nazywa się prędkością grupową Równanie ruchu falowego możemy wyprowadzić wychodząc od ogólnego równania fali. W tym celu obliczamy przyspieszenie poprzecznych drgań punktu ośrodka o współrzędnej x, to znaczy obliczamy drugą pochodną y względem czasu gdzie v 2 jest pochodną funkcji wewnętrznej. (Uwaga: w równaniach piszemy pochodne cząstkowe, oznaczane symbolem, bo wychylenie y jest funkcją dwóch zmiennych y = f (x,t)) Równocześnie Łącząc oba powyższe równania otrzymujemy równanie różniczkowe ruchu falowego To równanie spełnia każda funkcja f(x - vt) jak również f(x + vt). Prędkość v rozchodzenia się fali jest niezależna od amplitudy i częstotliwości, a w przypadku fal mechanicznych zależy od sprężystości ośrodka i jego bezwładności. Na przykład prędkość fali harmonicznej rozchodzącej się wzdłuż naprężonego sznura (struny) jest dana wyrażeniem gdzie sprężystość sznura jest określona poprzez napinającą go siłę F (im większa siła tym szybciej wychylone elementy sznura wracają do położenia równowagi), a jego bezwładność zależy od masy µ przypadającej na jednostkę długości sznura. 22

Przenoszenie energii przez fale Fale przenoszą dostarczoną ze źródła energię poprzez ośrodek dzięki przesuwaniu się zaburzenia w ośrodku. Na przykład wprawiając koniec struny w drgania poprzeczne źródło wykonuje pracę, która objawia się w postaci energii kinetycznej i potencjalnej punktów struny (ośrodka). Rys. 13.10. Koniec struny wprawiony w drgania siłą F. Siła F jaka działa na koniec struny porusza struną w górę i w dół wprawiając jej koniec w drgania w kierunku y. Do wyznaczenia szybkości przenoszenia energii przez falę posłużymy się wyrażeniem na moc prędkość poprzeczna równa jest wynosi F y = Fsinθ. Podstawiając otrzymujemy, a składowa siły F w kierunku y Dla małych kątów θ możemy przyjąć z ujemnego nachylenia struny). Stąd (znak minus wynika 23

Obliczamy teraz pochodne równania fali harmonicznej oraz i podstawiamy do wyrażenia na moc Otrzymujemy ostatecznie Moc czyli szybkość przepływu energii oscyluje w czasie. Szybkość przepływu energii jest proporcjonalna do kwadratu amplitudy i kwadratu częstotliwości. Ta zależność jest prawdziwa dla wszystkich typów fal. 24