Wariacje na temat Twierdzenia Banacha o Indykatrysie i ich zastosowanie Rafał M. Łochowski Wrocław 2015 Rafał M. Łochowski Twierdzenie o indykatrysie Wrocław 2015 1 / 42
Plan odczytu 1 Twierdzenie Banacha o Indykatrysie i jego uogólnienie 2 Zastosowanie do estymacji wartości oczekiwanej uciętego wahania 3 Problem Skorohoda na [ c/2, c/2] i liczby przecięć (przeskoków) przedziałów 4 Asymptotyka uciętego wahania a czasy lokalne Rafał M. Łochowski Twierdzenie o indykatrysie Wrocław 2015 2 / 42
Twierdzenie Banacha o Indykatrysie Niech f : [a, b] R będzie funkcją ciągłą. Twierdzenie Banacha o Indykatrysie (Banach 1925, Vitali 1926) podaje ciekawy związek pomiędzy wahaniem całkowitym funkcji f, zdefiniowanym jako n TV(f, [a, b]) := sup sup f (t i ) f (t i 1 ) n a t 0 <t 1 <...<t n b i=1 oraz liczbą przecięć poziomów przez funkcję f, zdefiniowaną jako N y (f ) := # {x [a, b] : f (x) = y}. (#A R {+ } oznacza liczbę elementów zbioru A.) Rafał M. Łochowski Twierdzenie o indykatrysie Wrocław 2015 3 / 42
Twierdzenie Banacha o Indykatrysie, c.d. Okazuje się, że R y N y {0, 1, 2,...} {+ } jest funkcją klasy Baire a 2. (Funkcje klasy Baire a 0 to funkcje ciągłe. Funkcje klasy Baire a 1 to funkcje, które są granicami punktowymi funkcji ciągłych. Funkcje klasy Baire a 2 to funkcje, które są granicami punktowymi funkcji klasy Baire a 1 itd.) Co ważniejsze, pomiędzy N a wahaniem całkowitym f zachodzi następujący związek TV(f, [a, b]) = N y (f ) dy. R Rafał M. Łochowski Twierdzenie o indykatrysie Wrocław 2015 4 / 42
Twierdzenie Banacha o Indykatrysie - uogólnienie na przypadek funkcji regulowanych Twierdzenie Banacha o Indykatrysie można uogólnić (Lozinskii 1948,1958) na przypadek tzw. funkcji regulowanych, czyli funkcji, które posiadają granice prawostronne oraz granice lewostronne (alternatywna definicja: funkcje regulowane to te, które są granicami jednostajnymi funkcji schodkowych). Wtedy jednak należy odpowiednio zdefiniować liczbę przecięć poziomów. Pomysł jest taki, że dziedzinę funkcji f się rozdmuchuje w punktach jej nieciągłości (takich punktów jest przeliczalnie wiele) a następnie łączy się wartości w tych punktach z wartościami granic prawostronnych i lewostronnych linią prostą tak aby powstała funkcja była ciągła i miała takie samo wahanie jak funkcja wyjściowa. Rafał M. Łochowski Twierdzenie o indykatrysie Wrocław 2015 5 / 42
Twierdzenie Banacha o Indykatrysie - uogólnienie na funkcje regulowane o nieskończonym wahaniu Twierdzenie Banacha o Indykatrysie i jego uogólnienie niewiele mówią w przypadku gdy f ma wahanie nieskończone. Okazuje sie jednak, ze można je sensownie uogólnić, gdy zamiast przecięć poziomów będziemy rozpatrywać przecięcia przedziałów. Definicja Niech c 0. Zdefiniujmy σ c 0 = a oraz dla n = 0, 1,... τ c n = inf {t > σ c n : t b, f (t) > y + c}, σ c n+1 = inf {t > τ c n : t b, f (t) < y}. Wówczas liczbę przeskoków w dół f z nad poziomu y + c do poziomu y definiujemy jako d y c (f, [a, b]) := max {n : σ c n b}. Rafał M. Łochowski Twierdzenie o indykatrysie Wrocław 2015 6 / 42
Twierdzenie Banacha o Indykatrysie - uogólnienie na funkcje regulowane o nieskończonym wahaniu, c.d. Definicja Niech c 0. Zdefiniujmy σ c 0 = a oraz dla n = 0, 1,... τ c n = inf {t > σ c n : t b, f (t) < y}, σ c n+1 = inf {t > τ c n : t b, f (t) > y + c}. Wówczas liczbę przeskoków w górę f z poziomu y nad poziom y + c definiujemy jako Na koniec zdefiniujmy Definicja u y c (f, [a, b]) := max {n : σ c n b}. n y c (f, [a, b]) := d y c (f, [a, b]) + u y c (f, [a, b]). Rafał M. Łochowski Twierdzenie o indykatrysie Wrocław 2015 7 / 42
Twierdzenie Banacha o Indykatrysie - uogólnienie na funkcje regulowane o nieskończonym wahaniu, c.d. W przypadku gdy f : [a, b] R jest funkcją regulowaną, wówczas n y c jest liczbą skończoną dla dowolnego c > 0. Co więcej, dla c > 0 zachodzi równość nc y (f, [a, b]) dy = TV c (f, [a, b]), (1) R gdzie TV c (f, [a, b]) jest uciętym wahaniem zdefiniowanym jako n TV c (f, [a, b]) := sup sup max { f (t i ) f (t i 1 ) c, 0}. n a t 0 <t 1 <...<t n b i=1 (2) Uwaga Dla dowolnej funkcji regulowanej f : [a, b] R i dowolnego c > 0, TV c (f, [a, b]) < +. Rafał M. Łochowski Twierdzenie o indykatrysie Wrocław 2015 8 / 42
Twierdzenie Banacha o Indykatrysie a równość (1) Ponieważ równość n y 0 (f, [a, b]) = Ny (f ) zachodzi dla prawie wszystkich (poza przeliczalnym zbiorem) liczb rzeczywistych y, to równość R n y c (f, [a, b]) dy = TV c (f, [a, b]) można potraktować jako uogólnienie Twierdzenia Banacha o Indykatrysie. Zachodzą również następujące równości oraz R R u y c (f, [a, b]) dy = UTV c (f, [a, b]) d y c (f, [a, b]) dy = DTV c (f, [a, b]). Rafał M. Łochowski Twierdzenie o indykatrysie Wrocław 2015 9 / 42
Ucięte wahanie w górę, ucięte wahanie w dół Po prawej stronie dwóch poprzednich równości występują ucięte wahanie w górę i ucięte wahanie w dół, zdefiniowane za pomocą wzorów n UTV c (f, [a, b]) := sup sup max {f (t i ) f (t i 1 ) c, 0} n a t 0 <t 1 <...<t n b i=1 oraz n DTV c (f, [a, b]) := sup sup max {f (t i 1 ) f (t i ) c, 0}. n a t 0 <t 1 <...<t n b i=1 Zauważmy, że w przypadku c = 0, UTV c (f, [a, b]) i DTV c (f, [a, b]) są niczym innym jak dodatnim i ujemnym wahaniem (całkowitym) funkcji f występującymi w klasycznym rozkładzie Jordana. Ponadto zachodzi wzór TV c (f, [a, b]) = UTV c (f, [a, b]) + DTV c (f, [a, b]). Rafał M. Łochowski Twierdzenie o indykatrysie Wrocław 2015 10 / 42
Szkic dowodu, że R u y c (f, [a, b]) dy = UTV c (f, [a, b]) 1. (techniczny) krok polega na zauważeniu, że twierdzenie wystarczy udowodnić dla funkcji schodkowych postaci f (t) = n n 1 f 2k 1 {t(2k)} (t) + f 2k+1 1 (t(2k+1);t(2k+2)) (t), k=0 k=0 gdzie a = t (0) = t(1) < t (2) = t(3) <... < t(2n 2) = t(2n 1) < t (2n) = b. 2. krok polega, że ucięte wahanie w górę można obliczyć jako sumę przyrostów funkcji f (pomniejszonych o c) na przedziałach kolejnych spadków o c : K K UTV c (f, [a, b]) = {M k m k c} = 1 (mk,m k c) (y) dy. k=0 R k=0 3., ostatni krok polega na zauważeniu równości u y c (p, [0, 2n]) = # {k {0, 1,..., K} : y (m k, M k c)}. Rafał M. Łochowski Twierdzenie o indykatrysie Wrocław 2015 11 / 42
Ilustracja M 0 c c m 0 a=t(0)=t(1) I D,-1 =0 t(4)=t(5) t(8)=t(9) I U,0 =4 I D,0 =9 t Rafał M. Łochowski Twierdzenie o indykatrysie Wrocław 2015 12 / 42
Przykład zastosowania Niech W t = µt + B t, t 0, będzie ruchem Browna z dryfem (B t, t 0, jest standardowym ruchem Browna) zastopowanym w losowym, niezależnym od B czasie τ, o rozkładzie wykładniczym z parametrem v. Mamy równość EUTV c (W, [a, b]) = E R uc y (W, [a, b]) dy = R Eu y c (W, [a, b]) dy. Prawdopodobieństwa przekroczenia poziomu danego poziomu przez ruch Browna z dryfem do czasu τ są znane, więc korzystając z mocnej markowskości i braku pamięci rozkładu wykładniczego otrzymujemy a stąd EUTV c (W, [0, τ]) = Eu y c (W, [0, τ]) = eµ(y+c) ( y +c) µ 2 +2v R e µ(y+c) ( y +c) µ 2 +2v 1 e 2c µ 2 +2v 1 e 2c µ 2 +2v e µc µ dy = 2 + 2v ( 2v sinh c ). µ 2 + 2v Rafał M. Łochowski Twierdzenie o indykatrysie Wrocław 2015 13 / 42
Twierdzenie Banacha o Indykatrysie - kolejne uogólnienie Kolejnym możliwym uogólnieniem Twierdzenie Banacha o Indykatrysie byłoby podanie formuły na nc y (f, [a, b]) m(y)dy R czyli gdy pewne poziomy y są wyróżnione w stosunku do innych. Niestety tego typu uogólnienie nie jest znane, jednak gdy f jest funkcją càdlàg, można wówczas podać zadowalające (z punktu możliwych zastosowań) formuły na oraz R R u y c (f, [a, b]) m(y)dy d y c (f, [a, b]) m(y)dy. Rafał M. Łochowski Twierdzenie o indykatrysie Wrocław 2015 14 / 42
Problem Skorohoda na [ c/2, c/2] a liczby przecięć (przeskoków) przedziałów Okazuje się, że liczba przecięć (przeskoków) przedziału [y, y + c] przez dowolną funkcję càdlàg f : [a, b] R jest zawsze prawie równa liczbie przecięć poziomu y + c/2 przez rozwiązanie tzw. problemu Skorohoda na odcinku [ c/2, c/2] dla funkcji f. D[a, b] - zbiór funkcji càdlàg na odcinku [a, b] BV + [a, b] - zbiór funkcji càdlàg, niemalejących na odcinku [a, b] BV [a, b] - zbiór funkcji càdlàg o wahaniu skończonym na odcinku [a, b], przedziałami monotonicznych Rafał M. Łochowski Twierdzenie o indykatrysie Wrocław 2015 15 / 42
Problem Skorohoda na [ c/2, c/2] - definicja, istnienie Definicja Niech c > 0 oraz x R. Para funkcji (φ x,c, ξ x,c ) D[a, b] BV [a, b] jest rozwiązaniem problemu Skorohoda na [ c/2, c/2] z warunkiem początkowym ξ x,c (a) = u(a) x dla u jeżeli zachodzą następujące warunki: (a) dla dowolnego t [a, b], φ x,c (t) = u (t) ξ x,c (t) [ c/2, c/2] ; (b) ξ x,c = ξu x,c ξ x,c d, gdzie ξx,c u, ξ x,c d BV + [a, b] i odpowiadające miary dξu x,c, dξ x,c d mają nośniki {t [a, b] : φ x,c (t) = c/2} i {t [a, b] : φ x,c (t) = c/2} odpowiednio; (c) ξ x,c (a) = u(a) x. Twierdzenie Jeżeli u : [a, b] R, c > 0 oraz x [ c/2, c/2] wówczas istnieje dokładnie jedno rozwiązanie problemu Skorohoda dla u na [ c/2, c/2]. Rafał M. Łochowski Twierdzenie o indykatrysie Wrocław 2015 16 / 42
Problem Skorohoda na [ c/2, c/2] ilustracja Rafał M. Łochowski Twierdzenie o indykatrysie Wrocław 2015 17 / 42
Własności rozwiązania problemu Skorohoda na [ c/2, c/2]. Jeżeli (φ x,c, f x,c ) jest rozwiązaniem problemu Skorohoda na [ c/2, c/2] dla f, z warunkiem początkowym f x,c (a) = f (a) x, x [ c/2, c/2], to dla dowolnego t [a, b], f x,c (t) f (t) c/2 oraz f x,c (t) f (t). Okazuje się także, że (dodatnie, ujemne) wahanie całkowite rozwiązania problemu Skorohoda, f x,c, jest prawie równe uciętemu wahaniu (w górę, w dół) funkcji f. Dokładniej, dla dowolnego x [ c/2, c/2] zachodzą oszacownia a stąd również UTV c (f, [a, b]) UTV 0 (f x,c, [a, b]) UTV c (f, [a, b]) + c, DTV c (f, [a, b]) DTV 0 (f x,c, [a, b]) DTV c (f, [a, b]) + c TV c (f, [a, b]) TV 0 (f x,c, [a, b]) TV c (f, [a, b]) + 2c. Rafał M. Łochowski Twierdzenie o indykatrysie Wrocław 2015 18 / 42
Problem Skorohoda na [ c/2, c/2] a liczby przecięć (przeskoków) przedziałów, c.d. Twierdzenie (1) Niech f : [a, b] R będzie funkcją càdlàg, c > 0, x [ c/2, c/2] oraz (φ x,c, f x,c ) będzie rozwiązaniem problemu Skorohoda na [ c/2, c/2] dla f, z warunkiem początkowym f x,c (a) = f (a) x. Wówczas dla wszystkich y R \ A, gdzie A jest co najwyżej przeliczalny, zachodzą oszacowania Co więcej, u y c (f, [a, b]) u y+c/2 0 (f x,c, [a, b]) u y c (f, [a, b]) + 1, d y c (f, [a, b]) d y+c/2 0 (f x,c, [a, b]) d y c (f, [a, b]) + 1. uc y (f, [a, b]) = u y+c/2 ( 0 d y c (f, [a, b]) = d y+c/2 0 ) f c/2,c, [a, b], ( ) f c/2,c, [a, b]. Rafał M. Łochowski Twierdzenie o indykatrysie Wrocław 2015 19 / 42
Formuły na y R u y 0 (f x,c, [a, b]) m(y)dy, y R d y 0 (f x,c, [a, b]) m(y)dy Korzystając z faktu, że f x,c jest przedziałami monotoniczna, dla mierzalnej i ograniczonej funkcji m łatwo udowodnić następujące formuły: oraz u y 0 (f x,c, [a, b]) m(y)dy = R + a<t b, f x,c (t)>0 b a [f x,c (t ),f x,c (t)] d y 0 (f x,c, [a, b]) m(y)dy = R + a<t b, f x,c (t)<0 b a [f x,c (t ),f x,c (t)] m (f x,c (t)) dutv(f x,c, [a, t]) m (y) m (f x,c (t )) dy (3) m (f x,c (t)) ddtv(f x,c, [a, t]) m (y) m (f x,c (t )) dy. (4) Rafał M. Łochowski Twierdzenie o indykatrysie Wrocław 2015 20 / 42
Formuły na R u y c (f, [a, b]) m(y)dy, R d y c (f, [a, b]) m(y)dy Łącząc formuły (3) i (4) z Twierdzeniem (1) otrzymujemy R + oraz u y c (f, [a, b]) m(y)dy = a<t b, f c/2,c (t)>0 R + d y c (f, [a, b]) m(y)dy = a<t b, f c/2,c (t)<0 b a ( ) ( ) m f c/2,c (t) dutv f c/2,c, [a, t] ( ) [f c/2,c(t ),f c/2,c(t)] m (y) m f c/2,c (t ) dy b a ( ) ( ) m f c/2,c (t) ddtv f c/2,c, [a, t] (5) ( ) [f c/2,c(t ),f c/2,c(t)] m (y) m f c/2,c (t ) dy. (6) Rafał M. Łochowski Twierdzenie o indykatrysie Wrocław 2015 21 / 42
Przecięcia poziomów a gęstość przebywania Korzystając z (5) i (6) dostaje się następujące twierdzenie. Twierdzenie (M1) Załóżmy, że f : [a, b] R jest funkcją càdlàg oraz istnieje taka niemalejąca funkcja ϕ : (0; + ) (0; + ), że lim c 0+ ϕ (c) = 0 i taka funkcja ζ : [a, b] R, że dla t [a, b] zachodzi zbieżność lim ϕ (c) c 0+ TVc (f, [a, t]) = ζ(t) (lub równoważnie lim c 0+ ϕ (c) UTV c (f, [a, t]) = 1 2ζ(t) lub lim c 0+ ϕ (c) DTV c (f, [a, t]) = 1 2 ζ(t)). Wówczas ζ jest niemalejącą funkcją ciągłą i dla dowolnej ciągłej m : R R zachodzi lim ϕ (c) nc c 0+ R y (f, [a, t])m (y) dy = t a m (f (s)) dζ s. Rafał M. Łochowski Twierdzenie o indykatrysie Wrocław 2015 22 / 42
Przecięcia poziomów a gęstość przebywania, c.d. Niech T > 0 i f : [0, T ] R. Równość t lim ϕ (c) nc y (f, [0, t])m (y) dy = m (f (s)) dζ s. c 0+ R 0 prawdziwa dla dowolnej funkcji ciągłej m sugeruje, że istnieje granica L y t (f ) := lim c 0+ ϕ (c) ny c (f, [0, t]), którą możemy interpretować jako gęstość przebywania funkcji f na poziomie y do momentu t względem miary ζ : R L y t (f )m (y) dy = t 0 m (f (s)) dζ s. Rafał M. Łochowski Twierdzenie o indykatrysie Wrocław 2015 23 / 42
Przecięcia poziomów a czasy lokalne Okazuje się, że są procesy X t, t 0, dla których czas lokalny można rzeczywiście zdefiniować jako granicę (w normie L p dla p 1) lim ϕ (c) c 0+ ny c (X, [0, t]) dla odpowiednio dobranej funkcji ϕ. Nie jest to jednak regułą. Podam przykład procesu α-stabilnego, dla którego co prawda istnieje (słaba) granica w topologii zbieżności jednostajnej na zbiorach zwartych lim ϕ (c) c 0+ TVc (X, [0, t]) = t ale ich czasu lokalnego nie można zdefiniować jako lim c 0+ ϕ (c) n y c (X, [0, t]). Rafał M. Łochowski Twierdzenie o indykatrysie Wrocław 2015 24 / 42
Gęstość przebywania jako czas lokalny procesu Markowa Załóżmy teraz, że X t, t [0, T ], jest (jednorodnym) procesem Markowa z przestrzenią stanów (R, B (R)), gdzie B (R) jest σ ciałem zbiorów borelowskich. Dla dowolnego t > 0 i ω Ω definiujemy miarę przebywania X (ω) w zbiorze Γ B (R) do momentu t : µ t (Γ) := λ (s [0, t] : X s (ω) Γ), gdzie λ jest miarą Lebesgue a na półprostej [0, + ). Definicja Powiemy, że proces X ma czas lokalny względem σ skończonej miary π na B (R) jeżeli miara µ T jest absolutnie ciągła względem π, P x prawie na pewno dla każdego x R. W szczególności oznacza to, że dla t [0, T ] i dla dowolnej funkcji ciągłej m : E R zachodzi t 0 m (X s ) ds = R m(y)dµ t (y) = R m(y) dµ t(y) dπ(y) dπ(y). Rafał M. Łochowski Twierdzenie o indykatrysie Wrocław 2015 25 / 42
Czas lokalny procesu Markowa Jeżeli założenia definicji istnienia czasu lokalnego są spełnione, to ten czas lokalny w momencie t jest wówczas równy gęstości Radona-Nikodyma miary µ t względem miary π : L y t (X ) := dµ t(y) dπ(y). Inna definicja czasu lokalnego procesu Markova pochodzi od Blumenthala i Getoora. Niech T x będzie czasem dotarcia do zbioru {x} oraz E r będzie zbiorem punków regularnych procesu X czyli takich, dla których zachodzi P x (T x = 0) = 1. Zakładając, że odwzorowanie (x, y) E x e Ty jest B (R) B (R) mierzalne, dla y E r czas lokalny L y t jest jednoznacznie wyznaczonym funkcjonałem addytywnym t L y t, dla którego zachodzi + E x e Ty = E x e t dl y t. 0 Rafał M. Łochowski Twierdzenie o indykatrysie Wrocław 2015 26 / 42
Czas lokalny semimartyngału Idea czasów lokalnych dla semimartyngałów pojawia się w nieco inny sposób - na gruncie teorii całki stochastycznej. Dla dowolnego (rzeczywistego) semimartyngału X dowodzi się, że dla każdego y R istnieje taki addytywny, nieujemny, niemalejący i ciągły proces L y t (X ), t 0, że dla dowolnej funkcji wypukłej g : R R zachodzi formuła Meyera-Itô: t g (X t ) g (X 0 ) = g (X s ) dx s + 1 L y t (X ) dµ(y) 0+ 2 R + { g (Xs ) g (X s ) g } (X s ) X s, 0<s t gdzie g is pochodną prawostronną zaś µ jest uogólnioną pochodną g drugiego rzędu (g(x) = a + bx + 1 2 R x y dµ(y)). Rafał M. Łochowski Twierdzenie o indykatrysie Wrocław 2015 27 / 42
Czas lokalny semimartyngału, c. d. Ważną konsekwencją formuły Meyera-Itô jest formuła t 0 m (X s ) d [X, X ] cont s = m(y)l y t (X ) dy, R gdzie [X, X ] cont s oznacza ciągłą część wahania kwadratowego X a mr R jest dowolną funkcją mierzalną i ograniczoną. Porównując powyższą równość z formułą t 0 m (f (s)) dζ s = R m (y) L y t (f )dy i definicją ζ s = lim c 0+ ϕ(c)tv c (f, [0, s]) nasuwa się pytanie, czy dla pewnej funkcji ϕ spełniającej lim c 0+ ϕ(c) = 0 i dla prawie każdej ścieżki X (ω) semimartyngału X zachodzi lim c 0+ ϕ(c)tvc (f, [0, s]) = [X, X ] cont s? Rafał M. Łochowski Twierdzenie o indykatrysie Wrocław 2015 28 / 42
Czas lokalny semimartyngału, c. d. Okazuje się, że rzeczywiście, dla dowolnego rzeczywistego semimartyngału X s, s 0, z prawdopodobieństwem 1 zachodzi lim c c 0+ TVc (X, [0, s]) = [X, X ] cont s. Co więcej, wynik Nicole El Karoui z 1978 r. mówi, że jeżeli X = M + V (M - martyngał lokalny, V - proces [ o wahaniu skończonym) jest ciągłym semimartyngałem, dla którego E [X, X ] cont p T + TV(V, [0, T ])] < +, p 1, T > 0, to lim E sup c nc y (X, [0, t]) L y t (X ) p = 0. c 0+ 0 t T Uwaga Jeżeli zbieżność w L p zastąpi się poprzez zbieżność wg prawdopodobieństwa, to analogiczny wynik zachodzi dla dowolnych ciągłych semimartyngałów. Hipoteza: analogiczna równość zachodzi dla dowolnych (niekoniecznie ciągłych) semimartyngałów. Rafał M. Łochowski Twierdzenie o indykatrysie Wrocław 2015 29 / 42
Czas lokalny semimartyngału a czas lokalny procesu Lévy ego Wnioskiem ze zbieżności lim c c 0+ TVc (X, [0, s]) = [X, X ] cont s. (7) jest fakt, że część ciągła semimartyngału X dominuje przecięcia/przeskoki małych przedziałów przez X. Z formuły Meyera-Itô wynika również, że czysto nieciągłe semimartyngały mają czas lokalny (występujący w formule Meyera-Itô) 0. Co zatem z czasami lokalnymi procesów Lévy ego bez składnika brownowskiego, które są czysto nieciągłymi semimartyngałami? Każdy proces Lévy ego jest również procesem Markowa, można więc dla niego zdefiniować czas lokalny tak jak dla procesów Markowa. Z (7) wynika, że wówczas odpowiednia funkcja normalizująca ϕ, dla której lim c 0+ ϕ(c)n y c (X, [0, t]) = L y t (X ) (o ile w jakimś sensie ta granica istnieje) będzie zbiegała do 0 dla c 0+ wolniej niż c. Rafał M. Łochowski Twierdzenie o indykatrysie Wrocław 2015 30 / 42
Rodzaje zbieżności Niech Y t, t 0 będzie procesem càdlàg zdefiniowanym na przestrzeni z filtracją (Ω, F, F = (F t, t 0), P), dla której zachodzą zwykłe warunki (usual conditions) oraz niech Y c, c > 0, będzie rodziną procesów càdlàg Y c t, t 0, zdefiniowaną na tej samej przestrzeni. Y c Y będzie oznaczać zbieżność prawie pewną Y c do Y gdy c 0+ w topologii zbieżności jednostajnej na zbiorach zwartych Y c Y będzie oznaczać słabą zbieżność (funkcyjną) Y c do Y gdy c 0+ w topologii zbieżności jednostajnej na zbiorach zwartych Y c = Y będzie oznaczać słabą zbieżność (funkcyjną) Y c do Y gdy c 0+ w topologii J Skorohoda na zbiorach zwartych Id będzie oznaczać proces deterministyczny Id(t) = t dla t 0. Rafał M. Łochowski Twierdzenie o indykatrysie Wrocław 2015 31 / 42
Funkcja ϕ dla procesu Lévy ego Twierdzenie (LPU) Niech X t, t 0, będzie procesem Lévy ego, o nieskończonym wahaniu na dowolnym niezdegenerowanym przedziale. Zdefiniujmy } TD {t c X := inf 0 : sup 0 s t X s X t > c, θu c := ET D c X ξ c U := sup 0 s<t<t c D X (X t X s c) +, η c U := Eξc U. Rafał M. Łochowski Twierdzenie o indykatrysie Wrocław 2015 32 / 42
Funkcja ϕ dla procesu Lévy ego Twierdzenie (LPU) Niech X t, t 0, będzie procesem Lévy ego, o nieskończonym wahaniu na dowolnym niezdegenerowanym przedziale. Zdefiniujmy } TD {t c X := inf 0 : sup 0 s t X s X t > c, θu c := ET D c X ξ c U := sup 0 s<t<t c D X (X t X s c) +, η c U := Eξc U. Załóżmy, że E sup 0 t<t c 0 D X X t < + dla pewnego c 0 > 0. Jeżeli χ U (c) := θ c U/η c U i dla dowolnego u > 0, P (ξu c u/χ U (c)) /θu c zachodzi następująca zbieżność 1 gdy c 0+, wówczas χ U (c) TV c (X, ) 2 Id. Rafał M. Łochowski Twierdzenie o indykatrysie Wrocław 2015 32 / 42
Funkcja ϕ dla procesu Lévy ego, c.d. Twierdzenie (LPD) Niech X t, t 0, będzie procesem Lévy ego, o nieskończonym wahaniu na dowolnym niezdegenerowanym przedziale. Zdefiniujmy T c U X := inf {t 0 : X t inf 0 s t X s > c}, ξ c D := sup 0 s<t<t c U X (X s X t c) +, η c D := Eξc D. θ c D := ET c U X Rafał M. Łochowski Twierdzenie o indykatrysie Wrocław 2015 33 / 42
Funkcja ϕ dla procesu Lévy ego, c.d. Twierdzenie (LPD) Niech X t, t 0, będzie procesem Lévy ego, o nieskończonym wahaniu na dowolnym niezdegenerowanym przedziale. Zdefiniujmy T c U X := inf {t 0 : X t inf 0 s t X s > c}, ξ c D := sup 0 s<t<t c U X (X s X t c) +, η c D := Eξc D. θ c D := ET c U X Załóżmy, że E sup 0 t<t c 0 U X X t < + dla pewnego c 0 > 0. Jeżeli χ D (c) := θ c D/η c D i dla dowolnego u > 0, P (ξd c u/χ D (c)) /θd c wówczas zachodzi następująca zbieżność 1 gdy c 0+, χ D (c) TV c (X, ) 2 Id. Rafał M. Łochowski Twierdzenie o indykatrysie Wrocław 2015 33 / 42
Przykład - spektralnie ujemny proces z prawie α-stabilnymi skokami, α (1, 2) Twierdzenie Niech X t, t 0, będzie procesem Lévy ego bez składnika brownowskiego, z miarą Léviego Π Π(dx) = L( x) ( x) 1+α 1 x<0dx dla α (1; 2) i pewnej funkcji borelowskiej L : (0, + ) (0, + ), wolno zmieniającej się w 0. Wówczas χ D (c) α(α 1) c α 1 Γ(2 α) L(c), tzn. oraz lim c 0+ χ D (c) α(α 1) c α 1 Γ(2 α) L(c) = 1 α (α 1) c α 1 Γ (2 α) L (c) TVc (X, ) 2 Id. Rafał M. Łochowski Twierdzenie o indykatrysie Wrocław 2015 34 / 42
Zbieżność II rzędu dla procesów ściśle α-stabilnych, α (1, 2) Niech X t, t 0, będzie procesem ściśle α-stabilnym z wykładnikiem charakterystycznym Ψ X (θ) = C 0 θ α ( 1 iγ tg πα 2 sgnθ ), (8) gdzie α (1; 2) jest indeksem, C 0 > 0 jest parametrem skali oraz γ [ 1; 1] jest parametrem skośności. Zdefiniujmy A := ( ) lim E TV 1 (X, [0; N + 1]) TV 1 (X, [0; N]). N + (mozna udowodnić, że ta granica istnieje) oraz T c,α t := TV c (X, [0, t]) c 1 α A t. Rafał M. Łochowski Twierdzenie o indykatrysie Wrocław 2015 35 / 42
Zbieżność II rzędu dla procesów ściśle α-stabilnych, α (1, 2), c.d. Twierdzenie (SecondOrder) Niech α (1; 2) oraz X t, t 0, będzie ściśle α-stabilnym procesem z wykładnikiem charakterystycznym danym za pomocą (8). Wówczas T c,α = L 1 + L 2, gdzie L 1 i L 2 są dwoma niezależnymi, spektralnie dodatnimi procesami takimi, że X = L 1 L 2 oraz L 1 + L 2 jest ściśle α-stabilnym, spektralnie dodatnim procesem z wykładnikiem charakterystycznym danym za pomocą ( Ψ L 1 +L 2(θ) = C 0 θ α 1 i tg πα ) 2 sgnθ. Rafał M. Łochowski Twierdzenie o indykatrysie Wrocław 2015 36 / 42
Zbieżność II rzędu dla procesów ściśle 1-stabilnych Niech X t, t 0, będzie ściśle 1-stabilnym procesem z wykładnikiem charakterystycznym Ψ X (θ) = C 0 θ + iηθ, (9) z parametrem skali C 0 > 0 i dryfem η R. (Wykładnik charakterystyczny procesu ściśle 1-stabilnego musi być takiej postaci.) Połóżmy B = ( ) lim E TV 1 (X, [0; N + 1]) TV 1 (X, [0; N]) TV(Y, [0; N]), N + gdzie Y = N<s N+1 X s X s 1 Xs X s 1 oraz T c,1 t := TV c (X, [0, t]) 2 π C 0 ln c 1 t B t. Rafał M. Łochowski Twierdzenie o indykatrysie Wrocław 2015 37 / 42
Zbieżność II rzędu dla procesów ściśle 1-stabilnych, c.d. Twierdzenie (SecondOrder1) Niech X t, t 0, będzie ściśle 1-stabilnym procesem z wykładnikiem charakterystycznym danym za pomocą (9), wówczas T c,1 = M 1 + M 2, gdzie M 1, M 2 są dwoma niezależnymi, spektralnie dodatnimi procesami takimi, że X = M 1 M 2 oraz M 1 + M 2 jest procesem 1-stabilnym z wykładnikiem charakterystycznym danym za pomocą Ψ M 1 +M 2(θ) = C 0 θ (1 + i 2 ) π sgn (θ) log θ i gdzie C = Γ (1) 0.577 jest stałą Eulera-Mascheroniego. 2 (1 C) C 0 θ, π Rafał M. Łochowski Twierdzenie o indykatrysie Wrocław 2015 38 / 42
Funkcja ϕ dla procesów ściśle α-stabilnych, α (1, 2) Z Twierdzenia (SecondOrder) wynika, że dla ściśle α-stabilnego procesu X z α (1, 2) A 1 c α 1 TV c (X, [0, ]) Id. (10) Zatem można wziąć ϕ = c α 1 /A. Wiadomo, że dla α (1, 2) czas lokalny względem procesu α-stabilnego istnieje. Ogólniej, zachodzi następujące Twierdzenie (LTE) Niech X t, t 0, będzie procesem Lévy ego z wykładnikiem charakterystycznym Ψ. Następujące warunki są równoważne (i) R ( Re 1 1 + Ψ(s) ) ds < + ; (ii) Dla każdego t > 0, X posiada czas lokalny L y t (X ) L 2 (dx dp) względem miary Lebesgue a. Co więcej, jeżeli warunek (ii) jest niespełniony, to X nie posiada czasu lokalnego względem miary Lebesgue a. Rafał M. Łochowski Twierdzenie o indykatrysie Wrocław 2015 39 / 42
Hipoteza dla procesów ściśle α-stabilnych, α (1, 2) Z istnienia czasu lokalnego L y t (X ) i ze zbieżności (10) wynika, że dla dowolnej funkcji ciągłej (a stąd i borelowskiej, ograniczonej) m [ ] lim A 1 c α 1 nc y (X, [0, ]) L y (X ) m(y)dy 0. c 0+ R Hipoteza: jeżeli X t, t 0, jest procesem ściśle α-stabilnym z α (1, 2), to A 1 c α 1 n y c (X, [0, ]) L y (X ). Uwaga Z faktu, że dla dowolnej borelowskiej i ograniczonej funkcji m : R R zachodzi lim c 0+ R r c(y)m(y)dy = 0 nie wynika, że istnieje prawie wszędzie granica lim c 0+ r c (y). Przykład: r c (y) = φ 1/c (y)1 [0,1] (y), gdzie {φ n }- np. baza ortonormalna na [0, 1]. Rafał M. Łochowski Twierdzenie o indykatrysie Wrocław 2015 40 / 42
Odrzucenie hipotezy dla procesów 1-stabilnych Z Twierdzenia (SecondOrder1), że dla procesu ściśle 1-stabilnego ( 2 π C 0 ln c 1 ) 1 TV c (X, [0, ]) Id. zatem odpowiednia funkcja normalizująca ma postać ( φ(c) = 2 π C 0 ln c 1) 1. Z Twierdzenia (LTE) wynika jednak, że w tym przypadku nie istnieje czas lokalny względem miary Lebesgue a, zatem proces ( 2 π C 0 ln c 1 ) 1 n y c (X, [0, ]) nie może być zbieżny do czasu lokalnego względem miary Lebesgue a. Rafał M. Łochowski Twierdzenie o indykatrysie Wrocław 2015 41 / 42
Dziękuję za uwagę! Rafał M. Łochowski Twierdzenie o indykatrysie Wrocław 2015 42 / 42